4.4 整式的加减 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

冀教版七年级数学上册 · 课时作业 4.4 整式的加减 课时作业 冀教版七年级数学上册 第四章 整式的加减　　班级：________　姓名：________　用时：______分钟 【学习目标】 1．理解整式加减的实质是去括号、合并同类项； 2．掌握整式加减运算的一般步骤，能熟练进行整式的加减运算； 3．能先化简再求值，能解决“看错运算符号”“与某字母取值无关”等问题； 4．会用整式的加减解决简单的实际问题和图形问题。 课前预习 1．整式的加减运算，实际上就是________和________。 2．化简：(3a + 2b) + (a - b) = ________；(3a + 2b) - (a - b) = ________。 3．若两个多项式相减，被减式和减式都要看成一个整体，列式时减式要加______。 4．合并同类项：2x² - 5x² + x² = ______。 一、知识梳理 知识点1　整式加减的实质 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加号、减号连接，然后去括号、合并同类项。整式的加减运算，实质上就是去括号和合并同类项。 知识点2　整式加减的一般步骤 （1）列式：根据题意列出式子，每个多项式都要用括号括起来； （2）去括号：按照去括号法则去掉括号； （3）合并同类项：找出同类项并合并，结果一般按某个字母降幂排列。 特别提醒：①整式加减的结果仍是整式； ②多项式相减时，减式一定要加括号，否则容易出现符号错误； ③结果中不能再含有同类项。 知识点3　整式的化简求值 先将整式化简（去括号、合并同类项），再代入字母的值计算。代入负数或分数时要添加括号。若题目给出的是某个式子的值（如 a + b = 3），可以考虑整体代入。 知识点4　常见题型 （1）已知两个多项式 A，B，求 A ± B、2A - 3B 等：先列式，再用括号把 A，B 括起来代入计算。 （2）看错运算符号问题：先根据错误的算式求出未知多项式，再按正确的算式计算。 （3）与某字母取值无关问题：化简后含该字母的项的系数均为 0。 （4）实际问题与图形问题：用整式表示周长、面积、费用等，再进行加减运算。 二、典例精析 例1　求多项式 5x² - 3x + 1 与 -2x² + 4x - 3 的和与差。 【解】和：(5x² - 3x + 1) + (-2x² + 4x - 3) = 5x² - 3x + 1 - 2x² + 4x - 3 = 3x² + x - 2； 差：(5x² - 3x + 1) - (-2x² + 4x - 3) = 5x² - 3x + 1 + 2x² - 4x + 3 = 7x² - 7x + 4。 例2　已知 A = 2a² - ab + 3，B = a² + 2ab - 1，求 2A - 3B，并求当 a = -1，b = 2 时 2A - 3B 的值。 【解】2A - 3B = 2(2a² - ab + 3) - 3(a² + 2ab - 1) = 4a² - 2ab + 6 - 3a² - 6ab + 3 = a² - 8ab + 9。 当 a = -1，b = 2 时，2A - 3B = (-1)² - 8×(-1)×2 + 9 = 1 + 16 + 9 = 26。 例3　某同学计算一个多项式加上 3x² - 2x + 5 时，误以为是减去，得到的结果是 x² + 4x - 3。求原来的多项式和正确的计算结果。 【解】设原多项式为 M，则 M - (3x² - 2x + 5) = x² + 4x - 3， 所以 M = (x² + 4x - 3) + (3x² - 2x + 5) = 4x² + 2x + 2。 正确结果为 (4x² + 2x + 2) + (3x² - 2x + 5) = 7x² + 7。 【点评】解决“看错”问题，先“逆推”求出未知多项式，再“正算”。 例4　先化简，再求值：3x²y - [2xy² - 2(xy - x²y) + xy] + 3xy²，其中 x = 3，y = -。 【解】原式 = 3x²y - [2xy² - 2xy + 3x²y + xy] + 3xy² = 3x²y - [2xy² - xy + 3x²y] + 3xy² = 3x²y - 2xy² + xy - 3x²y + 3xy² = xy² + xy。 当 x = 3，y = - 时，原式 = 3×(-)² + 3×(-) = - 1 = -。 例5　如图，长方形花园的长为 a，宽为 b，中间修了一条宽为 x 的小路，其余部分是两块花坛。 （1）用整式表示两块花坛的面积之和；（2）用整式表示两块花坛的周长之和；（3）当 a = 20 m，b = 10 m，x = 2 m 时，求花坛的面积之和与周长之和。 【解】（1）面积之和为 ab - bx； （2）两块花坛的长（水平方向）之和为 a - x，每块花坛的宽都是 b，所以周长之和为 2(a - x) + 4b = 2a - 2x + 4b； （3）当 a = 20，b = 10，x = 2 时，面积之和为 20×10 - 10×2 = 180（m²），周长之和为 2×20 - 2×2 + 4×10 = 76（m）。 例6　已知 A = 3x² + 2xy - 3x + 1，B = -x² + xy + 2，且 A + 3B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值。 【解】A + 3B = 3x² + 2xy - 3x + 1 + 3(-x² + xy + 2) = 3x² + 2xy - 3x + 1 - 3x² + 3xy + 6 = 5xy - 3x + 7 = (5y - 3)x + 7。 因为 A + 3B 的值与 x 的取值无关，所以 5y - 3 = 0，y = 。 例7　一个三角形的第一条边长为 (a + 2b)，第二条边比第一条边长 (b - 2)，第三条边比第二条边短 3，求这个三角形的周长。 【解】第二条边长为 (a + 2b) + (b - 2) = a + 3b - 2，第三条边长为 (a + 3b - 2) - 3 = a + 3b - 5。 周长为 (a + 2b) + (a + 3b - 2) + (a + 3b - 5) = 3a + 8b - 7。 三、易错警示 易错点1　减式不加括号。如求 3x - 2 与 x - 5 的差，写成 3x - 2 - x - 5 是错误的，应写成 (3x - 2) - (x - 5) = 2x + 3。 易错点2　代入 A，B 时不加括号。如 A = x - 1，B = 2x + 3，求 A - 2B 时应写成 (x - 1) - 2(2x + 3)。 易错点3　去括号时漏乘或符号出错。-3(a - 2b) = -3a + 6b，不能写成 -3a - 6b 或 -3a - 2b。 四、方法归纳 1．整式加减“三步走”：列式（加括号）→去括号→合并同类项。 2．求多项式 A，B 的组合式：“先代入（带括号），再化简”，也可以“先化简 A，B 的组合式，再代入”。 3．看错问题：先由错误算式逆推出未知多项式，再按正确算式计算。 4．无关问题：化简后，令含该字母的各项系数为 0。 5．整体思想：当条件是某个式子的值时，化简后凑成该式子整体代入。 五、课时作业 A组　基础达标 一、选择题 1．化简 (a + b) - (a - b) 的结果是（　　） A．2a B．2b C．0 D．-2b 2．多项式 x² - 3x + 2 与 x² + 3x - 2 的和是（　　） A．2x² B．2x² - 6x + 4 C．0 D．6x - 4 3．一个多项式与 x² - 2x + 1 的和是 3x - 2，则这个多项式是（　　） A．x² - 5x + 3 B．-x² + x - 1 C．-x² + 5x - 3 D．x² - 5x - 13 4．若 A = 3x² - 5x + 2，B = 3x² - 5x + 6，则 A 与 B 的大小关系是（　　） A．A > B B．A < B C．A = B D．无法确定 5．一个长方形的一边长为 2a + b，另一边比它长 a - b，则这个长方形的周长是（　　） A．10a + 2b B．5a + b C．7a + b D．10a - b 6．一个多项式减去 -3x 等于 5x² - 3x - 5，则这个多项式是（　　） A．5x² - 5 B．5x² - 6x - 5 C．5x² + 5 D．-5x² + 6x - 5 7．若 m - n = -1，则 (m - n)² - 2m + 2n 的值是（　　） A．3 B．2 C．1 D．-1 8．化简 -2(a - b) + 3(a + b) 的结果是（　　） A．a + 5b B．5a + b C．a + b D．-a + 5b 二、填空题 9．3a² - 2ab 与 -a² + 5ab 的差是________________。 10．一个多项式减去 3x² - 1 得 2x² + x，这个多项式是________________。 11．若 A = x² - 2x，B = 2x² + 3x - 1，则 2A - B = ________________。 12．若 -2amb² 与 3a³bⁿ 可以合并，则 m + n = ______，合并后的结果是________。 13．化简 (3x² - 2x + 1) - 2(x² - x) 的结果是________，当 x = -2 时，它的值是______。 14．三角形的三边长分别为 (2a - 1) cm，(a + 3) cm，(3a - 2) cm，则它的周长为________cm。 15．小王买了 5 本笔记本，每本 a 元，又买了 3 支笔，每支 (a - 2) 元，他一共花了________元。 三、解答题 17．计算： （1）(2x² - 3x + 1) + (-x² + 5x - 4)；　（2）(4a²b - 3ab²) - (a²b - 2ab² + 1)； （3）3(2x - y) - 2(4x + y) + 2026；　（4）2(x² - xy) - 3(x² - 2xy)。 18．先化简，再求值：(5a² - 3b²) + (a² - b²) - (5a² + 2b²)，其中 a = -1，b = 1。 19．已知 A = x² - 2xy + y²，B = x² + 2xy + y²。（1）求 A + B；（2）求 (B - A)；（3）当 x = -1，y = 2 时，求 A + B 的值。 20．小明计算“A - 2B”时，误算成了“A + 2B”，得到的结果是 5x² - 2x + 3，已知 B = x² + x - 2。（1）求多项式 A；（2）求 A - 2B 的正确结果。 21．学校图书馆有科技书 a 本，文艺书的数量比科技书的 2 倍多 30 本，故事书比文艺书少 (a - 20) 本。（1）用含 a 的整式表示三类书的总数；（2）当 a = 200 时，三类书共有多少本？ B组　能力提升 22．若 M = 4x² - 5x + 11，N = 3x² - 5x + 10，则 M 与 N 的大小关系是（　　） A．M > N B．M = N C．M < N D．无法确定 23．若式子 (x² + ax - 2y + 7) - (bx² - 2x + 9y - 1) 的值与字母 x 的取值无关，则 a + b 的值为（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 24．已知 x² + x = 3，则 (2x² + 3x - 1) - (x - 5) 的值为（　　） A．10 B．7 C．8 D．13 25．若 (2x² - 3x + 5) - (x² + kx - 1) 的结果中不含 x 的一次项，则 k = ______。 26．已知 a + b = 7，ab = 10，则 (5ab + 4a + 7b) + (6a - 3ab) - (4ab - 3b) 的值为______。 28．已知 A = x² - 3xy + 2y，B = 2x² + xy - y，若 2A - B 的值与 y 的取值无关，求 x 的值。 29．某商场购进一批商品，每件进价为 a 元，标价比进价高 40%，后来按标价的八折出售。（1）用含 a 的整式表示每件的售价；（2）每件商品是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？（3）当 a = 150 时，每件盈利或亏损多少元？ C组　拓展探究 30．有一组整式按规律排列：第 1 个是 x + 1，第 2 个是 2x + 3，第 3 个是 3x + 5，……（1）写出第 n 个整式；（2）求前三个整式的和；（3）求第 (n + 1) 个整式与第 n 个整式的差。 31．试说明：任意三个连续偶数的和一定是 6 的倍数。（提示：可设中间的偶数为 2n，n 为整数） 六、参考答案及解析 课前预习 1．去括号，合并同类项　2．4a + b，2a + 3b　3．括号　4．-2x² A组 1．B　【解析】原式 = a + b - a + b = 2b。 2．A　【解析】x² - 3x + 2 + x² + 3x - 2 = 2x²。 3．C　【解析】(3x - 2) - (x² - 2x + 1) = 3x - 2 - x² + 2x - 1 = -x² + 5x - 3。 4．B　【解析】A - B = (3x² - 5x + 2) - (3x² - 5x + 6) = -4 < 0，所以 A < B。 5．A　【解析】另一边长为 (2a + b) + (a - b) = 3a，周长为 2(2a + b + 3a) = 10a + 2b。 6．B　【解析】所求多项式为 (5x² - 3x - 5) + (-3x) = 5x² - 6x - 5。 7．A　【解析】原式 = (m - n)² - 2(m - n) = 1 + 2 = 3。 8．A　【解析】原式 = -2a + 2b + 3a + 3b = a + 5b。 9．4a² - 7ab　【解析】(3a² - 2ab) - (-a² + 5ab) = 3a² - 2ab + a² - 5ab = 4a² - 7ab。 10．5x² + x - 1　【解析】(2x² + x) + (3x² - 1) = 5x² + x - 1。 11．-7x + 1　【解析】2(x² - 2x) - (2x² + 3x - 1) = 2x² - 4x - 2x² - 3x + 1 = -7x + 1。 12．5，a³b²　【解析】m = 3，n = 2；-2a³b² + 3a³b² = a³b²。 13．x² + 1，5　【解析】原式 = 3x² - 2x + 1 - 2x² + 2x = x² + 1，当 x = -2 时，值为 5。 14．6a　【解析】(2a - 1) + (a + 3) + (3a - 2) = 6a。 15．(8a - 6)　【解析】5a + 3(a - 2) = 8a - 6。 16．6m + 8n　【解析】利用平移，阶梯形的周长等于长为 (2m + n)、宽为 (m + 3n) 的长方形的周长，即 2[(2m + n) + (m + 3n)] = 6m + 8n。 17．（1）原式 = 2x² - 3x + 1 - x² + 5x - 4 = x² + 2x - 3； （2）原式 = 4a²b - 3ab² - a²b + 2ab² - 1 = 3a²b - ab² - 1； （3）原式 = 6x - 3y - 8x - y + 2026 = -2x - 4y + 2026； （4）原式 = 2x² - 2xy - 2x² + 6xy = 4xy。 18．解：原式 = 5a² - 3b² + a² - b² - 5a² - 2b² = a² - 6b²。 当 a = -1，b = 1 时，原式 = 1 - 6 = -5。 19．解：（1）A + B = (x² - 2xy + y²) + (x² + 2xy + y²) = 2x² + 2y²； （2）B - A = (x² + 2xy + y²) - (x² - 2xy + y²) = 4xy，所以 (B - A) = 2xy； （3）当 x = -1，y = 2 时，A + B = 2×(-1)² + 2×2² = 2 + 8 = 10。 20．解：（1）由题意得 A + 2B = 5x² - 2x + 3， 所以 A = (5x² - 2x + 3) - 2(x² + x - 2) = 5x² - 2x + 3 - 2x² - 2x + 4 = 3x² - 4x + 7； （2）A - 2B = (3x² - 4x + 7) - 2(x² + x - 2) = 3x² - 4x + 7 - 2x² - 2x + 4 = x² - 6x + 11。 21．解：（1）文艺书 (2a + 30) 本，故事书 (2a + 30) - (a - 20) = (a + 50) 本， 总数为 a + (2a + 30) + (a + 50) = (4a + 80) 本； （2）当 a = 200 时，4×200 + 80 = 880（本）。 B组 22．A　【解析】M - N = x² + 1 > 0，所以 M > N。 23．A　【解析】原式 = (1 - b)x² + (a + 2)x - 11y + 8，由题意得 1 - b = 0，a + 2 = 0，b = 1，a = -2，a + b = -1。 24．A　【解析】原式 = 2x² + 3x - 1 - x + 5 = 2x² + 2x + 4 = 2(x² + x) + 4 = 2×3 + 4 = 10。 25．-3　【解析】原式 = x² + (-3 - k)x + 6，令 -3 - k = 0，得 k = -3。 26．50　【解析】原式 = 5ab + 4a + 7b + 6a - 3ab - 4ab + 3b = -2ab + 10a + 10b = -2ab + 10(a + b) = -20 + 70 = 50。 27．解：（1）方框中的四个数分别为 x，x + 1，x + 7，x + 8，它们的和为 x + (x + 1) + (x + 7) + (x + 8) = 4x + 16； （2）相等。因为 x + (x + 8) = 2x + 8，(x + 1) + (x + 7) = 2x + 8，所以两条对角线上的两数之和相等。 28．解：2A - B = 2(x² - 3xy + 2y) - (2x² + xy - y) = 2x² - 6xy + 4y - 2x² - xy + y = -7xy + 5y = (-7x + 5)y。 因为 2A - B 的值与 y 的取值无关，所以 -7x + 5 = 0，x = 。 29．解：（1）售价为 a(1 + 40%)×0.8 = 1.12a（元）； （2）1.12a - a = 0.12a > 0，所以每件盈利 0.12a 元； （3）当 a = 150 时，0.12×150 = 18（元），即每件盈利 18 元。 C组 30．解：（1）第 n 个整式为 nx + (2n - 1)； （2）(x + 1) + (2x + 3) + (3x + 5) = 6x + 9； （3）第 (n + 1) 个整式为 (n + 1)x + (2n + 1)， [(n + 1)x + (2n + 1)] - [nx + (2n - 1)] = nx + x + 2n + 1 - nx - 2n + 1 = x + 2。 31．解：设三个连续偶数分别为 2n - 2，2n，2n + 2（n 为整数）， 它们的和为 (2n - 2) + 2n + (2n + 2) = 6n。 因为 n 为整数，所以 6n 是 6 的倍数，即任意三个连续偶数的和一定是 6 的倍数。 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $