2.5.2 圆与圆的位置关系(创新拔高)课时练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.5.2 圆与圆的位置关系 1.若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为( ) A. B. C.1 D.4 2.若圆与圆相交于A，B两点，则的最大值为( ) A. B. C. D. 3.已知圆被x轴截得的弦长为，圆，则两圆的公共弦所在的直线方程为( ) A. B. C. D. 4.已知圆与x轴交于A，B两点，点C的坐标为，圆过A，B，C三点，当实数t变化时，存在一条定直线l被圆截得的弦长为定值，则此定直线l的方程为( ) A. B. C. D. 5.在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线CM，把“曲线三角形”分成两小块，且这两小块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积的比值为( ) A. B. C. D. 6.已知正方形ABCD，且点P满足，则实数k的可能取值为( ) A.1或2 B.2或3 C.3或4 D.1或3 7.（多选）已知直角坐标系中，，满足的点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( ) A.C上的点到直线的最小距离为 B.若点在C上，则的最小值是 C.若点在C上，则的最小值是 D.若圆与C有且只有两条公切线，则a的取值范围是 8.（多选）已知圆：，圆：（，且a，b不同时为0）交于不同的两点，，下列结论正确的是( ) A.， B.直线AB的方程为 C.若点是圆内异于圆心的一点，以P为中点的弦所在的直线为，直线，则且与圆相离 D.M，N为圆上的两动点，且，则的最大值为 9.已知，直线，M为直线l上的动点，过点M作的切线MA，MB，切点分别为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为____________. 10.已知圆，圆，若直线l与圆M和圆N都相切，则直线l的方程为___________. 11.著名数学家笛卡尔曾经给出一个四圆相切的定理：半径分别为，，的三个圆两两外切，同时又都与半径为的圆外切，则.已知，，，若圆，，两两外切，且都与圆外切，其中圆，的半径相等，则圆的标准方程为__________. 12.在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到l的“切比雪夫距离”，记作. （1）已知点和点，直线，求和. （2）已知圆C：和圆. ①若两圆心的“切比雪夫距离”，判断圆C和圆E的位置关系； ②若，圆E与x轴交于M，N两点，其中点M在圆C外，且，过点M任作一条斜率不为0的直线与圆C交于A，B两点，记直线AN为，直线BN为，证明：. 答案以及解析 1.答案：C 解析：圆的标准方程为，圆心，半径.圆的标准方程为，圆心，半径.因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切.所以，即.所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为1.故选C. 2.答案：D 解析：方程可化为，故圆N的圆心为，半径为. 连接，由题意可知为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为1，所以且，故.因为圆M的圆心在圆上，所以当时，.在中，，又，在上单调递减，故为锐角，且当时，最大，取最大值，最大值为. 故选D. 3.答案：C 解析：根据题意，可知圆，即，圆心为，半径，令，则，设圆与x轴交点的横坐标分别为，，则，，所以，所以，故，故圆，又因为圆，设为两圆的公共弦所在的直线，则由作差变形可得，即直线的方程为.故选C. 4.答案：C 解析：圆方程为，令，得.设圆的方程为，令，得.由题意，圆与圆都经过A，B两点，所以方程与等价，所以，，所以圆的方程为.因为点在圆上，所以，所以，所以圆，整理得，所以圆经过直线与圆的交点，所以当实数t变化时，存在一条定直线被圆截得的弦长为定值. 5.答案：B 解析：设，，则，，以C为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，.设圆心，，，由半圆与圆外切及勾股定理得，解得，所以.由半圆O与圆内切，得，解得.设阴影部分的面积为，最大半圆的面积为，则，由题知圆与圆面积相等，所以，所以. 6.答案：B 解析：设点，以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设正方形边长为1，则，，， 又，所以，，则，整理得， 此时点P在以为圆心，半径为的圆上. 又，所以， 当时，此时点P在线段AC的垂直平分线上， 代入中，得， ，方程无解，所以不符合题意. 当时，整理得， 此时点P在以为圆心，半径为的圆上. 要使这样的点P存在，则圆与圆要有交点. 当时，，， 此时，故符合题意； 当时，，， 此时，故符合题意； 当时，，， 此时，，圆与圆内含，故不符合题意. 综上，或符合题意.故选B. 7.答案：ABD 解析：设，，，且，，化简得，，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆.对于A，到直线的距离，上的点到直线的最小距离为，故A正确；对于B，令，即，到直线的距离，由题意得，即，解得，的最小值是，故B正确；对于C，令，即，到直线的距离，由题意得，即，解得，的最小值是，故C错误；对于D，记圆，其圆心为，半径为2.圆与C有且只有两条公切线，两圆相交，，即，解得，故D正确.故选ABD. 8.答案：BCD 解析：对于A，因为两圆半径相等，所以AB的中点恰为的中点，所以，，故A错误；对于B，将圆与圆的方程相减可得公共弦AB所在的直线的方程为，故B正确；对于C，由题意，以点P为中点的弦所在直线，，所以，则直线为，所以.又因为点到直线的距离为，点在圆内，则，所以圆心到直线的距离，则直线与圆心相离，故C正确；对于D，如图，设MN的中点为H，则，由，可得，即点H在以点为圆心，为半径的圆上，所以，所以的最大值为，故D正确.故选BCD. 9.答案： 解析：的标准方程为，则圆心，半径.连接CM，则四边形MACB的面积，要使四边形MACB的面积最小，则需最小，此时CM与直线l垂直.易得直线CM的方程为，即，联立，得得，则，则以CM为直径的圆的方程为，与的方程作差，可得直线AB的方程为. 10.答案： 解析：解法1：由题意，，，，，所以两圆内切，所以两圆有且仅有1条公切线，如图中的l，显然l的斜率存在，设其方程为，即，所以，从而，故或，整理得：或，若，代入①解得：，所以，故公切线l的方程为，即；若，代入①整理得：，无解；综上所述，直线l的方程为. 解法2：直线的斜率，所以公切线l的斜率为，直线的方程为，即，联立解得：或，由图可知，所以直线的方程为，整理得：. 11.答案： 解析：设圆，，，的半径分别为，，，，由题意可得解得又因为，即，解得.由，可知点在线段的垂直平分线上，即y轴上，设，则由题意可得解得，即圆的圆心，半径，所以圆的标准方程为 12.答案：（1）， （2）①圆C与圆E相切 ②证明见解析 解析：（1）. 设l上任意一点为，则. 当时，；当时，， 所以的最小值为2，故. （2）①由题可知圆C的标准方程为， 所以圆心为，半径. 由圆E的方程知圆心为，半径. . 当，即时，由，解得，所以. 此时，所以圆C与圆E相切（答“内切”也对）. 当，即时，由，解得，所以. 此时，所以圆C与圆E相切. ②证明：因为M，N都在x轴上，所以， 所以，得或（舍去）. 此时圆，令，解得或， 因为点M在圆C外，所以，. 由题意设直线AB的方程为，，. 由可得， 当，即时，有，， . 因为， 所以， 所以直线与关于x轴对称，即关于直线MN对称. 由对称性知. 学科网（北京）股份有限公司 $