2.3.1 两条直线的交点坐标+2.3.2 两点间的距离公式(创新拔高)课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式 1.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是( ) A. B.4 C. D. 2.设点在直线上，若，且恒成立，则( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.已知直线分别与x，y轴交于点A，B，若直线上存在一点C，使最小，则点C的坐标为( ) A. B. C. D. 4.数学家欧拉发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为( ) A. B. C. D. 5.已知点，与直线，若在直线l上存在点P，使得，则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.已知的一条内角平分线的方程为，两个顶点为、，则顶点C的坐标为( ) A. B. C. D. 7.（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是.军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则( ) A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B.将军在河边饮马的地点的坐标为 C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D.“将军饮马”走过的总路程为 8.（多选）已知点，，且点P在直线上，则( ) A．存在点P，使得 B．存在点P，使得 C．的最小值为 D．的最大值为3 9.已知，，则的最小值是__________. 10.已知直线，则直线关于直线l的对称直线的方程为___________. 11.已知实数x，y满足，则的最大值是______. 12.已知直线和点，. （1）在直线l上求一点P，使的值最小； （2）在直线l上求一点M，使的值最大. 答案以及解析 1.答案：C 解析： ，表示动点到定点和的距离之和，因为点在直线上运动，如图，作关于直线的对称点，则，故，当且仅当A，P，三点共线时取等号，故的最小值为，故选C. 2.答案：C 解析：由题意得，当时，，所以直线过定点.当时，，所以直线过定点.因为恒成立，所以.又，所以，.因为，所以，的斜率均为，所以直线的方程为，即；直线的方程为，即，所以. 3.答案：D 解析：令得，令得，所以，，如图，点A，B在直线的同侧.设关于直线的对称点为，则解得即，所以.若最小，即最小，则当C，，A三点共线时最小，此时，故直线的方程为.由得即.故选D. 4.答案：A 解析：设，由重心坐标公式，得的重心坐标为，代入欧拉线的方程得，整理得①.AB的中点坐标为，，所以AB的垂直平分线的方程为，即.由解得所以的外心坐标为，则②.由①②，得，或，.当，时，B，C重合，舍去，所以顶点C的坐标是.故选A. 5.答案：A 解析：对于直线，即，所以在直线l上.设，其中，将两边平方，得，即，整理得，由于，所以，其中.根据二次函数的性质可知，当，即时，取得最大值，为，则，解得. 6.答案：B 解析：设点A关于直线的对称点为，线段的中点为，则点E在直线上，所以，，即，① 因为直线与直线垂直，直线的斜率为，则，② 联立①②可得，，即点，，所以，直线的方程为， 由题意可知，点C为直线、的交点，联立，解得，因此，点C的坐标为. 7.答案：BD 解析：由题可知A，B在的同侧，设点B关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为M，则M即为与的交点，联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确.故选：BD. 8.答案：BCD 解析：对于A，设，当时，，PM的斜率不存在，，PM与PN不垂直，同理，当时，， 易知PM与PN不垂直，当且时，，，若，则，整理，得，则，方程无解，故PM与PN不垂直，故A错误； 对于B，设，若，则，即，则，方程有解，则存在点P，使得，故B正确； 对于C，如图①，设关于直线l的对称点为， 则解得即， 所以，当且仅当，P，N三点共线时取等号，故C正确； 对于D，如图②， ，当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点处时取等号，故D正确. 故选BCD. 9.答案： 解析：设，，，，，因为，，则点在矩形OABC内部，如图所示， 可得 ，当且仅当P为OB，AC的交点时，等号成立.故答案为. 10.答案： 解析：解法一：在直线m上取一点，不妨取，则关于直线l的对称点必在上.设，则解得即.设m与l的交点为N，则由得即.又经过点，所以由两点式得直线的方程为，即. 解法二：直线关于直线对称的直线方程为，即，所以直线的方程为. 11.答案： 解析：表示直线上的点到点与的距离之差.设点关于直线的对称点为，则解得即.如图，，当且仅当三点共线时取等号，所以的最大值为. 12.答案：（1） （2） 解析：（1）设点A关于直线的对称点为， 则解得. 如图，连接，，为直线l上一点，点A，B在直线l的同侧， ， 当且仅当B，P，三点共线时等号成立， 此时取得最小值，点P即直线与直线l的交点， 又，直线的方程为， 联立，得解得 . （2）结合题知，点A，B在直线l的同侧，M是直线l上一点，连接AB， 则，当且仅当A，B，M三点共线时等号成立， 此时取得最大值， 点M即直线AB与直线l的交点. 又，，直线AB的方程为，即， 联立，得得. 学科网（北京）股份有限公司 $