精品解析：福建福州市福清西山学校2024-2025学年第二学期九年级3月份适应性练习数学（试题）

福清西山学校2024-2025学年第二学期九年级3月适应性练习 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 5202 【答案】A 【解析】 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是． 2. 国家统计局发布数据显示，2024年我国出生人口约9540000人，数据“9540000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项：，计算错误，不符合题意； B选项：，计算错误，不符合题意； C选项：，计算错误，不符合题意； D选项：，计算正确，符合题意． 4. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞﹣2 B. x＜﹣2 C. x=﹣2 D. x≠﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案． 【详解】∵代数式在实数范围内有意义， ∴x+2≠0， 解得：x≠﹣2， 故选D． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0时分式有意义是解题的关键． 5. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】需同时满足二次根式被开方数非负、分母不为0，列不等式求解； 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴被开方数，且分母， ∴， 解得． 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：x ⩽ 2， 解不等式②得：x>−3， ∴不等式组的解集为：−3<x⩽2， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 7. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，列出方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为，根据题意得： ． 8. 如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（ ） A. 线段上，更靠近点A B. 线段上，更靠近点B C. 线段上，更靠近点B D. 线段上，更靠近点C 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，由B是的中点，若假设B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾，而b的绝对值最小，所以B靠近原点，从而即可得解． 【详解】解：∵B是的中点， ∴若B是原点，则a、c的绝对值相等，与题干矛盾， ∴B不是原点， ∵而b的绝对值最小， ∴B是靠近原点， ∵c的绝对值最大， ∴C离原点最远， ∴原点在线段上，更靠近点B， 故选：B． 9. 我们把称做二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二阶行列式的运算法则得，最后解出． 【详解】解：由题意得， ， ， ． 10. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　） A. y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B. y1＝和y2＝x+1 C. y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D. y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，令y1+y2＝1，若方程有解，则称函数y1和y2是“和谐函数”，若无解，则称函数y1和y2不是“和谐函数”． 【详解】A、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x+1＝1， 整理得：x2+x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故A不符合题意； B、令y1+y2＝1， 则+x+1＝1， 整理得：x2+1＝0， 此方程无解， ∴函数y1和y2不是“和谐函数”，故B符合题意； C、令y1+y2＝1， 则﹣﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+2x+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故C不符合题意； D、令y1+y2＝1， 则x2+2x﹣x﹣1＝1， 整理得：x2+x﹣2＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣2， ∴函数y1和y2是“和谐函数”，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、分式方程，根据题意令y1+y2＝1，然后进行求解是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．该题直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若是方程的一个根，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 13. 抛物线 的顶点坐标是________． 【答案】（0，-1） 【解析】 【详解】解：∵a=2，b=0，c=-1， ∴， ， ∴抛物线的顶点坐标是(0，-1)， 故答案为（0，-1）． 14. 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能够通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．依据上面的方法，化简的结果是_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】将根号内的式子变形整理为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解： ． 15. 八进制数换算成十进制数是，则十进制数2025换算成八进制为_________．（八进制逢八进一） 【答案】 【解析】 【分析】将十进制数转换为八进制数，使用除8取余法，不断用8除十进制数取余数，直到商为0，再将所得余数逆序排列即可． 【详解】解：∵，，，， ∴将所得余数逆序排列，得到八进制数为， 验证：，结果正确， 因此十进制数换算为八进制是． 16. 家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻R（单位：）随温度T（单位：在一定范围内变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．家用电灭蚊器在使用过程中，若发热材料的电阻不超过，则T的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象特征，分和两段求出与的函数关系式，再分别令，求出的值，根据函数图象求解的取值范围，最后合并结果． 【详解】解：当时，设与的函数关系式为 ， ∵图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，， 当时， ∵温度每上升，电阻增加， ∴； 若发热材料的电阻不超过，即， 当时，令，解得， ∴根据图象可得； 当时，令，解得， ∴根据图象可得， 综上所述，的取值范围是． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法化简，最后代入计算结果； 【详解】解： 原式 ， 当时，原式． 19. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先统一分母，化分式方程为整式方程求解，再检验得到结果； 【详解】解：整理原方程得， 方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 解得， 经检验，当时，， 因此是原分式方程的解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过第一、二、四象限，点A（0，m）在l上． （1）在图中标出点A； （2）若m=2，且l过点（﹣3，4），求直线l的表达式． 【答案】（1）如图所示见解析；（2）y=﹣x+2． 【解析】 【分析】（1）利用y轴上点的坐标性质得出A点位置； （2）利用待定系数法求出直线l的表达式即可． 【详解】（1）如图所示： （2）设直线l的表达式为：y=kx+b， 把（0，2），（﹣3，4）分别 代入表达式得： ， 解得：， 故直线l的表达式为：y=﹣x+2． 【点睛】考查了待定系数法求一次函数解析式，正确代入已知点是解题关键． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． （2）若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 【答案】（1）证明：一元二次方程为， 其判别式 ∵ ， ∴ ，即， ∴ 无论取何实数，此方程总有两个不等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式，化简成，利用平方具有非负性，得到，从而，此方程总有两个不等的实数根． （2）根据韦达定理，，整体代入，得到关于k的一元一次方程，解出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由韦达定理知：，， ∴， ∴． 22. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 【答案】（1）A每件进价120元，B每件进价150元； （2）A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【解析】 【分析】（1）根据“购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元”可以列出相应的方程组，从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元； （2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题． 【小问1详解】 设A每件进价x元，B每件进价y元， 由题意得， 解得：， 答：A每件进价120元，B每件进价150元； 【小问2详解】 设A农产品进a件，B农产品（40-a）件，由题意得， 解得， 设利润为y元，则， ∵y随a的增大而减小， ∴当a=20时，y最大， 最大值y=2000-10×20=1800， 答：A农产品进20件，B农产品进20件，最大利润是1800元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】（1）23.20 m； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． 【小问2详解】 设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 24. 在中，，的平分线交于点D，将绕点B顺时针旋转到与在的同一侧，且，过点E作于点F． （1）如图1，若，求的度数； （2）求证：A，D，E三点在同一直线上； （3）如图2，若，，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图1，连接，过点B作于点H，则， 由旋转得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴A，D，E三点在同一直线上． （3）10 【解析】 【分析】（1）由，可得，由平分，可得，由，可得，根据，计算求解即可； （2）如图1，连接，过点B作于点H，则，由旋转得，，由，，可得，由平分，可得，则，由，，可得，进而可证A，D，E三点在同一直线上； （3）如图2，过点D作于G，由角平分线的性质定理可得，由，可得，证明，则，在中，由勾股定理得，则，，在中，由勾股定理得，证明，则，即，解得，，在中，由勾股定理得，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2，过点D作于G， ∵，即，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的长为10． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 25. 解决问题 （1）问题提出：如图1，在中，的平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别为E、F，则图1中与线段相等的线段有__________． （2）问题探究：如图2，是半圆的直径，是弧上一点，且弧为弧的两倍，连接的平分线交于点C，过点C分别作，垂足分别为，求线段的长． （3）问题解决：如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知的直径，点C在上，且为上一点，连接并延长，交于点D，连接，过点P分别作，垂足分别为E、F，按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设的长为，阴影部分的面积为． ①求y与x之间的函数关系式． ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理，试求当时，室内活动区（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明四边形是正方形，即可得出结果； （2）连接，由是半圆的直径，，得出，则，同（1）得四边形是正方形，得，在中，，在中，，推出，即可得出结果； （3）①同（1）得四边形是正方形，得出，过点作交于点，证明，证，得出，在 中，，由，即可得出结果； ②当时，，在中，由勾股定理得，由，求，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∵平分， ， ∴四边形是正方形， ； 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： ∵是半圆的直径，， ， ， 同（1）得：四边形是正方形， ， 在中，， 在中，， ， ， 即：， 解得：； 【小问3详解】 解：①∵为的直径， ， ， ， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵， ， ∴四边形是正方形， ， ∴， 过点作交于点，如图3所示： 则， ∴， ， ∵， ∴， ∴，，， ， 在中，， ， ； ②当时，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 解得：， ， ∴当时．室内活动区（四边形）的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清西山学校2024-2025学年第二学期九年级3月适应性练习 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 5202 2. 国家统计局发布数据显示，2024年我国出生人口约9540000人，数据“9540000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A. x＞﹣2 B. x＜﹣2 C. x=﹣2 D. x≠﹣2 5. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”题意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，它们表示的数分别为a，b，c．若B是的中点，b的绝对值最小，c的绝对值最大，则原点的位置在（ ） A. 线段上，更靠近点A B. 线段上，更靠近点B C. 线段上，更靠近点B D. 线段上，更靠近点C 9. 我们把称做二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知y1和y2均是以x为自变量的函数，当x＝n时，函数值分别是N1和N2，若存在实数n，使得N1+N2＝1，则称函数y1和y2是“和谐函数”．则下列函数y1和y2不是“和谐函数”的是（　　） A. y1＝x2+2x和y2＝﹣x+1 B. y1＝和y2＝x+1 C. y1＝﹣和y2＝﹣x﹣1 D. y1＝x2+2x和y2＝﹣x﹣1 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 分解因式：____________． 12. 若是方程的一个根，则的值为_________． 13. 抛物线 的顶点坐标是________． 14. 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能够通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：．依据上面的方法，化简的结果是_________． 15. 八进制数换算成十进制数是，则十进制数2025换算成八进制为_________．（八进制逢八进一） 16. 家用电灭蚊器的发热部分使用了发热材料，它的电阻R（单位：）随温度T（单位：在一定范围内变化的大致图象如图所示．通电后，发热材料的温度在由室温上升到的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．家用电灭蚊器在使用过程中，若发热材料的电阻不超过，则T的取值范围是_________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解分式方程：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线l经过第一、二、四象限，点A（0，m）在l上． （1）在图中标出点A； （2）若m=2，且l过点（﹣3，4），求直线l的表达式． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何实数，此方程总有两个不等的实数根． （2）若，为方程的两个实数根，且满足，求实数k的值． 22. 某经销商计划购进，两种农产品．已知购进种农产品2件，种农产品3件，共需690元；购进种农产品1件，种农产品4件，共需720元． （1），两种农产品每件的价格分别是多少元？ （2）该经销商计划用不超过5400元购进，两种农产品共40件，且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元，种每件200元的价格全部售出，那么购进，两种农产品各多少件时获利最多？ 23. 单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． （1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； （2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 24. 在中，，的平分线交于点D，将绕点B顺时针旋转到与在的同一侧，且，过点E作于点F． （1）如图1，若，求的度数； （2）求证：A，D，E三点在同一直线上； （3）如图2，若，，求的长． 25. 解决问题 （1）问题提出：如图1，在中，的平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别为E、F，则图1中与线段相等的线段有__________． （2）问题探究：如图2，是半圆的直径，是弧上一点，且弧为弧的两倍，连接的平分线交于点C，过点C分别作，垂足分别为，求线段的长． （3）问题解决：如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知的直径，点C在上，且为上一点，连接并延长，交于点D，连接，过点P分别作，垂足分别为E、F，按设计要求，四边形内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区，设的长为，阴影部分的面积为． ①求y与x之间的函数关系式． ②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当的长度为时，整体布局比较合理，试求当时，室内活动区（四边形）的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $