精品解析：福建福清西山学校2025-2026学年第一学期九年级12月份数学适应性练习

福清西山学校2025－2026学年第一学期九年级12月份适应性练习 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B. 正月十五的晚上一定能看到圆月 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 3. 已知的半径为3，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 若二次函数配方后为，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. ﹣6 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点C在弧上，点D在半径上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在函数的图象上有三点、、，且，则下列各式中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 10. 若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（ ） A. k≤0 B. k≤－1 C. k≥－1 D. k为任意实数 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________． 12. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 13. 如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 14. 如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AH⊥y轴于H，点P是x轴上的一个动点，连结PA、PH，则△APH的面积为_____． 15. 如图，在边长为的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，在旋转过程中，DG的最大值是________ 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 18. 求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 19. 如图，，求证：． 20. 如图，4张背面完全相同的纸牌，在纸牌的正面分别写有四个数字，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张． 求两次摸到的数字的和为偶数的概率． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）请直接写出不等式的解集； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 22. 如图，P为外一点，M为中点． （1）过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求证：点M在上． 23. 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． （1）求的度数； （2）探究线段、、之间的数量关系，并证明． （3）如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 24. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 25. 已知抛物线（都是常数，）与轴交于两点，对称轴为直线． （1）已知时的最大值为时的最大值为．求的值． （2）若． ①求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福清西山学校2025－2026学年第一学期九年级12月份适应性练习 数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形的定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合，则这个图形是轴对称图形，中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据概念逐一分析可得答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形的，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的概念与识别，掌握以上知识是解题的关键． 2. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 某种彩票中奖率为，买张该种彩票一定会中奖 B. 正月十五的晚上一定能看到圆月 C. 打开电视机，正在播放广告 D. 口袋中装有个红球和个白球，从中摸出个球，其中必有红球 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件的概念判断即可． 【详解】解：选项：买张中奖率为的彩票不一定中奖，为随机事件，不符合题意； 选项：正月十五晚上可能因天气等原因看不到圆月，为随机事件，不符合题意； 选项：打开电视机不一定在播放广告，为随机事件，不符合题意； 选项：口袋中装有个红球和个白球，白球仅有个，摸出个球时，最多有个白球，故必有红球，是必然事件，符合题意． 3. 已知的半径为3，，则点A在（ ） A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴点A与的位置关系是点在圆外， 故选：C． 4. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 5. 若二次函数配方后为，则的值为（ ） A. 0 B. 5 C. 6 D. ﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】可将y=(x-3)2-4的右边运用完全平方公式展开，再与y=x2+bx+5比较，即可得出b的值． 【详解】解：∵y=(x-3)2-4=x2-6x+9-4=x2-6x+5， 又∵y=x2+bx+5， ∴b=-6． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等． 6. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得到抛物线平移后的表达式． 【详解】解：根据题意可得，抛物线平移后的解析式为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的平移，熟练掌握函数图象的平移法则：左加右减，上加下减是解题的关键． 7. 正方形内接于，若的半径为，则该正方形边心距的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先连接圆心与正方形相邻顶点，得到等腰直角三角形，利用圆半径和勾股定理求出正方形边长；再借助三角形面积的两种表达形式，通过等面积法，求出边心距． 【详解】解：如图，连接、，过点作于点，则为边心距， ∵正方形内接于，的半径为， ∴，， 在中， ， ∵， ∴ 解得． 8. 如图，点C在弧上，点D在半径上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在优弧上取点，连接，由圆周角定理得到，再由圆内接四边形得到，，再判断各选项即可． 【详解】解：在优弧上取点，连接， ∴ ∵ ∴，故B正确，C错误 由题意得，， ∴，故A错误； ∵， ∴，故D错误． 9. 在函数的图象上有三点、、，且，则下列各式中，正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数图象的增减性进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于二、四象限，时，时， ∵， ∴， ∵时，y随x的增大而增大，且， ∴， ∴即． 10. 若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（ ） A. k≤0 B. k≤－1 C. k≥－1 D. k为任意实数 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数与一次函数有交点，可将它们的解析式组成一元二次方程，然后利用根的判别式和交点所在的象限判断即可． 【详解】解：的图象与直线有公共点， 有实数根， ， ∴，， 此时k为任意值， 又， 一次函数与二次函数函数的交点在第一象限或原点，其横坐标为k+1， 即， 解得：． 故选C． 【点睛】主要考查了两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决． 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11. 在，，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数中的值，则该二次函数图象开口向上的概率是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】当a大于0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解． 【详解】解：当a大于0时，二次函数图象开口向上， ，，1，2，3中大于0的数有3个， 所以该二次函数图象开口向上的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题． 12. 一个圆锥高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理计算出这个圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：这个圆锥的底面圆的半径==3， 所以这个圆锥的侧面积=×2π×3×5=15π． 故答案为：15π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13. 如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过反比例函数图象，确定参数的取值，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质． 根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数图象位于第一、三象限． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， 因此比例系数， 解得， 故答案为：． 14. 如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，过点A作AH⊥y轴于H，点P是x轴上的一个动点，连结PA、PH，则△APH的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】连结OA，易得OP∥AH，依据平行线间距离处处相等，结合三角形面积公式得到S△OAH=S△PAH，再根据反比例函数系数的几何意义得到S△OAH=3，所以△APH的面积为3． 【详解】解：连结OA，如图， ∵PH⊥y轴， ∴OP∥AH， ∴S△PAH＝S△OAH＝×|6|＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．解题的关键在于依据平行线间距离处处相等构造两个等高三角形. 15. 如图，在边长为的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为和，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是轴对称和旋转对称性质、求其他不规则图形的面积，解题关键是由轴对称和旋转对称性质得出该不规则图形面积的求法． 由轴对称和旋转对称性质得到阴影部分面积（圆心角，半径为的扇形面积直角边长为的等腰直角三角形的面积）． 【详解】解：如图，连接，根据轴对称和旋转对称性质可知： ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中点为D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG，在旋转过程中，DG的最大值是________ 【答案】6 【解析】 【分析】解直角三角形求出AB、BC，再求出CD，连接CG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CG，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出D、C、G三点共线时DG有最大值，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】连接CG ， ∵BC的中点为D ∵△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G 由三角形的三边关系得 ∴D、C、G三点共线时，DG有最大值 故答案为：6． 【点睛】本题考查了旋转三角形的问题，掌握旋转的性质、解直角三角形、三角形的三边关系是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项提取公因式，得到两个一元一次方程，再分别求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的方法步骤是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 或， ． 18. 求证：不论k取何值，抛物线与x轴总有交点． 【答案】证明： ∵ 即： ∴不论k取何值，该抛物线与x轴总有交点 【解析】 【分析】运用与x轴有两个不同的交点，与x轴有一个交点，结合题意列式计算即可． 【详解】略． 19. 如图，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴． 【解析】 【分析】根据两角对应相等证明即可． 【详解】略 20. 如图，4张背面完全相同的纸牌，在纸牌的正面分别写有四个数字，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张． 求两次摸到的数字的和为偶数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意列出表格，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： 1 2 4 4 1 2 4 4 ∵共有12种等可能情况数，其中两次摸到的数字的和为偶数的有6种， ∴两次摸到的数字的和为偶数的概率为． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）请直接写出不等式的解集； （2）求一次函数的解析式； （3）求的面积． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）不等式的几何含义是一次函数图象在反比例函数图象上方，找到两个图象交点的横坐标可直接写出的取值范围； （2）先把点代入反比例函数求出，然后算出点坐标，再将、两点代入，解出，； （3）求出一次函数与轴交点，把拆成和，以为公共底，分别算面积再相加． 【小问1详解】 解：据图可知，当或时，直线的图象在反比例函数的图象的上方， 故不等式的解集为或． 【小问2详解】 解：把代入， 可得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 把代入， 可得， 则点的坐标为， 把，代入， 可得， 解得， 故一次函数的解析式为． 【小问3详解】 解：如图，连接、，直线与轴交于点， 对于直线， 当时，解得， 则点的坐标为，即， 故． 22. 如图，P为外一点，M为中点． （1）过点P作的一条切线，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，求证：点M在上． 【答案】（1） 如图，为所求作的的切线，其中为切点． （2） （1）得，与相切于点． 连接， ， ． 设，则． 是的中点， ，， 在中，， 即的半径， ， 点在上． 【解析】 【分析】（1）以点M为圆心，的长为半径画弧交于点Q，连接，则即为所求； （2）连接，设，则，可得，，在中，由勾股定理可得，从而得到的半径，即可求解． 【小问1详解】 解：理由：如图，连接， 由作法得：， ∵M为中点， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵为的半径， ∴与相切； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，点与圆的位置关系，勾股定理，尺规作图等知识，熟练掌握切线的判定和性质，点与圆的位置关系是解题的关键． 23. 如图1，为的直径，．点D是上一动点（不与A、C重合），连接，，． （1）求的度数； （2）探究线段、、之间的数量关系，并证明． （3）如图2，若与相交于点E，过点E分别作于点F，于点G，求与面积之和的最大值． 【答案】（1） （2）解：，证明如下： 延长至点M，使得，连接， ，， ， 在和中 ∴， ， ， 在中，， ， ． （3）4 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角得出，根据等腰三角形的性质求出，最后根据圆周角定理得出答案即可； （2）延长至点M，使得，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出答案； （3）过点作交点N，证明四边形为正方形．得出，证明，得出，设 ，则，求出 ，根据二次函数性质得出答案即可． 【小问1详解】 解：为直径， ， ∵， ， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作交点N， 如图所示： 为直径， ． ， ， ， 平分 ． 又 ， ， 四边形为正方形． ， ， ， ， ． 在和中， ∴， ， 设 ，则， ， 当，取得最大值，最大值为4， 即最大值为4 ． 24. 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 任务2 证明矩形是黄金矩形． 任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证． 【答案】任务1：矩形， 任务2：设， 由第一步折叠知：  ， 由第二步折叠知：  ． 在中， ， 由第三步折叠知：  ．  ，  ． 矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形． 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得 设， 四边形，为正方形，  ，， ， ，． 设反比例函数关系式为，把代入，  ． 即点落在的函数图象上． 当时，．  点也落在的函数图象上．  点是在同一个反比例函数图象上． 若为宽，如图，则， 设， 四边形，为正方形， ，，  ． ，． 同理可得：点不在同一个反比例函数图象上． 【解析】 【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案； 任务2：先证明，证明即可得到答案； 任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论． 【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图， 设， 由第一步折叠知： ， 由第二步折叠知： ． 在中， ， 由第三步折叠知： ． ， ∴， ∴矩形为黄金矩形； 任务2： 略 任务3： 略 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 25. 已知抛物线（都是常数，）与轴交于两点，对称轴为直线． （1）已知时的最大值为时的最大值为．求的值． （2）若． ①求抛物线的顶点坐标（用含的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①抛物线的顶点坐标为；②． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与不等式的关系等． （1）根据题意抛物线的对称轴是直线，且开口向下，得到进而求解即可； （2）①由抛物线的对称轴是直线，求得，由求得，据此求得，求得抛物线的顶点坐标为； ②由题意求得抛物线经过和，顶点坐标为，与轴的交点，根据题意列得不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵时，的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴，，； 【小问2详解】 解：①∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②不妨设点在点的左侧， ∵， ∴当时，， ∴抛物线与轴交点坐标为， ∵抛物线的对称轴直线， ∴点坐标为，点坐标为， ∴在区域中的整点的横坐标只能为0，1，2， ∴根据抛物线的对称性，只考虑顶点和抛物线与轴的交点是否在区域内， 如图，由于区域内6个整点分别为，，，，，， ∴，且， 解得，且， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $