第一章 三角形 单元小测 2026-2027学年浙教版数学 八年级上册

浙教版八年级上册　第1章《三角形》单元小测 （含知识点梳理、单元测试卷、参考答案与解析） （满分120分　考试时间90分钟） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 第一部分　知识点梳理 知识点1　三角形的有关概念与分类 1．由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。三角形ABC记作“△ABC”，它有三条边、三个内角和三个顶点。 2．三角形的分类： 分类标准 类别 说明 按角分 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 看最大的内角：小于90°、等于90°、大于90° 按边分 不等边三角形、等腰三角形 等边三角形是特殊的等腰三角形 知识点2　三角形的三边关系 1．三角形任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。 2．判断三条线段a、b、c能否组成三角形：只需看“较短的两条线段之和是否大于最长的线段”。 3．已知两边长a、b（a>b），则第三边c的取值范围是：a-b<c<a+b。 知识点3　三角形的内角和与外角 1．三角形的内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 2．直角三角形的两个锐角互余。 3．三角形的一个内角的邻补角叫做三角形的外角。 4．三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 易错提醒：“三角形的外角大于任何一个内角”是错误的，必须强调“与它不相邻”的内角。例如钝角三角形中钝角的邻补角（外角）是锐角，它比这个钝角小。 知识点4　三角形的角平分线、中线和高线 名称 定义 主要性质 角平分线 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点和交点之间的线段 三条角平分线交于三角形内部一点 中线 连结三角形一个顶点与它对边中点的线段 三条中线交于三角形内部一点（重心）；中线把三角形分成面积相等的两个三角形 高线 从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 锐角三角形三条高在内部；直角三角形有两条高是直角边；钝角三角形有两条高在外部 知识点5　定义与命题 1．定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子。 2．命题：判断某一件事情的句子。命题由“条件”和“结论”两部分组成，一般可写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论。 3．正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合条件但不满足结论的例子即可，这个例子叫做反例。 4．经过证明的真命题叫做定理，定理可以作为推理的依据。 知识点6　证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫做证明。证明几何命题的一般步骤：（1）根据题意画出图形；（2）根据条件、结论，结合图形，写出“已知”“求证”；（3）经过分析，找出证明思路，写出“证明”过程。 知识点7　全等三角形及其判定 1．能够重合的两个三角形叫做全等三角形。全等三角形的对应边相等，对应角相等。书写时对应顶点的字母要写在对应的位置上。 2．全等三角形的判定方法： 判定方法 内容 简称 边边边 三边对应相等的两个三角形全等 SSS 边角边 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 角边角 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 角角边 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 易错提醒：“两边及其中一边的对角对应相等”（SSA）和“三个角对应相等”（AAA）都不能判定两个三角形全等。 知识点8　线段垂直平分线与角平分线的性质 1．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 2．角平分线上的点到角两边的距离相等。 知识点9　尺规作图 只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图。常见的基本作图有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作已知线段的垂直平分线；已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形。作图题要保留作图痕迹，并写出结论。 第二部分　单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A．1，2，3 B．2，3，6 C．4，5，8 D．3，3，7 2．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．下列命题中，属于真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．三角形的一个外角大于任何一个内角 D．同位角相等，两直线平行 4．如图，用尺规作∠AOB的平分线OC：以O为圆心、适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；再分别以M、N为圆心，大于MN的相同长度为半径画弧，两弧交于点C，作射线OC。则判定△OMC≌△ONC的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 5．如图，AB=AD，AC是公共边，添加下列一个条件后，仍不能判定△ABC≌△ADC的是（　　） A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．AC平分∠BAD 6．一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．6或8 7．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，CD平分∠ACB交AB于点D，则∠BDC的度数为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 8．能说明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题的一个反例是（　　） A．a=3，b=2 B．a=-3，b=2 C．a=3，b=-2 D．a=-2，b=-3 9．已知△ABC≌△DEF，∠A=40°，∠E=75°，则∠F的度数为（　　） A．40° B．65° C．75° D．115° 10．如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，若△ABC的面积为20，则△ABE的面积为（　　） A．10 B．5 C．4 D．2.5 二、填空题（每小题4分，共24分） 11．在△ABC中，若∠A=∠B+∠C，则∠A=________°。 12．把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式：________________________________________。 13．等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为________。 14．如图，点D在△ABC的边BC的延长线上，∠B=40°，∠ACD=110°，则∠A=________°。 15．如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。若PC=3，则PD=________。 16．如图是一个五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________°。 三、解答题（共66分） 17．（6分）在△ABC中，∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°，求△ABC各内角的度数。 18．（6分）已知线段a和∠α、∠β（如图），求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=∠β。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，写出结论） 19．（8分）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。求证：∠A=∠D。 20．（8分）如图，线段AC与BD相交于点O，OA=OC，OB=OD。求证：AB∥CD。 21．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，∠B=40°，∠C=70°，求∠DAE的度数。 22．（10分）如图，点C、D在直线AB的两侧，∠1=∠2，∠C=∠D。 （1）求证：AC=AD； （2）连结CD交AB于点E，求证：CE=DE。 23．（10分）判断命题“如果两个三角形的两条边及其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等”是真命题还是假命题。若是真命题，请结合图形写出已知、求证并加以证明；若是假命题，请举出反例。 24．（10分）【探究】如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P。 （1）若∠A=60°，求∠BPC的度数； （2）设∠A=n°，试用含n的式子表示∠BPC，并说明理由； （3）【拓展】如图②，点D、E分别在AB、AC的延长线上，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，设∠A=n°，直接写出∠BPC的度数（用含n的式子表示）。 第三部分　参考答案与解析 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C D B B B B 1．【答案】C 【解析】根据三角形三边关系，只需判断较短两边之和是否大于最长边。A：1+2=3，不大于3；B：2+3=5<6；C：4+5=9>8，能组成三角形；D：3+3=6<7。故选C。 2．【答案】B 【解析】设∠A=x°，则∠B=2x°，∠C=3x°。由x+2x+3x=180，得x=30，所以∠C=90°，△ABC是直角三角形。故选B。 3．【答案】D 【解析】A：相等的角不一定是对顶角，是假命题；B：两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，是假命题；C：三角形的外角只大于与它不相邻的内角，是假命题；D：是平行线的判定方法，是真命题。故选D。 4．【答案】D 【解析】由作图可知OM=ON，MC=NC，又OC=OC，所以△OMC≌△ONC的依据是“边边边”（SSS）。故选D。 5．【答案】C 【解析】已知AB=AD，AC=AC。A：再加CB=CD，可用SSS；B：再加∠BAC=∠DAC，可用SAS；D：AC平分∠BAD即∠BAC=∠DAC，可用SAS；C：∠BCA与∠DCA分别是AB、AD的对角，属于“SSA”，不能判定全等。故选C。 6．【答案】D 【解析】设第三边长为x，则7-3<x<7+3，即4<x<10。其中的偶数为6和8。故选D。 7．【答案】B 【解析】∠ACB=180°-50°-60°=70°。因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=×70°=35°。∠BDC是△ACD的外角，所以∠BDC=∠A+∠ACD=50°+35°=85°。故选B。 8．【答案】B 【解析】反例需满足“条件成立而结论不成立”，即a2>b2且a≤b。A：a>b，结论成立；B：a2=9>b2=4，但-3<2，符合；C：9>4，3>-2，结论成立；D：a2=4<b2=9，条件不成立。故选B。 9．【答案】B 【解析】全等三角形对应角相等，∠D=∠A=40°，∠E=75°，所以∠F=180°-40°-75°=65°。故选B。 10．【答案】B 【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分。AD是△ABC的中线，所以S△ABD=×20=10；BE是△ABD的中线，所以S△ABE=×10=5。故选B。 二、填空题 11．【答案】90 【解析】由∠A+∠B+∠C=180°且∠A=∠B+∠C，得2∠A=180°，所以∠A=90°。 12．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”。 13．【答案】22 【解析】若腰长为4，则三边为4，4，9，因为4+4=8<9，不能组成三角形，舍去；若腰长为9，则三边为9，9，4，能组成三角形，周长为9+9+4=22。 14．【答案】70 【解析】∠ACD是△ABC的外角，所以∠ACD=∠A+∠B，即110°=∠A+40°，所以∠A=70°。 15．【答案】3 【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等。点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，PD⊥OB，所以PD=PC=3。 16．【答案】180 【解析】利用外角性质把五个角“集中”到一个三角形中。设线段BE分别与AC、AD相交于点M、N（M、N仅用于说明，图中未标出）。∠AMN是△MCE的外角，所以∠AMN=∠C+∠E；∠ANM是△NBD的外角，所以∠ANM=∠B+∠D。在△AMN中，∠A+∠AMN+∠ANM=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。 三、解答题 17．【答案】∠A=50°，∠B=60°，∠C=70° 【解析】设∠A=x°，则∠B=(x+10)°，∠C=(x+20)°。 根据三角形内角和定理，得x+(x+10)+(x+20)=180， 解得x=50。 所以∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°。 18．【答案】作图如下 【解析】作法要点：①作线段BC=a；②在BC的同侧，以B为顶点作∠CBM=∠α，以C为顶点作∠BCN=∠β；③射线BM与CN相交于点A。△ABC即为所求。（依据：两角及其夹边对应相等，ASA） 19．【答案】见证明 【解析】证明：∵BE=CF， ∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF。 在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠A=∠D。 20．【答案】见证明 【解析】证明：在△AOB和△COD中， OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）， ∴∠A=∠C， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。 21．【答案】∠DAE=15° 【解析】在△ABC中，∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-70°=70°。 ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠BAC=35°。 ∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°。 ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-35°=15°。 【方法总结】此类题的一般结论：∠DAE=(∠C-∠B)，可用于检验答案。 22．【答案】见证明 【解析】（1）证明：在△ABC和△ABD中， ∠C=∠D，∠1=∠2（即∠CAB=∠DAB），AB=AB， ∴△ABC≌△ABD（AAS），∴AC=AD。 （2）证明：在△ACE和△ADE中， AC=AD（已证），∠1=∠2，AE=AE， ∴△ACE≌△ADE（SAS），∴CE=DE。 23．【答案】真命题 【解析】已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线，且AD=A′D′。 求证：△ABC≌△A′B′C′。 证明：∵AD、A′D′分别是BC、B′C′边上的中线， ∴BD=BC，B′D′=B′C′。 又∵BC=B′C′，∴BD=B′D′。 在△ABD和△A′B′D′中，AB=A′B′，BD=B′D′，AD=A′D′， ∴△ABD≌△A′B′D′（SSS），∴∠B=∠B′。 在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）。 所以该命题是真命题。 24．【答案】（1）120°；（2）∠BPC=90°+n°；（3）∠BPC=90°-n° 【解析】（1）∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°。 ∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60°， ∴∠BPC=180°-60°=120°。 （2）∠BPC=90°+n°。理由：∠ABC+∠ACB=180°-n°， ∠PBC+∠PCB=(180°-n°)=90°-n°， ∴∠BPC=180°-(90°-n°)=90°+n°。 （3）∠CBD=180°-∠ABC，∠BCE=180°-∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB=(∠CBD+∠BCE)=[360°-(∠ABC+∠ACB)]=(180°+n°)=90°+n°， ∴∠BPC=180°-(90°+n°)=90°-n°。 【评分与复习建议】 1．本卷选择题、填空题重点考查三边关系、内角和与外角、命题真假、全等判定条件；解答题重点考查全等三角形的证明书写与角度计算，并设置了命题证明与规律探究题。 2．证明全等时要注意：①找准对应顶点；②写全三个条件并按顺序排列；③注意“SSA”不能判定全等。 3．涉及等腰三角形边长的问题要分类讨论，并用三边关系检验。 4．角度计算常用“内角和定理＋外角性质＋角平分线定义”组合，复杂图形中可设未知数列方程求解。 浙教版八上 第1章 三角形 单元小测　　第 页 学科网（北京）股份有限公司 $