第6讲 二进制（奥数培优讲义）-2026-2027学年六年级上册数学（苏教版）

第6讲二进制 章考点梳理 1.什么是二进制？ 我们日常生活中使用的是十进制，特点是“逢十进一”，使用的数字符号是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。 二进制是计算机内部使用的语言，特点是“逢二进一”，只使用两个数字符号：0和1。 2.位值原理（计数单位） 在十进制中，从右往左依次是个位、十位、百位…对应的权值是10°，10,102 在二进制中，从右往左依次是： (1)第1位（最低位）：2°=1 (2)第2位：2=2 (3)第3位：2=4 (4)第4位：2=8 (5)第5位：24=16 (6)第6位：25=32 (7)…以此类推。 例如：二进制数(11012表示： 1×23+1×22+0×2+1×2°=8+4+0+1=13所以，$(1101)2=(13){10]$。 3.十进制转二进制 方法：除2取余，逆序排列。 步骤： (1)用十进制数除以2，记下余数(0或1)。 (2)用商继续除以2，再记下余数。 (3)重复直到商为0。 (4)将余数从最后一次到第一次倒着写出来，即为二进制数。 示例：将10转换为二进制 10÷2=5..0 5÷2=2..1 2÷2=1..0 1÷2=0..1 逆序排列余数：1010 所以(10)10=(10102 4.二进制转十进制 方法：按权展开求和。 将二进制数每一位上的数字乘以对应的2的幂次方，然后相加。 5.二进制加减法 (1)加法原则：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=10（即写0进1）。 (2)减法原则：0-0=0,1-0=1,1-1=0,0-1=1（需向前一位借1当2）。 明例题讲解 【典型例题1】进制转换基础 题目：将十进制数25转化为二进制数；将二进制数(101102转化为十进制数。 【跟踪训练1】 1.将十进制数18转化为二进制数。 2.将二进制数(110011)2转化为十进制数。 【典型例题2】二进制加法运算 题目：计算二进制加法：(10112+(1101)2=？ 【跟踪训练2】 计算：（111)2+(101)2=？ 【典型例题3】实际应用与逻辑推理 题目：有一种特殊的开关灯游戏，房间里有5盏灯，分别编号为1到5。初始状态全灭（用0表 示)。每次操作可以选择按下某个开关，该灯状态翻转(0变1,1变0)。如果我们要让灯的状 态显示为二进制数(101012所代表的数值，请问需要点亮哪几盏灯？这个状态对应的十进制数 值是多少？ 【跟踪训练3】 小明用硬币玩游戏，正面朝上记为1，反面朝上记为0。他抛了4枚硬币，从左到右排列的结果 是“正反正反”。请问这个结果对应的二进制数是多少？转化为十进制是多少？ 培优练习 一、 基础概念与位值原理（第1-5题) 1.二进制数中只包含哪两个数字符号？ 2.在二进制计数系统中，“逢几进一”？ 3.二进制数(1012中，最左边的“1”代表的位值（权值）是多少？（请用十进制表示) 4.下列哪个数是合法的二进制数？ A.102 B.110 C.201 D.19 5.二进制数(1000)2对应的十进制数是多少？ 二、十进制转二进制（第6-10题) 6.将十进制数5转换为二进制数。 7.将十进制数12转换为二进制数。 8.将十进制数20转换为二进制数。 9.将十进制数7转换为二进制数。 10.将十进制数15转换为二进制数。 三、二进制转十进制（第11-15题） 11.将二进制数(1102转换为十进制数。 12.将二进制数(10112转换为十进制数。 13.将二进制数(100012转换为十进制数。 14.将二进制数(11111)2转换为十进制数。 15.将二进制数(101012转换为十进制数。 四、二进制加减法与应用（第16-20题) 16.计算二进制加法：（1012+(11)2 17.计算二进制加法：(111)2+(12 18.计算二进制减法：（1102-(10)2 19.逻辑应用：有4盏灯，从左到右编号为4,3,2,1。若灯的状态为“亮、灭、亮、灭”（亮为 1,灭为0)，请问这个状态对应的二进制数是多少？转化为十进制是多少？ 20.逻辑推理：一个密码锁由3位二进制开关组成。已知密码对应的十进制数是6。请问这3个 开关的状态从高到低依次是什么？（1代表开，0代表关) 第6讲 二进制 考点梳理 1. 什么是二进制？ 我们日常生活中使用的是十进制，特点是“逢十进一”，使用的数字符号是 。 二进制是计算机内部使用的语言，特点是“逢二进一”，只使用两个数字符号： 和 。 2. 位值原理（计数单位） 在十进制中，从右往左依次是个位、十位、百位……对应的权值是 在二进制中，从右往左依次是： (1) 第1位（最低位）： (2) 第2位： (3) 第3位： (4) 第4位： (5) 第5位： (6) 第6位： (7) ……以此类推。 例如：二进制数 表示： 所以，$(1101)2 = (13){10}$。 3. 十进制转二进制 方法：除2取余，逆序排列。 步骤： (1) 用十进制数除以2，记下余数（0或1）。 (2) 用商继续除以2，再记下余数。 (3) 重复直到商为0。 (4) 将余数从最后一次到第一次倒着写出来，即为二进制数。 示例：将 10 转换为二进制 逆序排列余数： 所以 4. 二进制转十进制 方法：按权展开求和。 将二进制数每一位上的数字乘以对应的 的幂次方，然后相加。 5. 二进制加减法 (1) 加法原则： , , , （即写0进1）。 (2) 减法原则： , , , （需向前一位借1当2）。 例题讲解 【典型例题1】 进制转换基础 题目：将十进制数 转化为二进制数；将二进制数 转化为十进制数。 【详解】 1. 十进制转二进制（除2取余法）： 逆序排列余数： 故 2. 二进制转十进制（按权展开法）： 故 【答案】 ； 【跟踪训练1】 1. 将十进制数 转化为二进制数。 2. 将二进制数 转化为十进制数。 【详解】 1. 。逆序得 。 2. 。 【答案】 1. ； 2. 【典型例题2】 二进制加法运算 题目：计算二进制加法： 【详解】 列竖式计算，注意“逢二进一”： 1 0 1 1 ＋1 1 0 1 个位： ，写0进1 二位： ，写0进1 四位： ，写0进1 八位： ，写1进1 高位：进位1，写1 结果为： 验证： 。正确。 【答案】 【跟踪训练2】 计算： 【详解】 1 1 1 ＋1 0 1 个位： ，写0进1 二位： ，写0进1 四位： ，写1进1 高位：1 结果： 【答案】 【典型例题3】 实际应用与逻辑推理 题目：有一种特殊的开关灯游戏，房间里有5盏灯，分别编号为1到5。初始状态全灭（用0表示）。每次操作可以选择按下某个开关，该灯状态翻转（0变1，1变0）。如果我们要让灯的状态显示为二进制数 所代表的数值，请问需要点亮哪几盏灯？这个状态对应的十进制数值是多少？ 【详解】 1. 分析二进制位： 从右往左（低位到高位）分别是： 第1位（ ）：1 -> 亮 第2位（ ）：0 -> 灭 第3位（ ）：1 -> 亮 第4位（ ）：0 -> 灭 第5位（ ）：1 -> 亮 2. 计算十进制数值： 【答案】 对应的十进制数值是 。 【跟踪训练3】 小明用硬币玩游戏，正面朝上记为1，反面朝上记为0。他抛了4枚硬币，从左到右排列的结果是“正反正反”。请问这个结果对应的二进制数是多少？转化为十进制是多少？ 【详解】 “正反正反”对应二进制： 转化十进制： 【答案】 ； 培优练习 一、 基础概念与位值原理（第1-5题） 1. 二进制数中只包含哪两个数字符号？ 【详解】根据二进制的定义，其基数为2，因此只使用0和1这两个数字符号来表示数值。 【答案】0和1 2. 在二进制计数系统中，“逢几进一”？ 【详解】十进制是逢十进一，二进制顾名思义，当某一位的数值达到2时，就需要向高位进1，当前位归0。 【答案】逢二进一 3. 二进制数 中，最左边的“1”代表的位值（权值）是多少？（请用十进制表示） 【详解】二进制从右往左依次是第1位（ ）、第2位（ ）、第3位（ ）。 中最左边的1位于第3位，其权值为 。 【答案】4 4. 下列哪个数是合法的二进制数？ A. 102 B. 110 C. 201 D. 19 【详解】二进制数只能由0和1组成。A含有2，C含有2，D含有9，均不合法。只有B完全由0和1组成。 【答案】B 5. 二进制数 对应的十进制数是多少？ 【详解】按权展开： 。 【答案】8 二、 十进制转二进制（第6-10题） 6. 将十进制数 5 转换为二进制数。 【详解】采用除2取余法： 将余数逆序排列：101。 【答案】 7. 将十进制数 12 转换为二进制数。 【详解】采用除2取余法： 将余数逆序排列：1100。 【答案】 8. 将十进制数 20 转换为二进制数。 【详解】采用除2取余法： 将余数逆序排列：10100。 【答案】 9. 将十进制数 7 转换为二进制数。 【详解】采用除2取余法： 将余数逆序排列：111。 【答案】 10. 将十进制数 15 转换为二进制数。 【详解】采用除2取余法： 将余数逆序排列：1111。 【答案】 三、 二进制转十进制（第11-15题） 11. 将二进制数 转换为十进制数。 【详解】按权展开求和： 。 【答案】6 12. 将二进制数 转换为十进制数。 【详解】按权展开求和： 。 【答案】11 13. 将二进制数 转换为十进制数。 【详解】按权展开求和： 。 【答案】17 14. 将二进制数 转换为十进制数。 【详解】按权展开求和： 。 【答案】31 15. 将二进制数 转换为十进制数。 【详解】按权展开求和： 。 【答案】21 四、 二进制加减法与应用（第16-20题） 16. 计算二进制加法： 【详解】列竖式计算： 1 0 1 ＋ 1 1 个位： ，写0进1； 二位： ，写0进1； 四位： ，写0进1； 高位：写1。 结果为 。 验证： ， ，正确。 【答案】 17. 计算二进制加法： 【详解】列竖式计算： 1 1 1 ＋ 1 个位： ，写0进1； 二位： ，写0进1； 四位： ，写0进1； 高位：写1。 结果为 。 验证： ， ，正确。 【答案】 18. 计算二进制减法： 【详解】列竖式计算： 1 1 0 － 1 0 个位： ； 二位： ； 四位： 。 结果为 。 验证： ， ，正确。 【答案】 19. 逻辑应用：有4盏灯，从左到右编号为4,3,2,1。若灯的状态为“亮、灭、亮、灭”（亮为1，灭为0），请问这个状态对应的二进制数是多少？转化为十进制是多少？ 【详解】 状态描述： 第4位（左1）：亮 -> 1 第3位（左2）：灭 -> 0 第2位（左3）：亮 -> 1 第1位（左4）：灭 -> 0 组成的二进制数为 。 转化为十进制： 。 【答案】二进制： ；十进制：10 20. 逻辑推理：一个密码锁由3位二进制开关组成。已知密码对应的十进制数是6。请问这3个开关的状态从高到低依次是什么？（1代表开，0代表关） 【详解】 首先将十进制6转换为二进制： 逆序排列得 。 因为是3位开关，对应二进制 。 从高到低（即从左到右）依次为：1、1、0。 【答案】1、1、0 学科网（北京）股份有限公司 $