国庆作业（三）第一、二章测试卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

· 国庆作业（三）第一、二章测试卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列各选项中，矩形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻角互补 D．对角线互相平分 2．用配方法解一元二次方程x2－4x+3=0时可配方得（　　） A．(x－2)2=7 B．(x－2)2=1 C．(x+2)2=1 D．(x+2)2=2 3．若关于x的方程mx2-2x+1=0是一元二次方程，则（　　） A．m>0 B．m≥0 C．m=1 D．m≠0 4．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．如图，在菱形中，对角线相交于点，添加下列条件，能使菱形成为正方形的是（    ） A． B． C． D． 6．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（     ）． A．， B．， C．， D．， 7．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 8．如图，学校课外生物小组试验园地的形状是长米、宽米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米．则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是的中点，连接与相交于点G，则的长为（   ） A．2 B． C． D．4 10．如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，连接，，，则下列说法正确的个数为（   ） ①； ②； ③依次连接，，，的中点P，Q，M，N，则四边形为等腰梯形； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．方程x²-2x=0的解是______． 12．方程 是关于x的一元二次方程，则m=　 　. 13．如图，O是矩形对角线的交点，添加一个条件___________，使矩形成为正方形（填一个即可）． 14．为把我市创建成全国文明城市，某社区积极响应市政府号召，准备在 一块正方形的空地上划出部分区域栽种鲜花，如图中的阴影“┛”带，鲜花带一边宽1m.另一边宽2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长 m，可列方程为　 　. 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．解方程：x2﹣3x=10 17．已知关于x的二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）如果m为正整数，求此方程的根． 18．在矩形中，．图1中，点在边上，；图2中，点在边上，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．    (1)在图1的CD边上作出点F，使四边形为菱形． (2)在图2的CD边上作出点G，使四边形为正方形． 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图平行四边形的对角线，相交于点，分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形： (2)当的对角线满足_______条件时，四边形是正方形，并说明理由． 20．如图，在中，已知，于点D． 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线，为对称轴，画出，的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长，相交于点G．请按照小明的思路，探究并解答下列问题：    (1)求证：四边形是正方形． (2)若，，试求出的长． 21．如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边 的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边 的长；若不能，说明理由． 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 22 题 14 分） 22．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 23．在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． (2)【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； (3)【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C C C B A C C 11．x₁=0，x₂=2 12．m=2 13．（答案不唯一） 15． 16．【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：方程变形得：x2﹣3x﹣10=0， 即（x﹣5）（x+2）=0， 可得x﹣5=0或x+2=0， 解得：x1=5，x2=﹣2； 17．（1）解：∵关于x的二次方程有两个不相等的实数根， ∴∆>0， ∴， 解得； ∵， ∴且； （2）解：∵且m≠0，m为正整数， ∴m=1， ∴该方程为， 解得x1=0，x2=-1． 【解析】【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解即可； （2）将m的值代入方程，再求解即可。 18．(1)四边形是菱形．    (2)四边形是正方形．    【分析】（1）连接，相交于点，则点为的中点，也是菱形的对角线交点，连接并延长交于点，则点即为所求； （2）连接，交于点，连接并延长交于点，则点为的中点，连接交于点，则为正方形的对角线，为的中点，也是正方形的对角线交点，连接并 延长交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，连接，相交于点，连接并延长交于点，连接，则点即为所求， 在矩形中，， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形．    （2）解：如图2所示，连接，交于点，连接并延长交于点，连接交于点，连接并 延长交于点，连接，则点即为所求， 四边形是矩形， ，，，，， 点为中点， ，， ，， 点为的中点， ， 在中，，在中，， ，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是正方形．    【点睛】本题考查了直尺作图，矩形的性质，菱形的判定，正方形的判定，三角形中位线性质，根据矩形对角线的性质确定菱形和正方形的对角线交点，是解本题关键． 19．(1)证明：∵分别以点，为圆心，，的长为半径画弧，两弧交于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； (2)且，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴平行四边形是正方形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握平行四边形与正方形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图得，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可； （2）根据一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，得到只需，且，再利用四边形是平行四边形，即可解答． 20．(1)根据题意得，，， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵ ∴， ∴矩形是正方形； (2)2或3 【分析】（1）根据题意得，，得，，根据得，根据得，则，，可得四边形是矩形，根据得，即可得； （2）设，根据，，矩形是正方形得，，，根据，得，，则， 在中，根据勾股定理得，进行计算即可得． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵，，矩形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， 即或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点． 21．（1）解：设AB=x米，由题意可得： ， ∴ ， 解得： ， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时， ， ∴ ， 答：边AB的长为15米； （2）解：由（1）可得： ， 化简得： ， ∴ ， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【解析】【分析】（1）设AB=x米，由题意可得x(80-4x)=300，求出x的值，然后根据墙的最大可用长度为30米对x的值进行取舍； （2）由（1）可得x(80-4x)=500，求解即可判断. 22. 【答案】(1) (2)； (3)或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 23．【答案】(1)证明：如图，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， ． (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴； ∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． (3) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、等边对等角、证明四边形是矩形、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得，四边形是矩形，推出对角线相等，即可得到； （2）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出；，根据菱形的判定，即可； （3）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，等边对等角，得到，，，根据三角形的外角，求出，，根据三角形的内角和，得到，求出，最后根据，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 答案第8页（共9页） 答案第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $