2026-2027学年北师大版数学九年级上册周测1（1.1--1.2）

**基本信息** 北师大版九年级数学周测聚焦菱形性质与判定，融入旋转、尺规作图等几何变换，通过作图操作（如第3题剪纸）、动态旋转（如第8题菱形旋转）及综合证明（如第15题菱形判定），考查几何直观与推理能力，适配单元知识巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|菱形对角线性质、旋转图形判断、作图应用|第3题结合剪纸操作，体现空间观念| |填空题|4题|菱形周长计算、角度推理、折叠问题|第10题通过作图过程推导菱形内角，培养抽象能力| |解答题|6题|菱形证明、旋转综合、动态几何计算|第18题旋转背景下探究线段关系与图形判定，发展推理能力|

北师大版九年级数学上册周测1（1.1--1.2） 一、单选题 1．已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（　　） A．20 B．24 C．48 D．100 2．如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 3．将一张圆形纸片对折再对折，得到如下左图，然后沿着虚线剪开，得到两部分．其中一部分展开后的平面图形是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（　　） A． B． C．4 D．8 5．如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D．无法确定 6．如图，在中，按以下步骤作图：①在图1中，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点；②在图1的基础上，在图2中，以为圆心画弧，交于，两点，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，连接． 已知，，则四边形的周长为（　　） A．7 B．12 C．14 D．16 7．如图，平行四边形的对角线，相交于点．为的中点，连接并延长交于点，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．如图，在菱形中，，对角线、交于点O，将菱形绕点O逆时针旋转得到菱形，关于两个菱形重叠部分的八边形，下列描述错误的是（　　） A．对于任意的，这个八边形的每条边都相等 B．只有唯一的，使得这个八边形的每个内角都相等 C．对于任意的，O点到八边形各边的距离都相等 D．对于任意的，O点到八边形各顶点的距离都相等 二、填空题 9．如图，在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么菱形的周长为　 　． 10．如图，小明同学按如下步骤作四边形：①画；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接．若，则的大小为　 　． 11．如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接若，则的长为　 　． 12．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则　 　，四边形的面积是　 　． 三、解答题 13．如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A：∠ABC=1：2.求△ABD的周长. 14．如图，P为菱形的对角线上的一个定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交于点E，G，，若的长的最小值为，求的长． 15．如图，在四边形ABCD中，点B 与点 D 关于直线AC 对称，连接 BD 交 AC 于点 O，E 为AC上一点，OE=OC，连接BE，DE. （1）求证：四边形 EBCD 为菱形； （2）若 AE=DE，∠BAE=15°，BD=6，求 AC的长. 16．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点． 命题1：BE＝DF． 命题2：连接DE，BF，若AC＝2BD，则四边形DEBF是矩形． 命题3：连接DE，BF，若AB＝BC，则四边形DEBF是菱形．任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 17．在平面直角坐标系中，对于图形M，线段和点C，若在图形M上存在点P，使线段的中点在线段上，则称C为图形M关于线段的“扩充点”． （1）如图，点，，在点，，中，关于线段的“扩充点”是______； （2）已知点，，，，其中，直线：． ①H是直线l上的一个动点，当，，时，若H为四边形关于线段的“扩充点”，直接写出点H的横坐标h的取值范围； ②连接，为线段的中点，当，时，若直线l上存在四边形关于线段的“扩充点”，直接写出t的取值范围． 18．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点. （1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论； （2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，求ED的长. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm， ∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（）， 故答案为：B． 【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半计算即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在菱形中，交于点， ∴，， ∴， 故答案为：A． 【分析】菱形的对角线互相垂直平分，这样即可得出，，然后放到直角三角形BOC中，利用勾股定理列式计算即可。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直平分．故选C． 【分析】根据折痕形成的对角线互相垂直平分进行判定即可． 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】 10．【答案】 【解析】【解答】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴∠ABC=180°－46°=134°， ∴， 故答案为：． 【分析】根据作图可得四边形是菱形，于是可得，根据平行线的性质可得∠ABC的度数，继而可计算∠CBD的度数. 11．【答案】 12．【答案】； 13．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=BC=CD=DA，∠A+∠ABC=180° ∵∠A：∠ABC=1：2 ∴∠A=60° ∴△ABD为等边三角形 ∴AB=BD=AD=4 ∴△ABD的周长为：AB+BD+AD=12 【解析】【分析】根据菱形性质可得AB=BC=CD=DA，∠A+∠ABC=180°，根据角之间的关系可得∠A，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案. 14．【答案】． 15．【答案】（1）证明：∵点B与点D关于直线AC对称， ∴OD=OB， OD⊥AC， 又∵OE=OC， ∴四边形EBCD为平行四边形， ∵OD⊥AC， ∴四边形EBCD为菱形； （2）解：∵AE=DE， ∠BAE =15°， ∴∠EAD =∠EDA =15°， ∴∠DEO=∠EAD+∠EDA=15°+15°=30°， ∵四边形EBCD为菱形； ∴DE=EB，∠BEO=∠DEO=30°， EO=OC， ∴∠DEB=60°， ∴△DEB是等边三角形， ∵BD=6， ∴BO=OD=3， 在直角三角形BOE中，由勾股定理得：EO= 【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质可得OD=OB， OD⊥AC，进而证明四边形EBCD为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； (2)根据等边对等角得出∠EAD =∠EDA =15°，进而根据三角形的外角的性质即可得出∠DEO的度数，进而根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得EO，进而根据AC=AE+EC， 即可求解. 16．【答案】解：命题1、命题2、命题3都是真命题．具体证明如下： 命题1：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC． ∴∠BAE＝∠DCF． ∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴AE＝OA，CF＝OC． ∴AE＝CF． 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF（SAS）． ∴BE＝DF． 命题2：如图，连接DE，BF． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OD＝OB，OA＝OC． ∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC． ∴OE＝OF． ∴四边形DEBF是平行四边形． ∵AC＝2BD， ∴EF＝BD． ∴四边形DEBF是矩形． 命题3：如上图，连接DE，BF． ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，OA＝OC． ∴AC⊥BD． ∵E，F分别是OA，OC的中点， ∴OE＝OA，OF＝OC． ∴OE＝OF． ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵AC⊥BD， ∴四边形DEBF是菱形． 【解析】【分析】命题1：根据平行四边形性质可得AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，则∠BAE＝∠DCF，根据线段中点可得AE＝OA，CF＝OC，则AE＝CF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案. 命题2：连接DE，BF，根据平行四边形性质可得OD＝OB，OA＝OC，根据线段中点可得OE＝OA，OF＝OC，则OE＝OF，再根据矩形判定定理即可求出答案. 命题3：连接DE，BF，根据菱形判定定理可得四边形ABCD是菱形，则OD＝OB，OA＝OC，根据线段中点可得OE＝OA，OF＝OC，则OE＝OF，再根据菱形判定定理即可求出答案. 17．【答案】（1）， （2）①；② 18．【答案】（1）解：EA1＝FC. 证明：（证法一）∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C. 由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF， ∴△ABE≌△C1BF. ∴BE＝BF，又∵BA1＝BC， ∴BA1﹣BE＝BC﹣BF.即EA1＝FC. （证法二）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C. 由旋转可知，∠A1＝∠C，A1B＝CB，而∠EBC＝∠FBA1， ∴△A1BF≌△CBE. ∴BE＝BF，∴BA1﹣BE＝BC﹣BF， 即EA1＝FC. （2）解：四边形BC1DA是菱形. 证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°， ∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1. ∴四边形BC1DA是平行四边形. 又∵AB＝BC1， ∴四边形BC1DA是菱形. （3）解：（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1. 在Rt△AEG中，AE＝ . 由（2）知四边形BC1DA是菱形， ∴AD＝AB＝2， ∴ED＝AD﹣AE＝2﹣ . （解法二）∵∠ABC＝120°，∠ABE＝30°，∴∠EBC＝90°. 在Rt△EBC中，BE＝BC•tanC＝2×tan30°＝ . ∴EA1＝BA1﹣BE＝2﹣ . ∵A1C1∥AB， ∴∠A1DE＝∠A. ∴∠A1DE＝∠A1. ∴ED＝EA1＝2﹣ . 【解析】【分析】（1）（证法一）根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠C，由旋转的性质可知：AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，证明△ABE≌△C1BF，得到BE＝BF，然后结合BA1＝BC以及线段的和差关系进行证明；（证法二）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠C，由旋转的性质可得：∠A1＝∠C，A1B＝CB，证明△A1BF≌△CBE，得到BE＝BF，然后根据线段的和差关系进行证明； （2）易得A1C1∥AB，AC∥BC1，则四边形BC1DA是平行四边形，然后结合AB＝BC1以及菱形的判定定理进行证明； （3）（证法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1，利用∠A的余弦函数求出AE的值，根据菱形的性质可得AD＝AB＝2，据此计算；（证法二）根据∠ABC、∠ABE的度数可得∠EBC=90°，在Rt△EBC中，根据∠C的正切函数可得BE的值，进而求出EA1，由平行线的性质可得∠A1DE＝∠A，推出∠A1DE＝∠A1，则ED=A1E，据此解答. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $