第7讲 整式中的数式规律 课后练习 （学生版+教师版）2026-2027学年人教版七年级数学上册

【课后练】拔高-整式中的数式规律-学生版 一、单选题 1．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 2．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 3．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 4．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 5．体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑩个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 二、填空题 6．观察下面一列数，，，，，，则第个数为 7．观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 8．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒按此规律摆下去第n个图案需要 根小棒． 9．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，……依次类推，则的值为 ． 10．我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 三、解答题 11．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 12．仔细观察下列三组数． 第一组： 第二组： (1)若按第一组数的规律排列，第6个数是__________； (2)若按第二组数的规律排列，求第6个数和第7个数的和； (3)根据你找到的这两组数据规律的方法，请直接写出数据中第个数据（用含的式子表示）． 13．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______； (3)探究并计算：． 14．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ①____________；②____________． (2)直接写出的值______； (3)用你发现的规律计算（写出必要的过程）： ． 15．阅读下列式子： ．．． 则 (1)___________； (2)计算：； (3)计算： 16．观察下列算式，解答问题： (1)请猜想______； (2)请猜想______； (3)请利用上题猜想结果，计算的值（要有计算过程） 17．观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 18．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)试猜想第个等式__________（用含的式子表示）； (3)计算：． 19．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 20．规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-整式中的数式规律-学生版 一、单选题 1．体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑩个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 2．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 3．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 4．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 6．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，……依次类推，则的值为 ． 7．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒按此规律摆下去第n个图案需要 根小棒． 8．观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 三、解答题 9．规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 10．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 11．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)试猜想第个等式__________（用含的式子表示）； (3)计算：． 12．观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】基础-整式中的数式规律-教师版 一、单选题 1．体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑩个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】解：观察图形，得 图①用了5根火柴，即， 图②用了9根火柴，即， 图③用了13根火柴，即， … 图n用了根火柴， 所以摆第⑩个图案用根火柴棒． 故选：C． 2．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形中黑点的个数与白点的个数之差的规律是解题的关键．观察图形可知，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，， ∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28． 故选：B． 3．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 4．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键． 观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答． 【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：． 由题意可得，则当时，；当时，． 因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为． 故选D． 二、填空题 5．我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：，即，求出，再由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图形的变化可得： 顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即； 前3层共有6颗弹珠，即． …， 故前n层的弹珠数为：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 6．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，……依次类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，解题的关键是根据已知图形得出． 根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ ． 故答案为∶． 7．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒按此规律摆下去第n个图案需要 根小棒． 【答案】 【分析】本题考查图形的变换规律，求得每个图形中小棒的根数与图形的个数的关系是解决本题的关键．第一个图形有小棒：根；第二个图形有小棒：根；第三个图形有小棒：根；第四个图形有小棒：根；由题意得出：得到其余图形中小棒的根数在4的基础上增加几个3即可． 【详解】解：第一个图形有小棒：根 第二个图形有小棒：根； 第三个图形有小棒：根； 第四个图形有小棒：根； 以此类推， 所以第个图形需要小棒：根， 故答案为：． 8．观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式及数字的变化规律；得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键．由题意易得出第n项为，进而可求出第六个式子 【详解】解：由题意得则第n项为， 则第六个式子是， 故答案为： 三、解答题 9．规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数字的规律探索，解题的关键是根据“每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数”求出数列的前几项，进而找出循环规律． （1）根据从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，依次计算； （2）通过（1）的计算结果，找出数列的循环规律，再根据循环周期计算． 【详解】（1）解：已知， 则：， ， ， （2）解：由（1）可知，数列以、、这三个数为一个周期循环． 因为，其中余数为1． 所以． 10．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为： 第③部分的面积为： …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 11．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)试猜想第个等式__________（用含的式子表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数式的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题． （1）观察所给算式，可以发现等式右边为从1开始，序号个连续自然数的平方和，等式左边是4个数的积，这四个数分别为：、与序号相同的数、比序号大1的数、序号与序号加1的数的和，据此可以写出第5个等式； （2）根据（1）中发现的规律，用代数式表示出这些数，并写出等式即可； （3）利用（2）中的等式，将写成乘积形式，同样将分母也写成乘积形式，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， ……， 以此类推，可知第n个等式为； （3）解： 。 12．观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，根据有理数的点在数轴上的位置可知，，由规律即可求得结果； （2）根据规律化简绝对值，然后进行加减法计算即可． 【详解】（1）解：由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，较大数减较小数差的绝对值等于它本身， 由有理数的点在数轴上的位置可知，， ∴， 故选：C； （2）解： ， ， ． 【点睛】本题考查规律探索，绝对值化简，利用数轴比较大小，有理数的加减法，掌握相关知识是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【课后练】拔高-整式中的数式规律-教师版 一、单选题 1．按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 2．一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键． 观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答． 【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：． 由题意可得，则当时，；当时，． 因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为． 故选D． 3．a是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是．已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 (   ) A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．根据定义计算出前5个数据，然后发现该数列每个数为一周期循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 该数列每个数为一周期循环， ， ， 故选：A． 4．如图，第1个图中“M”有5个黑点和4个白点，第2个图中“M”有15个黑点和12个白点，第3个图中“M”有30个黑点和24个白点，以此类推……，第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为（    ） A．7 B．28 C．252 D．63 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律探索，归纳总结出图形中黑点的个数与白点的个数之差的规律是解题的关键．观察图形可知，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为，再代入即可得出答案． 【详解】解：第1个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第2个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 第3个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， …… 以此类推，第个图形中黑点的个数与白点的个数之差为， 当时，， ∴第7个图形中黑点的个数与白点的个数之差为28． 故选：B． 5．体艺节期间，某班同学用火柴棒在课桌上依次搭成下列图案：图①用了5根火柴，图②用了9根火柴，图③用了13根火柴，按照这种方式摆下去，摆第⑩个图案用火柴棒的根数为（    ） A．50 B．45 C．41 D．40 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形的变化情况写出每个图形需要的火柴棒数，从而得出规律，写出一般式即可求解． 【详解】解：观察图形，得 图①用了5根火柴，即， 图②用了9根火柴，即， 图③用了13根火柴，即， … 图n用了根火柴， 所以摆第⑩个图案用根火柴棒． 故选：C． 二、填空题 6．观察下面一列数，，，，，，则第个数为 【答案】 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是根据所给的数列发现分子和分母的变化规律，然后利用规律解决问题． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数的符号为，分子为，分母为：， ∴第个数为（为正整数）， 当时，， 即第个数为． 故答案为：． 7．观察下列单项式：…，根据给出的规律，第六个式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式及数字的变化规律；得到各个单项式符号，系数，字母及字母指数的规律是解决本题的关键．由题意易得出第n项为，进而可求出第六个式子 【详解】解：由题意得则第n项为， 则第六个式子是， 故答案为： 8．如图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，图案（1）需要4根小棒，图案（2）需要10根小棒按此规律摆下去第n个图案需要 根小棒． 【答案】 【分析】本题考查图形的变换规律，求得每个图形中小棒的根数与图形的个数的关系是解决本题的关键．第一个图形有小棒：根；第二个图形有小棒：根；第三个图形有小棒：根；第四个图形有小棒：根；由题意得出：得到其余图形中小棒的根数在4的基础上增加几个3即可． 【详解】解：第一个图形有小棒：根 第二个图形有小棒：根； 第三个图形有小棒：根； 第四个图形有小棒：根； 以此类推， 所以第个图形需要小棒：根， 故答案为：． 9．如图，将形状、大小完全相同的“●”按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，……依次类推，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，解题的关键是根据已知图形得出． 根据图形变化的规律归纳总结出，然后代入式子变形求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， ， ， ， ， ．．． (n为正整数)， ∴ ． 故答案为∶． 10．我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用表示前n层的弹珠数，其中，2，3，…，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形可得前n层的弹珠数为：，即，求出，再由此规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：观察图形的变化可得： 顶层记为第1层，有1颗弹珠，即； 前2层共有3颗弹珠，即； 前3层共有6颗弹珠，即． …， 故前n层的弹珠数为：， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 11．【情景创设】 是一组有规律的数，我们如何求这些连续数的和呢？ 【探索活动】 （1）根据规律第6个数是 ，是第 个数； （2）我们知道：，那么： 用含有n的式子表示你发现的规律     【方法属示】 ． 这种方法叫“裂项相消”，构造只有符号不同的中间项，将其全部消掉． 【实践应用】 （3）根据上面获得的经验完成下面的计算： 【答案】（1），11；（2）；（3） 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意发现第n个数为及巧妙利用裂项相消法是解题的关键． （1）观察所给数列，发现它们的分子都是1，分母是两个连续整数的积，据此可解决问题． （2）根据题中所给示例即可解决问题． （3）将所给算式中的每一项进行裂项，再利用裂项相消法进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴第6个数是， ， ∴是第11个数； （2）观察所给式子的等号左右两边的数字，可得到如下规律：； （3） ． 12．仔细观察下列三组数． 第一组： 第二组： (1)若按第一组数的规律排列，第6个数是__________； (2)若按第二组数的规律排列，求第6个数和第7个数的和； (3)根据你找到的这两组数据规律的方法，请直接写出数据中第个数据（用含的式子表示）． 【答案】(1)36 (2) (3) 【分析】此题考查了有理数的乘方，数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题． （1）第一组按排列； （2）第二组按排列，由此进一步得出答案即可； （3）第三组数的分子是连续自然数，分母是对应分母的平方加1，奇数位置为正，第n个数为，偶数位置为负，第n个数为，由此求得答案即可． 【详解】（1）解：第一组数是按正整数1，2，3，4，5，的平方数的顺序排列的， 则若按第一组数的规律排列，第6个数是， 故答案为：； （2）解：第二组数是由第一组的每一个数减去1，再取差的相反数得到的， 即， 则第6个数和第7个数的和； （3）解：第三组数的规律是， 即当n为奇数时，第n个数是； 当n为偶数时，第n个数是， ∴这组数的第个数据为． 13．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了数字类规律探究、有理数的混合运算． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）①②根据（1）中的猜想进行计算即可； （3）由（1）中的例子找出规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：①∵由（1）知，． ∴ ； 故答案为：； ② ； 故答案为：； （3）解： ． 14．观察下列各式的计算结果： ； ； ； ； … (1)用你发现的规律填写下列式子的结果： ①____________；②____________． (2)直接写出的值______； (3)用你发现的规律计算（写出必要的过程）： ． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题． （1）根据题目中的规律解答即可； （2）根据题目中的规律解答即可； （3）根据题目中的规律解答即可． 【详解】（1）解：依题意，， ； 故答案为：； （2）解： ． （3）解： ． 15．阅读下列式子： ．．． 则 (1)___________； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索及裂项求和．解题的关键是根据题目给出的示例，总结出分数裂项的一般规律，并将其应用于不同形式的数列求和． （1）根据题意总结规律即可求解； （2）将后五个分数进行裂项，再求和即可； （3）将每一个分数进行裂项，再求和即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ． 16．观察下列算式，解答问题： (1)请猜想______； (2)请猜想______； (3)请利用上题猜想结果，计算的值（要有计算过程） 【答案】(1)529 (2) (3)2201 【分析】本题考查了数字的规律探究，有理数的加法与乘方运算； （1）由前面等式发现“多少个奇数的和，就是多少的平方”，先数出1到45的奇数个数，再得结论； （2）根据规律，先表示出到的奇数个数，再得结论； （3）用与先表示出，再根据（2）的结论得结果． 【详解】（1）解： ， ， …… 按此规律，得 ． 故答案为：529； （2） ； 故答案为：． （3） ． 17．观察下列各式的特征： ； ； ； ． 根据规律，解决以下问题： (1)表示有理数的点在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ． A．            B．            C．            D． (2)计算：． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，根据有理数的点在数轴上的位置可知，，由规律即可求得结果； （2）根据规律化简绝对值，然后进行加减法计算即可． 【详解】（1）解：由规律可知，较小数减较大数差的绝对值等于它的相反数，较大数减较小数差的绝对值等于它本身， 由有理数的点在数轴上的位置可知，， ∴， 故选：C； （2）解： ， ， ． 【点睛】本题考查规律探索，绝对值化简，利用数轴比较大小，有理数的加减法，掌握相关知识是解决问题的关键． 18．观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)试猜想第个等式__________（用含的式子表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数式的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题． （1）观察所给算式，可以发现等式右边为从1开始，序号个连续自然数的平方和，等式左边是4个数的积，这四个数分别为：、与序号相同的数、比序号大1的数、序号与序号加1的数的和，据此可以写出第5个等式； （2）根据（1）中发现的规律，用代数式表示出这些数，并写出等式即可； （3）利用（2）中的等式，将写成乘积形式，同样将分母也写成乘积形式，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， ……， 以此类推，可知第n个等式为； （3）解： 。 19．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【分析】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【详解】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为： 第③部分的面积为： …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 20．规律探索： 有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为an．若，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”． (1)试计算：=？，=？，=？（要写出计算过程哦）； (2)由你发现的规律，请计算是多少？ 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了数字的规律探索，解题的关键是根据“每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数”求出数列的前几项，进而找出循环规律． （1）根据从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，依次计算； （2）通过（1）的计算结果，找出数列的循环规律，再根据循环周期计算． 【详解】（1）解：已知， 则：， ， ， （2）解：由（1）可知，数列以、、这三个数为一个周期循环． 因为，其中余数为1． 所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $