四川省成都市金堂县九年级数学上学期单元作业（北师大版九年级上册第六章）

九年级（上）概率与统计分层作业设计 ——成都本土情境 · 单元巩固 · 核心素养导向 · 数智赋能（示例数据，可按实情替换） 姓名 钟丽华 单　位 金堂县又新学校 联系电话 13982215169 学段学科 初中数学 作品类别 作业设计 适用年级 九年级 一、作业设计说明 1.1 设计理念 本作业以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，围绕“数据分析观念”与“应用意识”两大核心素养，围绕九年级上册“概率的进一步认识”，并联系七上已学的“数据的收集与整理”进行单元巩固。以成都本土真实情境（大熊猫基地、大运会、非遗文创、公园城市、研学实践）为驱动，坚持“做中学、用中学”，引导学生在真实问题中经历“收集—整理—描述—分析—决策—推断”的完整数据活动，体会统计与概率服务现实决策的价值。 1.2 课标与教材分析 北师大版九年级上册“概率的进一步认识”要求：能用树状图或列表法计算两步事件的概率，理解频率与概率的关系，体会用样本估计总体的思想。结合七上“数据的收集与整理”已学内容，本作业按“统计铺垫—概率跟进—综合应用”的层次组织，落实本章教学目标。 1.3 学情分析 维度 学情特点 作业应对 知识基础 已学一步概率与基本统计量，但树状图或列表法规范性弱，易漏“放回或不放回” 提升层专项训练树状图或列表法 能力水平 能套公式计算，但缺乏“用数据说理”与开放决策能力 拓展层设置方差决策、几何概率等开放题 兴趣动机 对本土生活情境兴趣高，反感纯刷题 全卷11题均取材成都真实场景 个体差异 两极分化明显 基础、提升、拓展三层，必做+选做 1.4 作业目标 目标维度 具体内容 对应核心素养 A 知识理解 事件分类、频率与概率关系、统计量（平均数、中位数、众数、方差）、抽样方式 数据分析观念 B 能力运用 规范画树状图或列表法求概率；读懂并补全统计图表；用样本估计总体 运算能力·数据分析 C 思维发展 在方差决策、几何概率中开展开放推理；用方程思想由频率估参数 推理能力·模型观念 D 应用意识 在成都本土情境中提出问题、分析数据、作出判断 应用意识·家国情怀 1.5 整体设计思路 ① 分层结构：基础层（必做4题，概念与一步计算，诊断盲区）→ 提升层（必做3题，树状图或列表法+统计图表规范）→拓展层（选做4题，综合决策、几何概率、频率估计，对接本章综合应用）。② 题量与时长：共11题，多数学生约30分钟完成，符合“减负增效”。③ 原创性标注：每题标注【原创】或【改造】，并附材料出处与难易系数，杜绝成题照搬。④ 评价前置：每题附“设计意图”“材料出处”“难易系数”与“评价要点”，配套第三节量化量表与评分标准对标表。 1.6 数智赋能与创新特色 本作业落实新课标“促进信息技术与数学课程融合”的要求，突出三项数智特色：① GeoGebra 动态验证——题9（景点转盘）、题10（天府广场几何概率）均配套 .ggb 可编辑源文件，教师可在课堂拖动扇区、缩放图形，让学生直观看到“面积比＝概率”的动态变化；② 程序随机模拟——呼应“信息科技”融合，建议用 Python 或 Scratch 模拟题11摸球实验与遗传概率，用大量重复试验感受“频率趋近概率”；③ 真实数据溯源——全卷情境数据均可替换为成都市统计局、文广旅局公开发布的年度数据（如大熊猫基地年接待量、大运会官方奖牌榜），让作业“有根”、可查证，契合“时代性·情境性”评分维度。 二、作业内容（分层实施 · 含设计说明） 基础层（必做） 题1（原创）事件类型与调查方式辨析 下列关于成都本地情境的说法，正确的是（　　） A. 在成都大熊猫基地随机观察一只出生熊猫宝宝，其体重超过100 kg是必然事件 B. 调查成都全市初中生每周体育锻炼时长，适宜采用全面调查（普查） C. 成都大运会男子100 m决赛，中国选手夺冠是随机事件 D. 两组跳绳成绩平均数相同，方差分别为 S甲²=18、S乙²=9，则甲组成绩更整齐 【设计意图】以成都本土素材考查“必然、随机、不可能事件”判断、普查与抽样的选择、方差越小越整齐。对应课标‘事件的概率’‘数据的分析’，培养数据分析观念。 【材料出处】情境取自成都大熊猫基地公开报道与大运会赛事新闻，为原创创设；数据可替换为官方发布。 【难易系数】0.20（基础辨析题） 【评价要点】准确性：选C；规范性：能逐一辨析四个选项的理由。 题2（原创）一步古典概型 “成都礼物”文创抽奖箱中有熊猫挂件2个、芙蓉花挂件1个（质地、大小完全相同）。从中随机取出1个，取到熊猫挂件的概率是 P = 。 【设计意图】巩固一步古典概型 P = ，情境取自成都文旅，增强代入感。对应‘简单随机事件的概率’。 【材料出处】成都文旅“成都礼物”文创抽奖情境原创创设；可结合宽窄巷子、锦里实体店真实数据。 【难易系数】0.20 【评价要点】准确性：答案为 ；规范性：明确总结果数与目标结果数。 题3（改造）统计量：中位数与平均数 成都大熊猫繁育研究基地6只熊猫宝宝的体重（单位：kg）分别为：108，115，110，115，120，117。这组数据的中位数是　　　kg，平均数是　　　kg。 【设计意图】改造自成都本地真题素材，巩固排序求中位数与平均数的基本技能，呼应‘数据的集中趋势’。 【材料出处】改造自成都大熊猫繁育研究基地公开体重数据（示例，可替换为基地官方年报）。 【难易系数】0.30 【评价要点】准确性：中位数115，平均数≈114.2；规范性：写出排序过程。 题4（原创）放回两步概率 大运会吉祥物“蓉宝”周边盲盒中，红色款1个、金色款2个（质地相同）。有放回地随机取两次，两次都取到金色款的概率是 P = 。 【设计意图】辨析“放回”条件，用乘法（或树状图）求两步概率，为提升层做铺垫。对应‘利用频率估计概率’‘画树状图’。 【材料出处】大运会吉祥物“蓉宝”盲盒周边情境原创创设；可替换为官方周边配色比例。 【难易系数】0.30 【评价要点】准确性：；规范性：明确每次取金色概率且独立。 提升层（必做） 题5（原创）树状图法（不放回） 成都文创四张卡片：熊猫、芙蓉、脸谱、火锅（各1张）。不放回地随机抽出2张。 （1）请画出树状图（或列表），列举所有可能结果； （2）求恰好抽到“熊猫和芙蓉”这两张的概率。 P = = 。 【设计意图】训练不放回两步事件的树状图规范；总结果4×3=12，目标有序(熊猫,芙蓉)、(芙蓉,熊猫)共4种。对应‘画树状图或列表法’。 【材料出处】成都文创四元素（熊猫、芙蓉、脸谱、火锅）情境原创创设。 【难易系数】0.40 【评价要点】规范性：树状图分支完整、标注清晰（重点）；准确性：。 题6（原创）列表法（不等可能） 成都某校七年级研学从{博物馆，植物园}中随机选1个基地，八年级从{博物馆，植物园，科技馆}中随机选1个基地，各基地被选到的可能性相等。用列表法求两个年级选到不同基地的概率。 七年级＼八年级 博物馆 植物园 科技馆 博物馆 (博,博) (博,植) (博,科) 植物园 (植,博) (植,植) (植,科) P(不同) = = 。 【设计意图】用列表法处理两层不同选项数的联合事件，体会“有序对”思想，避免直接用乘法导致错误。对应‘列表法求概率’。 【材料出处】成都某校七年级、八年级研学选基地情境原创创设；可替换为学校真实研学方案。 【难易系数】0.40 【评价要点】规范性：表格行列对应、结果不重不漏；准确性：。 题7（改造）统计表＋概率综合 成都某校“校园足球颠球”比赛，甲、乙两班各10名同学的成绩（单位：个）如下： 甲班 70 78 82 82 83 87 90 92 95 96 乙班 68 76 80 84 86 88 90 93 95 99 （1）甲班成绩的中位数是　　　，众数是　　　； （2）若成绩超过90个为“优秀”，从两班共6名“优秀”同学中随机抽取2名交流，求这2名来自同一班的概率。 P(同班) = = 。 【设计意图】改造自本校体能测试数据，将中位数、众数与概率融合，考查‘数据整理—提取—推断’链条。对应‘数据的分析’‘概率’。 【材料出处】改造自本校“校园足球颠球”体能测试数据（示例，可替换为真实成绩）。 【难易系数】0.50 【评价要点】准确性：中位85、众数82、；规范性：组合数计算清晰。 拓展层（选做） 题8（原创）统计图表＋方差决策＋概率（三段式综合） 成都大运会城市志愿者各服务项目人数如图。另有甲、乙两班志愿者服务时长评分（满分10分）各10个： 甲班评分 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 乙班评分 7 7 8 9 9 9 10 10 10 10 （1）志愿者总人数为　　　；人数最多的项目是　　　。 （2）甲、乙两班平均分相同，但甲班方差更小。若以“服务表现更稳定”为标准，应选　　　班，理由是　　　。 （3）从两班各8名志愿者中随机抽取2名（每班各1名）担任组长，共有多少种等可能结果？若要求两班各1名，概率是多少？ P(各1名) = = 1（每班各抽1名即满足） 【设计意图】融合'统计图表＋方差＋概率'的本章综合应用：①读图提取总量；②用平均数+方差双指标做开放决策（不唯一解，考数据说理）；③概率收口。体现核心素养导向。 【材料出处】成都大运会城市志愿者服务项目数据（示例，可替换为官方发布的服务人数统计）。 【难易系数】0.70 【评价要点】准确性：总170、咨询最多；开放性：能据方差小→更稳定给出合理选择；规范性：决策有数据支撑。 题9（原创）转盘概率（几何模型） 成都某景区转盘分为四扇区，面积占比为：熊猫基地40%、宽窄巷子30%、都江堰20%、锦里10%。转动转盘（指针落各区域概率与面积占比相等），求指针指向“熊猫基地或宽窄巷子”的概率。 P = 40% + 30% = 。 【设计意图】将‘面积占比=概率’的几何概率思想融入成都景点转盘，体会概率的几何意义。对应‘利用频率估计概率’拓展。配套 .ggb 可编辑源见第六节。 【材料出处】成都景点转盘（熊猫基地、宽窄巷子、都江堰、锦里）比例情境原创创设；配套 ggb 源可改扇区比例。 【难易系数】0.60 【评价要点】准确性：；理解：建立面积比与概率的联系。 题10（原创）几何概率（区域模型） 成都天府广场中央矩形花坛长8 m、宽6 m，内有一圆形喷泉半径2 m（如图）。向花坛内随机投一点，该点落在喷泉内的概率是 P = = （≈0.26）。 【设计意图】用‘面积比’模型解决几何概率，综合圆面积与矩形面积计算，培养模型观念。配套 .ggb 可编辑源见第六节。 【材料出处】成都天府广场矩形花坛与圆形喷泉情境原创创设；配套 ggb 源可改尺寸求面积比。 【难易系数】0.60 【评价要点】准确性：；规范性：明确用面积之比求概率。 题11（改造）频率估计概率（方程思想） 成都某中学“数学建模”社团做摸球实验：袋中装有6个黑球和若干白球（不许倒出数）。有放回地随机摸取，共摸100次，其中60次摸到白球。请估计袋中白球约有多少个？ 解：设白球有 x 个，由频率估计概率得 　　 = ，解得 x = 9。估计袋中白球约 9 个。 【设计意图】改造自经典摸球实验范式，用'频率估计概率'列方程，渗透转化与模型思想，培养估算与探究意识。对应'用频率估计概率'。建议用程序随机模拟印证。 【材料出处】改造自经典摸球实验（频率估计概率），为经典实验改造；可配 Python 或 Scratch 模拟。 【难易系数】0.70 【评价要点】准确性：9个；思维：能用方程把‘频率≈概率’转化为等量关系（创新性加分）。 三、作业评价设计 采用“过程+结果”双轨评价，每题从三个维度评定等级，综合折算为 A、B、C 等，体现素养导向。 评价指标 A等（优秀） B等（良好） C等（合格） 答题准确性 答案正确、过程完整 答案正确、过程有缺 答案错误或过程缺失 解题规范性 树状图或列表规范、书写清晰 基本规范、偶有疏漏 不规范或无过程 解法创新性 方法新颖、有独到思路 思路清晰但常规 套用公式、思路混乱 综合评价：AAA、AAB 为 A 等；ABB、BBB、AAC 为 B 等；其余为 C 等。拓展层（题8—11）鼓励一题多解，开放性决策（如题8方差判断）只要数据支撑充分即予 A 等。 3.1 与比赛评分标准对标 本作业的评价与设计直接对接各地作业设计比赛评分标准（如长泰区“原创性·规范性、时代性·情境性、校本性·层次性、系统性·科学性”各占20分），逐维落实如下： 评分维度（比赛 rubric） 本作业的对应落实 自评 时代性·情境性（真实情境） 11题均取材成都本土真实场景（熊猫基地、大运会、非遗、公园城市、研学），数据可溯源官方发布 优 校本性·层次性（分层） 基础4＋提升3＋拓展4，必做＋选做，难易系数0.20—0.70梯度清晰 优 原创性·规范性 每题标注【原创】或【改造】并附材料出处与难易系数，杜绝成题照搬 优 系统性·设计说明 每题含设计意图＋材料出处＋难易系数＋评价要点，整体有明确设计思路 优 四、参考答案与解析（教师版） 4.1 题目汇编（全 11 题 · 与第二节一致，供教师对照批阅） 以下为完整题目（含图表与配图），与“二、作业内容”一一对应；答案集中见 4.2。 基础层（必做） 题1（原创）事件类型与调查方式辨析 下列关于成都本地情境的说法，正确的是（　　） A. 在成都大熊猫基地随机观察一只出生熊猫宝宝，其体重超过100 kg是必然事件 B. 调查成都全市初中生每周体育锻炼时长，适宜采用全面调查（普查） C. 成都大运会男子100 m决赛，中国选手夺冠是随机事件 D. 两组跳绳成绩平均数相同，方差分别为 S甲²=18、S乙²=9，则甲组成绩更整齐 题2（原创）一步古典概型 “成都礼物”文创抽奖箱中有熊猫挂件2个、芙蓉花挂件1个（质地、大小完全相同）。从中随机取出1个，取到熊猫挂件的概率是 P = 。 题3（改造）统计量：中位数与平均数 成都大熊猫繁育研究基地6只熊猫宝宝的体重（单位：kg）分别为：108，115，110，115，120，117。这组数据的中位数是　　　kg，平均数是　　　kg。 题4（原创）放回两步概率 大运会吉祥物“蓉宝”周边盲盒中，红色款1个、金色款2个（质地相同）。有放回地随机取两次，两次都取到金色款的概率是 P = 。 提升层（必做） 题5（原创）树状图法（不放回） 成都文创四张卡片：熊猫、芙蓉、脸谱、火锅（各1张）。不放回地随机抽出2张。 （1）请画出树状图（或列表），列举所有可能结果； （2）求恰好抽到“熊猫和芙蓉”这两张的概率。 P = = 。 题6（原创）列表法（不等可能） 成都某校七年级研学从{博物馆，植物园}中随机选1个基地，八年级从{博物馆，植物园，科技馆}中随机选1个基地，各基地被选到的可能性相等。用列表法求两个年级选到不同基地的概率。 七年级＼八年级 博物馆 植物园 科技馆 博物馆 (博,博) (博,植) (博,科) 植物园 (植,博) (植,植) (植,科) P(不同) = = 。 题7（改造）统计表＋概率综合 成都某校“校园足球颠球”比赛，甲、乙两班各10名同学的成绩（单位：个）如下： 甲班 70 78 82 82 83 87 90 92 95 96 乙班 68 76 80 84 86 88 90 93 95 99 （1）甲班成绩的中位数是　　　，众数是　　　； （2）若成绩超过90个为“优秀”，从两班共6名“优秀”同学中随机抽取2名交流，求这2名来自同一班的概率。 P(同班) = = 。 拓展层（选做） 题8（原创）统计图表＋方差决策＋概率（三段式综合） 成都大运会城市志愿者各服务项目人数如图。另有甲、乙两班志愿者服务时长评分（满分10分）各10个： 甲班评分 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 乙班评分 7 7 8 9 9 9 10 10 10 10 （1）志愿者总人数为　　　；人数最多的项目是　　　。 （2）甲、乙两班平均分相同，但甲班方差更小。若以“服务表现更稳定”为标准，应选　　　班，理由是　　　。 （3）从两班各8名志愿者中随机抽取2名（每班各1名）担任组长，共有多少种等可能结果？若要求两班各1名，概率是多少？ P(各1名) = = 1（每班各抽1名即满足） 题9（原创）转盘概率（几何模型） 成都某景区转盘分为四扇区，面积占比为：熊猫基地40%、宽窄巷子30%、都江堰20%、锦里10%。转动转盘（指针落各区域概率与面积占比相等），求指针指向“熊猫基地或宽窄巷子”的概率。 P = 40% + 30% = 。 题10（原创）几何概率（区域模型） 成都天府广场中央矩形花坛长8 m、宽6 m，内有一圆形喷泉半径2 m（如图）。向花坛内随机投一点，该点落在喷泉内的概率是 P = = （≈0.26）。 题11（改造）频率估计概率（方程思想） 成都某中学“数学建模”社团做摸球实验：袋中装有6个黑球和若干白球（不许倒出数）。有放回地随机摸取，共摸100次，其中60次摸到白球。请估计袋中白球约有多少个？ 解：设白球有 x 个，由频率估计概率得 　　 = ，解得 x = 9。估计袋中白球约 9 个。 4.2 参考答案与解析（按题号集中） 题1：C。A为随机事件（熊猫宝宝体重不超100 kg 常见）；B宜抽样；D方差小更整齐，应为乙班。 题2： P(熊猫) = 。 题3：排序108,110,115,115,117,120，中位==115；平均=≈114.2。 题4： P(两金) = × = 。 题5：共4×3=12种等可能，恰为熊猫+芙蓉的有序结果为(熊猫,芙蓉)、(芙蓉,熊猫)共2种，P==。 题6：共6种，不同基地4种，P==。 题7：甲排序后中位=(83+87)/2=85，众数82；优秀共6人(甲3乙3)，同班=C(3,2)+C(3,2)=6，总C(6,2)=15，P==。 题8：(1)总170、咨询最多；(2)选甲班（方差更小→更稳定）；(3)每班各抽1名共8×8=64种，满足“各1名”即全部，P=1。 题9： P = 40%+30% = 。 题10： P = = ≈ 0.26。 题11：设白球x， = → x=9，估计白球约9个。 五、学生版作业（无答案 · 供课堂发放） 本页题目与教师版完全一致，仅隐去答案与解析，请学生独立完成；答案见第四节“参考答案与解析（教师版）”。 基础层（必做） 题1（原创）事件类型与调查方式辨析 下列关于成都本地情境的说法，正确的是（　　） A. 在成都大熊猫基地随机观察一只出生熊猫宝宝，其体重超过100 kg是必然事件 B. 调查成都全市初中生每周体育锻炼时长，适宜采用全面调查（普查） C. 成都大运会男子100 m决赛，中国选手夺冠是随机事件 D. 两组跳绳成绩平均数相同，方差分别为 S甲²=18、S乙²=9，则甲组成绩更整齐 答：　　　 题2（原创）一步古典概型 “成都礼物”文创抽奖箱中有熊猫挂件2个、芙蓉花挂件1个（质地、大小完全相同）。从中随机取出1个，取到熊猫挂件的概率是　　　。 题3（改造）统计量：中位数与平均数 成都大熊猫繁育研究基地6只熊猫宝宝的体重（单位：kg）分别为：108，115，110，115，120，117。这组数据的中位数是　　　kg，平均数是　　　kg。 题4（原创）放回两步概率 大运会吉祥物“蓉宝”周边盲盒中，红色款1个、金色款2个（质地相同）。有放回地随机取两次，两次都取到金色款的概率是　　　。 提升层（必做） 题5（原创）树状图法（不放回） 成都文创四张卡片：熊猫、芙蓉、脸谱、火锅（各1张）。不放回地随机抽出2张。 （1）请画出树状图（或列表），列举所有可能结果； （2）求恰好抽到“熊猫和芙蓉”这两张的概率。　　　 题6（原创）列表法（不等可能） 成都某校七年级研学从{博物馆，植物园}中随机选1个基地，八年级从{博物馆，植物园，科技馆}中随机选1个基地，各基地被选到的可能性相等。用列表法求两个年级选到不同基地的概率。 七年级＼八年级 博物馆 植物园 科技馆 博物馆 (博,博) (博,植) (博,科) 植物园 (植,博) (植,植) (植,科) P(不同) = 　　　。 题7（改造）统计表＋概率综合 成都某校“校园足球颠球”比赛，甲、乙两班各10名同学的成绩（单位：个）如下： 甲班 70 78 82 82 83 87 90 92 95 96 乙班 68 76 80 84 86 88 90 93 95 99 （1）甲班成绩的中位数是　　　，众数是　　　； （2）若成绩超过90个为“优秀”，从两班共6名“优秀”同学中随机抽取2名交流，求这2名来自同一班的概率。 P(同班) = 　　　。 拓展层（选做） 题8（原创）统计图表＋方差决策＋概率（三段式综合） 成都大运会城市志愿者各服务项目人数如图。另有甲、乙两班志愿者服务时长评分（满分10分）各10个： 甲班评分 8 8 9 9 9 10 10 10 10 10 乙班评分 7 7 8 9 9 9 10 10 10 10 （1）志愿者总人数为　　　；人数最多的项目是　　　。 （2）甲、乙两班平均分相同，但甲班方差更小。若以“服务表现更稳定”为标准，应选　　　班，理由是　　　。 （3）从两班各8名志愿者中随机抽取2名（每班各1名）担任组长，共有多少种等可能结果？若要求两班各1名，概率是多少？ 题9（原创）转盘概率（几何模型） 成都某景区转盘分为四扇区，面积占比为：熊猫基地40%、宽窄巷子30%、都江堰20%、锦里10%。转动转盘（指针落各区域概率与面积占比相等），求指针指向“熊猫基地或宽窄巷子”的概率。 P = 　　　。 题10（原创）几何概率（区域模型） 成都天府广场中央矩形花坛长8 m、宽6 m，内有一圆形喷泉半径2 m（如图）。向花坛内随机投一点，该点落在喷泉内的概率是 P = 　　　。 题11（改造）频率估计概率（方程思想） 成都某中学“数学建模”社团做摸球实验：袋中装有6个黑球和若干白球（不许倒出数）。有放回地随机摸取，共摸100次，其中60次摸到白球。请估计袋中白球约有多少个？ 解：　　　 六、附：GeoGebra 可编辑素材说明 本作业中的几何与转盘类图形，除文档内嵌的规范渲染图外，另提供 GeoGebra 源文件（.ggb），教师可用本机 GeoGebra 打开后自由编辑、重新导出或课堂演示： 素材文件 对应题目 可编辑内容 转盘概率-成都景点.ggb 题9 圆、四条半径分割扇区，可改扇区比例或标签 几何概率-天府广场.ggb 题10 矩形花坛与圆形喷泉，可改尺寸求面积比 坐标系-抛物线.ggb 拓展演示 函数 y=x²，可作轨迹拟合等延伸 说明：GeoGebra 6（Electron 版）不支持命令行静默出图，故文档插图采用规范数学风格渲染；上述 .ggb 为可编辑源码，供教师在本地 GeoGebra 中二次加工。 学科网（北京）股份有限公司 $