广西桂林市国龙外国语学校2026-2027学年高一上学期9月月考数学试卷

广西桂林市国龙外国语校2026年9月高一月考考试 数学试卷 一、选择题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.下列式子中，正确的是() A.0度N B.Z2{x∈R|2x-1>0} C.v2+10 D.2∈{(x,y)Ix=2或y=1 2.已知实数a,b,c,d满足：a>b>c>d,则下列不等式恒成立的是() A.a-c>b-d B.a+c>b+d C.ab>cd D.ac>bd 3.函数y=√1-x的定义域为() A.(-∞，1] B.[1,+∞) C.[0,1] D.[-1,+o) 4.如果关于x的不等式x2-am-b<0的解集是(1,3)，那么a+b等于() A.7 B.-7 C.1 D.-1 5.己知函数f(x-1)=(x-1)2,则f(-2)=() A.4 B.9 C.16 D.25 6.若“-1<x<3'是“x>2a-3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是() A.（-0,1) B.(-o,1] C.(1,+oo) D.[1,+0) 7.已知函数f(x)是(-o,+∞)的减函数，则下列各大小关系正确的是() A.f(-1.2)>f(1) B.f(3)<f(π) c.f(a-1)<f(a) D.fx2-x+1)>f(围 8.设m∈R,函数y=m的图象不可能是() A. B. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.与函数y=x表示同一个函数的是() A.y=Vx2 B.y=(x)2 t,1≥0 x,x>0 C.y= D.y= -t,t<0 -x,x≤0 10.以下四个命题中，是真命题的是() A.x∈R,x2≥0 B.存在整数x,y,使得2x+4y=5 C.a∈R,二次函数y=x2+2a的图象都关于y轴对称 D.若命题p:x>0,x2+x+1≥0，则P的否定为：3x<0,x2+x+1<0 11.设正实数x,y,满足x+y=1,则下列结论正确的是() A.y的最小值为 B.x2+y2的最小值为号 D.当0<x<时，是+2之25 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知集合A={1,2,},B={2,5}.若UB={1,2,4,5},则k=一 13.设函数f(x)= 53,则f=二 14.定义在(0+w)上的函数y=f()满足：对任意的x,与e(0,+切)，且≠5，均有）-f)0 X-x2 成立，f(3)=9,则不等式f(x)>3x的解集为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚 15.（本题13分)设全集U=R,A={x-2<x<3},B={x-3<x≤3}： (1)求AOB,(CA)UB (2)设集合C={-1,m,且C∩(AUB)={-1,求实数m的取值范围. 16(本题15分》卫知函数f)-“++满是f(-)+四=0，且》/2)-0 (1)求a,b的值： (2)判断函数f(x)在(1，+∞)上的单调性并证明； (3)命题“存在xo∈[2,4，使得f(x)≥2m-1成立”为真命题，求实数m的最大值： 17.(本题15分)己知f(x)是二次函数，满足f(0)=4,当x=-2时f(x)取得最小值0. (1)求函数f(x)的解析式： (2)解不等式f(x)>1: (3)设函数g(x)=f(x)-(4+21)x在区间[3,6]上不单调，求g(x)在区间3,6]上最大值m(t)的表达式： 18.(本题17分)某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙 两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润P,乙产品的 10Wa-1+4510≤a≤27)， 利润Q与研发投入a(单位：万元)分别满足P=了 800 9=a+35(10≤a≤90)，设甲产 +130(27<a≤90)，1 a+1 品的投入为x(单位：万元)，两种产品的总利润为f(x)(单位：万元). (1)求f(x)的表达式： (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？ 19.(本题17分)己知y=f(x)是定义域为[0，的函数，实数p∈(0，)，定义函数： f,(x)=(1-p)f(o)+pf(x)-f(px),x∈[0，]. (1)若f(x)=(x-,求函数y=()的值域： Q回若f)-3x-引函数y=才)满足2a+1≤f)≤d+a-l对任意的xe0,恒成立，求实数a的取值范国： (3)若y=f(x)满足：①f(0)=0,且当x∈(0，]时，x)>0:②对于任意p∈(0,1)，y=fn（x)满足f,(0)=0, 且当x∈(0，时，fn(x)>0;求证：函数y=h(x)= 因，0<x≤1在0，]上是严格增函数 0,x=0 《广西桂林市国龙外国语校2026年9月高一月考考试数学试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B A C A B A D ACD AC ABD 6.B 【详解】因为“-1<x<3”是“x>2a-3”的充分不必要条件， 所以(-1,3)是(2a-3,+∞)的真子集， 则2a-3≤-1，解得a≤1， 故选：B 8.D m ,x>0 【详解】fx)=x m m ,x<0 当m=0时f(x)=(x≠0)，图象如A选项： 当m>0时，x>0时f)=x-m 因为y=y=在(Q+四)单词通消，得在(Q+四)单调通端： x<0时f因)=-x-”，令-x=1,得0=1+”，1>0为对勾函数， 所以f0在(Vm,+∞单调递增，(0，vm)单调递减， 所以根据复合函数单调性得f(x)在(-∞，-√m)单调递减，（-Vm,0)单调递增，图象C符合： 当m<0时，x<0时f田)=-x-m 因为y=少=在（←0单调避减，放在(@，0）单调运减 >0时闭=至+为对勾路数 所以f)在(0，√m)单调递减，（V一m,+∞单调递增，图象B符合： 由BD可知当x>0时，f(x)在(0，+∞)不会单调递减，D不符合 9.ACD 【详解】y=x的定义域为R,当x>0时，y=x,当x≤0时，y=-x, 选项A:y=VF,由x2≥0，得x∈R,且y=V=x,故A正确： 选项B:y=(x),定义域x≥0，与y=x的定义域不同，故B错误： [t,1≥0 选项C:y= ,1<0'定义域为R,解析式与y=相同，放C正确： x,x>0 选项D:y= -x,x≤0’ 定义域为R,解析式与y=x相同，故D正确： 故选：ACD 10.AC 【详解】对于A,显然为真命题： 对于B,2x+4y=2(x+2y)一定为偶数，故B选项为假命题： 对于C,设f(x)=x2+2a,易知其定义域为R,又f(-x)=(-x)}+2a=f(x),所以f(x)的图象关 于y轴对称，故C选项为真命题： 对于D,若命题p:x>0,x2+x+1≥0，则p的否定为：3x>0,x2+x+1<0,故D选项为假命题， 故选：AC 11.BD 【详解】由平均值不等武得：y≤（告）子当且仅当x=y=时取等号，所以A不对： ≥(）得2+222x 当且仅当x=y=时取等号，所以B对： 对于C选项，左边取负值，故C不正确： 由权方和不等式得：+品会+品≥=25，当且仅当x=时取等号，放D正确： 三、填空题 12.4 13.8 14.(3,+∞) 12【详解】因为集合A={1,2,k},B={2,5},且AUB={1,2,4,5}, 所以4∈A,所以k=4, 13.【详解】函数f(x)= [x2-2x,x23 -x+5,x<3,则f0=-1+5=4, 所以f(f0)=f(4)=42-2×4=8 故答案为：8 4.【详解]对任意的，50，四，且石≠5，均有/)飞)0成立。 X1-x2 即5 (()( x2>0 对任意的x,x2∈(0，+∞)成立， X1-x2 f(x)f(x2) 则名占>0对任意的，6∈(0，+0)成立， X1-x2 令g)=儿因，则g闲-儿因在0，四单调递增， 又f(x)>3x,f(3)=9, 即f四>3，且g6)-f)-3, 3 即g(x)>g(3),又g(x)在(0，+∞)单调递增， 解得：x>3, 所以不等式f(x)>3x的解集为(3，+o) 故答案为：(3，+∞) 四、解答题 15.(1)A∩B={x|-2<x<3},(CA)UB=R (2)(-∞，-3]U(3,+∞). 【详解】(1)由A={-2<x<3},B={-3<x≤3}，得A∩B={x|-2<x<3}…(2分) 而全集U=R,则CA={xx≤-2或x≥3}，… (4分) 所以(yA)儿UB=R.…(6分) (2)AUB={x-3<x≤3… (8分) cn(AUB)={-1). m∈C但m度AUB… …(10分) .m≤-3或m>3 所以，实数m的取值范围是(-0∞，-3]U(3,十∞).…(13分) 16.(1)a=1,b=0 (2)增函数 号 (f(-1)+f(1)=0 【详解】(1)由题知得方程组： f(-)+f2)=0 …（1分) 解得：a=1,b=0.…(4分) (2)由(1)得fx)=x+ …(5分) 函数∫(x)在(1，十∞)上单调递增.… …（7分) 正明：设1<x1<,则f）-k)=5+-5-16-55-山 …(8分) X, XX2 因为1<x1<X2,所以x-X2<0,X1x2>1,x1x2-1>0,… (9分) 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),…(10分) 所以函数∫(x)在(1，+o)上单调递增. (3)油(2)知函数f(x)在[2,4上是递增函数，最大值为f(4)=…(12分) 由命题“存在x∈[2,4纠，使得f(x)≥2m-1成立”为真命题，得f(xo)max≥2m-1…(13分) 所以4≥2m-1, 所以得m≤告 …（14分) 所以实数m的最大值为2…(15分) 8 17.(1)f(x)=(x+2)2 (2)(-0,-3)U(-1,+0) (40-12t,3<t≤号 (3)m(t)= 13-6t,?<t<6 【详解】(1)由已知可设f(x)=a(x+2)2,a>0… (2分) f0)=4, .4=a(0+2)2, 解得a=1… …（4分) f(X)=(X十2)2.…（5分) (2)由f(x)>1→(x+2)2>1 X十2<-1或X十2>1…（7分分) →x<-3或x>-1 所以，原不等式的解集为(-∞，一3)U(-1,十∞)。…(9分) (3)gx)=f(x)-(4+2t)x=(x+2)2-(4+2t)x=(x-t)2+4-t2.…(10分) g(x)在区间3,6上不单调， ∴.3<t<6.… (12分) 当3<t≤时，g(x)在区间[3,6上的最大值为g(6)=40-12t…(13分) 当<t<6时，g()在区间3,6上的最大值为g(3)=13-6t…(14分) 40-12t,3<t≤ 综合，函数g(x)在区间[3,6上最大值的表达式为m()= …（15分) 13-6t,号<t<6 10Vx-1-x+180,10≤x≤27 18.(1)f(x)= 800 -x+265,27<x≤90 x+1 (2)甲投入27.3万元，乙投入72.7万元时，利润最大是209.4万元 【详解】(1)甲产品的投入为x(单位：万元)，则乙产品的投入为100-x(单位：万元)，…(2分) 则乙产品的利润9=(I00-x)+35=135-x…(3分) 当10≤x≤27时，P=10Wx-1+45,… (4分) 所以f(x)=10Vx-1+45+(135-x)=10Wx-1-x+180,… （5分) 当27<x≤90时，P=-800 x+1 130,…(6分) 所以f(=-80+130+135-=80 -x+265,. (7分) x+1 +1 10√x-1-x+180,10≤x≤27 综上所述，f(x) 800 (8分) -x+265,27<x≤90 x+1 (2)当10≤x≤27时，令1=Vx-1,则t∈3，V26,x=P+1,…(9分) 则f(x)=f()=101-(+1+180=-+101+179,…(10分) 当t=5时，函数f()有最大值， (11分) 即当x=26时，函数f(x)有最大值f(26)=10×V26-1-26+180=204.…(12分) 当27<x≤90时， f(x)=-800 800 当且仅当80 +1 =x+1,即x=20W2-1≈27.3…（15分) 因为204<209.4. 所以当甲投入27.3万元，乙投入72.7万元时，才能使总利润最大，最大利润是209.4万元.…(17分) 19. (2)(-0,-2] 3)见解析 【详解】1)已知f()-(-,p根据，(=0-p)0)+(-()可得： --roeG …(分) 因%0-0-旷=w国-x-.G- 所以()-1+x---可”，展开并化筒可得： (-+-2x+--*小-x* 1_12+x-1=x2 24 (2分) 因为x∈[0，， 根据二次函数的性质，y=二x在[0，]上单调递增， A 所以当x=0时，()取得最小值0： 当x=1时，有国取得最大值为好：所以函数有(@以的位线为0引： (4分) (2)已知f)=-Bx-p=根据，()=-p)o)+f)-f(可得： --ro+r-G 因为7o-=Bx0引--BxG信-B×x, ，…(5分) 323 3∠0 则得对程小0 ②当 <1时，3x子0x<0 则-1引目-1=2x-1: 0,0≤x≤2 所以()={ (6分) 1 2x-2x≤1 当0≤x≤时，才网=0，当2x≤1时，网=2x-1单调递增， 所以(x)∈(0，小， 综上，（的值域为[0，刂， …(7分) 因为2a+l≤f(x)≤a+a-l对任意的xe[0,]恒成立， 2a+1≤0 所以d+a-121 …(9分) 解得a≤-2， 所以实数a的取值范围是-00，-2]；…（10分) (3)设0≤x<x2≤1，分情况讨论：当x=0时，h(x)=0,…(11分) 因为当x∈(0，]时，f(x)>0, 所以h5)=f0,则h5)<h(5), （12分) X2 当0<x<x≤1时，令p=∈(0,1)， 则f,(x)=(1-p)f(O)+f(x)-f(px), 因为fo=0,所以)卢s)(西)-鸢f)-fs), …(14分) 又因为当xe(0,则时，>0，所以，()》0，即2f()-f6)》0…15分) 移项可得 fs,f）,即x)>h(): (16分) 综上，对于任意的0≤x<x2≤1，都有h(x)<h(x), 所以函数h()在区间0，上是严格增函数.… …(17分)