25.2.1一元二次方程 配方法（第2课时)教学课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.1 配方法 （第2课时） 人教版 数学 九年级 上册 化为一般形式，可得 x2+6x-16=0 现有一块矩形场地，它的长比宽多6米，面积为16平方米，求这块场地的长和宽各是多少？ x(x+6)=16 新课导入 解：设场地宽是xm，那么长是（ x＋ 6）m，由长方形面积为16m2，可列方程 这个方程怎么解？还能用直接开平方法吗？ 25.2 降次——解一元二次方程/ 2.弄清直接开平方法与配方法的联系与区别. 学习目标 1.知道配方是怎么一回事，会用配方法解一元二次方程，并能处理相关问题. 25.2 降次——解一元二次方程/ (1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2. 2.下面这些方程能直接开平方求解吗？? 1.用直接开平方法求解下面各方程:: (1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0. 把这两题变形为 (x+n)2=p(p≥0)的形式，再用开平方来求解. 新知探究 配方法的定义 知识点 25.2 降次——解一元二次方程/ 大家还能记起来吗？把下面的完全平方公式补充完整. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 先填空（根据 ） 在配方时, 等式两边要同时加上一次项系数一半的平方. 5 6 从中你能发现什么规律？ 这几个方程的二次项系数都是1. 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 6 6 【思考】 如何解这个方程: x2+6x+4=0. （1）方程x2+6x+4=0如何变成（x+n)2=p的形式呢？ 解： x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 两边同加99 二次项系数为1的完全平方式：常数项恰为一次项系数一半的平方. 新知探究 （x+3）2=5 左边配成完 全平方形式 25.2 降次——解一元二次方程/ （2）为什么要在方程x2+6x=-4的两边同加9？换成别的数行不行？ 点拨：不行，只有在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边才能配成完全平方x2+2bx+b2的形式. 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 像这样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法. 之所以配方，是为了借助开方实现降次 ，把一个一元二次方程化成两个一元一次方程来求解. 配方法的概念 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 例1 解方程： 解：（1）先移项，得 x2－8x=－1, 配方，可得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15. 由此得到 素养考点 1 探究新知 解二次项系数为1的一元二次方程 25.2 降次——解一元二次方程/ 解方程x2+8x-4=0 解：移项，得 x2+8x＝4. 配方，得 x2+8x+4²=4+4². 整理，得 (x+4)2=20. 由此可得 x+4= ， x1＝ ， x2＝ . 当堂练习 25.2 降次——解一元二次方程/ 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1. 例2 解方程：（1） 解二次项系数不为1的一元二次方程 素养考点 2 新知探究 移项和二次项系数化为1这两步的先后顺序能对调吗？? 25.2 降次——解一元二次方程/ 配方，得 由于实数的平方不可能是负数，所以x取任意实数时，（x-1）2都不是负数，等式不成立，所以原方程无实数根． 解：先移项，得 二次项系数化为1，可得 为什么两边要同时加上12？ 即 新知探究 （2） 25.2 降次——解一元二次方程/ 13 思考1：用配方法解一元二次方程，在移项时需要注意什么？ 思考2：用配方法解一元二次方程的步骤. 移项时要注意改变符号. ①一移：移项，把常数项挪到右边，含未知数的项移到左边； ②二化：二次项系数化为1； ③三配：配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方形式； ④四开：开平方，依据平方根的意义直接开平方；； ⑤五解：分别解出两个一元一次方程. 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 一般地，一个一元二次方程都能通过配方转化为 (x+n)2=p的形式. ①当p>0时，方程有两个不等的实数根 ②当p=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-n； ③当p<0时,由于对任意实数x，都有 (x+n)2≥0，因此方程无实数根. 思路点拨 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 15 解下面各方程： 当堂练习 解: 移项，可得 配方，得 由此得到 二次项系数化为1，可得 整理，得 3x2+6x=4. x2+2x= . x2+2x+12= +12， (x+1)2= 即 x+1=± . x1= ， x2= . （1） 25.2 降次——解一元二次方程/ 当堂练习 解: 移项，可得 配方，得 于是可得 二次项系数化为1，得 整理，得 x1= ， x2= . 4x2-6x=3. x2- x= . （2） 25.2 降次——解一元二次方程/ 当堂练习 解：移项，可得 ∴ x取任意实数，等式都不成立， 即原方程无实数根． ∵ 对任意实数x都有 ( x+1 )2 ≥ 0, 配方，得 x2+2x+1=-2+1. 整理，得 x2+2x=-2. (x+1)2=-1. （3） 25.2 降次——解一元二次方程/ 18 当堂练习 解：去括号，得 x2+4x=8x+4. 移项，可得 配方，得 由此可得 x-2=±2， 整理，得 x2-4x=4. (x-2)2=8. x1=2+2 , x2=2-2 . x2-4x+2²=4+2²， 因此 （4） x（x+4）=8x+4. 25.2 降次——解一元二次方程/ 例3 用配方法证明：无论k取什么实数，多项式 k2－4k＋5 的值总大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1 因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1. 所以k2－4k＋5的值总大于零. 用配方法求多项式或字母的值（或取值范围） 素养考点 3 新知探究 思路点拨：要证代数式的值总为正数,,需借助配方法把它写成若干个非负数的和，再依据,利用非负数的性质说明该的值恒为正数. 25.2 降次——解一元二次方程/ 例4 若a,b,c为△ABC的三边长，且 试判定△ABC的形状. 解：对原式进行配方，得 由非负数的性质可得 由勾股定理的逆定理可知，△ABC为直角三角形. 新知探究 由此得到 即 25.2 降次——解一元二次方程/ 当堂练习 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一个根为x = 0，则m的值为（ ） A. 1 B.1 C.1或2 D.1或-2 应用配方法求最大（小）值. (1)求 2x2 - 4x+5的最小值 (2) -3x2 + 12x -16的最大值. C 解：原式 = 2(x - 1)2 +3 因为 2(x - 1)2 ≥0， 所以 2(x - 1)2 +3 ≥3 故当x =1时，原式取得最小值3. 解：原式= -3(x - 2)2 - 4 因为 (x - 2)2 ≥0，即-3(x - 2)2 ≤0， 所以 -3(x - 2)2 -4≤-4 故当x =2时，原式取得最大值-4. 25.2 降次——解一元二次方程/ 类 别 方 法 归 纳 求最值或证明代数式的值总为正（或负） 完全平方式中的配方 借助配方凑成非负数的和 对一个含x的二次多项式，配方化成a(x+m)2＋n的形式后，因为x不管取什么实数都有(x+m)2≥0，n为常数，当 a＞0时，它就有最小值；当a＜0时，它就有最大值 例如：已知x2－2mx＋16是完全平方式，则一次项系数一半的平方应等于16，即m2=16，m=±4 含多个未知数的二次等式求字母的值时，解题突破口常常是把它配方成若干个完全平方式、其和为0，而非负数之和为0，每个加数都为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2 配方法的应用 新知探究 25.2 降次——解一元二次方程/ 23 （新疆中考）用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方之后所得的方程应是（　　） B 中考在线 A．（x+6）2=28 B．（x-6）2=28 C．（x+3）2=1 D．（x-3）2=1 25.2 降次——解一元二次方程/ 24 当堂达标 1. 解方程： 4x2-8x-4=0. 解：移项，得4x2-8x=4， 基础题 二次项系数化为1，可得 x2-2x=1， 配方，得 x2-2x+1=1+1, 整理，得 （x-1）2=2, 25.2 降次——解一元二次方程/ 当堂达标 2.用配方法证明：无论x取什么值，代数式－x2－x－1的值恒为负数，并求出它的最大值. ： 原式= = = 25.2 降次——解一元二次方程/ 当堂达标 3.若 ，求(xy)z 的值. 解：对原式进行配方，得 根据非负数的性质可知 25.2 降次——解一元二次方程/ 4.如图，在一块长35 m、宽26 m的矩形地面内，修两条同样宽且互相垂直的道路，其余部分种花草，若剩余部分的面积为850 m2，求道路的宽是多少？  解：设道路宽为x m, 由题意可得 （35-x)(26-x)=850， 整理得 x2-61x+60=0. 解得 x1=60（不符合题意，舍去）, x2=1. 答：道路的宽为1 m. 当堂达标 25.2 降次——解一元二次方程/ 28 已知a,b,c为△ABC的三边长，且 试判定△ABC的形状. 解：对原式进行配方，得 由非负数的性质可知 所以，△ABC为等边三角形. 当堂达标 能力挑战题 25.2 降次——解一元二次方程/ 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法 步骤 一移、二化、三配、四开、五解 易错提醒： 配方前要先把方程整理成x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值、证明 课堂小结 25.2 降次——解一元二次方程/ 课后作业 作业 内容 教材作业 选自课后习题 自主选做 配套练习册上的习题 25.2 降次——解一元二次方程/ $