25.2.2 公式法 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心知识点包括求根公式推导、根的判别式及应用。课堂导入通过回顾配方法步骤，指出重复操作的繁琐，引导学生思考对一般形式方程配方推导通用公式，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，通过配方法迁移推导求根公式，培养推理能力。分类讨论判别式三种情况，发展逻辑思维。步骤归纳“一化、二定、三算、四求”简洁规范，例题覆盖不同根的情况及实际问题。帮助学生理解公式本质，提升运算能力，教师可利用其系统流程提高教学效率。

25.2.2公式法 2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一元二次方程 1 问题 上节课，我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，请同学们回顾一下配方法的具体步骤． 任意一个一元二次方程都能用配方法求解吗？ 适用于任意一个一元二次方程. 移项 二次项系数化为1 配方 开方 求解 问题 运用配方法确实能求解任意一个一元二次方程，但每解一个方程，都要重复一遍配方的步骤，十分繁琐．我们知道，任何一个一元二次方程都能化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，那么，能不能对这个带字母系数的一般形式进行配方，直接推导出通用结果？ 问题 配方法解方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)． 分析：移项 → 二次项系数化为 1 → 配方 → 开方 → 求解． 解：移项，得 ax2＋bx＝－c． 二次项系数化为 1，得 配方，得 配方时，方程两边应该同时加上怎样的常数？ 两边同时加上一次项系数一半的平方 如何开平方？ 问题 方程① 如何开平方？ b2－4ac 的值有三种情况． 因为 a≠0，所以 4a2＞0． （1）当 b2－4ac＞0 时， 由①得 方程有两个不相等的实数根 问题 方程① 如何开平方？ b2－4ac 的值有三种情况． 因为 a≠0，所以 4a2＞0． （2）当 b2－4ac＝0 时， 由①可知， 方程有两个相等的实数根 问题 方程① 如何开平方？ b2－4ac 的值有三种情况． 因为 a≠0，所以 4a2＞0． 方程是否有解取决于b2－4ac 的符号 （3）当 b2－4ac＜0 时， 由①可知 而 x 取任何实数都不能使 成立，因此方程无实数根． 新知 式子 b2－4ac 可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac． （1）若一元二次方程存在实数根，则需同时具备两个条件：①二次项系数 a≠0；②Δ≥0． （2）判别式只能用于判断一元二次方程根的情况． 归纳 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 实数根的情况． （1）当Δ＞0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个不相等的实数根； （2）当Δ＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两个相等的实数根； （3）当Δ＜0时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 无实数根． 问题 （1）当Δ＝b2－4ac＞0 时， （2）当Δ＝b2－4ac＝0 时， 当Δ≥0 时， 新知 当Δ≥0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为 的形式，我们把这个式子叫作一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式． 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法． 解：因为 a＝1，b＝5，c＝－25，所以 Δ＝b2－4ac＝52－4×1×(－25)＝125＞0． 练习 用公式法解本章章引言中列出的一元二次方程 x2＋5x－25＝0． 这两个根都符合问题的实际意义吗？ x表示雕像腰部以下的身长， 只有 x1≈3.09 符合实际意义． 例　用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2） 解：（1）因为 a＝1，b＝－4，c＝－7，所以 Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0． 方程有两个不相等的实数根 例　用公式法解下列方程： （1）x2－4x－7＝0； （2） 解：（2）因为 a＝2，b＝ c＝1，所以 Δ＝b2－4ac＝ ＝0． 方程有两个相等的实数根 例　用公式法解下列方程： （3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x． 解：（3）方程化为 5x2－4x－1＝0， 此时 a＝5，b＝－4，c＝－1，所以 Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0． 方程有两个不相等的实数根 例　用公式法解下列方程： （3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x． 解：（4）方程化为 x2－8x＋17＝0， 此时 a＝1，b＝－8，c＝17，所以 Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0． 方程无实数根． 归纳 用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）先把方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； （2）确定 a，b，c 的值（注意符号）； （3）计算Δ＝b2－4ac 的值，判断方程根的情况； （4）当Δ≥0 时，把 a，b，c 的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当Δ＜0 时，方程无实数根． 简记为：一化、二定、三算、四求． 1．用公式法解下列方程： （1）x2＋x－6＝0； （2） 解：（1）因为 a＝1，b＝1，c＝－6，所以 Δ＝b2－4ac＝12－4×1×(－6)＝25＞0． 方程有两个不相等的实数根 1．用公式法解下列方程： （1）x2＋x－6＝0； （2） 解：（2）因为 a＝1，b＝ c＝ 所以 Δ＝b2－4ac＝ 方程有两个不相等的实数根 1．用公式法解下列方程： （3）3x2－6x＋4＝0； （4）2x2－3x＝0； 解：（3）因为 a＝3，b＝－6，c＝4，所以 Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×3×4＝－12＜0． 方程无实数根． 1．用公式法解下列方程： （3）3x2－6x＋4＝0； （4）2x2－3x＝0； 解：（4）因为 a＝2，b＝－3，c＝0，所以 Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×0＝9＞0． 方程有两个不相等的实数根． 1．用公式法解下列方程： （5）x2＋4x＋8＝4x＋11； （6）x(2x－4)＝5－8x． 解：（5）方程化为 x2－3＝0，此时 a＝1，b＝0，c＝－3， 所以Δ＝b2－4ac＝02－4×1×(－3)＝12＞0． 方程有两个不相等的实数根 1．用公式法解下列方程： （5）x2＋4x＋8＝4x＋11； （6）x(2x－4)＝5－8x． 解：（6）方程化为 2x2＋4x－5＝0， 此时 a＝2，b＝4，c＝－5， 所以Δ＝b2－4ac＝42－4×2×(－5)＝56＞0． 方程有两个不相等的实数根 公式法解一元二次方程 求根公式 解方程的步骤 一化、二定、三算、四求 根的判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 Δ＜0 时，方程无实数根 谢谢 $