第13讲 圆周运动 讲义- 2027届高三物理一轮复习

第13讲 圆周运动 【基础回顾】 一、描述圆周运动的物理量 二、匀速圆周运动及向心力 1．匀速圆周运动 （1）定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动叫作匀速圆周运动。 （2）特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 （3）条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．向心力 （1）作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 （2）大小：。 （3）方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 （4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。 三、变速圆周运动 1．速度特点：线速度的大小、方向都变化。 2．合力特点： 合力产生两个效果： （1）沿半径方向的分力 （即向心力），它改变速度的方向； （2）沿切线方向的分力 ，它改变速度的大小。 四、离心运动 1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 3．受力特点： （1）当 时，物体做匀速圆周运动。 （2）当 时，物体沿切线方向飞出。 （3）当 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 （4）当 时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 注意：物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。 题型一 圆周运动运动学分析 1．匀速圆周运动的关系式 （1）线速度与角速度：。 （2）线速度与周期、频率、转速：。 （3）角速度与周期、频率、转速：。 （4）向心力：。 （5）向心加速度：。 2．常见的三种传动方式及特点： 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 、 两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，、 两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，、 两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：；向心加速度与半径成正比： 角速度与半径成反比：；向心加速度与半径成反比： 角速度与半径成反比：；向心加速度与半径成反比： 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）图为G20杭州峰会文艺演出中的一个场景：一把巨大的机械折扇在西湖水面上徐徐打开，扇面通过投影技术呈现出绚丽图案。扇面上的、两点随着扇面的打开而转动，始终处于同一个圆的同一条半径上，则下列说法正确的是（     ） A．、两点在相同时间内的位移相同 B．在相同时间内，点运动的路程大于点运动的路程 C．点的角速度比点的大 D．点的向心加速度比点的小 【例2】（2026·四川雅安·一模）（多选）骑自行车出行不仅环保还能健身。如图所示是某自行车传动系统，链条套在前、后齿盘上，齿盘齿数与齿盘半径成正比；前齿盘有50齿，后齿盘有转轴相同但齿数不同的多个齿盘。现将链条套在前齿盘和齿数为25齿的后齿盘上，提起后轮，转动脚蹬，前、后齿盘在链条带动下转动，齿数为n的齿盘边缘线速度为，角速度为，向心加速度为，周期为。下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向左运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度增大 D．锯条往复运动的周期是40s 【变式训练3】（26-27高三上·福建厦门·开学考试）（多选）如图所示，狗通过不可伸长的轻绳拉动雪橇，狗和雪橇在水平地面上均做匀速圆周运动，狗的运动半径r小于雪橇的运动半径R，周期相同。雪橇质量为M，与地面的动摩擦因数为μ，绳与地面平行，重力加速度为g，则（　　） A．狗的角速度小于雪橇角速度 B．狗的线速度小于雪橇线速度 C．狗的加速度小于雪橇加速度 D．轻绳拉力大小为μMg 题型二 生活中的圆周运动 1．匀速圆周运动的向心力 （1）作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 （2）大小：。 （3）方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2．匀速圆周运动中向心力的来源： 运动模型 向心力 的来源（图示） 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 3．离心运动和近心运动 （1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 （2）受力特点（如图）： ①当 时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当 时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 （3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏连云港·开学考试）如图所示，两同学到游乐场乘坐“旋转秋千”，他们分别坐在用相同长度的轻质缆绳悬挂的座椅中，两同学（含座椅）质量不同。不计空气阻力，当水平圆盘带着两人达到匀速转动时，下列说法正确的是（     ） A．质量大的同学运动的周期小 B．质量大的同学运动的半径小 C．两同学运动的线速度大小相等 D．两同学运动的向心力大小相等 【例2】（25-26高三上·陕西咸阳·期中）（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（     ） A．该弯道的半径 B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 【变式训练1】（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）下列各图都绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，说法正确的是（     ） A．甲图中若绳长相等，2球的线速度小于1球的线速度 B．乙图中若两球轨道在同一水平面上，1球周期大于2球的周期 C．丙图中，A球角速度大小小于B球角速度大小 D．丁图中，当制陶工作台角速度ω逐渐增大，A、B所受的摩擦力始终指向轴 【变式训练2】（26-27高三上·天津河西·开学考试）如图所示，长为的细绳一端固定，另一端系一质量为的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为，下列说法中正确的是（     ） A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．越大，小球运动的角速度越小 C．越大，小球运动的速度越大 D．越大，小球运动的周期越大 【变式训练3】（2026·山西太原·一模）（多选）如图所示，质量为的运动员踩着质量为的冲浪滑板，在水平面内匀速转弯。滑板底部装有转向桥，滑板平面可向任意方向倾斜。运动员的身体保持在一条直线上，该直线始终与滑板平面垂直，且与圆心、所在的竖直线的夹角为。运动员与滑板之间只存在垂直于板面的弹力作用。运动员、滑板重心所在圆弧的半径分别为、，两者相对静止且转弯的角速度均为。已知重力加速度为，空气阻力及滑板与地面的滚动摩擦均不计。下列说法正确的是（　　） A．运动员身体与竖直方向的夹角满足 B．运动员受到滑板的作用力的大小为 C．滑板受到地面的静摩擦力大小为 D．滑板与地面间的动摩擦因数至少为 题型三 水平面上的圆周运动及临界问题 三种临界情况： （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 。 （2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。 （3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是 。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏淮安·开学考试）如图所示，两个放置在水平转盘上的物块（视为质点）质量不同，到转轴的距离相同，与转盘之间的动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘的转速从0开始随时间均匀增大，直到物块发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．物块所受摩擦力指向圆心 B．质量小的物块先发生相对滑动 C．质量大的物块先发生相对滑动 D．两物块同时发生相对滑动 【例2】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）（多选）如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m且均可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕中心轴转动，且角速度可调，三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ。已知A、B、C三个物体与O点共线，且，现将三个物体用水平轻质细线相连，保持细线伸直且无张力，然后让圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．A的向心力增加最快 B．当时，整体才会发生滑动 C．当时，B、C间的细线开始提供拉力 D．当时，在ω增大的过程中，B、C间的拉力不断增大 【变式训练1】（24-25高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，圆盘在水平面内做匀速圆周运动，质量为M = 0.2 kg的小物块放置在水平圆盘的正中央，并用一根0.1 m长的轻质细线与质量为m = 0.1 kg的另一个小物块连接，两物块与圆盘间的动摩擦因数均为0.2。已知两个小物块均可看作质点，细线所能承受的拉力足够大，g取10 m/s2。要保证M、m与圆盘间不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高三上·山东济南·期中）如图所示，水平放置的圆盘绕中心轴在水平面内转动，放在圆盘上的小物块与圆盘保持相对静止一起做圆周运动。当圆盘转速逐渐变大时，从俯视角度观察圆盘对小物块的摩擦力方向，下列选项中可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练3】（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）（多选）如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中方向沿半径指向圆心，方向与方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（     ） A．当转盘匀速转动时，物块所受摩擦力方向为方向 B．当转盘匀速转动时，物块不受转盘的摩擦力 C．当转盘加速转动时，物块所受摩擦力方向可能为方向 D．当转盘减速转动时，物块所受摩擦力方向可能为方向 题型四 竖直平面上的圆周运动及临界问题 1．两类模型对比： 轻绳模型（最高点无支撑） 轻杆模型（最高点有支撑） 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 （ 向下或等于零） （ 向下、等于零或向上） 力学方程 临界特征 ，，即 ，即 ， 讨论分析 （1）最高点，若 ，，绳或轨道对球产生弹力 ；（2）若 ，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 （1）当 时，， 背离圆心；（2）当 时，， 背离圆心并随 的增大而减小；（3）当 时，；（4）当 时，， 指向圆心并随 的增大而增大 2．解题技巧： （1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； （2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系； （3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为，则座舱（     ） A．运动周期为 B．所受合力的大小始终为 C．在与转轴等高处受到摩天轮作用力的方向水平向左 D．在与转轴等高处受到摩天轮的作用力大小为 【例2】（24-25高三下·福建厦门·阶段检测）（多选）如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A、B均相对圆盘静止，则A、B所受摩擦力的大小一定相等 D．图d中两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同 【变式训练1】（25-26高三下·江苏淮安·期中）如图所示，在竖直平面内有一光滑圆形轨道，a为轨道最低点，c为轨道最高点，b点、d点为轨道上与圆心等高的两点，e为ab段的中点。一个质量为m的小物块在轨道内侧从a点运动到c点所用时间为t0，则在时，物块在（　　） A．A段 B．C段 C．D点 D．E段 【变式训练2】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）如图所示，在竖直面内有一半径为的四分之三圆形光滑轨道，以轨道圆心为坐标原点，建立坐标系。将一质量为的小球从点正上方处静止释放，从点进入圆轨道。小球经过轨道最低点时，对轨道的压力大小为，到达点时的速度大小为，且恰好脱离轨道。下列说法错误的是（     ） A．小球在点的速度大小为 B．小球在点所受合力竖直向下 C．点的坐标为 D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点与点的竖直高度差为 【变式训练3】（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）（多选）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（重力加速度大小为）（　　） A．如图甲，小球固定在细绳的一端，在竖直面内绕绳的另一端做圆周运动，小球通过最高点的速度至少等于 B．如图乙，若把地球看作半径为的巨大“拱形桥”，汽车的速度达到时会变成一颗“卫星”，这就是地球的第一宇宙速度 C．如图丙，A、B两个物块放在匀速转动的水平转台上随转台一起做匀速圆周运动，若，，转台转速缓慢加快时，物块A先开始滑动 D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，车轮对内轨会有挤压作用 题型五 斜面上的圆周运动及临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为 ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化： 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动。物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角，重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是（     ） A．物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动的最大向心力为0.3N B．运动过程中摩擦力方向始终指向圆盘中心 C．越大物块在最高点受到的摩擦力越大 D．倾斜圆盘角速度最大值 【例2】（26-27高三上·天津南开·阶段检测）（多选）内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个小球a和b紧贴内壁，且a球的质量为b球的两倍，分别在图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（     ） A．a球的线速度必大于b球的线速度 B．a球的角速度必小于b球的角速度 C．a球的运动周期必小于b球的运动周期 D．a球对筒壁的压力必大于b球对筒壁的压力 【变式训练1】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）如图所示，环球飞车是一种让观众心跳狂飙的表演，在直径只有6.5米的圆形铁球内，摩托车以每小时80公里的速度完成交叉穿越、90°飞行、360°旋转等高难度动作，视觉效果震撼。已知圆形铁球的半径为R，若某辆摩托车（可以视为质点）在距离圆形铁球最低位置高度的水平面内做匀速圆周运动，不计车轮与圆形铁球之间的摩擦力，重力加速度为g，则摩托车的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·四川·模拟预测）游乐场有一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图，魔盘侧面与水平面的夹角为。质量分别为M和m（）的大人和小朋友随魔盘一起转动，其轨道半径分别为R、r（），动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则（     ） A．大人受到的摩擦力可能小于 B．大人受到魔盘的支持力一定比小朋友大 C．大人受到魔盘的作用力一定比小朋友大 D．大人一定比小朋友后发生相对滑动 【变式训练3】（24-25高三·山东·三轮复习）（多选）如图所示，一个球壳固定在水平面上，内半径为。用长为的细线将小球甲悬于球壳内最高点。小球乙可在球壳内自由运动。现使两小球绕过球心的竖直轴以相同的角速度匀速转动，且甲与球壳没有接触。两小球均可视为质点，不计一切摩擦，则（     ） A．两小球速度一定相同 B．两小球间高度差一定为 C．两小球到竖直轴的距离相等 D．两小球的向心加速度大小相等 题型六 圆周运动的周期性多解问题 此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体一般做平抛运动，在特定条件下相遇；有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动；有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，直径为d的纸制圆筒绕轴O匀速转动，子弹以速度v沿截面直径匀速穿过圆筒。子弹在圆筒上留下A、B两弹孔，OA、OB的夹角为，则圆筒的角速度可能是（     ） A． B． C． D． 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示），OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是（     ） A．100 r/s B．180 r/s C．240 r/s D．340 r/s 【变式训练1】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距筒底面高为的点处，给一个质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中其表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，且的距离为。则下列说法正确的是（     ） A．小滑块的初速度 B．小滑块经过点的速度大小为 C．小滑块最后刚好能从点正下方的点滑离圆筒 D．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力不变 【变式训练2】（2026·云南·三模）如图所示，水平圆盘绕过盘心的竖直轴以角速度匀速转动。某时刻，当圆盘边缘某点转动到最右侧时，在轴上点以某一初速度水平向右抛出一个小球（可视为质点），经过一段时间，小球落在圆盘上的点。已知重力加速度大小为，不计空气阻力。则间距可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）（多选）如图所示，在半径为R的水平圆盘边缘处放置两个可视为质点的滑块a和b。其中a与圆盘之间的动摩擦因数为，b与圆盘之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现使圆盘绕过圆心O的竖直轴缓慢匀速转动，滑块a和b抛出时的速度方向相同，落地后立即停止。已知圆盘到地面的高度为R，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．滑块a抛出时的速度大小为 B．滑块b抛出时的速度大小为 C．滑块a、b落地点之间的距离为 D．滑块b的落地点到圆心O的距离为 题型七 圆周运动与图像结合问题 【解题指导】 1．清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。 2．对一次函数 要非常熟练，会用会画。 3．熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。 【数理思想与模型建构】 1．数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。 2．模型建构 （1）轻绳模型：① 时，绳子的弹力 ，方向竖直向下；②当 时，绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件。 （2）轻杆模型：①当 时，轻杆对物体的弹力 ，方向竖直向下；②当 时，轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度；③当 时，轻杆对物体的弹力 ，方向竖直向上。 【思维建构】 1．根据物理现象列出物理方程。 2．根据物理方程整理成函数关系。 3．将物理方程与一次函数相对应。 4．根据函数思想对应物理图像分析求解。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）如图（a）所示，一个可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕点做匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿轴的分速度随时间的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力，重力加速度为。则滑块与转台间动摩擦因数和图（c）中阴影部分面积大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【例2】（2026·陕西西安·一模）（多选）如右图所示，三个物体、和放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接、和、。物体、、与圆心距离分别为、和，已知，，物体、、在一条过圆心的直线上且与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度绕过圆心的轴匀速转动时，、之间绳中弹力和、之间绳中弹力随的变化关系如下图所示，取，下列说法正确的是（     ） A．物体的质量 B．物体与圆心距离 C．当角速度为时，圆盘对的静摩擦力大小为 D．当角速度为时，、即将与圆盘发生相对滑动 【变式训练1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025·四川遂宁·二模）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为的小球相连，另一端穿入小孔与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到点距离为，重力加速度为，则下列说法不正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度为 B．小球通过最高点时速度为 C．小球通过最高点时速度为 D．小球通过最低点时速度为 【变式训练3】（25-26高三上·河南平顶山·期末）（多选）如图甲所示，倾斜圆盘与水平面的夹角，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影、的关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，下列说法正确的是（     ） A．滑块的质量为1kg B．滑块受到的向心力大小为5N C．滑块受到的静摩擦力的最大值为8N D．滑块与圆盘之间的动摩擦因数可能为 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 圆周运动 【基础回顾】 一、描述圆周运动的物理量 二、匀速圆周运动及向心力 1．匀速圆周运动 （1）定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，所做的运动叫作匀速圆周运动。 （2）特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动。 （3）条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。 2．向心力 （1）作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 （2）大小：。 （3）方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 （4）来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供。 三、变速圆周运动 1．速度特点：线速度的大小、方向都变化。 2．合力特点： 合力产生两个效果： （1）沿半径方向的分力 （即向心力），它改变速度的方向； （2）沿切线方向的分力 ，它改变速度的大小。 四、离心运动 1．定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。 3．受力特点： （1）当 时，物体做匀速圆周运动。 （2）当 时，物体沿切线方向飞出。 （3）当 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 （4）当 时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 注意：物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。 题型一 圆周运动运动学分析 1．匀速圆周运动的关系式 （1）线速度与角速度：。 （2）线速度与周期、频率、转速：。 （3）角速度与周期、频率、转速：。 （4）向心力：。 （5）向心加速度：。 2．常见的三种传动方式及特点： 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 、 两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，、 两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，、 两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 转向 相同 相同 相反 规律 线速度与半径成正比：；向心加速度与半径成正比： 角速度与半径成反比：；向心加速度与半径成反比： 角速度与半径成反比：；向心加速度与半径成反比： 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）图为G20杭州峰会文艺演出中的一个场景：一把巨大的机械折扇在西湖水面上徐徐打开，扇面通过投影技术呈现出绚丽图案。扇面上的、两点随着扇面的打开而转动，始终处于同一个圆的同一条半径上，则下列说法正确的是（     ） A．、两点在相同时间内的位移相同 B．在相同时间内，点运动的路程大于点运动的路程 C．点的角速度比点的大 D．点的向心加速度比点的小 【答案】B 【详解】AB．由图根据扇子的运动过程可得，A点的位移和路程大于B点位移和路程，故A错误，B正确； C．扇子打开的过程中，做圆周运动，A、B两点属于同轴转动，转动的角速度相同，故C错误； D．A点的半径大于B点，根据可知，A点的向心加速度比B点的大，故D错误。 故选B。 【例2】（2026·四川雅安·一模）（多选）骑自行车出行不仅环保还能健身。如图所示是某自行车传动系统，链条套在前、后齿盘上，齿盘齿数与齿盘半径成正比；前齿盘有50齿，后齿盘有转轴相同但齿数不同的多个齿盘。现将链条套在前齿盘和齿数为25齿的后齿盘上，提起后轮，转动脚蹬，前、后齿盘在链条带动下转动，齿数为n的齿盘边缘线速度为，角速度为，向心加速度为，周期为。下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】A．前、后齿盘在链条带动下转动，所以两齿盘边缘的线速度大小相等，即，故A错误； B．根据， 可得，故B正确； C．根据， 可知，故C正确； D．根据， 可知，故D错误。 故选BC。 【变式训练1】（26-27高三·全国·一轮复习）如图所示，有一半径为r的圆环在一水平地面上向右运动，且其圆心速度大小为v。现有一木板，左端固定于地面之上，同时还搭于圆环之上，且木板与地面所成锐角为θ。则木板转动的角速度ω为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆环与木板的接触点为P，圆心为O，角的顶点为A，连接，A、P之间的距离为x，将圆心的速度分解为板的速度和圆环上P点的速度，如图所示 由几何关系有 由运动的合成与分解有 板的角速度为 解得 故选B。 【变式训练2】（26-27高三上·广东广州·阶段检测）马刀锯是一种木匠常用的电动工具。其内部安装了特殊的传动装置，简化后如图所示，可以将电动机的转动转化为锯条的往复运动。电动机带动圆盘O转动，圆盘O上的凸起P在转动的过程中带动锯条左右往复运动。已知电动机正在顺时针转动，转速n=2400r/min，OP=2cm。某时刻OP与锯条运动方向的夹角θ=37°，下列说法正确的是（     ） A．此时锯条向左运动 B．此时锯条的速度大小约为5 m/s C．OP从图示位置转过30°的过程中，锯条的速度增大 D．锯条往复运动的周期是40s 【答案】C 【详解】转速 角速度 ， 点线速度： A．圆盘顺时针转动，点线速度沿圆周切线斜向右上，将沿平行锯条、垂直锯条分解，平行锯条分速度向右，因此锯条向右运动，故A错误。 B．如图所示 锯条速度是沿锯条方向的分速度 ，故B错误。 C．从图示位置顺时针转过，变大、变大，变大，锯条速度增大，故C正确。 D．周期 ，故D错误。 故选C。 【变式训练3】（26-27高三上·福建厦门·开学考试）（多选）如图所示，狗通过不可伸长的轻绳拉动雪橇，狗和雪橇在水平地面上均做匀速圆周运动，狗的运动半径r小于雪橇的运动半径R，周期相同。雪橇质量为M，与地面的动摩擦因数为μ，绳与地面平行，重力加速度为g，则（　　） A．狗的角速度小于雪橇角速度 B．狗的线速度小于雪橇线速度 C．狗的加速度小于雪橇加速度 D．轻绳拉力大小为μMg 【答案】BC 【详解】A．狗和雪橇周期相同，根据角速度定义，二者角速度相等，故A错误； B．线速度公式为，二者角速度相同，已知狗的运动半径小于雪橇的运动半径，因此狗的线速度，故B正确； C．向心加速度满足，二者相同，已知狗的运动半径小于雪橇的运动半径，所以狗的加速度小于雪橇加速度，故C正确； D．雪橇做匀速圆周运动，地面滑动摩擦力是沿雪橇运动切线反方向的阻力，绳子拉力需要同时平衡该切向阻力、提供指向圆心的向心力，因此拉力是这两个垂直分量的合矢量，大小必然大于，故D错误。 故选 BC。 题型二 生活中的圆周运动 1．匀速圆周运动的向心力 （1）作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小。 （2）大小：。 （3）方向：始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力。 2．匀速圆周运动中向心力的来源： 运动模型 向心力 的来源（图示） 汽车在水平路面转弯 水平转台（光滑） 圆锥摆 飞车走壁 飞机水平转弯 火车转弯 3．离心运动和近心运动 （1）离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。 （2）受力特点（如图）： ①当 时，物体沿切线方向飞出，做匀速直线运动。 ②当 时，物体逐渐远离圆心，做离心运动。 ③当 时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动。 （3）本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏连云港·开学考试）如图所示，两同学到游乐场乘坐“旋转秋千”，他们分别坐在用相同长度的轻质缆绳悬挂的座椅中，两同学（含座椅）质量不同。不计空气阻力，当水平圆盘带着两人达到匀速转动时，下列说法正确的是（     ） A．质量大的同学运动的周期小 B．质量大的同学运动的半径小 C．两同学运动的线速度大小相等 D．两同学运动的向心力大小相等 【答案】C 【详解】A．两人随水平圆盘同轴匀速转动，角速度相同，周期也必然相等，故A错误； B．对座椅（含人）受力分析：重力竖直向下，缆绳拉力，合力提供水平方向的向心力。设缆绳长为，缆绳与竖直方向夹角为，圆盘边缘悬挂点到转轴的距离为，则圆周运动的实际半径 将拉力分解后可得竖直方向受力平衡 水平方向向心力 等式两侧质量可直接约去，整理得 可见偏角与质量无关，则运动半径相等，故B错误； C．线速度，两人角速度相同，半径相等，因此线速度大小相等，故C正确； D．向心力，两人质量不同、偏角相同，因此向心力大小不相等，故D错误。 故选C。 【例2】（25-26高三上·陕西咸阳·期中）（多选）在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则（     ） A．该弯道的半径 B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小也随之改变 C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压 【答案】AD 【详解】A．根据题意，由牛顿第二定律有 解得该弯道的半径，故A正确； B．根据题意，由牛顿第二定律有 解得 可知，规定的行驶速度大小与火车的质量无关，故B错误； CD．当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车轮缘有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确。 故选AD。 【变式训练1】（25-26高三上·广东惠州·阶段检测）下列各图都绕竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，说法正确的是（     ） A．甲图中若绳长相等，2球的线速度小于1球的线速度 B．乙图中若两球轨道在同一水平面上，1球周期大于2球的周期 C．丙图中，A球角速度大小小于B球角速度大小 D．丁图中，当制陶工作台角速度ω逐渐增大，A、B所受的摩擦力始终指向轴 【答案】C 【详解】A．甲图为圆锥摆，设绳与竖直方向夹角为，绳长为，根据 其中圆周运动的半径 可得周期 线速度 联立可得 若两球绳长相等，2球的摆角更大，因此2球线速度大于1球，故A错误； B．这是圆锥摆模型，对1球受力分析如图所示 设悬点到轨道面竖直高度为，则 其中 可得 两球轨道在同一水平面，相同，因此周期相等，故B错误； C．丙图中，设杆与竖直转轴夹角为，对球受力分析，如图所示 设小球到V形顶点的距离为，则转动半径 由合力提供向心力有 可得 A球到顶点的距离 因此，故C正确； D．只有当工作台匀速转动时，A、B所受的摩擦力充当向心力，其方向才指向圆心；则工作台角速度逐渐增大，物体不仅需要径向摩擦力提供向心力，还需要切向摩擦力提供切向加速度，因此合摩擦力方向不指向转轴，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（26-27高三上·天津河西·开学考试）如图所示，长为的细绳一端固定，另一端系一质量为的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为，下列说法中正确的是（     ） A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．越大，小球运动的角速度越小 C．越大，小球运动的速度越大 D．越大，小球运动的周期越大 【答案】C 【详解】A．小球在水平面内做匀速圆周运动，只受重力和细绳的拉力两个力的作用。 小球的受力情况及绳与竖直方向的夹角如图所示： 向心力是根据力的作用效果命名的力，由重力与绳的拉力共同产生的合力提供，受力分析中不能把向心力当作小球单独受到的力，故A错误； BCD．设小球质量为、绳长为，绳与竖直方向的夹角为，小球做匀速圆周运动的半径为，取小球为研究对象，将绳的拉力沿竖直方向和指向圆心的水平方向分解。竖直方向小球受力平衡，有 水平方向绳拉力的分量提供向心力，有 小球做圆周运动的半径由几何关系给出，即 由以上三式消去和，解得小球运动的角速度 由上式可知，增大时减小，角速度随增大而增大。由线速度与角速度的关系得 因此增大时与都增大，线速度随增大而增大。由周期与角速度的关系得 综上，增大时角速度增大、线速度增大、周期减小，故BD错误，C正确。 故选C。 【变式训练3】（2026·山西太原·一模）（多选）如图所示，质量为的运动员踩着质量为的冲浪滑板，在水平面内匀速转弯。滑板底部装有转向桥，滑板平面可向任意方向倾斜。运动员的身体保持在一条直线上，该直线始终与滑板平面垂直，且与圆心、所在的竖直线的夹角为。运动员与滑板之间只存在垂直于板面的弹力作用。运动员、滑板重心所在圆弧的半径分别为、，两者相对静止且转弯的角速度均为。已知重力加速度为，空气阻力及滑板与地面的滚动摩擦均不计。下列说法正确的是（　　） A．运动员身体与竖直方向的夹角满足 B．运动员受到滑板的作用力的大小为 C．滑板受到地面的静摩擦力大小为 D．滑板与地面间的动摩擦因数至少为 【答案】AD 【详解】A．对运动员受力分析：运动员仅受重力、滑板对运动员垂直板面的弹力。匀速圆周运动中，竖直方向合力为0，水平方向合力提供向心力，竖直方向： 水平方向： 推导得：，故A正确； B．运动员受到滑板的作用力是弹力，由勾股定理得：，故B错误； C．将运动员和滑板视为整体，水平方向总向心力由地面静摩擦力提供，总向心力为两者向心力之和：，故C错误； D．整体竖直方向无加速度，地面支持力，静摩擦力不超过最大静摩擦力： 代入、得： 即滑板与地面间的动摩擦因数至少为，故D正确。 故选AD。 题型三 水平面上的圆周运动及临界问题 三种临界情况： （1）接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力 。 （2）相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。 （3）绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是 。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏淮安·开学考试）如图所示，两个放置在水平转盘上的物块（视为质点）质量不同，到转轴的距离相同，与转盘之间的动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘的转速从0开始随时间均匀增大，直到物块发生相对滑动的过程中，下列说法正确的是（     ） A．物块所受摩擦力指向圆心 B．质量小的物块先发生相对滑动 C．质量大的物块先发生相对滑动 D．两物块同时发生相对滑动 【答案】D 【详解】A．物块随转盘转动时，若转盘角速度增大，物块还具有切向加速度，因此摩擦力不只提供向心力，合摩擦力不沿半径方向，故A错误； BCD．物块恰好开始相对转盘滑动时，静摩擦力达到最大值。设物块到转轴的距离为，临界角速度为，动摩擦因数，则 解得 可见临界角速度与物块质量无关。两物块到转轴的距离和接触面的摩擦因数均相同，因此临界角速度相同，会同时开始相对滑动，故BC错误，D正确。 故选D。 【例2】（26-27高三上·山东德州·阶段检测）（多选）如图所示，在水平圆盘上放有质量分别为m、m、2m且均可视为质点的三个物体A、B、C，圆盘可绕中心轴转动，且角速度可调，三个物体与圆盘间的动摩擦因数均为μ。已知A、B、C三个物体与O点共线，且，现将三个物体用水平轻质细线相连，保持细线伸直且无张力，然后让圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，重力加速度大小为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（     ） A．A的向心力增加最快 B．当时，整体才会发生滑动 C．当时，B、C间的细线开始提供拉力 D．当时，在ω增大的过程中，B、C间的拉力不断增大 【答案】CD 【详解】A．当圆盘转速增大时，由静摩擦力提供向心力，三个物体的角速度相等，由公式 可知，由于C的半径最大，质量最大，故C所需要的向心力增加最快，故A错误； B．当A、B的摩擦力也达到最大时，且BC的拉力大于AB整体的摩擦力时物体将会出现相对滑动，此时A与B还受到绳的拉力，对C得 对AB整体可得 解得 当时，整体才会发生滑动，故B错误； C．当C的摩擦力达到最大静摩擦力之后，BC开始提供拉力，由此可知 解得 故当时间的连线开始提供拉力，故C正确； D．当时，C摩擦力沿着半径向里，且没有出现滑动，故在增大的过程中，由于向心力 不断增大，故B、C间的拉力不断增大，故D正确。 故选CD。 【变式训练1】（24-25高三上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）如图，圆盘在水平面内做匀速圆周运动，质量为M = 0.2 kg的小物块放置在水平圆盘的正中央，并用一根0.1 m长的轻质细线与质量为m = 0.1 kg的另一个小物块连接，两物块与圆盘间的动摩擦因数均为0.2。已知两个小物块均可看作质点，细线所能承受的拉力足够大，g取10 m/s2。要保证M、m与圆盘间不发生相对滑动，圆盘角速度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】两物块相对圆盘恰要发生相对滑动时，则有 解得 故选C。 【变式训练2】（25-26高三上·山东济南·期中）如图所示，水平放置的圆盘绕中心轴在水平面内转动，放在圆盘上的小物块与圆盘保持相对静止一起做圆周运动。当圆盘转速逐渐变大时，从俯视角度观察圆盘对小物块的摩擦力方向，下列选项中可能正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆盘转速逐渐变大时，小物块与圆盘保持相对静止一起做圆周运动，线速度逐渐增大，故小物块存在切向加速度，由牛顿第二定律可知小物块受到的摩擦力存在沿速度方向的切向分量，满足 另外物块受到的摩擦力还存在法线方向的分量，用于充当圆周运动的向心力，满足 物块受到摩擦力为这两个分量的合力，方向如图所示 故选B。 【变式训练3】（26-27高三上·辽宁锦州·阶段检测）（多选）如图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中方向沿半径指向圆心，方向与方向垂直。当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是（     ） A．当转盘匀速转动时，物块所受摩擦力方向为方向 B．当转盘匀速转动时，物块不受转盘的摩擦力 C．当转盘加速转动时，物块所受摩擦力方向可能为方向 D．当转盘减速转动时，物块所受摩擦力方向可能为方向 【答案】AD 【详解】AB．当转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向沿半径指向圆心O点，故A正确，B错误； CD．当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，即物块P所受摩擦力方向可能为b方向，故C错误； D．当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有沿与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，即物块P所受摩擦力方向可能为d方向，故D正确。 故选AD。 题型四 竖直平面上的圆周运动及临界问题 1．两类模型对比： 轻绳模型（最高点无支撑） 轻杆模型（最高点有支撑） 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 受力示意图 （ 向下或等于零） （ 向下、等于零或向上） 力学方程 临界特征 ，，即 ，即 ， 讨论分析 （1）最高点，若 ，，绳或轨道对球产生弹力 ；（2）若 ，则不能到达最高点，即到达最高点前小球已经脱离了圆轨道 （1）当 时，， 背离圆心；（2）当 时，， 背离圆心并随 的增大而减小；（3）当 时，；（4）当 时，， 指向圆心并随 的增大而增大 2．解题技巧： （1）物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律方程； （2）物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系； （3）注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛顿第三定律求出压力。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏扬州·开学考试）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为，运动半径为，角速度大小为，重力加速度为，则座舱（     ） A．运动周期为 B．所受合力的大小始终为 C．在与转轴等高处受到摩天轮作用力的方向水平向左 D．在与转轴等高处受到摩天轮的作用力大小为 【答案】B 【详解】A．匀速圆周运动中，角速度与周期的关系为，故A错误。 B．匀速圆周运动的合力全部提供向心力，向心力大小为 因此座舱所受合力大小始终为，故B正确。 C．当座舱运动到与转轴等高的位置时，向心力方向水平指向转轴。此时座舱受两个力：竖直向下的重力、摩天轮对座舱的作用力。两个力的合力需要水平向左，因此需要同时满足：竖直分量向上平衡重力，水平分量向左提供向心力，因此的方向为斜向左上方，并非水平向左，故C错误。 D．由上述受力分析可知，摩天轮对座舱的作用力的竖直分量大小为，水平分量大小为，根据勾股定理可得，故D错误。 故选B。 【例2】（24-25高三下·福建厦门·阶段检测）（多选）如图所示的四幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，重力加速度为g，下列说法正确的是（     ） A．图a中轻杆长为l，若小球在最高点的角速度小于，杆对小球的作用力向上 B．图b中若火车转弯时未达到规定速率，轮缘对外轨道有挤压作用 C．图c中若A、B均相对圆盘静止，则A、B所受摩擦力的大小一定相等 D．图d中两个小球在相同的高度做匀速圆周运动，它们的角速度相同 【答案】AD 【详解】A．在图a最高点取指向圆心的竖直向下为正方向，设杆对小球沿杆方向的有符号作用力为。由牛顿第二定律得 由此得 题设，即 故，杆对小球的作用力方向向上，故A正确； B．设火车规定速度为。在规定速度下，倾斜轨道的支持力满足， 由上两式消去，得规定速度满足 其中为转弯半径。当实际速度时，所需向心力小于支持力在水平方向的分量，火车有沿斜面向下滑向内轨的趋势，轮缘会挤压内轨而不是外轨，故B错误； C．A、B均相对圆盘静止时，静摩擦力分别提供各自的向心力，有， 图中两物体到转轴的半径不同，且质量也未给出相等条件，因此两摩擦力不一定相等，故C错误； D．设悬点到圆周运动平面的竖直高度为，对圆锥摆小球受力分析，向心力由重力和拉力的合力提供： 而圆周运动半径 联立可得 。两球做圆周运动的高度相同，因此角速度相同，D正确。 故选AD。 【变式训练1】（25-26高三下·江苏淮安·期中）如图所示，在竖直平面内有一光滑圆形轨道，a为轨道最低点，c为轨道最高点，b点、d点为轨道上与圆心等高的两点，e为ab段的中点。一个质量为m的小物块在轨道内侧从a点运动到c点所用时间为t0，则在时，物块在（　　） A．A段 B．C段 C．D点 D．E段 【答案】D 【详解】物块从a点运动到c点过程中一直做减速运动，可知物块沿圆弧从a点运动到b点的平均速率大于从b点运动到c点的平均速率。物块从a点运动到c点所用时间为t0，则在时，物块在E段； 故选D。 【变式训练2】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）如图所示，在竖直面内有一半径为的四分之三圆形光滑轨道，以轨道圆心为坐标原点，建立坐标系。将一质量为的小球从点正上方处静止释放，从点进入圆轨道。小球经过轨道最低点时，对轨道的压力大小为，到达点时的速度大小为，且恰好脱离轨道。下列说法错误的是（     ） A．小球在点的速度大小为 B．小球在点所受合力竖直向下 C．点的坐标为 D．脱离圆轨道后，小球运动的最高点与点的竖直高度差为 【答案】C 【详解】A．在C点，小球受重力和轨道支持力，合力提供向心力。根据牛顿第三定律，轨道对小球的支持力 由向心力公式得 解得，故A正确； B．小球在D点恰好脱离轨道，说明轨道对小球的支持力为0，此时小球仅受重力，合力就是重力，方向竖直向下，故B正确； C．小球在D点恰好脱离轨道，此时向心力仅由重力沿半径方向的分力提供。设OD与y轴正方向夹角为，则重力沿OD指向O的分力为，满足 根据点时的速度大小为，解得 根据，可得 D点在第二象限，坐标为，，故C错误； D．小球脱离D点后做斜抛运动，初速度的竖直分量为 到最高点时竖直速度减为0，竖直方向运动满足 解得小球运动的最高点与点的竖直高度差，故D正确。 本题选错误的，故选C。 【变式训练3】（25-26高三上·安徽马鞍山·期中）（多选）有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（重力加速度大小为）（　　） A．如图甲，小球固定在细绳的一端，在竖直面内绕绳的另一端做圆周运动，小球通过最高点的速度至少等于 B．如图乙，若把地球看作半径为的巨大“拱形桥”，汽车的速度达到时会变成一颗“卫星”，这就是地球的第一宇宙速度 C．如图丙，A、B两个物块放在匀速转动的水平转台上随转台一起做匀速圆周运动，若，，转台转速缓慢加快时，物块A先开始滑动 D．如图丁，火车转弯超过规定速度行驶时，车轮对内轨会有挤压作用 【答案】AB 【详解】A．绳子只能提供拉力，在最高点时，如绳子的拉力为零，则只有重力提供小球做圆周运动的向心力，即 解得，故A正确； B．由可得第一宇宙速度，若把地球看作半径为的巨大“拱形桥”，汽车的速度达到时，会恰好脱离地球成为一颗地球“卫星”，汽车处于失重状态，故B正确； C．物块放在匀速转动的水平转台上随转台一起做匀速圆周运动，摩擦力提供向心力，最大角速度对应最大静摩擦力，即有 解得 由于，则物块的临界角速度与动摩擦因数有关，与质量无关，故C错误； D．火车转弯超过规定速度行驶时，重力和支持力的合力不够提供向心力，车轮对外轨会有挤压作用，故D错误。 故选AB。 题型五 斜面上的圆周运动及临界问题 物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为 ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化： 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·河南郑州·阶段检测）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动。物块的质量为0.1kg，物块到转轴的距离为0.5m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角，重力加速度g=10m/s2.下列说法正确的是（     ） A．物块随圆盘保持相对静止做匀速圆周运动的最大向心力为0.3N B．运动过程中摩擦力方向始终指向圆盘中心 C．越大物块在最高点受到的摩擦力越大 D．倾斜圆盘角速度最大值 【答案】D 【详解】A．物块在圆盘最低点时，所需向心力沿盘面向上，指向圆心，此时是静摩擦力达到最大值的临界位置。垂直盘面方向受力平衡，支持力 最大静摩擦力 最低点时沿盘面方向 代入得，故A错误； B．圆盘倾斜时，重力沿盘面有分力，物块的向心力是重力沿盘面的分力、摩擦力的合力，方向始终指向圆心，因此摩擦力需要平衡重力的盘面分力、同时提供部分向心力，方向不会始终指向圆盘中心，故B错误； C．物块在盘面最高点时，向心力沿盘面向下指向圆心，沿盘面方向的受力关系为 当角速度从0开始增大时，摩擦力先沿盘面向上、大小随增大而减小，减为0后再沿盘面向下、大小随增大而增大，并非全程随增大而变大，故C错误； D．角速度的最大值由最容易滑动的最低点临界条件决定，最低点静摩擦力达到最大值时， 解得，故D正确。 故选D。 【例2】（26-27高三上·天津南开·阶段检测）（多选）内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个小球a和b紧贴内壁，且a球的质量为b球的两倍，分别在图所示的水平面内做匀速圆周运动，则（     ） A．a球的线速度必大于b球的线速度 B．a球的角速度必小于b球的角速度 C．a球的运动周期必小于b球的运动周期 D．a球对筒壁的压力必大于b球对筒壁的压力 【答案】ABD 【详解】对小球受力分析，小球受重力与筒壁的支持力，二者的合力提供圆周运动的向心力，设圆锥内壁与水平面的夹角为，竖直方向受力平衡有 水平方向根据牛顿第二定律有 A．解得线速度 由图可知，a球的轨道半径大于b球的轨道半径，则a球的线速度必大于b球的线速度，故A正确； B．解得角速度 由图可知，a球的轨道半径大于b球的轨道半径，则a球的角速度必小于b球的角速度，故B正确； C．解得周期 由图可知a球的轨道半径大于b球的轨道半径，则a球的运动周期必大于b球的运动周期，故C错误； D．小球受到的支持力 由牛顿第三定律可知小球对筒壁的压力 因为a球的质量为b球的两倍，所以a球对筒壁的压力必大于b球对筒壁的压力，故D正确。 故选ABD。 【变式训练1】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）如图所示，环球飞车是一种让观众心跳狂飙的表演，在直径只有6.5米的圆形铁球内，摩托车以每小时80公里的速度完成交叉穿越、90°飞行、360°旋转等高难度动作，视觉效果震撼。已知圆形铁球的半径为R，若某辆摩托车（可以视为质点）在距离圆形铁球最低位置高度的水平面内做匀速圆周运动，不计车轮与圆形铁球之间的摩擦力，重力加速度为g，则摩托车的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据题述可知，摩托车做圆周运动的轨迹半径 摩托车所受的合力提供向心力，有 解得 故选C。 【变式训练2】（2026·四川·模拟预测）游乐场有一种叫“魔盘”的娱乐设施，简化模型如图，魔盘侧面与水平面的夹角为。质量分别为M和m（）的大人和小朋友随魔盘一起转动，其轨道半径分别为R、r（），动摩擦因数相同。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，则（     ） A．大人受到的摩擦力可能小于 B．大人受到魔盘的支持力一定比小朋友大 C．大人受到魔盘的作用力一定比小朋友大 D．大人一定比小朋友后发生相对滑动 【答案】C 【详解】A．大人和小朋友随魔盘做匀速圆周运动，受重力（其中大人为，小朋友为）、支持力和静摩擦力作用。合力提供向心力，方向水平指向转轴。 设角速度为，轨道半径为（其中大人为，小朋友为）。 加速度 水平指向轴，加速度大小 沿斜面和垂直斜面方向建立坐标系，垂直斜面向上为正方向，可得 解得 沿斜面向上为正方向，可得 解得 大人受到的摩擦力大小 显然，故A错误。 B．大人支持力 小朋友支持力 虽然，但由于，比小。无法比较两个支持力的大小，故B错误。 C． 魔盘对人的作用力是支持力 和摩擦力的合力。 根据牛顿第二定律，人受重力和魔盘作用力，合力为向心力。 可得 大人 小朋友 因为 且，所以恒成立。 故C正确。 D．根据，可得发生相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值 。可得 解得 因为，所以大人的临界角速度小于小朋友的临界角速度 即随着转速增加，大人先达到临界状态，先飞离发生滑动，D错误。 故选C。 【变式训练3】（24-25高三·山东·三轮复习）（多选）如图所示，一个球壳固定在水平面上，内半径为。用长为的细线将小球甲悬于球壳内最高点。小球乙可在球壳内自由运动。现使两小球绕过球心的竖直轴以相同的角速度匀速转动，且甲与球壳没有接触。两小球均可视为质点，不计一切摩擦，则（     ） A．两小球速度一定相同 B．两小球间高度差一定为 C．两小球到竖直轴的距离相等 D．两小球的向心加速度大小相等 【答案】BCD 【详解】A．设细线与竖直轴的夹角为，球壳对小球乙的支持力与竖直轴的夹角为。小球甲做圆锥摆运动，根据牛顿第二定律分别有， 联立解得 小球乙受到的支持力指向球心，根据牛顿第二定律分别有， 联立解得 因此，两小球的线速度大小均为，但两球在水平圆周上的方位不一定相同，速度方向不一定相同，故A错误； B．以水平面为零高度，球壳最高点的高度为2R，小球甲的高度为 小球乙的高度为 由可得两球的高度差为，故B正确； C．小球甲到竖直轴的距离为，小球乙到竖直轴的距离为，由可得，故C正确； D．两小球的向心加速度大小分别为，，由于两球角速度相同且，因此，故D正确。 故选BCD。 题型六 圆周运动的周期性多解问题 此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体一般做平抛运动，在特定条件下相遇；有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动；有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·江苏南通·开学考试）如图所示，直径为d的纸制圆筒绕轴O匀速转动，子弹以速度v沿截面直径匀速穿过圆筒。子弹在圆筒上留下A、B两弹孔，OA、OB的夹角为，则圆筒的角速度可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】子弹沿直径匀速穿过圆筒，穿筒时间为。子弹射入时，入口弹孔位于圆筒最左端；子弹射出时，入口弹孔已随圆筒转到图示处，出口弹孔位于最右端处。圆筒按图示方向逆时针转动，入口弹孔从最左端转到处的最小转角为。考虑圆筒可能多转整数圈，实际转角为，其中为非负整数。因此圆筒角速度满足 A．是两弹孔对应半径的夹角，不是入口弹孔从初始位置转到处的转角，不能直接用求圆筒角速度，故A错误； B．若，则穿筒期间圆筒转角为，与图示要求的相差半圈，不能满足图示弹孔位置关系，故B错误； C．未多转整圈时，圆筒转角为，应有。选项中的具有时间的量纲，不是角速度，故C错误； D．当时，圆筒在最小转角的基础上多转一整圈，其转角为，对应角速度为，满足题意，故D正确。 故选D。 【例2】（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）子弹以初速度v0水平向右射出，沿水平直线穿过一个正在沿逆时针方向转动的薄壁圆筒，在圆筒上只留下一个弹孔（从A位置射入，B位置射出，如图所示），OA、OB之间的夹角θ＝，已知圆筒半径R＝0.5 m，子弹始终以v0＝60 m/s的速度沿水平方向运动（不考虑重力的作用），则圆筒的转速可能是（     ） A．100 r/s B．180 r/s C．240 r/s D．340 r/s 【答案】AD 【详解】根据几何关系可得A与B之间的距离为 其中，可得 子弹从A运动到B用时 圆筒逆时针转动，子弹从A射入、从B射出后仅留一个弹孔，说明在子弹穿过的时间内，圆筒转过的总角度满足子弹射入时的A点，在子弹穿出时刚好转到原B点的位置，即总转角为 设圆筒转速为，单位为r/s，则角速度 转角可表示为 解得 时，，时，，时， 故选AD。 【变式训练1】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）如图所示，竖直放置的薄圆筒内壁光滑，在内表面距筒底面高为的点处，给一个质量为的小滑块沿水平切线方向的初速度，小滑块将沿筒内表面旋转滑下。假设滑块下滑过程中其表面与筒内表面紧密贴合，圆筒内半径，重力加速度取。小滑块第一次滑过点正下方时，恰好经过点，且的距离为。则下列说法正确的是（     ） A．小滑块的初速度 B．小滑块经过点的速度大小为 C．小滑块最后刚好能从点正下方的点滑离圆筒 D．小滑块运动过程中受到的筒壁的支持力不变 【答案】C 【详解】A．小滑块的运动可分解为竖直方向的自由落体运动和水平面内的匀速圆周运动。第一次到达O点正下方时，水平面内恰好转过一周。设运动周期为T，竖直方向的位移方程为 代入，且，由此得 水平方向一周的路程满足 代入（SI单位），且，由此得，故A错误； B．小滑块经过点时的竖直速度满足 代入前述周期得，水平速度大小仍为，速度大小满足 代入前述结果得，故B错误； C．小滑块从O点落到圆筒底部所需时间满足 代入，且，由此得，又因，经过整数个周期后，小滑块又位于O点正下方，因此最后恰好能从O点正下方的点滑离圆筒，故C正确； D．圆筒壁的支持力始终沿半径方向指向圆筒轴线，其大小满足 大小虽恒定，但方向随小滑块转动而改变，所以支持力不保持不变，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（2026·云南·三模）如图所示，水平圆盘绕过盘心的竖直轴以角速度匀速转动。某时刻，当圆盘边缘某点转动到最右侧时，在轴上点以某一初速度水平向右抛出一个小球（可视为质点），经过一段时间，小球落在圆盘上的点。已知重力加速度大小为，不计空气阻力。则间距可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，设间距为，则有 小球落在圆盘上的点，且抛出时点在最右侧，小球水平向右抛出，说明小球落地时点恰好转回到最右侧位置。因此，在小球飞行的时间内，圆盘转过的角度应为的整数倍，即() 解得 联立解得 当时，；当时，；当时，。 故选C。 【变式训练3】（25-26高三上·四川成都·阶段检测）（多选）如图所示，在半径为R的水平圆盘边缘处放置两个可视为质点的滑块a和b。其中a与圆盘之间的动摩擦因数为，b与圆盘之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现使圆盘绕过圆心O的竖直轴缓慢匀速转动，滑块a和b抛出时的速度方向相同，落地后立即停止。已知圆盘到地面的高度为R，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．滑块a抛出时的速度大小为 B．滑块b抛出时的速度大小为 C．滑块a、b落地点之间的距离为 D．滑块b的落地点到圆心O的距离为 【答案】AD 【详解】A．设滑块a抛出时的速度大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，最大静摩擦力充当向心力得 解得，故A正确； B．设滑块b抛出时的速度大小为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，最大静摩擦力充当向心力得 解得，故B错误； CD．已知小滑块a和b抛出时的速度方向相同，小滑块在空中做平抛运动，竖直方向有 解得 则小滑块a和b做平抛运动的水平位移大小分别为， 小滑块a和b抛出时的速度方向相同，a和b抛出时位置相同，所以滑块a、b落地点之间的距离为 根据几何关系可知，滑块b的落地点到圆心O的距离为，故C错误，D正确。 故选AD。 题型七 圆周运动与图像结合问题 【解题指导】 1．清楚圆周运动中绳、杆模型的物理规律，列出正确的物理方程。 2．对一次函数 要非常熟练，会用会画。 3．熟练地将数学和物理结合起来，用图像法来解决物理问题。 【数理思想与模型建构】 1．数理思想是基于物理现象的数学模型，利用数学知识解决物理问题的科学思维方法。 2．模型建构 （1）轻绳模型：① 时，绳子的弹力 ，方向竖直向下；②当 时，绳子的弹力为零，是安全通过最高点的临界条件。 （2）轻杆模型：①当 时，轻杆对物体的弹力 ，方向竖直向下；②当 时，轻杆对物体的弹力为零，是物体所受弹力方向变化的临界速度；③当 时，轻杆对物体的弹力 ，方向竖直向上。 【思维建构】 1．根据物理现象列出物理方程。 2．根据物理方程整理成函数关系。 3．将物理方程与一次函数相对应。 4．根据函数思想对应物理图像分析求解。 【例题精讲】 【例1】（26-27高三上·湖北襄阳·阶段检测）如图（a）所示，一个可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕点做匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿轴的分速度随时间的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力，重力加速度为。则滑块与转台间动摩擦因数和图（c）中阴影部分面积大小分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由图（c）可知，的变化周期为，其最大值等于滑块的线速度，故。由线速度与角速度关系可得转台的角速度为 滑块恰好随转台做匀速圆周运动时，最大静摩擦力提供向心力，有 解得 图（c）中阴影部分对应至内滑块沿轴的位移。由得轨道半径为 从到，滑块转过的角度为 结合图（b）中的初始位置和速度方向，此时滑块的横坐标为 时滑块到达圆周最右端，横坐标为，故阴影面积为 故选D。 【例2】（2026·陕西西安·一模）（多选）如右图所示，三个物体、和放在水平圆盘上，用两根不可伸长的轻绳分别连接、和、。物体、、与圆心距离分别为、和，已知，，物体、、在一条过圆心的直线上且与圆盘间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当圆盘以不同角速度绕过圆心的轴匀速转动时，、之间绳中弹力和、之间绳中弹力随的变化关系如下图所示，取，下列说法正确的是（     ） A．物体的质量 B．物体与圆心距离 C．当角速度为时，圆盘对的静摩擦力大小为 D．当角速度为时，、即将与圆盘发生相对滑动 【答案】AD 【详解】A．对物块A分析，根据牛顿第二定律 可得 由图像可得， 解得，，故A正确； B．由图乙可知，B、C绳中先出现弹力，根据 当时， 当时， 代入数据解得，，故B错误； C．当角速度为时， 由图可知 A、B与B、C间绳的拉力均为1N，对B只有摩擦力提供向心力有，故C错误； D．根据题图可得， A、B即将与圆盘发生滑动时，满足 代入、可得 解得为，故D正确。 故选 AD。 【变式训练1】（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设图（b）圆与轴正方向的交点的纵坐标为，则 解得 结合图（b）知，滑块运动至最高点时，所受的静摩擦力最小，方向指向圆心，大小为 由牛顿第二定律得 滑块运动至最低点时，所受的静摩擦力最大，方向指向圆心，大小为 由牛顿第二定律得 且满足 联立知，滑块与圆盘之间的动摩擦因数 故选C。 【变式训练2】（2025·四川遂宁·二模）如图甲所示，倾角为的光滑斜面固定在水平地面上，细线一端与可看成质点的质量为的小球相连，另一端穿入小孔与力传感器（位于斜面体内部）连接，传感器可实时记录细线拉力大小及扫过的角度。初始时，细线水平，小球位于小孔的右侧，现敲击小球，使小球获得一平行于斜面向上的初速度，此后传感器记录细线拉力的大小随细线扫过角度的变化图像如图乙所示，图中已知，小球到点距离为，重力加速度为，则下列说法不正确的是（　　） A．小球位于初始位置时的加速度为 B．小球通过最高点时速度为 C．小球通过最高点时速度为 D．小球通过最低点时速度为 【答案】A 【详解】A．位于初始位置时的向心加速度大小为 沿斜面向下的加速度大小为 根据平行四边形定则知，则小球位于初始位置时的加速度大于，故A错误，满足题意要求； B．由图乙可知，小球通过最高点时细线的拉力最小，为零，则有 解得小球通过最高点时的速度 故B正确，不满足题意要求； C．小球在初始位置时，有 则小球通过最高点时的速度 故C正确，不满足题意要求； D．小球通过最低点时，细线的拉力最大，根据牛顿第二定律有 联立解得小球通过最低点的速度为 故D正确，不满足题意要求。 故选A。 【变式训练3】（25-26高三上·河南平顶山·期末）（多选）如图甲所示，倾斜圆盘与水平面的夹角，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影、的关系如图乙所示。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，下列说法正确的是（     ） A．滑块的质量为1kg B．滑块受到的向心力大小为5N C．滑块受到的静摩擦力的最大值为8N D．滑块与圆盘之间的动摩擦因数可能为 【答案】BC 【详解】ABC．小滑块始终与圆盘保持相对静止，做匀速圆周运动，向心力由摩擦力和重力沿斜面向下的分力共同提供。 根据题意小滑块经过最高点和最低点时，摩擦力方向都与y轴共线，结合图像可得，滑块经过最高点时摩擦力大小为，方向沿斜面向下。根据牛顿第二定律可得 滑块经过最低点时摩擦力大小为，方向沿斜面向上，此时摩擦力最大，摩擦力沿x轴的投影,沿y轴的投影。根据牛顿第二定律可得 根据乙图可得 解得 联立解得，。故A错误，BC正确； D．根据滑块经过最低点时受到的静摩擦力最大，大小，可得滑块与圆盘的最大静摩擦力不得小于，即 根据题意可得 解得，故D错误。 故选BC。 1 / 42 学科网（北京）股份有限公司 $