专题16 等比数列与数列求和专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 专题16等比数列与数列求和 一、核心知识 等比数列定义 等比通项 等比求和 片段和性质 中项性质 差比综合 裂项相消 错位相减 并项求和 倒序求和 二、题型精练 题型一等比数列的基本量运算（含公比为1与1的特殊情形) 【方法与技巧】 等比核心公式：通项a,=a191,求和S,=,1-9】 (q≠1)，q=1时Sn=na1。 1-q 知三求二：首项、公比、项数、某项、前项和，五个量知三可求其余，优先列方程。 公比q不能为0：q=1是常数数列，q=-1时奇数项相等、偶数项均为-，别漏这两个特殊情形。 基本量运算是一切综合的地基，先确保熟练准确，再引入性质与求和技巧。 【例题精讲】 1.数列1,2,4,8，…是等比数列，其公比q等于() A.2 c.4 D.-2 1/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 2.在等比数列{an}中，a1=1,q=3,则a4等于() A.27 B.9 C.81 D.3 3.在等比数列(a}中，a=2,q9= 2,则a3等于() A.2 1 B.4 c.1 1-2 D. 【变式训练】 1.在等比数列{an}中，a,=6,a3=12,则公比q等于() A.3 B.2 c.2 D.6 2.在等比数列{an}中，a1=3,q=2,则前3项和S3等于() A.24 B.21 C.18 D.15 3.在等比数列{an}中，公比q=-1,a1=5,则a2等于() A.5 B.0 C.-5 D.10 4.在等比数列{an}中，公比q=1,a1=4,则Q10等于( ) A.40 B.4 c.10 D.14 5.在等比数列{an}中，a1=1,a4=8,则公比q等于() A.2 B.4 C.8 D.-2 6.在等比数列{an}中，a2=3,q=2,则a5等于() A.12 B.48 C.24 D.6 【巩固练习】 1.在等比数列{an}中，a3=4,q=2,则a1等于() A.2 B.8 c.16 D.1 2在等比数列a中，a=8.9之a,=1,则n等于() A.3 B.5 C.8 D.4 2/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 3.在等比数列{an}中，a1=1,q=2,则前5项和S5等于() A.32 B.31 C.30 D.15 4.各项均为正的等比数列{an}中，a2=4,a4=16,则a3等于() A.-8 B.4 c.8 D.16 5.在等比数列{an}中，a1=3,q=-2,则a4等于（) A.24 B.-12 C.12 D.-24 6.数列1,2,4,8是等比数列，则其通项公式an为() A.2n-1 B.2” C.n D.2n 7.在等比数列{an}中，a1=2,q=3,则前4项和S4等于 8.在等比数列{an}中，a1=1,q=2,则a1a2a3a4等于 3/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 题型二等比数列的性质应用（下标积、片段和） 【方法与技巧】 下标和性质：m+n=p+q→Qm·Qn=ap'ag(注意是'乘积不是和，与等差不同)。 片段和性质：Sn、S2n-Sn、S3n-S2n成等比，公比为q”--常用于已知Sn、S2n求S3n 奇数项连乘：项数为奇数的连乘等于中间项的奇数次方，如Q1a2…0,=a。 用性质常常省掉基本量运算，但性质失效的边界（下标和是否相等、q的符号）要重点关注。 【例题精讲】 1.各项为正的等比数列{an}中，a5=4,则a2ag等于() A.8 B.4 C.16 D.32 2.等比数列{an}中，a1=2,ag=32,则a4a6等于() A.32 B.16 C.128 D.64 3.等比数列{an}的前3项和S3=2,前6项和S6=6,则前9项和Sg等于() A.12 B.14 c.10 D.16 【变式训练】 1.各项为正的等比数列{an}中，a3=3,a,=27,则a等于() A.3 B.27 c.9 D.81 2.等比数列{an}中，a3=2,则a1a2a3a4a5等于() A.16 B.32 C.8 D.64 3.各项为正的等比数列{an}中，Q2=4,a4=9,则a3等于() A.36 B.3 c.12 D.6 4.等比数列{an}的前2项和S2=3,前4项和S4=15,则前6项和S6等于() A.60 B.63 c.51 D.48 4/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 5.等比数列{an}中，a1=1,q=2,则a2a6等于() A.16 B.4 C.64 D.8 6.等比数列{an}中，a1=1,a4=8,则a2a3等于() A.4 B.8 c.16 D.2 【巩固练习】 1.各项为正的等比数列{an}中，a1=3,a7=12,则a4等于() A.36 B.3 c.6 D.12 2.等比数列{an}中，a3=4,则a2a3a4等于() A.16 B.12 C.64 D.48 3.等比数列{an}的前3项和S3=1,前6项和S6=3,则前9项和Sg等于() A.7 B.5 C.9 D.6 4.等比数列{an}中，a5=2,则a3a7等于() A.4 B.2 C.8 D.16 5.等比数列{an}中，a1=1,q=2,则a2a4a6等于() A.256 B.128 C.512 D.64 6.等比数列{an}中，a5=2,则前9项连乘a1a2·ag等于() A.512 B.256 C.2 D.1024 7.各项为正的等比数列{an}中，a2=4,a4=16,则a3等于 8.等比数列{an}的前3项和S3=2,前6项和S6=6,则前9项和Sg等于· 5/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 题型三等差与等比的综合（差比混合、分组处理） 【方法与技巧】 等差与等比混合，先看是并排：(an=等差项+等比项)还是'相乘'(Qn=等差×等比)。 并排型直接分组求和：等差一组用等差公式，等比一组用等比公式，再相加。 相乘型（等差×等比）用错位相减，是运算量最大的考点，务必做到运算熟练准确。 新高考常在解答题第一问考差比综合，属于基础得分点，分组第一步不可出错。 【例题精讲】 1.已知等差数列{an}:a1=1,d=2；等比数列{bn}:b=1,q=2,则a3+b3等于() A.9 B.7 c.11 D.13 2.若an=2n-1(等差)，bn=2”(等比)，则a2b2等于() A.6 B.8 c.16 D.12 3.等差数列{an}:a1=2,d=1,则前4项和S4等于() A.14 B.10 c.16 D.20 【变式训练】 1.等差数列{an}:a1=2,d=2,则前5项和等于() A.25 B.35 c.30 D.20 2.等差{an}:a1=1,d=1:等比{bn}:b1=1,q=2,则ao+b4等于() A.14 B.10 C.18 D.8 3.若an=3n-1,bn=3”,则a3+b3等于() A.35 B.26 C.44 D.17 4.等差数列{an}:a1=3,d=2,则前5项和S5等于() A.25 B.35 c.45 D.40 6/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 5.若an=2”(等比)，bn=n,则a3+b3等于() A.8 B.11 c.14 D.5 6.等差{an}:a1=1,d=3;等差bn=2n-1,则a4+b4等于() A.10 B.24 c.7 D.17 【巩固练习】 1.等差{an}:a1=2,d=2;等比{bn}:b1=2,q=2,则a3b3等于() A.24 B.16 c.48 D.12 2.若an=3n,bn=2”,则a2+b4等于() A.14 B.30 C.11 D.22 3.数列an=2n-1(等差)，Sn=n,则S4等于() A.12 B.20 C.16 D.10 4.等差{an}:a1=1,d=2:等比{bn}:b1=1,q=3,则a5+b3等于() A.12 B.27 C.18 D.9 5.若an=2n,bn=32”-1(等比q=2),则a4+b2等于（) A.10 B.22 C.6 D.14 6.等差{a:a=5,d-1,等比b:b=49克则a:+b等于() A.3 B.4 c.7 D.1 7.等差a,=2n-1,等比bn=2”-1(b=1,q=2),则前3项和{an+bn}等于 8.数列an=2n-1,则a1+a2+a3+a4+a5等于 7/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 题型四裂项相消法求和（含不等式放缩） 【方法与技巧】 1 -11 裂项核心：把通项拆成两项之差，使相邻项抵消：常见 n(n+1)nn+1 11 分母差常数型： 1 1 (an+b)(an+c)c-b an+b an+c 注意系数 c-b° 裂项求和结果是头减尾'，前项和一般小于首项裂开后的第一项，可顺带放缩。 1 1 放缩技巧：n2(n-1)n (n≥2)常用于证明和式有上界，是高考常见题型。 【例题精讲】 1.求和1×22×3 9x10等于() 9 A.1 1 8 B.10 C.0 D.10 2.求和1×33x5++g×1等于（) A是 6 B.11 c D.11 1 1 3+.+1 3.求和1×22×3 n(n+1等于() n n-1 A.n+1 B.1 C. D. n 【变式训练】 1+1 1.求和2×33×4 t,1 10×11 等于() 8 9 B.22 C. D. 1 8/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 1+1+ 2.求和1×22×3 1 49x50等于() 1 A.1 48 49 B.50 C. 50 D. 50 3.求和1x33×5 ·7x9等于（) 1 5 A.2 B.9 4 c.9 D.9 1+1+_1 4.求和1x4+4×7+7×10等于() A 1 B.10 C.10 D.10 1+1 5.求和3x55×7 .+1 ·19×21等于() 1 B.2 9 C.21 D.7 6数列mn+前N项和S%满足() A.S>1 B.SN<1 C.Sw=1 D.SN=N 【巩固练习】 1 1 1 1.求和1×2+2×3+3×4等于() 1 A.1 B.4 D 1 +1 +、1 2.求和13+3×5+5×7等于() 3 1 A.7 B.2 1 c.7 5-7 D. t3+t 3.求和1×33×5 11x13等于() 6 1 5 1 A.13 B.2 C.13 D.13 4设S22妈*n则S,可化为() B.1- n+1 c.1 D. 9/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 5因k-可k2),则又装小好() 11 A.1 c.1-1 D.In n n 6反S447…*3n-2t则8等T() 1 1 A.3 B n 3n C.3n+1 D.3n+1 求和高这 1 ,49×50等于 8和g学于一 10/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 题型五错位相减、分组、并项与倒序求和 【方法与技巧】 错位相减：Sn=等差×等比，写出Sn与qSn,错开一位相减，得到等比求和后除以1-q(注意最后 步)。 分组求和：Q=等差+等比，分两组分别求和再相加；并项求和：符号交替时相邻几项凑常数。 倒序相加：等差数列求和的本质，S,-na,+a】 2 由首尾配对得来。 选方法先看通项结构：等差→公式/倒序；等比→公式；差比相乘→错位；可拆→裂项；符号周期→并 项。 【例题精讲】 1.求和S,=1+2×2+3×2(等差×等比型)等于() A.15 B.17 c.19 D.13 2.数列an=n+2”,则前3项和等于() A.14 B.20 C.26 D.6 3.数列an=(-1”,则前2024项和等于() A.-1 B.1 C.2024 D.0 【变式训练】 1.数列an=2”+n,则前3项和等于() A.14 B.20 C.26 D.30 2.设S,=1+2×3+3×32+.+n×3-1,则S2等于() A.6 B.13 C.4 D.7 3.等差数列{an}:a1=1,a10=19,则前10项和S10等于() A.90 B.100 c.95 D.110 11/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 4.数列an=2”+(2n-1),则前2项和等于() A.7 B.13 C.14 D.10 5.数列an=(-1)”·n,则前4项和等于() A.2 B.0 C.-2 D.4 6.设Sn=1+2×2+3×22+4×23+5×24,则S等于() A.120 B.130 c.100 D.129 【巩固练习】 1.数列an=2n+2”,则前3项和等于() A.14 B.20 c.26 D.30 2.设Sn=1+2×2+3×22+..+n×2-1,则S4等于() A.49 B.50 C.48 D.33 3.数列an=2”-n,则前3项和等于() A.8 B.14 C.6 D.20 4.数列an=(-1”+1,则前2023项和等于() A.0 B.-1 c.1 D.2023 5.等差数列{an}:a1=2,an=30,n=10,则S10等于() A.160 B.150 C.320 D.140 6.设Sn=2+2×22+3×23++n×2”,则53等于() A.32 B.30 C.34 D.36 7.数列an=n+2”,则前4项和等于 8.设Sn=乃k=1”k2*-1,通式Sn=(n-1)2+1,则S等于 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1.在等比数列{an}中，a1=2,q=3,则a3等于() A.6 B.18 C.54 D.9 2.在等比数列{an}中，a1=1,q=2,则前4项和S4等于() A.16 B.15 C.14 D.31 12/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 3.各项为正的等比数列{an}中，a2a4=9,则a3等于() A.3 B.9 c.6 D.1 1 +1 1 4求和1x2+23+…+99×100等于(） 99 1 98 A.100 B.1 C.100 D.100 5.等差{an}:a1=1,d=2;等比{bn}:b=1,q=2,则a3+b3等于() A.5 B.9 C.4 D.13 6.设Sn=1+2×2+3×22++n×2-1,则S3等于() A.15 B.19 c.16 D.17 7.等比数列{an}中，公比q=-1,a1=1,则前2024项和S2024等于() A.0 B.1 c.-1 D.2024 、1 8.在等比数列{am}中，a1=4,q=2则前3项和Sg等于() A.8 B.6 c.14 D.7 【多项选择题】 9.关于等比数列{an},下列说法正确的有() A.公比q≠0 B.公比q=1时{an}为非零常数数列 C.若aman=apag,则m+n=p+q D.0m=a1q”-1 10.关于数列求和的方法，下列说法正确的有() A.等差数列可用倒序相加求和 B.纯等比数列用错位相减求和 1 C.nn+1型可用裂项相消 D.Qn=等差项+等比项可用分组求和 11.关于裂项相消法，下列说法正确的有( 1一=1-1 A.n(n+1)nn+l B.前n项和等于1-1 +1 1 -11 1 C.前n项和恒小于1 D.(2n-1)(2n+122n-12n+1 13/14 专题16等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 【填空题】 12.在等比数列{a}中，a1=3,q=2,则a5等于 1a.求和223+g0 .+g×10等于 14.设S,=1+22+322+…+n:2”-1=(n-1)2”+1,则S4等于 14/14专题16　等比数列与数列求和 群哥高中数学辅导资料 专题16　等比数列与数列求和 一、核心知识 等比数列定义 等比通项 等比求和 片段和性质 中项性质 差比综合 裂项相消 错位相减 并项求和 倒序求和 二、题型精练 题型一　等比数列的基本量运算（含公比为 1 与 −1 的特殊情形） 【方法与技巧】 等比核心公式：通项 ，求和 （）， 时 。 知三求二：首项、公比、项数、某项、前 项和，五个量知三可求其余，优先列方程。 公比 不能为 ； 是常数数列， 时奇数项相等、偶数项均为 −a₁，别漏这两个特殊情形。 基本量运算是一切综合的地基，先确保熟练准确，再引入性质与求和技巧。 【例题精讲】 1．数列 是等比数列，其公比 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】后项除以前项恒为 ，故公比 。故选：A。 2．在等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．在等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 【变式训练】 1．在等比数列 中，，，则公比 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 2．在等比数列 中，，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3．在等比数列 中，公比 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（公比为 的特殊情形）。故选：C。 4．在等比数列 中，公比 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 时数列为常数列，每一项都等于 ，故 。故选：B。 5．在等比数列 中，，，则公比 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，故 。故选：A。 6．在等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 【巩固练习】 1．在等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 2．在等比数列 中，，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，即 ，得 ，故 。故选：D。 3．在等比数列 中，，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 4．各项均为正的等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】各项为正，由等比中项 得 （取正）。故选：C。 5．在等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 6．数列 是等比数列，则其通项公式 为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】首项 ，公比 ，故 。故选：A。 7．在等比数列 中，，，则前 项和 等于______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 8．在等比数列 中，，，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 题型二　等比数列的性质应用 【方法与技巧】 下标和性质：（注意是'乘积'不是'和'，与等差不同）。 片段和性质：、、 成等比，公比为 ——常用于已知 、 求 。 奇数项连乘：项数为奇数的连乘等于中间项的奇数次方，如 。 用性质常常省掉基本量运算，但性质失效的边界（下标和是否相等、 的符号）要重点关注。 【例题精讲】 1．各项为正的等比数列 中，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由下标和性质 ，故 。故选：C。 2．等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 得 。故选：D。 3．等比数列 的前 项和 ，前 项和 ，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由片段和性质， 成等比，公比为 ，故 ，。故选：B。 【变式训练】 1．各项为正的等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，各项为正故 。故选：C。 2．等比数列 中，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】项数为奇数的连乘等于中间项的奇数次方：。故选：B。 3．各项为正的等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由等比中项 ，各项为正故 。故选：D。 4．等比数列 的前 项和 ，前 项和 ，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】片段和成等比，公比 ，故 ，。故选：B。 5．等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，而 ，故 。故选：C。 6．等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 得 。故选：B。 【巩固练习】 1．各项为正的等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 得 ，各项为正故 。故选：C。 2．等比数列 中，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（中间项的 次方）。故选：C。 3．等比数列 的前 项和 ，前 项和 ，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】片段和成等比，公比 ，故 ，。故选：A。 4．等比数列 中，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 得 。故选：A。 5．等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，乘积 ；或由 。故选：C。 6．等比数列 中，，则前 项连乘 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】项数为奇数的连乘等于中间项的奇数次方：。故选：A。 7．各项为正的等比数列 中，，，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】由等比中项 ，各项为正得 。故答案为：。 8．等比数列 的前 项和 ，前 项和 ，则前 项和 等于______．　　　　 【答案】 【详解】片段和 成等比，公比 ，故 ，。故答案为：。 题型三　等差与等比的综合（差比混合、分组处理） 【方法与技巧】 等差与等比混合，先看是'并排'（等差项等比项）还是'相乘'（等差等比）。 并排型直接分组求和：等差一组用等差公式，等比一组用等比公式，再相加。 相乘型（等差等比）用错位相减，是运算量最大的考点，务必做到运算熟练准确。 新高考常在解答题第一问考差比综合，属于基础得分点，分组第一步不可出错。 【例题精讲】 1．已知等差数列 ：，；等比数列 ：，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选：A。 2．若 （等差），（等比），则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 3．等差数列 ：，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 【变式训练】 1．等差数列 ：，，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】。故选：C。 2．等差 ：，；等比 ：，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 3．若 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故 。故选：A。 4．等差数列 ：，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 5．若 （等比），，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选：B。 6．等差 ：，；等差 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 【巩固练习】 1．等差 ：，；等比 ：，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 2．若 ，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 3．数列 （等差），，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（也可 ）。故选：C。 4．等差 ：，；等比 ：，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，故 。故选：C。 5．若 ，（等比 ），则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，故 。故选：D。 6．等差 ：，；等比 ：，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选：B。 7．等差 ，等比 （），则前 项和 等于______．　　　　 【答案】 【详解】，，合计 。故答案为：。 8．数列 ，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】（或 ）。故答案为：。 题型四　裂项相消法求和（含不等式放缩） 【方法与技巧】 裂项核心：把通项拆成两项之差，使相邻项抵消；常见 。 分母差常数型：，注意系数 。 裂项求和结果是'头减尾'，前 项和一般小于首项裂开后的第一项，可顺带放缩。 放缩技巧：（）常用于证明和式有上界，是高考常见题型。 【例题精讲】 1．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】裂项：，原式 。故选：B。 2．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 求和得 。故选：D。 3．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】裂项相消得 。故选：A。 【变式训练】 1．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式 。故选：C。 2．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】裂项相消得 。故选：D。 3．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 求和：。故选：C。 4．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 得 。故选：D。 5．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通项 ，：。故选：A。 6．数列 前 项和 满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故恒有 （可放缩得上界 ）。故选：B。 【巩固练习】 1．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式 。故选：D。 2．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】。故选：A。 3．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】：。故选：A。 4．设 ，则 可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】裂项相消：。故选：B。 5．因 （），则 小于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故原式 。故选：C。 6．设 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】通项 累加得 。故选：C。 7．求和 等于______．　　　　 【答案】 【详解】裂项相消：。故答案为：。 8．求和 等于______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 题型五　错位相减、分组、并项与倒序求和 【方法与技巧】 错位相减：等差等比，写出 与 ，错开一位相减，得到等比求和后除以 （注意最后一步）。 分组求和：等差等比，分两组分别求和再相加；并项求和：符号交替时相邻几项凑常数。 倒序相加：等差数列求和的本质， 由首尾配对得来。 选方法先看通项结构：等差→公式/倒序；等比→公式；差比相乘→错位；可拆→裂项；符号周期→并项。 【例题精讲】 1．求和 （等差等比型）等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】（错位相减通式 ， 时为 ）。故选：B。 2．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分组：。故选：B。 3．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，每两项和为 ，共 组，故和为 （并项求和）。故选：D。 【变式训练】 1．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分组：。故选：B。 2．设 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】（错位相减通式 ， 时为 ）。故选：D。 3．等差数列 ：，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】倒序相加：。故选：B。 4．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】：；：；和为 。故选：D。 5．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】（并项：）。故选：A。 6．设 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】错位相减通式 ， 时 ；亦直接算 。故选：D。 【巩固练习】 1．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分组：。故选：C。 2．设 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】通式 ， 时 ；亦 。故选：A。 3．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分组：。故选：A。 4．数列 ，则前 项和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，前 项和为 ，末项 ，故总和为 。故选：C。 5．等差数列 ：，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】倒序相加：。故选：A。 6．设 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】（通式 ）。故选：C。 7．数列 ，则前 项和等于______．　　　　 【答案】 【详解】分组：。故答案为：。 8．设 ，通式 ，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 三、达标检测（共14题，建议限时40分钟） 【单项选择题】 1．在等比数列 中，，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 2．在等比数列 中，，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】。故选：B。 3．各项为正的等比数列 中，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比中项 ，各项为正故 。故选：A。 4．求和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】裂项相消得 。故选：A。 5．等差 ：，；等比 ：，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故 。故选：B。 6．设 ，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】错位相减：。故选：D。 7．等比数列 中，公比 ，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 时相邻两项和为 ，共 组，故 。故选：A。 8．在等比数列 中，，，则前 项和 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】。故选：D。 【多项选择题】 9．关于等比数列 ，下列说法正确的有（　　） A．公比 B．公比 时 为非零常数数列 C．若 ，则 D． 【答案】ABD 【详解】A 正确（等比数列公比不为 ）；B 正确（ 时各项均为 ）；C 错误（q=1 时任意两项之积都相等，如 a₁a₂=a₃a₅ 但 1+2≠3+5；仅当 q≠1 时，由 且 才得 ）；D 正确（通项公式）。故选：ABD。 10．关于数列求和的方法，下列说法正确的有（　　） A．等差数列可用倒序相加求和 B．纯等比数列用错位相减求和 C． 型可用裂项相消 D．等差项等比项 可用分组求和 【答案】ACD 【详解】A 正确（等差倒序相加）；B 错误（错位相减用于'等差等比'型，纯等比用公式法）；C 正确；D 正确。故选：ACD。 11．关于裂项相消法，下列说法正确的有（　　） A． B．前 项和等于 C．前 项和恒小于 D． 【答案】ABCD 【详解】A、B、C、D 均为裂项相消的基本结论，全部正确。故选：ABCD。 【填空题】 12．在等比数列 中，，，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 13．求和 等于______．　　　　 【答案】 【详解】裂项相消：。故答案为：。 14．设 ，则 等于______．　　　　 【答案】 【详解】。故答案为：。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $