2026-2027学年浙教版八年级数学上学期第一次月考卷

2026-2027学年八年级上学期第一次月考 数学卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材浙教版八年级上册第1章 三角形~第2章 特殊三角形。 第Ⅰ卷 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1．（3分）在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列四组数均为线段的长度，可以构成三角形的是（　　） A．2，3，5 B．1，5，7 C．2，6，8 D．3，4，5 3．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　　） A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性 4．（3分）对于命题“|a|＝a（a为实数）”，能说明它是假命题的反例是（　　） A．a＝﹣2 B．a＝0 C．a D．a＝2 5．（3分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．15° 6．（3分）如图，已知AB＝AC，∠ADB＝∠E，要使△BAD≌△CAE，则不符合条件的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠C C．BD＝CE D．∠BAD＝∠CAE 7．（3分）如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 8．（3分）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　） A．15° B．20° C．10° D．25° 9．（3分）如图，在△ABC中（∠C＞∠ABC），∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于点D，下列结论：①；②；③若OD＝a，AB+BC+CA＝b，则S△ABC＝ab．④若AB＝BC，则∠AFB＝90°．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 10．（3分）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（3分）将命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”形式是 ____________________ ． 12．（3分）若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是_______ 三角形． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积是 _____ ． 14．（3分）一等腰三角形一个外角是110°，则它的底角的度数为____________ 15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，P为△ABC内的一点，且∠PBC＝∠PCA，∠BPC＝100°，则∠A的大小为 ________ ． 16．（3分）如图，在∠AOB的边OA、OB上取点M、N，连接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面积是2，△OMN的面积是6，则OM+ON的长是 _____ ． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．） 17．（8分）如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB．求证：∠F＝∠C． 18．（8分）如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点处直线MN与网格中竖直的线相重合． （1）在图中，作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′； （2）在图中找一点P，连接PA，使PA平分△ABC的面积； （3）在直线MN上找一点Q，使QA+QB最小． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＞AC． （1）用直尺和圆规作BC的中垂线，交BC于点D，交AB于点E（要求保留作图痕迹）； （2）填空：连接CE，△ACE的周长＝13，CD＝4，则△ABC的周长＝ _______ （直接写出结果）． 20．（8分）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝42°，∠E＝26°，求∠BAC的度数； （2）写出∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系．并写出理由． 21．（8分）如图所示，已知△ABC和△ADE，AB＝AD，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠D，AD与BC交于点P，点C在DE上． （1）求证：BC＝DE； （2）若∠B＝30°，∠APC＝70°．求∠E的度数． 22．（10分）如图，AB＝9cm，BC＝12cm，∠B＝∠C．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD运动．若经过t秒后同时停止． （1）若∠B＝∠APQ，AB＝PC，则AP与QP相等吗？请说明理由． （2）当△ABP与△CQP全等时，求Q点的运动速度． 23．（10分）【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝3，AD＝2，若AC边的长度为奇数，求AC的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE．由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC＝BE． （1）请根据小明的方法思考，直接写出AC可能的长＝________ （写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于点F，AC＝BF．探究∠AFE与∠EAF的关系，并说明理由． 【深入探究】：（3）如图3，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，Q为AD中点，连接QC并延长交BE于K，CQ，CK＝3，则S△BCE＝___________________ ． 24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接DE，CE． （1）如图，当点D在BC延长线上移动时，求证：BD＝CE． （2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β． ①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由． ②当点D分别在线段BC上、线段BC的反向延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由. 参考答案与试题解析 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项正确． 故选：D． 2．【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【解答】解：A、2+3＝5，长度是2、3、5的三条线段不能构成三角形，故A不符合题意； B、1+5＜7，长度是1、5、7的三条线段不能构成三角形，故B不符合题意； C、2+6＝8，长度是2、6、8的三条线段不能构成三角形，故C不符合题意； D、3+4＞5，长度是3、4、5的三条线段能构成三角形，故D符合题意． 故选：D． 3．【分析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性． 故选：B． 4．【分析】反例就是满足条件，但是不满足结论．根据负数的绝对值等于它的相反数，a取任何一个负数都可以． 【解答】解：∵负数的绝对值等于它的相反数， ∴任何一个负数都可以，a＝﹣2符合题意， 故选：A． 5．【分析】先求出∠2和∠3的度数，再根据三角形外角性质求解即可． 【解答】解：由三角板的性质可得：∠2＝30°，∠3＝45°， ∴∠1＝∠2+∠3＝30°+45°＝75°． 故选：C． 6．【分析】根据全等三角形的判定解决此题． 【解答】解：A、∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，又由AB＝AC，∠ADB∠E，根据AAS可判定△BAD△CAE，故此选项不符合题意； B、由AB＝AC，∠ADB＝∠E，∠B＝∠C，根据AAS可判定△BAD△CAE，故此选项不符合题意； C、由AB＝AC，BD＝CE，∠ADB＝∠E，这是两边及一边的对角，不能判定△BAD△CAE，故此选项符合题意； D、由AB＝AC，∠ADB＝∠E，∠BAD＝∠CAE，根据AAS可判定△BAD△CAE，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．【分析】根据平行线的判定定理即可得到结论． 【解答】解：∵∠APM＝∠AOB， ∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行）， 故选：B． 8．【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， 【解答】解：如图所示，连接OA， ∵∠BAC＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴OB＝OA，OC＝OA， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC， ∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°， ∴∠OCB＝∠OBC＝10°， 所以∠OBC的度数为10°， 故选：C． 9．【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可知①正确；根据三角形的内角和定理及角平分线可知②正确；根据角平分线的性质及三角形的面积可知③错误，利用等腰三角形的三线合一可判断④正确． 【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠C， ∴ABCBAC＝90°C， ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠OBAABC，∠OABBAC， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OBA+∠OAB）＝180°﹣（90°C）＝90°C， 故①正确； ∵AE和BF是∠BAC和∠ABC的平分线， ∴∠FBCABC，∠OABBAC， ∵OD⊥BC， ∴∠EOD＝90°﹣∠OED， ∴∠EOD＝90°﹣（∠ABC+∠OAB） ＝90°﹣（∠ABCBAC） ＝90°（∠ABC+∠BAC+∠ABC） CABC C﹣∠FBC，故②正确； 作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N， ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD＝a， ∴OM＝ON＝OD＝a， ∵AB+BC+CA＝b， ∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC AB•OMBC•ODAC•ON （AB+BC+AC）•OD b•a ab， 故③错误； ∵AB＝BC，BF平分∠ABC， ∴BF⊥AC， ∴∠AFB＝90°，故④正确； ∴正确的序号为①②④； 故选：B． 10．【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，∠ABC（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β（180°﹣α）＝90°， 整理得，α＝2β． 故选：B． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面． 【解答】解：写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12．【分析】若三角形三个内角的度数之比为2：3：5，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，可求出三个内角分别是36°，54°，90°．则这个三角形一定是直角三角形． 【解答】解：设三角分别为2x，3x，5x， 依题意得2x+3x+5x＝180°， 解得x＝18°． 故三角36°，54°，90°． 故填直角． 13．【分析】根据角平分线的性质推出DH＝DC＝2，由三角形面积公式即可求出△ABD的面积即可解答． 【解答】解：如图：过D作DH⊥AB于H， ∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝DC＝2， ∵AB＝7， ∴△ABD的面积， 故答案为：7． 14．【分析】根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角是110°，从而求出答案． 【解答】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°﹣110°＝70°， ②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣110°＝70°， 则底角为：（180°﹣70°）55°， ∴底角为70°或55°． 故答案为：70°或55°． 15．【分析】根据三角形内角和定理可得∠PBC+∠PCB＝80°，进而可得∠PCB+∠PCA＝80°，进而得出∠ABC＝∠ACB＝80°，可得∠A的度数． 【解答】解：∵∠BPC＝100°， ∴∠PBC+∠PCB＝80°， ∵∠PBC＝∠PCA， ∴∠PCB+∠PCA＝80°， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝80°， ∴∠A＝180°﹣80°﹣80°＝20°， 故答案为：20°． 16．【分析】作PE⊥OB于E，PF⊥MN于F，PG⊥OA于G，连接OP，由角平分线的性质结合△PMN的面积是2可得PE＝PG＝PF＝2，再由△OMN的面积是6可得S△OMP+S△ONP﹣S△PMN＝6，从而得到，计算即可得到答案． 【解答】解：如图，作PE⊥OB于E，PF⊥MN于F，PG⊥OA于G，连接OP， ∵PM平分∠AMN，PF⊥MN，PG⊥OA， ∴PG＝PF， 同理可得：PG＝PE， ∴PG＝PE＝PF， ∵MN＝2，△PMN的面积是2， ∴， ∴PF＝2， ∴PG＝PE＝PF＝2， ∵△OMN的面积是6， ∴S△OMP+S△ONP﹣S△PMN＝6， ∴， ∴OM+ON＝8， 故答案为：8． 三．解答题（本大题共8小题，共72分．） 17．【分析】欲证明∠F＝∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可； 【解答】证明：∵DA＝BE， ∴DE＝AB， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C＝∠F． 18．【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取BC的中点P即可． （3）连接AB'交直线MN于点Q，则点Q即为所求． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求． （2）如图，取BC的中点P， 则点P满足题意（答案不唯一）． （3）如图，连接AB'交直线MN于点Q，连接BQ， 此时QA+QB＝QA+QB'＝AB'，为最小值， 则点Q即为所求． 19．【分析】（1）根据要求作出图形； （2）利用线段垂直平分线的性质证明△ACE的周长＝AB+AB＝13，BC＝8可得结论． 【解答】解：（1）图形如图所示： （2）∵DE垂直平分线段BC， ∴CD＝DB＝4，EC＝EB， ∴BC＝CD+DB＝8， ∵△AEC的周长＝AC+AE+EC＝AC+AE+EB＝AC+AB＝13， ∴△ABC的周长＝8+13＝21． 故答案为：21． 20．【分析】（1）由三角形的外角性质推出∠DCE＝∠B+∠E＝68°，由角平分线的定义得到∠ACE＝∠DCE＝68°，于是得到∠BAC＝∠E+∠ACE＝94°； （2）由三角形的外角性质得到∠ACE＝∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠E+∠ACE，于是得到结论． 【解答】解：（1）∵∠B＝42°，∠E＝26°， ∴∠DCE＝∠B+∠E＝68°， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝68°， ∠BAC＝∠E+∠ACE＝94°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下： ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝∠B+∠E， ∵∠BAC＝∠E+∠ACE， ∴∠BAC＝∠B+2∠E． 21．【分析】（1）证明△BAC≌△DAE（ASA），由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形外角的性质求出∠CAE＝40°，由全等三角形的性质得出AC＝AE，由等腰三角形的性质可求出答案． 【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， 即∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中， ， ∴△BAC≌△DAE（ASA）， ∴BC＝DE； （2）①解：∵∠B＝30°，∠APC＝70°， ∴∠BAP＝∠APC﹣∠B＝70°﹣30°＝40°， ∴∠CAE＝40°， ∵△BAC≌△DAE， ∴AC＝AE， ∴∠ACE＝∠E70°． 22．【分析】（1）先利用三角形外角性质证明∠CPQ＝∠A，再证明△PCQ≌△ABP，从而得到AP＝CQ； （2）设Q点的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，当BP＝CP，BA＝CQ时，利用“SAS”判断△ABP≌△QCP，即3t＝12﹣3t，9＝xt，当BP＝CQ，BA＝CP时，△ABP≌△PCQ，即3t＝xt，9＝12﹣3t，然后分别解方程组求出对应的x的值即可． 【解答】解：（1）AP＝QP． 理由如下： ∵∠APC＝∠A+∠B，∠APC＝∠APQ+∠CPQ， 而∠B＝∠APQ， ∴∠CPQ＝∠A， 在△PCQ和△ABP中， ， ∴△PCQ≌△ABP（ASA）， ∴PQ＝AP； （2）设Q点的运动速度为xcm/s，运动的时间为ts，则CQ＝xtcm，BP＝3tcm，PC＝（12﹣3t）cm， ∵∠B＝∠C， ∴当BP＝CP，BA＝CQ时，△ABP≌△QCP（SAS）， 即3t＝12﹣3t，9＝xt， 解得t＝2，x； 当BP＝CQ，BA＝CP时，△ABP≌△PCQ（SAS）， 即3t＝xt，9＝12﹣3t， 解得t＝1，x＝3； 综上所述，Q点的运动速度为cm/s或3cm/s． 23．【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△EDB，可得AC＝BE，由三角形的三边关系可求解； （2）由“SAS”可证△ADC≌△MDB，可得BM＝AC，∠EAF＝∠M，由等腰三角形的性质得出∠M＝∠BFM，证出∠AFE＝∠EAF； （3）由“SAS”可证△AQR≌△DQC，可得AR＝CD，∠R＝∠RCD，由“SAS”可证△ACR≌△BCE，可得∠ACR＝∠CBE，BE＝CQ＝2CQ＝9，由三角形的面积公式可求解． 【解答】解：（1）延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC＝BE， ∵AE﹣AB＜BE＜AB+AE， ∴4﹣3＜AC＜4+3， 即1＜AC＜7； ∵AC边的长度为奇数， ∴AC＝3或5， 故答案为：3或5； （2）∠AFE＝∠EAF，理由如下： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠EAF＝∠M， ∵BF＝AC， ∴BF＝BM， ∴∠M＝∠BFM， ∵∠BFM＝∠AFE， ∴∠M＝∠AFE， 又∵∠M＝∠EAF， ∴∠AFE＝∠EAF； （3）延长CQ到R，使得CQ＝QR，连接AR、DR． ∵点Q是AD的中点， ∴AQ＝QD， 又∵QC＝RQ，∠AQR＝∠CQD， ∴△AQR≌△DQC（SAS）， ∴AR＝CD，∠ARQ＝∠RCD， ∴AR∥CD， ∴∠RAC+∠ACD＝180°， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CE＝CD， ∴∠BCE+∠ACD＝180°，AR＝CE， ∴∠BCE＝∠CAR， ∴△ACR≌△BCE（SAS）， ∴∠ACR＝∠CBE，BE＝CR＝2CQ＝9，CQ，CK＝3， ∵∠ACR+∠BCK＝90°， ∴∠CBE+∠BCK＝90°， ∴∠CKB＝90°， 即QK⊥BE， ∴S△BCEBE•CK9×3， 故答案为：． 24．【分析】（1）根据SAS证△BAD≌△CAE，可得结论； （2）①由△BAD≌△CAE，推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质求出即可； ②α+β＝180°或α＝β，根据三角形外角性质求出即可． 【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， （2）解：①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由是： 由（1）知△BAD≌△CAE， ∴∠B＝∠ACE， ∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵∠BAC＝α，∠DCE＝β， ∴α＝β； ②分三种情况： i）当D在线段BC上时，如图2，α+β＝180°， 理由是：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE， ∵∠ADC+∠ADB＝180°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴∠DAE+∠DCE＝180°， ∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β， ∴α+β＝180°， ii）当点D在线段BC反向延长线上时，如图3，α＝β． 如图3，同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC， ∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC， ∴∠BAC＝∠DCE， ∵∠BAC＝α，∠DCE＝β， ∴α＝β； iii）当点D在线段BC的延长线上时，如图1，α＝β． 综上，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $