精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2026-2027学年高三上学期9月诊断考试数学试题

2026-2027学年第一学期9月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词判断即可. 【详解】由题意得命题的否定是，. 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A和C，根据条件，通过取特殊值检验，即可判断出正误；对B和D，根据条件，通过作差法，即可判断正误. 【详解】对于A，若，则，所以A错误， 对于B，因为，又，则，所以， 得到，所以B错误， 对于C，取，显然满足，此时， 不满足，所以C错误， 对于D，因为，又，则， 所以，得到，所以D正确， 故选：D. 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得 ，所以． 4. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由是函数的图象的一个对称中心，得， 解得，而，则，因此当时，取得最小值. 5. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知向量，， 则，， 故在上的投影向量的模为. 6. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面垂直的判定定理与面面垂直性质进行推断即可． 【详解】由线面垂直的判定定理可知，过一个平面垂线的平面与这个平面垂直， 故“”可以得到“”，充分性得证； 反之，已知两平面垂直，一个平面内的直线可以与另一个平面相交，垂直，平行， 不能得到线面垂直，必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件． 7. 点到平面的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】 若点坐标为，平面方程为，则点到平面的距离. 点，即；平面，即， 代入得距离. 8. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为，即. 由，得，其圆心为，半径. 故圆心到直线的距离为， 则弦长为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出长轴长、焦距、离心率，结合椭圆的定义求焦点三角形的周长，即可得答案. 【详解】由椭圆方程知：， 所以椭圆长轴长为，焦距，离心率，A、B对，C错； 的周长为，D对. 故选：ABD 10. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 11. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角为 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的判定判断A；补形为正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面，而直线， 点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱， 矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为， 则，C正确； 对于D，取中点，连接，由是中点，得， 则是异面直线与所成角或其补角， 由已知，，，平面， 所以平面，故平面， 又平面，于是，而， 因此，即，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角函数公式，可得答案. 【详解】由题作图如下： 在中，，则，即； 在中，，，则； 则. 故答案为：. 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则_________． 【答案】4 【解析】 【分析】直接根据偶函数的定义，将转化成求解即可． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以． 故答案为：4． 14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用正余弦定理求得、外接圆的半径，再由四边形的面积最大，只需的面积最大，结合即可求. 【详解】由题设，即（负数舍去）， 又外接圆的半径， 要使四边形的面积最大，只需的面积最大， 由到的距离，则中边上的最大高为， 所以最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知关于的方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案. （2）化简得到原式，再根据题意计算得到答案. 【小问1详解】 因为关于的方程的两个不等实根分别是和 所以，即， ，， ， 从而， 则； 【小问2详解】 . 因为 ； 因为且，所以， 所以. 所以. 16. 某学习用品店新推出两款学生笔记本，分别为清华大学横线格笔记本和北京大学空白格笔记本，已知清华大学横线格笔记本单价为x元，北京大学空白格笔记本单价为y元，某学生想购买这两款新笔记本，现有两种购买方案： 方案一：清华大学横线格笔记本购买数量为a本，北京大学空白格笔记本购买数量为b本，花费记为； 方案二：清华大学横线格笔记本购买数量为b本，北京大学空白格笔记本购买数量为a本，花费记为. （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少?请说明理由： （2）若同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S的最小值（注：差值花费较大值花费较小值） 【答案】（1）方案二花费更少，理由如下： , 因为，所以， 即，所以方案二花费更少； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用作差法分析即可得到判断； (2)利用基本不等式和二次函数思想即可求最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以 因为，所以， ， 以上取等号条件是，， 此时, 所以. 17. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面． （2）证明：因为四边形是正方形，所以， 又平面，平面，所以，， 因为平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，因为为中点，则， 因为平面， 所以平面． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，根据三角形中位线的性质及线面平行的判定即可证明； （2）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （3）根据线面夹角的定义，求得线面夹角的平面角即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 因为平面，平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为平面，所以平面， 连接， 则直线与平面所成角的平面角为， 又平面，所以， 在正方形中，， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 在中，，， 所以直线与平面所成角为． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的零点个数； （2）设，若函数有两个极值点、，求证：． 【答案】（1）1 （2），，，， 令，即， 因为函数有两个极值点、，， 故有两个不等实根，， 则，解得， ， 令，，则， 所以，，单调递减； ，，单调递增． 故，即． 【解析】 【分析】（1）求导判断单调性，结合零点存在定理判断 （2）利用导数零点与极值点的关系，结合二次函数判别式与韦达定理化简构造函数证明不等式 【小问1详解】 时，，， 则恒成立，故在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可得上存在唯一的零点，故函数的零点个数为1； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期9月诊断考试 高三数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：刘雅芳 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 命题:，，则的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 点到平面的距离是（　　） A. B. C. D. 8. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则（ ） A. 椭圆的长轴长为10 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的焦距为4 D. 的周长为18 10. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 11. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别为，边上的高AD长为，则__________. 13. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则_________． 14. 在圆的内接四边形中，已知，，，则四边形的面积的最大值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知关于的方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 某学习用品店新推出两款学生笔记本，分别为清华大学横线格笔记本和北京大学空白格笔记本，已知清华大学横线格笔记本单价为x元，北京大学空白格笔记本单价为y元，某学生想购买这两款新笔记本，现有两种购买方案： 方案一：清华大学横线格笔记本购买数量为a本，北京大学空白格笔记本购买数量为b本，花费记为； 方案二：清华大学横线格笔记本购买数量为b本，北京大学空白格笔记本购买数量为a本，花费记为. （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少?请说明理由： （2）若同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S的最小值（注：差值花费较大值花费较小值） 17. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 18. 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的大小． 19. 已知函数． （1）当时，判断函数的零点个数； （2）设，若函数有两个极值点、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $