甘肃天水市第一中学2026-2027学年高三第一学期第二次模拟考试数学试题

天水一中高三级2026-2027学年度第一学期第二次模拟 考试数学试题 命题：林永强刘怡审核：谢君琴 (时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 L.已知集合A={-1,0,1,B={xx=x,则AAB=（) A.{0,1} B.{-1,0} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 2.已知复数z满足z(1+i)=2,则z=（) A.1+i B.1-i c.-1+i D.-1-i 3.设xeR,则“x≤1”是“x2≤x”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知直线y=2x+b是函数f(x)=2lnx图象的一条切线，则b=（) A.2 B。-1 C.1 D-2 5.已知点P3,4)在角：的终边上，将x的终边绕原点0逆时针旋转T得到角B的终边，则 cosB=() 第1页共4页 A.、4 B.-3 5 C.3 D. 5 6.甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球，先从甲袋中任取1个球放 入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为() A. 12 6 3 D.2 3 7.已知函数f(x)=血，若a=f(23),b=f303),c=f35),则a,b,c的大小关系为(） A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.c<b<a &.已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记g(x)=f"(x),若f(2x+3)为偶函数， g(x+)为奇函数，则下列结论正确的是() A.g(x)的图象关于直线x=1对称 B.g(x)的图象关于点(3,0)对称 C.f(x)是偶函数 .)-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.双曲线C:5y2-4x2=20的上.、下焦点分别为F,F2,下面结论正确的是（) 3 A.C的虚轴长为2√5 B.C的离心率为 2 C若P为C上一点，则PF-PF=4 D.C的渐近线方程为y= 2V5 10.若正实数a,b满足a+b=4,则() A.。+号的最小值是号 B.√a+√b的最大值是2W2 a b c.(1+a1+b)的最大值是9 D.。+2B的最小值是 11.已知函数f(x=3+有三个极值点5，为，为，若x<名<专，则() A.x2<0 B.x为极大值点 C.x-x2>2D.fx2)>0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 第2页共4页 12.设Sn为等差数列{a,}的前n项和，若a=-1,a4=5,则S6= 13.已知 cosa 5,则a+孕一 cosa -sina 14.实数a,b,c成等差数列，点P(-1,0)在动直线ax+by+c二0上的射影为M,点N的坐标 为(3,2)，则MW的最小值为· 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 1i(B分)已知质藏0=o任-2x425osx-6 )若xe0引 ( 求函数f(x)的值域： (2)在△ABC中，a=1,c=√2，且锐角B满足f(B)=1,求b的值 16.（15分)如图是某机构统计的某地区2016 明 年至2022年生活垃圾无害化处理量y(单位： 1.80 万吨)的折线图。 L.60 140 120 注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022. 1.00 0.80 345 6 7 求y关于t的回归直线方程（系数精确到0.01）， 年份代码t 并预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量 参考数据：】 %=932,2=40n,26-=28, 参考公式：回归方程)=t+à中斜率和截距的最小乘估计公式分别为： 626-0-剪 a=y-沉. 26-y 第3页共4页 17.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上， AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD. (I)求证：CD⊥AB; 2)若DE=2,BE=1,AE=V2,CD=2V5.求直线AD与平 面ABC所成角的正弦值、 18.(17分)己知函数f(x)=血x-c(aeR) (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在[1，e2]上有且仅有2个零点，求a的取值范围。 19.(17分)在平面直角坐标系xOy中，0是坐标原点，定义点P(:,y)与点2x2,y2)的“曼哈 顿距离”为d(P,2)=k-+y-.若点E(-1,0),点E(1,0), (1)求d(E,E): (2)己知直线2x-y+2=0,求点E到直线上动点的“曼哈顿距离”最小值： (3)求平面内与两定点和F的“曼哈顿距离”之和等于4的点的轨迹围成的面积. 第4页共4页天水一中高三级2026一2027学年度第一学期第二次模拟 考试数学试题答案 一、选择题 1-4 AABD 58 ABCB 8.【详解】因为f(2x+3)为偶函数，所以f(2x+3)=f(3-2x) 令1=2x+3,则3-2x=6-1,所以f()=f(6-),即f(x)=f(6-x) 两边关于x求导，得f'(x)=-f'(6-x 又g(x)=f'(x),所以g(x)=-g(6-x),即g(3+x)=-g(3-x), 因此g(x)的图象关于点(3,0)对称，B正确. 为排除A、C、D,取f()-sm),则f2x+3)=-os()为偶函数， 且(：+)=一受m()为奇函数，满足题设条件 此时g0)-子，8(2)=-乏，所以g(d)的圈象不关于直线x=1对称，A不正确 又(-x)=-f(x),所以f(x)不为偶函数，C不正确： 当k=1,2,3,4时，f(k)依次为1,0，-1,0，并以4为周期. 2027 因为2027=4×506+3，所以名()=0≠1，D不正确. 二、多选题 9、ABD10、BCD11、ACD 11.【详解】由f(x)=3*+a3,得f'(x)=3n3+3ax2=3(ar2+3h3, 由于f(0)≠0，则令f(x)=0,即a=-3产n3 x2, 设g()=-3*1n3 x2,x≠0， 则g0=-3h3r-3h3-2x-xh3-23n3 第1页共1页 当x∈(-o0,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 且x→-o0时，g(x)→0，x→0时，g(x)→-0， 当x0,2时，g>0,g单调递增， 且x→0时，g(x)→-0， 2 当x3+时，g因<0,8)单调递减， 且x→+0时，g(x)→-0， y-a- -3n3 作出函数g(x)的图象如图， y=g(x) 则x<0<x2< 3x,故A正确厨 当x<x时，a<gx)三-n3，了四=32+3n3<0 所以f(x)在(-o,x)上单调递减，故B错误； 由于g(1)=g(3)=-3ln3, 由图可知，若a23h3,则≥，s3,不符合<亭 若a<-33,则0<名<1>3，符合名<亭，满足题意，此时马-%>2，故C正确； 而0本<1，则)=3+a=3-3·3B-x3)>0,故D正确 三、填空题 12、2413、2V3-114、22 2- N 14、因为a,b,c成等差数列，所以a-2b+c=0, D 直线aX+y+c=0恒过点A(1,-2),所以如图可知点M 在以线段PA为直径的圆C上，所以 M MN =MC-2=2V2 四、解答题 第2页共2页 15解：f(x)=sin2x+V3(2cos2x-1)=sin2x+V3cos2x=2sinl2x+)(2分) )由0≤x≤元，得：胃≤2x+胃≤智，令t=2x+骨：t眉 4π snt在1=号取最大值1；在t=智取最小值sn智-夏。 夏ssn2x+周≤1，-万≤2sinx+周s2 所以f(x)的值域为[32] (7分) (2)因为f(B)=1,所以sin ke+周= 因为0<B<号则骨<2B+胃<智 3 所以：2B+号-君-2B=分→8=号 (11分) 由余弦定理得，62=12+(N2)2-212c0s=1+2-2=1,故b=1。(13分) 16.解：7=1+2+3+4+5+6+7-4,26-7)=28， (2分) 7 6-700-列=2y-7万=40.17-4×932=2.89， (7分) 海6.26-70-刃 2.89 ≈0.103， 2%-7刃 28 又7-92131，a=7-所131-0103×4092， (11分) ∴y关于t的回归方程为=0.10t+0.92. (13分) .2024-2015=9,将2024对应的t=9代入回归方程得：=0.10×9+0.92=1.82， ∴.预测2024年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.82万吨. (15分) 17.解：(I)证明：因为AE⊥CE且AE⊥DE,CE∩DE=E, 且CE,DEC平面BCD,所以AE⊥平面BCD. 第3页共3页 因为CDC平面BCD,所以AE⊥CD. 又AD⊥CD,AE个AD=A,AEC平面ABD, ADC平面ABD,CD丈平面ABD,所以CD⊥平面ABD,故CD⊥AB. (6分) (2)如图所示，以D为原点，DE所在直线为x轴，DC所在直 线为y轴，过点D且垂直于平面BcD的直线为z轴，建立空间直 角坐标系， 可得D(0,0,0),C(0,2N3,0)，E(2,0,0),B(3,0,0). 因为AE1DE且AE=√2，所以A(2,0,V2). 所以AD=(一2,0，V反)，AB=1,0,√2)，AC=(-2,2W5,V反). (9分) [方.AB=x-√2z=0 设平面ABC的法向量方=(x,y,z),则 方：Ac=-2x+2V5y-V2z=0 可得x=V2z,令z=2,则：x=25,y=V6,即方=(2反，6,2 (13分) 设AD与平面ABC所成的角为日： |AD.才 -2)×2W巨+0+（巨）x2 所以sinB AO同 √-2)+02+(5，×2E+6'+26x3NE亏， 2 所以AD与平面ABC所成的角为5 (15分) 法二：在Rt△ADE中，AD=√AE2+DE2 =巨)+22=6， 在Rt△ABE中，AB=VAE2+BE=√WE)+12=5,， 由(1)知CD⊥平面ADE,则CD⊥DE,CD⊥AD. 在Rt4BDC中，Bc=VBD2+cD2=3+25)=V2. 在RtAADC中，AC=VAD2+CD2=√6+12=3N2. AB2+AC2=(5)+(32)=21=BC2, 第4页共4页 ABC为直角三角形，则SAc=AB-AC=x5x3N5=3N6 2 设点D到平面ABC的距离为h,AD与平面ABC所成角为B, 由ae=得：专…g5oAE,即g日仔2w5, 3 解得：h=2. 所以sinB=h=2=V6 AD=3 18.解：(1)因为函数f)=lnx-a(a∈R),则f=1-a-1- 当a≤0时，f'(x)>0,函数f(x)=lnx-ax在(0，+o)上单调递增； 当a>0时，由f',)=0可得x=1 a 若0<x≤则w>0;若x>,则w<0 a 当a>0时，函数f)=lnx-m的单调增区间为(0，，单调减区间为(G+o), 综上所述，当a≤0时，函数f(x)=lhx-ax的单调增区间为(0，oo); 当a>0时，函数f)=nx-x的单调增区间为(0，)，单调减区间为(+o)。 (2)当x∈[l,c]时，由f(x)=0,可得a=nx 则直线y=a与函数g(x)=h”的图象有两个交点， 函数g()=的定义域为(0，+o),g(因)=一hx 由g(x)=0,可得x=c, y=fx) y-a 当1<x<e时，g'(x)>0,此时函数g(x)单调递增， e e 当e<x<e2时，g'(x)<0,此时函数g(x)单调递减， 所以，函数g(,的极大值为g@)。,且g0-0,&e)子，如下图所示： 由国可知，当是≤a<时，直线y=0与函数g-在儿c]上的图象有两个交点， 第5页共5页 因此，实数口的取值范围是尽，} 19.解：(1)由“曼哈顿距离”的定义可得d(E,E)=1-(-1)+0-0=2. (2)设直线2x-y+2=0上动点C的坐标为(x,y%), [-3x。-1,x<-1 则d(E2,C)=x。-1+y=x-1+2x+2=x+3,-1≤x≤1， 3x+1,x>1 由一次函数单调性可知，当x<-1时，d(F2,C)>2;当-1≤x≤1时，2≤d(E,C)≤4； 当x>1时，d(E,C)>4. 综上，d(F,C)的最小值为2. (3)设点D(x,y),则d(E,D)+d(F,D)=4, 即x-(-++x-1+y=4,即y=2-20x+1+x-0, 将(x,-y)代入上述方程得-y=2-)(x+1+x-)=以， 所以，方程=2-)x++x-0表示的曲线关于x轴对称， 故曲线川-=2-0x++k-0所围成的面积等于曲线y=2-0x++-)与x轴所围成的面 积的2倍. x+2,x<-1 作出函数y-2-0x++-0=山，-1x≤1的图象，如图： 2-x,x>1 H 2八33 易知E(-2,0),F(-1,1,G(1,1),H(2,0), 四边形EFGH的面积为S=2+4到x=3, 所以所求轨迹围成的面积为6. 第6页共6页