第67讲 复数：概念与四则运算训练-2027届高考数学一轮复习

第67讲 复数：概念与四则运算 除法化简·纯虚数条件·共轭结构·i的幂周期 一、除法化简与基本概念 1. 除法标准动作. 分子分母同乘分母的共轭 ，分母变实数 ，一步化成 形.高频结论：、. 2. 概念三连. 实部、虚部（是实数，不带 ）、纯虚数（实部为 且虚部不为 ——两条件缺一不可）.共轭 ：虚部变号，. 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足，则复数 = （ ） A. B. C. D. 变式1（单选·★☆☆☆☆） 的虚部是（ ） A. B. C. D. 变式2（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则 = （ ）． A. B. C. D. 二、纯虚数与参数条件 1. 纯虚数判定的完整版. 化成 后：实部为零且虚部非零——含参时"舍根"是采分点（如 使两条件同时塌掉）. 2. 实部与虚部相等/成比例. 先展开成 ，按"实部=虚部""对应点在坐标轴上"等条件列方程；对应点在虚轴上等价于实部为 . 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知为纯虚数，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 2 变式4（单选·★☆☆☆☆） 已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则 = （ ） A. 或 B. C. D. 变式5（填空·★★☆☆☆） 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 = ______. 变式6（单选·★☆☆☆☆） 若为虚数单位，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 三、共轭结构与复数方程 1. 型方程. 设 代入，实部、虚部分别合并，用"复数相等"列二元一次方程组——比两边取共轭联立更直接. 2. 实系数方程的虚根. 虚根成对出现（共轭根），韦达照用：两根和为 、积为 ；无实根的 直接开方 . 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知复数z满足，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7（多选·★★★☆☆） 已知复数，且（），则（ ） A. B. C. D. 变式8（单选·★☆☆☆☆） 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则 = （ ） A. B. C. 1 D. 5 变式9（单选·★☆☆☆☆） 已知方程的两个复数根分别为，，则 = （ ） A. 0 B. C. D. 3 四、i的幂周期与多选综合 1. 的幂与周期求和. 的幂按 循环：，，，，指数除 看余数化简.求 型（系数递增）的和用错位相减：两边乘 再相减消去系数，差式化成 的一段幂和与末项 ——幂和整周期 ，只剩不足一周期的余数项. 2. 多选通法. 逐项算小量（、、 各自化简）；"纯虚数/实数"判断回到定义，负号与 是常见陷阱. 例4（填空·★★★☆☆） 若i为虚数单位，则 = ________． 变式10（多选·★★★☆☆） 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 变式11（多选·★★★☆☆） 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 变式12（多选·★★★☆☆） 已知复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 是纯虚数 D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第67讲 复数：概念与四则运算 除法化简·纯虚数条件·共轭结构·i的幂周期 一、除法化简与基本概念 1. 除法标准动作. 分子分母同乘分母的共轭 ，分母变实数 ，一步化成 形.高频结论：、. 2. 概念三连. 实部、虚部（是实数，不带 ）、纯虚数（实部为 且虚部不为 ——两条件缺一不可）.共轭 ：虚部变号，. 【通法】除法：同乘分母共轭，分母实数化. 【通法】纯虚数：实部为零且虚部非零. 例1（单选·★☆☆☆☆） 已知复数满足，则复数 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】，选 C。 【关键】" 除以 "就是分子分母同乘 ；分母 恰好整除，是送分题的标准长相. 【答案】C 变式1（单选·★☆☆☆☆） 的虚部是（ ） A. B. C. D. 【切入点】，虚部为 ，选 D。 【关键】"虚部"是实数 ，不是 ——选项里混着带 的干扰项；分子 的 别丢. 【答案】D 变式2（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】，，选 B。 【关键】共轭只翻虚部的号；先化简 再写 ，别在分式上直接"共轭"绕远. 【答案】B 变式3（单选·★☆☆☆☆） 已知复数，则 = （ ）． A. B. C. D. 【切入点】，选 B。 【关键】分母恰好是分子的共轭时，同乘共轭后分子变平方：——平方展开的中间项是 、平方项是 . 【答案】B 二、纯虚数与参数条件 1. 纯虚数判定的完整版. 化成 后：实部为零且虚部非零——含参时"舍根"是采分点（如 使两条件同时塌掉）. 2. 实部与虚部相等/成比例. 先展开成 ，按"实部=虚部""对应点在坐标轴上"等条件列方程；对应点在虚轴上等价于实部为 . 【通法】先化 x+yi 再列条件，舍根写明. 【通法】对应点位置 ↔ 实虚部符号. 例2（单选·★☆☆☆☆） 已知为纯虚数，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】，纯虚数要求 且 ，，选 B。 【关键】先除法化简再谈纯虚数——实部 、虚部 都是 的一次式，两条件联立只有 ；若虚部条件恰被 破坏就要无解作答. 【答案】B 变式4（单选·★☆☆☆☆） 已知为虚数单位，复数（）是纯虚数，则 = （ ） A. 或 B. C. D. 【切入点】要求 且 ： 中舍去 ，，选 D。 【关键】 时虚部也变成 （ 是实数不是纯虚数）——"舍根"正是本型考点. 【答案】D 变式5（填空·★★☆☆☆） 设的实部与虚部相等，其中为实数，则 = ______. 【切入点】，实部等于虚部：，。 【关键】乘法展开 落在实部里（），虚部里的 系数是 ——两处系数别对调. 【答案】 变式6（单选·★☆☆☆☆） 若为虚数单位，则 = （ ） A. 2 B. 0 C. D. 【切入点】，，，选 B。 【关键】 的幂按 循环，指数先除 取余；因子出现 直接得 ，不必展开. 【答案】B 三、共轭结构与复数方程 1. 型方程. 设 代入，实部、虚部分别合并，用"复数相等"列二元一次方程组——比两边取共轭联立更直接. 2. 实系数方程的虚根. 虚根成对出现（共轭根），韦达照用：两根和为 、积为 ；无实根的 直接开方 . 【通法】设 z=a+bi 代入，复数相等列方程组. 【通法】实系数方程虚根成对，韦达照用. 例3（单选·★☆☆☆☆） 已知复数z满足，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】设 ：，故 且 ，，选 B。 【关键】合并后虚部系数是 ——共轭把 的符号翻了；""右端实部 、虚部 ，别把 一起搬进实部. 【答案】B 变式7（多选·★★★☆☆） 已知复数，且（），则（ ） A. B. C. D. 【切入点】，虚部：，；实部：，。选 AC。 【关键】多选里 由虚部定、 由实部定，顺序不能反——先解出 才能代回实部方程. 【答案】AC 变式8（单选·★☆☆☆☆） 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则 = （ ） A. B. C. 1 D. 5 【切入点】实系数方程虚根成对：另一根 。韦达：，，，选 D。 【关键】共轭根的和是纯实数、积是 —— 直接由模平方读出，不必硬乘. 【答案】D 变式9（单选·★☆☆☆☆） 已知方程的两个复数根分别为，，则 = （ ） A. 0 B. C. D. 3 【切入点】，，，选 D。 【关键】两根关于实轴对称，距离就是 ——几何意义一步出，模符号 收口. 【答案】D 四、i的幂周期与多选综合 1. 的幂与周期求和. 的幂按 循环：，，，，指数除 看余数化简.求 型（系数递增）的和用错位相减：两边乘 再相减消去系数，差式化成 的一段幂和与末项 ——幂和整周期 ，只剩不足一周期的余数项. 2. 多选通法. 逐项算小量（、、 各自化简）；"纯虚数/实数"判断回到定义，负号与 是常见陷阱. 【通法】i 幂除 4 取余；Σk·iᵏ 错位相减. 【通法】多选：逐项化简，回定义判断. 例4（填空·★★★☆☆） 若i为虚数单位，则 = ________． 【切入点】设 ，则 ，相减： 。前 项一个整周期和为 ，剩 ；。故 ， 。 【关键】错位相减在这里的作用是把系数 消掉，差式里只剩 的整周期和（为 ）；、 先算好再代入，最后一步除法实数化. 【答案】 变式10（多选·★★★☆☆） 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】（实数）；（纯虚数）；（纯虚数）；（纯虚数）。除 A 外全为纯虚数，选 BCD。 【关键】 是自带共轭关系的一对：积为实数、差与商为纯虚数、平方是 ——四个小结论记住可秒杀同类. 【答案】BCD 变式11（多选·★★★☆☆） 已知复数，，且，下列说法正确的是（ ） A. 是纯虚数 B. 是实数 C. 是虚数 D. 若，则是实数 【切入点】A：（）纯虚数，对。B：，实数要求 ，而 、 任意，不对。C：， 时是实数，不对。D： 时 实数，对。选 AD。 【关键】D 的钥匙是 （模为 时）；B、C 用"举一个反例即可判错"—— 与 各试一次. 【答案】AD 变式12（多选·★★★☆☆） 已知复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 是纯虚数 D. 【切入点】。A：，对。B：虚部 ，不对。C： 非纯虚数，不对。D：，对。选 AD。 【关键】四个选项各自独立判——虚部带负号、 只是"实部加完"并不是纯虚数；模用商性质 免除法. 【答案】AD 学科网（北京）股份有限公司 $