2.2 直线的方程（9个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.2 直线的方程 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线l的截距 （1）直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的___纵坐标b_______． （2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点 ___横坐标a_________． 2．（1）若直线，直线，则的充要条件为______； （2）若直线，直线，则的充要条件为__，且或_____. 3．（1）若直线，直线，则的充要条件为________； （2）若直线，直线，则的充要条件为_____________. 4．直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） ____________    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示_垂直___于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过_原点____的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 直线方程的有关概念辨析 基础知识 核心知识 直线的倾斜角定义范围 斜率公式两点斜率 区分截距与距离截距可正可负可为0不是线段长度 辨析各类直线方程适用条件注意斜率不存在的特殊直线 方法技巧 1.看到倾斜角优先判断是否等于此时斜率不存在 2.截距类判断题举例验证截距为0的情况 3.概念选择题标记关键词留意方程成立的限制条件 4.分类讨论斜率存在与不存在两种情况避免漏解 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 【例题2】（25-26高二上·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线 上 B．存在实数，使得直线与直线垂直 C．过点且横纵截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 【答案】ABD 【分析】根据直线的方程与直线间位置关系逐项判断即可. 【详解】选项A：将点代入直线方程中得， 等式恒成立，所以点一定在这条直线上，A正确. 选项B：当时，两直线为与，此时两直线垂直. 当时，由两直线垂直可得，，此时两直线不垂直. 综上，当时，两直线垂直，B正确. 选项C：当横纵截距均为0时，方程为，即. 当横纵截距不为0时，设直线方程为，代入点可得，， 此时直线方程为，即. 综上，过点且横纵截距相等的直线方程为或，C错误. 选项D：经过任意相异两点，的直线， 当斜率存在时，方程为，整理为. 当斜率不存在时，方程为，代入上式也成立. 所以方程对任意相异两点均成立，D正确. 故选：ABD. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（   ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点的直线都可用方程表示 D．所有直线都可以用方程表示 【答案】AB 【分析】当直线垂直x轴时，斜率不存在，即可判断A、B的正误；根据两点式方程的一般形式，可判断C的正误；根据直线的一般式方程的性质，可判断D的正误. 【详解】当直线垂直x轴时，斜率不存在，故不可以用点斜式及斜截式方程，故A、B错误； 为两点式的一般形式，可以表示过任意两个不同点的方程， （当时，方程为，当时，方程为）故C正确； 所有直线都可以用方程表示，故D正确. 故选：AB 【巩固练习2】（25-26高二上·广西来宾·期中）（多选）下列四个命题为真命题的是（   ） A．经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C．不经过原点的直线都可以用方程来表示 D．方程不同时为零可以表示平面内的任意一条直线 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合直线方程的形式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由直线方向向量为，可得该直线的斜率为， 又由直线过定点，可得直线方程为，所以A为真命题； 对于B，设是该直线的任意一点，则，， 由，可得，所以B为真命题； 对于C，不过原点但在轴或轴上无截距的直线（）或（）不能用方程表示，所以C为假命题. 对于D，直线的一般式方程不同时为零可以表示平面内的任意一条直线，所以D为真命题. 故选：ABD. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东汕头·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线平行的直线方程是 C．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．若，，则直线不经过第二象限 【答案】BD 【分析】求出纵截距判断A；利用平行关系求出直线方程判断B；借助截距式方程判断C；确定直线位置判断D. 【详解】对于A，直线在轴上的截距为，A错误； 对于B，设与直线平行的直线方程为， 则，解得，所求直线方程为，B正确； 对于C，当过点且在两坐标轴上截距相等的直线过原点时，方程为，C错误； 对于D，由，得，则直线的横、纵截距分别为，因此直线不经过第二象限，D正确. 故选：BD 【题型2】 直线方程的点斜式 基础知识 核心知识 点斜式公式 适用前提直线斜率存在过定点 斜率不存在时直线方程写为不能用点斜式表达 方法技巧 1.已知一点与斜率直接套用点斜式 2.题目未说明斜率存在必须单独检验垂直x轴的直线 3.由点斜式读出定点与斜率快速判断直线特征 4.多直线位置关系问题用点斜式设直线简化运算 典型例题 【例题1】（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线可化为，斜率为. 所求直线与已知直线平行，故斜率也为. 又所求直线经过点，由点斜式得 ， 整理得，即. 【例题2】直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 【答案】 【详解】由直线l经过点，斜率是，可得其点斜式为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （2）因为直线斜率为， 所以直线的点斜式方程为． （3）因为直线斜率为，所以直线的点斜式方程为． 【巩固练习2】（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 【巩固练习3】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助两角和的正切公式可得该直线斜率，再利用直线方程的点斜式求解即可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 由直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线， 故直线的倾斜角为， 故直线的斜率为， 又在直线上，故直线过点， 即直线的方程为，化简得. 【题型3】 直线方程的截距式 基础知识 核心知识 截距式 为x轴截距为y轴截距 适用条件且直线不能过原点不能平行坐标轴 方法技巧 1.题目给出两坐标轴截距优先使用截距式 2.遇直线过原点或者截距为0不能用截距式需要单独列式 3.已知截距关系求直线设建立方程求解 4.检验结果排除不符合截距式限制的解 典型例题 【例题1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则其在轴上的截距为________. 【答案】 【详解】令代入直线方程，可得 ，解得， 因此该直线在轴上的截距为. 【例题2】（25-26高二上·江西·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 【答案】或 【详解】由题可知，直线过点，所以直线在x轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为3，所以直线在y轴上的截距为1或， 则所求直线方程为或. 巩固练习 题型 【巩固练习1】经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【答案】或 【详解】依题意，该直线的截距不能为0，则可设其方程为， 因为直线过点，所以， 整理得，解得或． 于是所求直线方程的截距式为或． 【巩固练习2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据直线在坐标轴上的截距是否为零进行分类讨论，结合截距互为相反数求得正确答案. 【详解】若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为， 又直线过点，所以，即， 所以直线方程为，即； 若直线在坐标轴上的截距不为0， 设直线方程为，又直线过点， 所以，解得，所以直线方程为，即． 综上可知，所求直线方程为或． 【巩固练习3】（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分截距为零与不为零两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 【题型4】 直线方程的斜截式 基础知识 核心知识 斜截式 代表斜率代表y轴上截距 适用前提斜率存在 时直线过原点 方法技巧 1.已知斜率和y截距直接写斜截式 2.比较多条直线平行重合优先化为斜截式对比 3.求参数问题转化为对比斜率与截距 4.直线平移问题只改变截距斜率保持不变 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知直线在轴上的截距为1，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】利用直线截距的定义求解即可. 【详解】直线在轴上的截距为1，则直线过点， 所以，解得：; 故选：C 【例题2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）直线在轴上的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】令，求得对应的即可 【详解】令，得，即在轴上的截距为. 故选：C. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆渝北·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为1，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AC 【分析】考查直线过定点和直线方程，根据选项依次求解即可. 【详解】当 时，，所以直线恒过定点，选项A正确； 若直线与直线垂直，则 解得，选项B错误； 直线在轴上的截距为1，则，解得，选项C正确； 若，则，必有，选项D错误； 故选：AC 【巩固练习2】（24-25高二上·广西河池·阶段检测）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的纵截距为______． 【答案】1 【分析】由倾斜角得到斜率，再由点斜式求出直线方程，然后令求出即可； 【详解】由题意知，斜率为，则直线方程为，令即，直线1的纵截距为1． 故答案为：1． 【巩固练习3】（24-25高二上·广东·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先求得中点的坐标，再求得线段垂直平分线的斜率，进而得到线段垂直平分线的斜截式方程； （2）先设出的截距式方程，列出关于的方程组，解之即可求得的截距式方程. 【详解】（1）由题意可得，， 所以线段的中点为，， 所以直线的垂直平分线的斜率为， 则线段垂直平分线的方程为， 故斜截式方程为. （2）设直线的截距式方程为， 则   ①，  ②. 由①②解得，，， 故直线的截距式方程为. 【题型5】 直线方程的两点式 基础知识 核心知识 两点式 适用条件且直线不平行坐标轴 两点确定一条直线 方法技巧 1.已知两个点坐标可直接套用两点式 2.两点横坐标相等直线纵坐标相等直线 3.两点式变形整理后一般转为斜截式便于后续计算 4.求过两点直线方程先检验两点横坐标或纵坐标是否相同 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 【例题2】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】首先根据两点式方程判断直线过点和，再利用斜率的坐标公式计算出斜率的值，最后利用斜率的几何公式计算出直线的倾斜角. 【详解】解：设直线的倾斜角为，； 由直线的两点式方程：得：直线过点和； 直线的斜率：，所以； 又因为，所以； 故选：A. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【答案】ABC 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 【巩固练习2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】用两点式来求直线的方程，当时的值即为所求. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得：， 化简可得： . 把代入，得： ，即. 所以直线在轴上的截距为. 故选：D 【巩固练习3】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【答案】 【分析】利用两点式方程可得直线的方程. 【详解】由题意可知，经过与两点的直线方程为，即. 故答案为：. 【题型6】 直线方程的一般式 基础知识 核心知识 一般式不同时为0 斜率y截距 x截距 所有直线都可以写成一般式 方法技巧 1.各类直线方程都可以整理转化为一般式 2.由一般式快速读出斜率截距 3.平行直线设为简化设参 4.垂直直线可以利用系数关系快速列式 典型例题 【例题1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【分析】先由已知直线斜率求出倾斜角，取其一半得到直线l的倾斜角与斜率，再用点斜式写出方程并整理为一般式． 【详解】直线的斜率，其倾斜角为，， ，故， 已知直线的倾斜角，故， 故直线的斜率， 过点的直线方程为， 故一般方程为． 【例题2】（26-27高二上·辽宁·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线的一般式求出直线的斜率，即可求得直线的倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为， 所以直线的倾斜角满足, 解得. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由点斜式，得直线方程为， 化成一般式即． （2）直线方程为，即． （3）由斜截式，得直线方程为，化成一般式为. 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线化成斜截式，结合，且异号，可得，由异号即可得答案. 【详解】由题意可知，且异号， 将直线化斜截式，为， 直线的斜率， 又因为直线不过第二象限， 所以，即， 又因为异号， 所以. 【巩固练习3】（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3)． 【分析】（1）根据直线过，列方程求得. （2）根据直线是否过原点进行分类讨论，结合截距相等求得直线的方程. （3）将直线方程化为斜截式，根据直线不经过第三象限列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，即方程为． （2）当直线过原点时，该直线在轴和轴上的截距为零， 所以，所以，方程为； 当直线不过原点时，，由，得， 即方程为， 故所求的方程为或． （3）将的方程化为，要使不经过第三象限， 当且仅当且， 解得，故所求的取值范围为． 【题型7】 直线方程的定点问题 基础知识 核心知识 含参数的直线方程对任意参数恒成立则与参数无关 将方程整理为参数・式子+不含参数式子=0 联立两个式子等于0求解得到定点坐标 方法技巧 1.把含参项合并分离参数 2.令参数的系数=0剩余式子=0联立方程组求解定点 3.代入两个特殊参数值得到两条直线求交点即为定点 4.求出交点后代回原式验证 典型例题 【例题1】（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化为，令，即可求解. 【详解】因为，令，解得，， 所以直线都经过平面内一个定点． 【例题2】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 【答案】 【分析】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【详解】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线化为即可求解． 【详解】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 【巩固练习2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【答案】 【分析】对等式进行变形，通过解方程组进行求解即可. 【详解】， 因为直线恒过定点， 所以有， 因此该直线恒过点. 故答案为： 【巩固练习3】（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【答案】 【分析】将方程变形为，即可求解. 【详解】由可得， 令，解得， 故定点为， 故答案为： 【题型8】 直线方程过定点与距离最值问题 基础知识 核心知识 点到直线距离公式 过定点的动直线原点/定点到这条直线距离最大值为 当垂直动直线时距离取最大值 方法技巧 1.先求出动直线所过定点 2.几何优先利用圆的直径性质判断距离最值 3.距离最小值为0直线经过该定点时取得 4.代数法可利用二次函数求最值优先几何法节省时间 典型例题 【例题1】（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把直线的方程化为，进而求出点的坐标. （2）确定点到直线的距离最大时直线的位置，再求出直线的方程. 【详解】（1）直线的方程化为，令，解得， 所以点的坐标为. （2）由（1）知直线恒过定点，当且仅当时，点到直线的距离最大， 而直线的斜率，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 【例题2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 【答案】C 【分析】先求得直线所过定点，然后分析直线与垂直，直线过点两种情况，即可得解. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点， 因为, 若时，则 可取最大值，最大值为， 若，则其斜率应为1， 当时，直线的斜率为，令可得，此方程无解，矛盾， 当时，直线为，斜率不存在，不满足垂直条件，矛盾， 故不存在使得， 所以，无最大值. 当直线过点时，即时，到的距离最小. 故选：C 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过的定点，再结合条件即可求出方程. 【详解】直线l：过定点，显然点不在直线l上， 则当且仅当时，点到直线l的距离最大，而直线斜率， 因此直线的斜率，直线l的方程为. 故选：C 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定直线过定点，结合垂直关系求解即可. 【详解】由可得， 由得，故过定点， 当直线与点和所在直线垂直时， 点到直线的距离最大，由结合垂直关系可得， 所以直线方程为. 故选：A 【巩固练习3】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】如果直接用点到直线距离公式，求出距离与之间的关系再求最值，计算会相当繁琐；所以先考虑直线过的定点，再从几何的角度求得距离最大值，进而求出直线方程. 【详解】直线变形得. 当时，方程成立；此时，因此直线过定点. 结合图象可知，随着直线绕点旋转，点到的距离也会变化，但距离都会小于等于. 所以点到直线的距离最大为. 此时过点且垂直于直线的直线即为直线. 直线的方程为，即. 故选： 【题型9】 直线方程与坐标轴围成的面积最值问题 基础知识 核心知识 直线与x轴截距y轴截距围成直角三角形面积 常结合基本不等式求解最值 方法技巧 1.设截距式写出面积表达式 2.利用已知条件建立关系式用基本不等式求最值 3.注意正负面积要带上绝对值 4.检验取等条件是否满足验证直线存在性 典型例题 【例题1】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． (2)或 (3)的最小值为16，此时直线的方程为 【分析】（1）将的方程变形为，进而可得定点； （2）分、两种情况结合截距的定义及题设求解即可； （3）结合（2）可得，，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. （3）由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 【例题2】（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) 证明：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． (2)． (3), ． 【分析】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）略 （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线所过定点，数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （2）已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【巩固练习2】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【答案】(1) 直线，即. 由，解得. 所以直线过定点. (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）略 （2）当时，直线斜率不存在，方程为，经过第四象限，不成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第四象限，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （3）由题，直线，且. 令，得，得； 令，得，得，即. 则， 又，， 所以当时，取最小值，最小值为. 此时直线的方程为. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1) 因为直线， 即，所以直线恒过定点． (2)最小值为4，直线的方程为 【分析】（1）将的方程变形为，令的系数为进而可得定点； （2）求出直线与 轴，轴的交点坐标，表示出的面积，利用基本不等式求最值即可． 【详解】（1）略 （2）由题知，，则， 由，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 此时直线的方程为，即， 综上，的最小值为4． 且此时直线的方程为． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据直线在轴上的截距，即当时，求出的值即可. 【详解】因为直线的方程为，当时，， 故直线在轴上的截距为. 故选：B. 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】，令，解得值，即为所求 【详解】，令，得，所以直线在y轴上的截距为. 故选：C 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】令即可求解. 【详解】由截距的概念，令，可得， 即， 故直线在轴上的截距为， 故选：A 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】B 【分析】由题意，求出点A的横坐标、B的纵坐标，根据三角形的面积公式建立关于b的方程，解之即可. 【详解】如图， 在中， 令，得；令，得， 由题意，得，， 所以的面积， 即，解得. 故选：B. 5．（26-27高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合斜率和倾斜角的关系，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 可得直线的斜率为，即，可得. 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出线段的方程及横坐标的取值范围，将转化为关于的一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值. 【详解】由点，点，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，整理得. 由于点在线段上，故横坐标的取值范围为，且. 所以， 该式为关于的一次函数，斜率，在区间上单调递增， 因此当时，取得最小值，最小值为. 因此的最小值 为. 7．（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 【答案】D 【分析】设直线，根据已知有，再应用基本不等式求得，即可得面积最小值，确定等号成立条件即可得. 【详解】设直线，其中， 因为直线过点， 所以， 而，解得， 当且仅当，即时等号成立， 故，此时直线的纵截距为14. 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 【答案】C 【分析】对于选项A，按照过点的直线过原点和不过原点进行讨论求解；对于选项B，利用两条直线平行的公式求出的值，将的值代入直线检验是否有平行，从而得到结论；对于选项C，利用两条直线垂直的公式求出的值，利用充分条件和必要条件求解；对于选项D，求出直线恒过的定点，求出，，结合图形得到的范围. 【详解】对于选项A，当过点的直线过原点时，此直线在两坐标轴上的截距均为， 截距相等，此时，此直线的斜率为，方程为； 当过点的直线不过原点时， 此直线在两坐标轴上截距相等，设此直线方程为， 代入，得到，解得， 设此直线方程为， 综上可知，过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为或，故选项A错误； 对于选项B，直线：与直线：互相平行， ，，或， 当时，直线：与直线：，； 当时，直线：与直线：，直线重合； 综上可知，直线：与直线：互相平行， 则，故选项B错误； 对于选项C，直线与直线垂直， ，，或， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件， 故选项C正确； 选项D，直线转化为，，解得， 则直线恒过点， ，， 直线和以，为端点的线段相交， 或，故选项D错误. 故选：C. 二、多选题 9．（25-26高二上·四川阿坝·期中）下列说法中，正确的有（  ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、三、四象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 10．（25-26高二上·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据截距式直线方程的定义进行求解即可. 【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为， 由题可得，所以或， 解得或，所以直线方程为或，故A，C正确； 当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 【答案】AD 【分析】A选项，变形后可得方程组，求出所过定点；B选项，时，两直线重合，B错误；C选项，根据直线的方向向量可得直线的斜率，从而得到，两直线不垂直；D选项，将直线转化为斜截式方程，可得始终不过第四象限. 【详解】对于A，直线，由得，始终过定点，A正确； 对于B，当时，直线与直线重合，B错误； 对于C，由选项得直线的斜率，显然， 而，则有， 此时，斜率为，两直线斜率乘积不为， 直线与直线不垂直，C错误； 对于D，当时，， 因为，，所以直线经过第一、二、三象限， 可得始终不过第四象限，D正确． 三、填空题 12．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 【答案】 【详解】过点且斜率为2的直线的斜截式方程为. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 【答案】 【详解】令，得，所以直线在轴上的截距为. 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 【答案】 【分析】设出截距式方程后借助中点定义计算即可得. 【详解】由点为的中点，则此直线不过原点， 设此直线的截距式方程为，则有， 故该方程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出的中点坐标，进而得到所求直线斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （2）先求出直线的斜率，进而得到高的斜率，根据点斜式得到方程，再转化为斜截式即可； （3）根据（1）的中点坐标及（2）的斜率得到方程即可． 【详解】（1）由题意得的中点坐标， 所以， 所以上的中线方程为，整理得斜截式方程为. （2）所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的斜率， 又上的高过点， 则上的高所在直线的方程为，整理得斜截式方程为. （3）由（2）得，与垂直的直线斜率为， 由（1）得的中点坐标， 所以的垂直平分线的方程为，整理得斜截式方程为. 16．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程； （2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程. 【详解】（1）由点得线段的中点为，故，        所以中线所在直线的方程为，即． （2）若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意；                    若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 17．（25-26高二上·四川阿坝·期中）已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； （2）线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； （3）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 18．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 【答案】(1) (2)或， 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线的点斜式方程进行求解即可； （2）根据中点坐标公式得出，再设直线方程进而代入点的坐标即可得出直线方程. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为是边上的高， 所以， 所以高所在直线的方程为； （2）因为点为边的中点， 所以， 设在两坐标轴上截距相等的直线方程为或， 因为直线过点，所以或，所以或， 所以过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. $2.2 直线的方程 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 1．直线l的截距 （1）直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点的___纵坐标b_______． （2）直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点 ___横坐标a_________． 2．（1）若直线，直线，则的充要条件为______； （2）若直线，直线，则的充要条件为__，且或_____. 3．（1）若直线，直线，则的充要条件为________； （2）若直线，直线，则的充要条件为_____________. 4．直线的五种方程 名称 条件 方程 图形 适用范围 点斜式 直线过定点斜率为 y－y0＝k（x－x0）    不表示垂直于轴的直线 斜截式 直线的斜率为，且与轴的交点为（直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距） ____________    不表示垂直于轴的直线 两点式 和其中    不表示_垂直___于坐标轴的直线 截距式 在轴上截距，在轴上截距    不表示垂直于坐标轴的直线及过_原点____的直线 一般式 为系数 任何位置的直线 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 直线方程的有关概念辨析 基础知识 核心知识 直线的倾斜角定义范围 斜率公式两点斜率 区分截距与距离截距可正可负可为0不是线段长度 辨析各类直线方程适用条件注意斜率不存在的特殊直线 方法技巧 1.看到倾斜角优先判断是否等于此时斜率不存在 2.截距类判断题举例验证截距为0的情况 3.概念选择题标记关键词留意方程成立的限制条件 4.分类讨论斜率存在与不存在两种情况避免漏解 典型例题 【例题 1】（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【例题2】（25-26高二上·江苏南京·期末）（多选）下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线 上 B．存在实数，使得直线与直线垂直 C．过点且横纵截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点，的直线都可以用方程表示 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）（多选）下列说法错误的是（   ） A．过定点的直线都可用方程表示 B．过定点的直线都可用方程表示 C．过任意两个点的直线都可用方程表示 D．所有直线都可以用方程表示 【巩固练习2】（25-26高二上·广西来宾·期中）（多选）下列四个命题为真命题的是（   ） A．经过定点且方向向量为的直线都可以用方程表示 B．经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示 C．不经过原点的直线都可以用方程来表示 D．方程不同时为零可以表示平面内的任意一条直线 【巩固练习3】（25-26高二上·广东汕头·期中）（多选）下列说法正确的有（   ） A．直线在轴上的截距为2 B．过点且与直线平行的直线方程是 C．经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D．若，，则直线不经过第二象限 【题型2】 直线方程的点斜式 基础知识 核心知识 点斜式公式 适用前提直线斜率存在过定点 斜率不存在时直线方程写为不能用点斜式表达 方法技巧 1.已知一点与斜率直接套用点斜式 2.题目未说明斜率存在必须单独检验垂直x轴的直线 3.由点斜式读出定点与斜率快速判断直线特征 4.多直线位置关系问题用点斜式设直线简化运算 典型例题 【例题1】（25-26高二下·广东河源·期末）经过点，且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】直线经过点，斜率是，写出直线的点斜式方程. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二·全国·暑假作业）根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点，倾斜角为； (2)经过原点，倾斜角为； (3)经过点，倾斜角为． 【巩固练习2】（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【巩固练习3】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）已知直线：，直线是直线绕点逆时针旋转45°得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【题型3】 直线方程的截距式 基础知识 核心知识 截距式 为x轴截距为y轴截距 适用条件且直线不能过原点不能平行坐标轴 方法技巧 1.题目给出两坐标轴截距优先使用截距式 2.遇直线过原点或者截距为0不能用截距式需要单独列式 3.已知截距关系求直线设建立方程求解 4.检验结果排除不符合截距式限制的解 典型例题 【例题1】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线，则其在轴上的截距为________. 【例题2】（25-26高二上·江西·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距之差为3的直线的截距式方程是______. 巩固练习 题型 【巩固练习1】经过点，在两坐标轴上的截距之和等于6的直线的截距式方程为______. 【巩固练习2】（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）过点，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【题型4】 直线方程的斜截式 基础知识 核心知识 斜截式 代表斜率代表y轴上截距 适用前提斜率存在 时直线过原点 方法技巧 1.已知斜率和y截距直接写斜截式 2.比较多条直线平行重合优先化为斜截式对比 3.求参数问题转化为对比斜率与截距 4.直线平移问题只改变截距斜率保持不变 典型例题 【例题1】（25-26高二上·四川攀枝花·期末）已知直线在轴上的截距为1，则（    ） A． B．1 C． D．2 【例题2】（25-26高二上·河北石家庄·期中）直线在轴上的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆渝北·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与直线垂直，则 C．若直线在轴上的截距为1，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【巩固练习2】（24-25高二上·广西河池·阶段检测）已知直线l过点，倾斜角为，则直线l的纵截距为______． 【巩固练习3】（24-25高二上·广东·期中）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程； （2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程. 【题型5】 直线方程的两点式 基础知识 核心知识 两点式 适用条件且直线不平行坐标轴 两点确定一条直线 方法技巧 1.已知两个点坐标可直接套用两点式 2.两点横坐标相等直线纵坐标相等直线 3.两点式变形整理后一般转为斜截式便于后续计算 4.求过两点直线方程先检验两点横坐标或纵坐标是否相同 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【例题2】（25-26高二上·河南·期中）已知直线的两点式方程为，则直线的倾斜角为（   ） A．150° B．120° C．60° D．30° 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（     ） A．直线经过点 B．直线的斜截式方程为 C．直线的一个方向向量为 D．直线的一个法向量为 【巩固练习2】（25-26高二上·天津·阶段检测）已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（   ） A． B． C．1 D． 【巩固练习3】（24-25高二上·江苏南通·期中）经过与两点的直线方程为__________． 【题型6】 直线方程的一般式 基础知识 核心知识 一般式不同时为0 斜率y截距 x截距 所有直线都可以写成一般式 方法技巧 1.各类直线方程都可以整理转化为一般式 2.由一般式快速读出斜率截距 3.平行直线设为简化设参 4.垂直直线可以利用系数关系快速列式 典型例题 【例题1】（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【例题2】（26-27高二上·辽宁·期中）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且与轴垂直； (3)斜率为，在轴上的截距为7. 【巩固练习2】（2026高三·全国·专题练习）已知直线不经过第二象限，且，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二·全国·暑假作业）设直线的方程为． (1)若在两坐标轴上的截距均为0，求的方程； (2)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (3)若不经过第三象限，求实数的取值范围． 【题型7】 直线方程的定点问题 基础知识 核心知识 含参数的直线方程对任意参数恒成立则与参数无关 将方程整理为参数・式子+不含参数式子=0 联立两个式子等于0求解得到定点坐标 方法技巧 1.把含参项合并分离参数 2.令参数的系数=0剩余式子=0联立方程组求解定点 3.代入两个特殊参数值得到两条直线求交点即为定点 4.求出交点后代回原式验证 典型例题 【例题1】（26-27高一上·湖南岳阳·开学考试）对任意实数，直线一定经过点（ ） A． B． C． D． 【例题2】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点________. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·上海松江·阶段检测）直线所过定点为______ 【巩固练习3】（25-26高二上·天津·期末）已知直线：总是经过定点，则定点坐标为_______. 【题型8】 直线方程过定点与距离最值问题 基础知识 核心知识 点到直线距离公式 过定点的动直线原点/定点到这条直线距离最大值为 当垂直动直线时距离取最大值 方法技巧 1.先求出动直线所过定点 2.几何优先利用圆的直径性质判断距离最值 3.距离最小值为0直线经过该定点时取得 4.代数法可利用二次函数求最值优先几何法节省时间 典型例题 【例题1】（25-26高二上·上海徐汇·阶段检测）已知直线：恒过点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； 【例题2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知直线的方程为（），点，设到的距离为，则（   ） A．的最小值为0，最大值为 B．无最小值，最大值为 C．的最小值为0，无最大值 D．无最小值，也无最大值 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·内蒙古通辽·期中）已知直线l：，当点到直线l的距离最大时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，当点到直线的距离最大时，直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时过点P且垂直于直线l的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【题型9】 直线方程与坐标轴围成的面积最值问题 基础知识 核心知识 直线与x轴截距y轴截距围成直角三角形面积 常结合基本不等式求解最值 方法技巧 1.设截距式写出面积表达式 2.利用已知条件建立关系式用基本不等式求最值 3.注意正负面积要带上绝对值 4.检验取等条件是否满足验证直线存在性 典型例题 【例题1】（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【例题2】（2025高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知直线． (1)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线的方程． 【巩固练习2】（25-26高二上·甘肃白银·期中）已知直线. (1)求证：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)当直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小时，求直线的方程. 【巩固练习3】（25-26高二上·广东广州·阶段检测）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南永州·期末）已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（    ） A．1 B． C．5 D． 2．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知直线的点斜式方程是，则直线在y轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．3 C． D． 4．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知直线的方程为，若与轴的正半轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，且的面积为2，则（    ） A． B．-1 C． D．0 5．（26-27高二上·广东·期中）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州遵义·阶段检测）已知点，点，若点在线段上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026高二·全国·专题练习）已知为坐标原点，过点的直线分别与轴的正半轴交于两点，则当的面积取得最小值时，直线的纵截距为（ ） A．4 B．7 C．8 D．14 8．（25-26高二上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（   ） A．过点且在两坐标轴上截距相等的直线l方程为 B．若直线：与直线：互相平行，则或2 C．对任意的，“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件 D．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 二、多选题 9．（25-26高二上·四川阿坝·期中）下列说法中，正确的有（  ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、三、四象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10．（25-26高二上·河北·阶段检测）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知两条直线：与，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则或 C．若直线的一个方向向量为，则 D．当时，始终不过第四象限 三、填空题 12．（24-25高二下·上海·期中）过点且斜率为2的直线的斜截式方程为__________. 13．（25-26高二·全国·暑假作业）直线在轴上的截距为_____________. 14．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）一条直线经过点，并且与x轴，y轴分别交于A，B两点，当P为AB的中点时，此直线的方程为_________. 四、解答题 15．（2026高一·全国·专题练习）已知的三个顶点是，，. (1)求边上的中线所在直线的斜截式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的斜截式方程 16．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 17．（25-26高二上·四川阿坝·期中）已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 18．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知中，，. (1)若，求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若点为边的中点，求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. $