1.3 空间向量及其坐标表示（7个核心题型归纳）讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其坐标表示核心知识点，系统梳理向量加法、线性运算、模、数量积、平行、垂直、夹角的坐标形式，通过7类题型构建从基础运算到参数最值的学习支架，衔接平面向量与立体几何应用。 资料以“知识梳理-题型解读-例题练习”分层设计，融入各地期中期末真题，培养数学思维（如参数最值问题的函数转化）和数学语言（用坐标表达空间关系），课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

1.3 空间向量及其坐标表示 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ________ 线性运算 若，是两个实数，________ 模 ________ 数量积 ________ 夹角公式 平行 ， 其中， 垂直 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 空间向量的坐标运算 基础知识 核心知识 若 加法 减法 数乘 空间中两点则 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标 方法技巧 计算向量坐标时牢记终点减起点 坐标加减运算对应分量分别运算 数乘运算每个分量同时乘系数 运算时分清向量坐标与点的坐标 多个向量连续运算分步计算减少计算失误 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【答案】 【分析】计算出相关向量，利用共面向量定理列方程，坐标对应相等解方程组即可. 【详解】，，， 四点共面等价于向量、、共面，根据共面向量定理知存在实数，使得： ，即， 所以，则. 【例题2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ， 所以向量在向量上的投影向量：， 故A选项正确. 【巩固练习2】（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过向量法则简化表达式，再用坐标运算得到结果即可. 【详解】根据题意，点，，，则. 故选：B. 【题型2】 空间向量模长的坐标表示 基础知识 核心知识 若则 向量模长公式本质是空间两点间距离公式 方法技巧 先写出向量坐标再代入模长公式 平方运算注意正负号平方后负数变正数 求线段长度可转化为求对应向量的模 模长一定是非负数开方结果不取负值 遇到含参数向量求模最后化简根式 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】由向量加法得， 所以. 【例题2】（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出坐标应用线性运算得出坐标，再应用模长公式计算求解. 【详解】  以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 所以， 所以， 所以． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 【巩固练习2】（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据题意：存在实数使得，再根据坐标运算解方程求解即可. 【详解】向量，，共面，存在实数使得，即， ，解得，， ， . 故选：A. 【题型3】 空间向量的平行坐标表示 基础知识 核心知识 分量成比例比例系数为 分量中有0时不能直接写分式改用数乘等式判断 方法技巧 优先使用数乘等式列方程组避免分母为0出错 分式形式仅适用于所有分量都不为0的情况 由平行条件求参数时要检验得到的参数是否满足条件 向量平行对应空间直线平行或重合注意区分两种情况 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 【例题2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【答案】 【分析】由向量共线的坐标表示求解 【详解】因为，， 所以，， 因为，所以，解得. 故答案为：. 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若 ，则__________. 【答案】3 【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解. 【详解】因为 ，所以存在实数，使得， 即，解得，. 故答案为：. 【题型4】 空间向量的垂直坐标表示 基础知识 核心知识 两向量垂直等价于数量积等于0 方法技巧 直接套用坐标数量积公式列式等于0 利用垂直条件建立方程求解未知参数 注意零向量与任意向量数量积为0但零向量不讨论垂直 立体几何证明线线垂直可转化为对应方向向量坐标满足垂直条件 典型例题 【例题1】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【详解】，，， ，即， 解得． 【例题2】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，即. 【巩固练习2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 【题型5】 空间向量夹角的坐标表示 基础知识 核心知识 向量夹角范围 线线角范围线线角取向量夹角或其补角中锐角或直角 方法技巧 先分别算出数量积和两个向量模长再代入公式 算出余弦值后判断夹角范围 求解异面直线夹角时余弦取绝对值 注意向量夹角和立体几何中线线角的区别 已知余弦值反求角度可结合特殊角三角函数判断 典型例题 【例题1】（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【答案】 【详解】设， 依题意，，解得 同理可得， 则， 因此， 所以． 【例题2】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用空间向量的加减运算及数乘运算得，再利用空间向量的模计算即可； （2）利用空间向量的数量积和夹角公式计算得结论． 【详解】（1）， 所以， 则， 解得． （2）因为，，所以， 又，， 所以， 即向量与向量的夹角的余弦值为． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   【巩固练习2】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【答案】 【分析】利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】因为是单位向量，所以有， 因为与的夹角等于， 所以， 所以有， ， 故答案为： 【题型6】 空间向量数量积的坐标运算 基础知识 核心知识 数量积结果是实数不是向量 满足交换律分配律数乘结合律 方法技巧 坐标数量积为对应分量相乘后全部相加 多个向量运算时遵循多项式展开规则 可结合模长公式求解模 计算过程仔细核对每个分量乘积避免漏项 已知数量积可用来求夹角判定垂直 典型例题 【例题1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 【例题2】（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由，，， 则， 因为是锐角， 所以，且不共线， 则，解得且， 则实数a的取值范围为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，根据空间向量的模长公式求出点的轨迹方程，设，，，结合空间向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换可求得的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， 则，， 所以， 则， 整理可得， 不妨设，，， ，， 所以 ， 当或时，取最大值， 当或时，取最小值. 综上所述，的取值范围是. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，求出，利用的范围求出的范围.解法二：取CC1中点为D，由极化恒等式得，求出和，从而得到的取值范围. 【详解】解法一：由题可知三棱柱为正三棱柱， 如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系， 设，其中，，又，， 所以，， ， 当，且或1时，取得最大值1， 当，且时，取最小值，所以的取值范围为. 解法二： 取CC1中点为D，由极化恒等式得， 又，， 所以的取值范围为. 【题型7】 空间向量坐标运算求参数最值 基础知识 核心知识 向量坐标含参数时模长数量积夹角均可表示为关于参数的函数 利用函数二次函数性质求最值 结合向量平行垂直条件建立参数约束 方法技巧 用参数写出向量坐标写出目标表达式 整理为二次函数利用配方法求最值 注意参数本身的取值范围限制 求出最值后检验对应的向量是否满足题意 多个约束条件联立不等式确定参数区间 典型例题 【例题1】（2026高三下·全国·竞赛）在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 【答案】 【分析】设点，利用空间两点距离公式展开得出关于的二次多元函数，根据平面内一点到三角形三顶点距离平方和的最小值在该三角形重心处取得，再利用空间三角形重心坐标公式求解． 【详解】设点，则 ， 是关于的二次凸函数，的最小值在的重心处取得， 重心坐标为，即． 该点在平面上，符合要求． 【例题2】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】以为原点建系，根据得出即可判断. 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 因为，所以，则， 则， 故， 因为为钝角，所以，即， 又一元二次函数，，所以恒成立， 故，得， 故只有B选项满足题意. 故选：B 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量与的坐标，根据数量积求向量与的夹角的余弦值，进而求得向量与的夹角； （2）根据与夹角为锐角，可得且与不共线，解不等式即得的取值范围． 【详解】（1）由已知得：，， 则， ∵，∴向量与的夹角为． （2）， ∵与夹角为锐角，∴且与不共线. 由，可得，解得① 当与共线时，存在实数，使得. 即，解得，∵与不共线，∴②， 由①②得. 【巩固练习2】（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，进而计算可求得的最小值. 【详解】由，可得，即， 又因为，所以， 所以， 又，所以， 所以 ， 当时，的最小值为. 故选：D. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由，∥，得，解得， 所以向量，，所以， 所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·重庆·期中）已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用空间向量表示出，进而求解即可. 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，设，则， 所以， 则， 当且仅当时等号成立， 则的最小值为0. 故选：A 3．（25-26高二上·广东广州·期中），，，若、、共面，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】因为、、共面，不妨设，即， 所以，解得. 故选：D. 4．（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据空间向量坐标的线性运算得，再根据结合向量数量积的坐标运算即可得实数的值. 【详解】因为向量，， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：C. 5．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，即可求出，再根据的范围，求出 的取值范围. 【详解】以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系. 则. . 点在线段上运动， ，且. ， ， ， 即， 故选：A. 6．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，应用向量线性关系的坐标运算求出，再由向量数量积的坐标运算列式求最值. 【详解】由题意，令且，， 所以， 当且仅当时取等号，则的最小值为. 故选：B 7．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量平行及垂直的坐标表示求出，然后由向量模的坐标表示求解． 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，所以， 所以. 故选：C 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】先求出坐标，进而可得，由题意，设，利用，化简整理，即可得出答案. 【详解】由题意得， 所以，又， 令，则，， 因为， 所以，即， 又， 设，则， 所以，解得，即， 当且仅当时取等号， 所以，即的最小值为. 故选：B 9．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过点在直线OP上运动可得点，然后利用空间向量数量积的坐标运算得，利用二次函数性质求得最小值及点的坐标即可. 【详解】因点在直线OP上运动，则设，于是有， 因此，， 于是得， 则当时，有最小值，此时，点． 故选：C 10．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 【答案】C 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 二、多选题 11．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知，则（    ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．在方向上的投影的数量为 【答案】ACD 【分析】利用数量积等于0判断A，利用空间向量共线定理判断B；求出即可判断C；求出即可判断D． 【详解】， ， ， ，A正确； 且，B错误； ，，故与同向的单位向量为，C正确； ，， 所以在方向上的投影的数量为：，D正确； 故选：ACD． 12．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量平行的坐标关系判断A，B，应用空间向量数量积及夹角余弦公式计算判断C，D. 【详解】向量，，， 因为，所以，A选项正确； 易知不存在实数使得，所以不平行，B选项错误； 显然，所以，C选项正确； 易知，D选项正确； 故选：ACD. 13．（25-26高二上·湖北武汉·期中）设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若Q点坐标为，则与共线 B．若，则 C．若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D．若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 【答案】AC 【分析】根据空间向量共线定理可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示可判断B；根据空间向量共面定理求解可判断C；根据空间向量共线定理可表示出，进而计算，利用二次函数的性质求出最值可判断D． 【详解】向量，，，Q点坐标为， 则，， 所以，则与共线，故A正确； ，， 若，则，即，故B错误； 若Q点坐标为，则，又，， 若P，A，B，Q四点共面，则， 即， 则，解得，故C正确； ∵，点直线上运动， ∴可设， 又向量， ∴， ， ∴当时，取得最小值，故D错误， 故选：AC． 三、填空题 14．（25-26高二上·河南信阳·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则_____． 【答案】 【分析】由数量积的定义及坐标运算求出，再由向量模得到，即可求出，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为两个单位向量，与向量的夹角都等于， ，又，， ， ，， ，则，所以， ，， 故答案为：. 15．（25-26高二上·河南·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 【答案】 【分析】利用向量的数量积公式及投影向量的模的计算公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的投影向量， 其模为， 故答案为：. 16．（25-26高二上·四川南充·期中）对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则______．    【答案】 【分析】首先求出点的轨迹，然后根据定义把表示成三角函数的形式，利用三角函数的值域即可求解. 【详解】易知，，．    因为P在上底面内（含边界）运动，且， 所以，， 即P在上底面内，点P在以为圆心，1为半径的圆周上， 可设，，， 所以 ，． 因为，所以， 则，从而． 故答案为： 四、解答题 17．（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出向量的坐标以及，则即为所求； （2）由题意可知、、共面，设，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，解之即可. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以与同向的单位向量为. （2）由题意可得，，， 因为、、、四点共面，则、、共面， 设，即， 即，解得，故. 18．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）已知向量. (1)若向量与向量共面，求实数的值； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用共面向量定理，结合向量的坐标运算列方程组求解即得. （2）利用空间向量坐标运算，列出方程求解即得. 【详解】（1）由向量与向量共面，设， 则，即， 解得， 所以实数的值为. （2）由，，得，解得， 又向量， 则， 由向量与垂直，得， 则， 当时，有，矛盾； 当时，有，解得， 所以实数和的值分别为和. $1.3 空间向量及其坐标表示 总览 题型·解读 【重难点突破】2026-2027学年高二上学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【教材知识梳理】 空间向量，，其坐标形式为，． 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ________ 线性运算 若，是两个实数，________ 模 ________ 数量积 ________ 夹角公式 平行 ， 其中， 垂直 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 空间向量的坐标运算 基础知识 核心知识 若 加法 减法 数乘 空间中两点则 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标 方法技巧 计算向量坐标时牢记终点减起点 坐标加减运算对应分量分别运算 数乘运算每个分量同时乘系数 运算时分清向量坐标与点的坐标 多个向量连续运算分步计算减少计算失误 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·山西大同·期中）在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则______. 【例题2】（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·江西上饶·期末）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（   ） A． B． C． D． 【题型2】 空间向量模长的坐标表示 基础知识 核心知识 若则 向量模长公式本质是空间两点间距离公式 方法技巧 先写出向量坐标再代入模长公式 平方运算注意正负号平方后负数变正数 求线段长度可转化为求对应向量的模 模长一定是非负数开方结果不取负值 遇到含参数向量求模最后化简根式 典型例题 【例题1】（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【例题2】（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·重庆·期末）已知向量，，，若向量，，共面，则（   ） A． B．3 C． D．4 【题型3】 空间向量的平行坐标表示 基础知识 核心知识 分量成比例比例系数为 分量中有0时不能直接写分式改用数乘等式判断 方法技巧 优先使用数乘等式列方程组避免分母为0出错 分式形式仅适用于所有分量都不为0的情况 由平行条件求参数时要检验得到的参数是否满足条件 向量平行对应空间直线平行或重合注意区分两种情况 典型例题 【例题1】（25-26高二下·江苏盐城·期末）已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【例题2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·云南昆明·期末）已知向量，,则___________． 【巩固练习2】（25-26高二上·湖北孝感·期末）已知空间向量，若 ，则__________. 【题型4】 空间向量的垂直坐标表示 基础知识 核心知识 两向量垂直等价于数量积等于0 方法技巧 直接套用坐标数量积公式列式等于0 利用垂直条件建立方程求解未知参数 注意零向量与任意向量数量积为0但零向量不讨论垂直 立体几何证明线线垂直可转化为对应方向向量坐标满足垂直条件 典型例题 【例题1】（25-26高二下·湖北随州·期末）已知向量，向量，若，则__________． 【例题2】（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·河南周口·期末）已知空间向量，，若，则，满足的关系式为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二下·甘肃白银·期中）已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【题型5】 空间向量夹角的坐标表示 基础知识 核心知识 向量夹角范围 线线角范围线线角取向量夹角或其补角中锐角或直角 方法技巧 先分别算出数量积和两个向量模长再代入公式 算出余弦值后判断夹角范围 求解异面直线夹角时余弦取绝对值 注意向量夹角和立体几何中线线角的区别 已知余弦值反求角度可结合特殊角三角函数判断 典型例题 【例题1】（25-26高二·全国·暑假作业）若，则_________． 【例题2】（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． (1)若且，求实数； (2)求向量与向量的夹角的余弦值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（25-26高二上·陕西汉中·期末）设空间中两个单位向量与的夹角都等于，则__________． 【题型6】 空间向量数量积的坐标运算 基础知识 核心知识 数量积结果是实数不是向量 满足交换律分配律数乘结合律 方法技巧 坐标数量积为对应分量相乘后全部相加 多个向量运算时遵循多项式展开规则 可结合模长公式求解模 计算过程仔细核对每个分量乘积避免漏项 已知数量积可用来求夹角判定垂直 典型例题 【例题1】（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 【例题2】（25-26高二下·福建龙岩·期末）已知，，三点，若是锐角，则实数a的取值范围为__________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·浙江丽水·期末）在棱长为的正方体中，空间动点满足，则的取值范围是______. 【巩固练习2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）在直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是________. 【题型7】 空间向量坐标运算求参数最值 基础知识 核心知识 向量坐标含参数时模长数量积夹角均可表示为关于参数的函数 利用函数二次函数性质求最值 结合向量平行垂直条件建立参数约束 方法技巧 用参数写出向量坐标写出目标表达式 整理为二次函数利用配方法求最值 注意参数本身的取值范围限制 求出最值后检验对应的向量是否满足题意 多个约束条件联立不等式确定参数区间 典型例题 【例题1】（2026高三下·全国·竞赛）在空间直角坐标系中， ，点在平面内运动， 则当取最小值时，的坐标为_________． 【例题2】（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·重庆·期中）已知空间三点，，． (1)求向量与的夹角； (2)若，，求与夹角为锐角时，实数的取值范围． 【巩固练习2】（25-26高二上·山东济宁·期中）空间直角坐标系中，已知，且点满足，则的最小值为（   ） A．5 B．3 C． D． 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高二上·云南玉溪·阶段检测）设，向量，，，且，∥，则等于（ ） A． B． C．3 D．9 2．（25-26高三上·重庆·期中）已知棱长为1的正方体，点是棱上的动点（含端点），是棱上的动点，满足，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D．1 3．（25-26高二上·广东广州·期中），，，若、、共面，则实数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山西·期中）已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（25-26高二上·山西·期中）如图，正方体中，底面是边长为2的正方形，动点P在线段上运动（包括端点），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，若点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·浙江·期中）设，向量，且，则（　　） A．3 B． C． D． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，，，，向量且，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 9．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知为原点，，，，点在直线OP上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 二、多选题 11．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知，则（    ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．在方向上的投影的数量为 12．（25-26高二上·广东茂名·期中）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·湖北武汉·期中）设O为坐标原点，是空间上任一点，向量，，，下列说法正确的是（    ） A．若Q点坐标为，则与共线 B．若，则 C．若Q点坐标为，且P，A，B，Q四点共面，则 D．若点Q在直线OP上运动，则的最小值为 三、填空题 14．（25-26高二上·河南信阳·期中）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则_____． 15．（25-26高二上·河南·期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为_____. 16．（25-26高二上·四川南充·期中）对于两个空间向量与，定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为2的正方体中，若点P在上底面内（含边界）运动，且，设的最大值为M，最小值为N，则______．    四、解答题 17．（25-26高二上·上海杨浦·期中）已知空间四点、、、． (1)求与同向的单位向量的坐标； (2)若、、、四点共面，求实数的值． 18．（25-26高二上·广东梅州·阶段检测）已知向量. (1)若向量与向量共面，求实数的值； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值. $