精品解析：山西晋中市太谷区明星镇中学校2025-2026学年第一学期八年级数学学情调研（卷）

2025-2026学年第一学期八年级数学学情调研（卷） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数．解题的关键是理解有理数和无理数的概念．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】A、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意； B、，是整数，属于有理数，不合题意； C、有限小数，属于有理数，不合题意； D、，是整数，属于有理数，不合题意； 故选：A． 2. 将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据长方形和正方形面积公式求解． 【详解】解：设所求边长为a，则由题意可得： ∴， 故选C．　 【点睛】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的意义是解题关键．　　　 3. 以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. ，，1 C. 5，12，13 D. 7，8，9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是验证每组数中两较短边长的平方和是否等于最长边长的平方． 判断每组数能否组成直角三角形时，先确定每组中的最长边，再分别计算两较短边的平方和与最长边的平方，若两者相等则能组成直角三角形，反之则不能． 【详解】解：A、本组数中最长边为5，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； B、本组数中最长边为1，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； C、本组数中最长边为13，计算两较短边平方和：，最长边平方：，两者相等，能组成直角三角形，此选项不符合题意； D、本组数中最长边为9，计算两较短边平方和：，最长边平方：，，不能组成直角三角形，此选项符合题意； 故选：D． 4. 直角三角形的三边长分别为3，4，x，则的值可能为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4，既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：设第三边为x （1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得 ，所以 （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得 ，所以． 所以第三边的长为5或． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解． 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义及运算，以及绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握平方根非负、立方根可正可负的特性，准确区分平方根与立方根的运算规则． 计算各选项时，先根据平方根、立方根定义化简式子，再判断结果是否正确；对于含绝对值的选项，先化简绝对值，再进行立方根运算． 【详解】解：A、根据平方根定义，表示16的算术平方根，算术平方根为非负数，故，此选项正确，不符合题意； B、根据平方根乘法法则，，运算正确，此选项不符合题意； C、根据立方根定义，表示的立方根，因为，故，此选项错误，符合题意； D、先化简绝对值，，再计算立方根，，运算正确，此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，为修铁路需凿通隧道，测得．若把隧道凿通需要天，则每天凿隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确计算的长度．由题意知:则，在直角中，已知根据勾股定理即可求，据此即可求得答案． 【详解】解:∵， ∴ 在中，， ∴， ∴每天凿隧道的长度为． 故选:B． 7. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 8. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【详解】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为2.4米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A． 9. 如果，那么的算术平方根是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知第一个正方形的面积是64，则第二个正方形的面积是32，…，进而可找出规律得出第n个正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：第一个正方形的面积是64； 设第一个等腰直角三角形的直角边长为 由勾股定理可得： ∴ 解得： ∴第二个正方形的面积是； 同理：第三个正方形的面积是； … 第n个正方形的面积是， 当时，正方形的面积为， ∴正方形⑤的面积是4，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n个正方形的面积． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个直角三角形的两条直角边分别为  和 ，则斜边的长为__________． 【答案】10 【解析】 【详解】解：由勾股定理得，斜边的长为． 12. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 13. 若与最简二次根式可以合并，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式和同类二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义和同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由， ∵与最简二次根式可以合并， ∴，解得：， 故答案为：． 14. 一有盖的长方体笔盒的长，宽，高分别是，，，则它所能放下的最长的笔长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】长方体内能放置的最长线段为长方体的体对角线，通过两次勾股定理即可计算体对角线的长度． 【详解】解：先计算长方体底面长方形的对角线长度，已知底面长为，宽为，根据勾股定理可得底面对角线长， 再将底面对角线与长方体的高作为直角三角形的两条直角边，计算长方体的体对角线长度，已知高为，根据勾股定理可得体对角线长， 因此该笔盒所能放下的最长的笔长为． 15. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到AD==，AB==，BD+AD=+1，再根据△ABD中，AD+BD＞AB，即可得到+1＞． 【详解】∵∠C=90°，BC=3，BD=AC=1， ∴CD=2，AD==，AB==， ∴BD+AD=+1， 又∵△ABD中，AD+BD＞AB， ∴+1＞， 故答案为＞． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理以及三角形三边关系是解题的关键． 三、简答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： （3）解方程：． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 或 解得， 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是5． 【答案】（1）如图1所示，Rt△ABC即为所求； （2）如图所示，Rt△DEF即为所求； （3）如图所示，正方形PQRS即为所求． 【解析】 【分析】（1）画一个边长3，4，5的三角形即可； （2）利用勾股定理，找长为、2、的线段，画三角形即可； （3）利用勾股定理作一个边长为的正方形即可得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了作图与应用作图．本题需仔细分析题意，结合图形，利用勾股定理即可解决． 19. 如图，四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，试求四边形的面积． 【答案】四边形面积是36 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理，连接，可以得到，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理也可判断出也是直角三角形，这样四边形的面积就被分解成了两个直角三角形的面积． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， 在中， 根据勾股定理得：， 又，， ∴， ∴为直角三角形， ∴ ， 即四边形的面积是36． 20. 已知某正数的平方根分别是和，的立方根为2． （1）求a，b的值： （2）求的算术平方根． 【答案】（1）； （2）0 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，注意：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根． （1）根据平方根与立方根的定义列出方程进行解答即可； （2）根据算术平方根进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵某正数的平方根分别是和， ∴， 解得， ∵的立方根为2， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵0的算术平方根为0， ∴的算术平方根为0． 21. 在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）求线段的长度． 【答案】（1）14 （2） 【解析】 【分析】（1）折叠时，对称轴为折痕，垂直平分线段，由垂直平分线的性质得，再把的周长进行线段的转化即可； （2）设，则，因为，利用勾股定理得，据此列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，垂直平分线段， 根据垂直平分线的性质可得：， ∴； ∴的周长是14； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， 解得, ∴． 22. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果工次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）（答案不唯一）；（答案不唯一） （2）①；② （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，正确计算是解题的关键． （1）根据有理化因式定义求解； （2）①分子分母同乘以，再计算即可； ②分子分母同乘以，再计算即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）； 【小问2详解】 解：①； ② 【小问3详解】 解： ． 23. 项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为____①_______．一般结论：正方形的对角线与边长的比是____②________． 【项目素材】如图，按照国际标准，系列纸为长方形（长宽比相同），将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸． 若纸的宽为．将纸按如图所示的方式折叠． 根据上述操作过程， 【任务探究】 （2）直接写出纸的长_______________． （3）根据上述结论，求纸的长和宽；（结果保留根号） （4）拓展迁移 该兴趣小组类比型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸宽为，沿着长边的五等分点所连线段裁开成个相同的小长方形，这个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸． 他们用个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长．请你借助个图的正方形，剪拼得到型纸的长为_______________，并在图中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图的裁切线和设计的操作步骤） 【答案】（1）①；② （2） （3） 纸的长和宽分别为和； （4） 【解析】 【分析】 本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义是解题的关键． （1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可；设出正方形的边长，用勾股定理计算对角线长，计算即可； （2）根据折叠得到型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比，即为,进行求解即可； （3）纸是由纸经过次折叠后得到的，进而得到纸的长和宽均为纸的长和宽的倍，进行求解即可； （4）设型纸的长为，宽为，根据题意可算得，则型纸的长为,而个小正方形的面积恰好为，进而得到型纸的长为个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可． 【小问1详解】 解：由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长， ∵小正方形的边长为， ∴小正方形的对角长为， 即大正方形的边长为， 设任意正方形的边长为, 则利用勾股定理可计算其对角线长为, ∴正方形的对角线与边长的比是, 故可得一般结论：正方形的对角线与边长的比是； 【小问2详解】 由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等， ∴型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比， 由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为, 故A型纸的长与宽的比为,， ∵纸的宽为， ∴纸的长为； 【小问3详解】 ∵纸是由纸经过次折叠后得到的， ∴纸的长和宽均为纸的长和宽的倍， ∵纸的长为，宽为， ∴纸的长和宽分别为和； 【小问4详解】 设型纸的长为，宽为， ∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形， ∴小长方形的长为，宽为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴M型纸的长为， ∵5个小正方形的面积恰好为， ∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为型纸的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期八年级数学学情调研（卷） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（ ） A. 1.5 B. 2 C. D. 3. 以下列各组数为三角形的三边长，不能组成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. ，，1 C. 5，12，13 D. 7，8，9 4. 直角三角形的三边长分别为3，4，x，则的值可能为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 5或 5. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为修铁路需凿通隧道，测得．若把隧道凿通需要天，则每天凿隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A. 4.1米 B. 4.0米 C. 3.9米 D. 3.8米 9. 如果，那么的算术平方根是（ ） A. 1 B. C. 7 D. 10. 如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和，…，依次类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一个直角三角形的两条直角边分别为  和 ，则斜边的长为__________． 12. 的平方根是_______． 13. 若与最简二次根式可以合并，则_____． 14. 一有盖的长方体笔盒的长，宽，高分别是，，，则它所能放下的最长的笔长为_______________． 15. 为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C=90°，BC=3，D在BC上且BD=AC=1．通过计算可得+1_____．（填“＞”或“＜”或“=”） 三、简答题 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程： （3）解方程：． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形． （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数； （3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是5． 19. 如图，四边形的四边，，和的长分别是3，4，12和13，，试求四边形的面积． 20. 已知某正数的平方根分别是和，的立方根为2． （1）求a，b的值： （2）求的算术平方根． 21. 在中，，，，将沿某条直线折叠，使三角形的顶点A与B重合，折痕为． （1）试求的周长； （2）求线段的长度． 22. 【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果工次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例知：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 23. 项目式学习活动主题：估算纸的长与宽 【知识储备】 （1）如图，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，所得的个直角三角形拼成一个面积为的大正方形，则大正方形的边长为____①_______．一般结论：正方形的对角线与边长的比是____②________． 【项目素材】如图，按照国际标准，系列纸为长方形（长宽比相同），将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸；…，将纸沿长边对折、裁开，变成两张纸． 若纸的宽为．将纸按如图所示的方式折叠． 根据上述操作过程， 【任务探究】 （2）直接写出纸的长_______________． （3）根据上述结论，求纸的长和宽；（结果保留根号） （4）拓展迁移 该兴趣小组类比型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸宽为，沿着长边的五等分点所连线段裁开成个相同的小长方形，这个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为型纸． 他们用个边长为的正方形，通过剪拼得到宽为的型纸的长．请你借助个图的正方形，剪拼得到型纸的长为_______________，并在图中画出这张型纸．（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图的裁切线和设计的操作步骤） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $