30.2　三角形的内切圆教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“三角形的内切圆”核心知识点，通过复习外接圆、外心等旧知搭建学习支架，引导学生从“顶点在圆上”自然过渡到“边与圆相切”的探究，梳理圆与三角形的知识脉络。 此资料以“实际问题→作图探究→定义归纳→性质推导”为主线，对比外接圆与内切圆培养类比思维，典例结合切线长定理解决线段计算，发展几何直观与推理意识。助力学生构建知识体系，为教师提供清晰教学流程与实用探究方法。

30.2　三角形的内切圆 教学目标 1．理解三角形内切圆、内心的概念，能准确区分内切圆与外接圆、内心与外心；掌握三角形内心的性质，能进行角度、线段计算；会作三角形的内切圆，掌握基本作图步骤． 2．经历“实际问题→探究作图→归纳定义→推导性质”的完整过程，培养几何探究能力；通过对比三角形外心、外接圆，体会类比学习的数学思想，构建圆与三角形的知识体系． 3．体会数学知识的实用性，感受数学来源于生活、服务于解题的价值． 教学重点 三角形内切圆、内心的概念及内心的性质应用． 教学难点 1．理解内心是三条角平分线交点的本质； 2．综合运用内心性质进行角度、线段、三角形周长计算． 教学准备 多媒体课件、三角形图纸、三角板、直尺、圆规． 教学过程 知识回顾 1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作 圆的内接多边形 ，这个圆叫作这个多边形的 外接圆 ． 2．三角形外接圆的圆心叫作三角形的 外心 ． 3．三角形的外心是三角形 三条边垂直平分线的交点 ． 　　【设计意图】带领学生复习与外接圆的相关概念，巩固基础，为本节课研究内切圆做准备． 新知探究 一、探究学习 我们学过三角形的外接圆，知道这个圆经过三角形的三个顶点，类似地，我们来研究是否存在与三角形的三条边都相切的圆． 【思考】如图是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形用料，并且所截的圆与三角形的三条边都相切？ 【师生活动】教师假设符合条件的圆作出，引导学生分析画圆需满足的条件： （1）圆心到三边的距离相等，所以圆心是三角形三条角平分线的交点； （2）半径即圆心到三边的距离． 学生根据分析的结果作图： （1）分别作∠B，∠C的角平分线BM，CN，交点记为I； （2）过点I作ID⊥BC，垂足为D； （3）以点I为圆心，ID为半径作⊙I，⊙I就是所求的圆． 【新知】与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心． 这个三角形叫作圆的外切三角形． 【设计意图】通过解决在三角形铁皮中截取内切圆的实际问题，引导学生探究内切圆的概念和作图方法． 【思考】对比三角形的外接圆和内切圆，你发现了什么？ 【师生活动】学生独立画出三角形的外接圆和内切圆，教师引导学生得出结论． 外接圆圆心：三角形三边垂直平分线的交点． 内切圆圆心：三角形三个内角平分线的交点． “接”或“切”是说明多边形的顶点或边与圆的位置关系：多边形的顶点都在圆上叫“接”，多边形的边都与圆相切叫“切”． 【设计意图】通过对照图形，明确“接”或“切”的含义，在对比中加深理解． 二、典例精讲 【例1】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9，BC＝14，CA＝13．求AF，BD，CE的长． 【师生活动】学生独立思考，弄清解题思路，教师适时点拨，归纳解题方法，规范解题步骤． 【答案】解：设AF＝x，则AE＝x， BD＝BF＝AB－AF＝9－x， CD＝CE＝AC－AE＝13－x． 由BD＋CD＝BC，可得 (9－x)＋(13－x)＝14． 解得x＝4． ∴AF＝4，BD＝5，CE＝9． 【设计意图】通过例题，让学生理解切线长定理以及三角形内切圆的应用，得到三角形内切圆半径与三边长之间的数量关系． 【例2】如图，已知四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA与⊙O分别相切于点L，M，N，P．求证：AD＋BC＝AB＋CD． 【师生活动】学生独立完成，然后教师进行讲解． 【答案】证明：由切线长定理，得AL＝AP，LB＝MB，NC＝MC，DN＝DP． ∴AL＋LB＋NC＋DN＝AP＋MB＋MC＋DP，即AB＋CD＝AD＋BC． 【设计意图】通过例题，让学生进一步理解切线长定理，并将内切圆的应用从三角形扩展到四边形，达到学以致用的目的． 课堂小结 板书设计 一、三角形的内切圆 二、三角形的内心的性质 课后任务 完成教材第158页练习第1～3题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $