4.3用一元一次方程解决问题（知识精讲+题型讲解+课后练习） 2026-2027学年苏科版数学七年级上学期

用一元一次方程解决问题 · 讲学案 一　学习目标 · 重难点 · 知识框架 知识与技能 1. 会按「审、设、列、解、验、答」六步解应用题，你能写出一份过程完整的解答。 2. 能说清和差倍分、形积变化、行程、配套、销售这五类问题各自的等量关系。 3. 会用表格把题目中的量整理出来，再把那句相等的话翻译成方程。 过程与方法（能力） 1. 经历「读题圈关键词 → 列表梳理 → 找等量关系 → 列方程」的整个过程，知道实际问题是怎么变成数学式子的。 2. 形成「设元之前先想清楚设谁」的习惯，你能比较两种设元得到的方程哪个更好解。 3. 养成解完必检验的习惯：你要把结果代回原题的情境里看一遍，别只看方程两边相等就收工。 情感态度与核心素养 1. 体会方程是刻画现实世界数量关系的模型，同一件事换个设元，式子的繁简就不一样。 2. 在租车、分工这类题目里养成先估后算的习惯，你能先判断结果合不合常理，再动笔算。 3. 知道等量关系是列方程的根，抓得住不变量（总量不变、路程和不变、体积不变），题就被钉住了。 知识模块 核心内容 对应题型 解题六步 审、设、列、解、验、答，等号架在「等于」两个字上 全篇通用 和差倍分 部分之和 = 总量；谁是谁的几倍多几、少几 人数与册数的分配 形积变化 变形前后体积不变，或周长不变 铁丝围框、熔铸、水面上升 行程问题 路程 = 速度×时间；相遇看路程和，追及看路程差 相遇与追及 配套与销售 两种零件数量成比例；售价 − 进价 = 利润 工人分工、打折获利 二　情境导入 · 问题驱动 图书角搬来一摞新书，老师要分给第一小组的同学。每人分3本，还剩20本；每人分4本，就差25本才够分。 老师没数过这摞书有几本，也没数过这组有几个人。可他只要盯着这两句话，就能把两件事都算出来。 同样是这一摞书，为什么一会儿剩、一会儿缺？从「剩20本」到「缺25本」，中间到底多发掉了多少本？ 这节课就一个问题：一段话里的数量关系，怎么变成一支方程？ 探究活动　把两种分法都写出来 你先估一估：每人多分1本，从「剩20本」变成「缺25本」，一共要多发出去多少本书？这个数跟小组人数有什么关系？ 填表：把这个小组的人数用一个字母记下来，按第一种分法，书的总数该怎么用式子表示？按第二种分法呢？把两个式子都写下来。 再看这两个式子：它们表示的是不是同一摞书？如果是，中间该用什么符号连起来？ 　 猜想：设小组的人数为未知数，两种分法算出来的书的总数满足 __________________________。 　 三　核心概念 · 列方程的步骤 1　概念辨析：什么是等量关系 边读边在右边「我的批注」处做记号，不确定的打问号。 辨析点 正确表述 常见误解 / 反例 等量关系 题目里那个不变的东西：书的总数、全程的距离、变形前后的体积、总价 看到「多」就加、看到「少」就减，不问谁跟谁相等（×） 设元 设谁都行，但要能让其余的量都用含的式子表示出来 设完x又用不上它，写出来的还是算术式（×） 单位 设的时候连单位一起设（设时间为小时），方程里各量单位要统一 速度用km/h、时间用分钟，混着往里代（×） 检验 解出方程后回原题看：人数是不是正整数，速度、长度合不合常理 只看方程左右两边相等，就叫作检验（×） 作答 问什么答什么，几个量问几个量，单位带上 算出就写答，忘了题目问的是另一个量（×） 2　列方程解应用题的六步 六步要点 审：你把题读两遍。第一遍知道在说什么事，第二遍拿笔圈出数字、单位，还有「共」「比」「倍」「多」「少」「剩下」「相遇」「追上」这些词。 设：选一个量设成。你要挑那个「其余的量都好表示」的，通常就是被比的那个量。 列：把那句相等的话找出来，用含的式子把它的两边各写一遍，中间画等号。 解：按4.2学的步骤解这个方程，去分母、去括号、移项、合并。 验：你把结果代回原题的情境里看一遍，别只看方程两边相等。 答：问什么答什么，带上单位，写完整。 对着第二步说一说：为什么书的总数能用两个不同的式子表示，还能画等号？ （1） 把开头那摞书的问题走一遍。设这个小组有人。 （2） 按第一种分法，书的总数是本。 （3） 按第二种分法，书的总数是本。 （4） 书是同一摞，总数相等： （5） 移项得，即 （6） 书有本。回原题看：，两种分法对得上。 四　例题精讲 · 变式训练 · 一题多解 题型一　和差倍分问题 【例1】　★　 考查：和差倍分的等量关系；方法：设被比的量—表示另一个量—列方程 某班共有学生45人，男生人数比女生人数的2倍少3人。这个班男、女生各有多少人？ 思路分析 题目给了两句数量关系：「一共45人」管总量，「男生比女生的2倍少3人」管男女生之间的联系。 设谁好？设女生人数，男生就能用含x的式子写出来；反过来设男生，要表示女生就得除以2，绕远路。 所以你设女生人数为，把男生写成，再用「合起来是全班」这句话列方程。 规范解答 1. 设女生有人，则男生有人。 2. 男、女生合起来就是全班： 3. 去括号并合并： 4. 移项得，所以 5. 男生人数：（人）。 6. 检验：，且，两句条件都对得上。 7. 答：这个班女生16人，男生29人。 反思：两个未知量，你就设被比的那个当，另一个用它表示，这样方程只有一行。 【变式1】　★　 考查：和差倍分的迁移 学校图书馆新购进科技书和文艺书共320本，科技书的本数比文艺书的3倍多20本。两种书各购进多少本？ 提示：跟例1一个路子，把被比的那个量设成未知数，另一个量用它表示出来，再用总数画等号。 题型二　形积变化问题 【例2】　★★　 考查：变形前后体积不变的等量关系；方法：抓不变量—表示变化后的量—列方程 一个长方体玻璃水槽，从里面量长40cm、宽25cm、高20cm，槽内水深12cm。把一块长20cm、宽10cm、高10cm的长方体铁块平放在槽底，铁块被水完全淹没，水没有溢出。水面上升了多少厘米？ 思路分析 铁块沉下去，水面就往上走。走出来的那部分水的体积，正好等于铁块占掉的体积，这是题目里唯一不变的东西。 走出来的那部分水是什么形状？还是一个长方体，底面积跟槽底一样，高就是要求的上升高度。 你别把原来的水深12cm当成上升的高度，那是两回事。 规范解答 1. 设水面上升了cm。 2. 上升部分水的体积：（立方厘米） 3. 铁块的体积：（立方厘米） 4. 两者相等： 5. 解得 6. 检验：水面从12cm升到14cm。因为，铁块确实被淹没；又因为，水没有溢出。都合题意。 7. 答：水面上升了2cm。 反思：形积变化的题，先问一句「什么没变」。体积不变、周长不变、重量不变，抓住它就能列方程。 【变式2】　★★　 考查：熔铸中的体积不变 把一个长、宽、高分别为10cm、8cm、6cm的长方体铁块熔铸成一个底面是边长为4cm的正方形的长方体零件，这个零件的高是多少厘米？ 提示：熔铸只改形状，铁的体积前后相等。先算出原来的体积，再想新零件的底面积是多少。 题型三　行程问题 【例3】　★★　 考查：相遇问题中路程和的等量关系；方法：画线段图—分段算路程—按路程和列方程 甲、乙两地相距280km。快车从甲地开往乙地，每小时行80km；慢车从乙地开往甲地，每小时行40km。慢车先开出1小时后快车才出发。快车开出几小时后两车相遇？ 思路分析 两车不是同时出发的，这是这道题唯一的弯。慢车一共走了（x+1）小时，快车只走了x小时。 你画一条线段图，甲、乙画在两端，相遇点画在中间。相遇的时候，两车走过的路程加起来，正好等于全程。 所以等号架在「两段路程之和 = 280km」上，剩下的是把两段路程各写成一个式子。 规范解答 1. 设快车开出小时后两车相遇，则慢车行驶了小时。 2. 快车走的路程：km；慢车走的路程：km。 3. 两段路程之和等于全程： 4. 去括号： 5. 合并： 6. 移项得，所以 7. 这时候慢车走了3小时，走km；快车走了km。 8. 检验：，正好是全程。 9. 答：快车开出2小时后两车相遇。 反思：相遇看路程和，追及看路程差。这两句话就是行程题的全部家底，剩下的只是谁比谁多走了多久。 【变式3】　★★　 考查：追及问题 甲、乙两人相距30km，同时同向而行，乙在前、甲在后。甲骑自行车每小时行15km，乙步行每小时行5km。几小时后甲追上乙？ 提示：追上的那一刻，甲比乙多走的路程正好是出发时两人相距的那段。先想清楚谁走的路程更长。 题型四　一题多解：配套问题 【例4】　★★★　 考查：配套问题中数量成比例的等量关系；方法：设某一零件的人数—按配套比例列方程 某车间有22名工人，每人每天可生产螺钉1200个或螺母2000个。已知1个螺钉配2个螺母。应安排多少名工人生产螺钉、多少名工人生产螺母，才能使每天生产的产品刚好配套？ 思路分析 「刚好配套」就是那句没说全的相等的话。你先把它翻译成式子：螺母的个数 = 2 × 螺钉的个数。 剩下的问题只是设谁当。你若设螺钉的人数，螺母的人数就是；反过来设也行。两种设法都能解，方程的繁简不一样。 方法一 · 设生产螺钉的人数 (1) 设安排名工人生产螺钉，则有名工人生产螺母。 (2) 每天生产螺钉个，生产螺母个。 (3) 按「螺母数 = 2 × 螺钉数」列： (4) 即 (5) 去括号： (6) 移项并合并：，所以 (7) 生产螺母的人数：（人）。 (8) 检验：螺钉个，螺母个，，刚好配套。 (9) 答：安排10人生产螺钉，12人生产螺母。 方法二 · 设生产螺母的人数 (1) 设安排名工人生产螺母，则有名工人生产螺钉。 (2) 每天生产螺母个，生产螺钉个。 (3) 同样按「螺母数 = 2 × 螺钉数」列： (4) 即 (5) 去括号： (6) 移项并合并：，所以 (7) 生产螺钉的人数：（人）。 (8) 检验：螺钉个，螺母个，，刚好配套。 (9) 答：安排12人生产螺母，10人生产螺钉。 方法对比：方法一设螺钉人数，等号右边只有一项，去括号之后一步就到了44000；方法二最后一步是52800除以4400，口算不那么顺。两个方法答案完全一样，说明设谁都行，挑其余量好表示的那个就够了。 反思：配套题的等号架在「几个配几个」上。先把这句话写成式子，再去想设谁，顺序不能倒过来。 五　易错点 · 误区辨析 常见错解 错因剖析 正确做法 / 避坑要点 设男生人，女生人， 设了两个未知数，二元一次方程组要到七下才学，写到这里就进行不下去了 只设一个未知数，另一个量用含它的式子表示，全程只有一个字母 行程题里写 漏掉了慢车先开的1小时，把两车的时间当成了同一个数 谁先出发，谁的时间就多。慢车时间是小时 水面上升题里写 把原来的水深当成了上升的高度，等号左边不是上升那部分水的体积 设上升cm，上升部分体积是 配套题里写 把「1个螺钉配2个螺母」的方向搞反了，写成螺钉数是螺母数的2倍 螺母个数才是螺钉个数的2倍： 算出就写「答：16」 题目问的是两个数，只答了一个；单位也没带 问什么答什么，几个量就答几个量，单位写完整 避坑提醒 口诀：一审二设三列四解五验六答。中间最值钱的是第三步，等号架在「等于」两个字上。 找等量关系先找不变量：书的总数、全程的距离、变形前后的体积、配套的比例、售价与进价的差。 你解完要做三件事：代回原题看数量对不对，看结果是不是正整数、合不合常理，最后带单位写答。 六　分层练习 基础巩固　面向全体：一步设元，直接列出方程 1. ★ 甲、乙两数的和是24，甲数比乙数的2倍少6。求这两个数。 　 　 2. ★ 用一根长48cm的铁丝围成一个长方形，要求长是宽的3倍。这个长方形的长和宽各是多少厘米？ 　 　 3. ★★ 一件商品标价200元，打九折出售，仍可获利20元。这件商品的进价是多少元？ 　 　 4. ★★ 一件工作，甲单独做15天完成，乙单独做10天完成。两人合作多少天可以完成？ 　 　 能力提升　面向中等：需要先梳理条件，有的要比较两种设元 1. ★★ 一个两位数，十位数字与个位数字的和是9。把这个两位数的十位数字与个位数字交换位置，得到的新数比原数小27。求原来的两位数。 提示：十位数字是几，就表示几个十。设十位数字为未知数，个位数字用和是9表示出来。 　 　 2. ★★ 把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分4本，则剩余8本；如果每人分5本，则还缺12本。这个班有多少名学生？这批图书有多少本？ 提示：两种分法，图书的总数是一样的。先想清楚每人多分1本，一共要多发出多少本。 　 　 3. ★★★ 某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个。已知1个螺栓配2个螺母，应安排多少人生产螺栓，才能使每天的产品刚好配套？ 提示：「1个螺栓配2个螺母」是说螺母个数是螺栓个数的2倍，别把方向写反了。 　 　 拓展挑战　面向较好：两个方案并列，抓不变量列方程 1. ★★★ 某中学组织七年级学生外出研学，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果改租60座客车，可以少租一辆，且其余车辆都恰好坐满。求七年级学生人数和原计划租用45座客车的辆数。 提示：两种租车方案，学生总人数是一样的。先想清楚第二种方案实际用了几辆车。 　 　 　 七　课堂小结 · 知识网络 · 列方程解应用题六步：审（圈数字与关键词）、设（选谁当x）、列（把等量关系写成方程）、解、验（回原题）、答。 · 全篇最要紧的一句：等号架在「等于」两个字上。先把那句相等的话找出来，再去翻译。 · 五类常考的等量关系：和差倍分是部分之和等于总量，形积变化是变形前后体积或周长不变，行程是相遇看路程和、追及看路程差，配套是两种零件成比例，销售是售价减进价等于利润。 · 设元的诀窍：挑那个「其余的量都好表示」的，通常是被比的那个量，另一个量用含字母的式子写出来。 · 解完你必须回原题检验：人数是不是正整数、水面有没有溢出、铁块有没有被淹没。只验方程两边相等不算检验。 — — 学科网（北京）股份有限公司 $