河南省实验中学2026-2027学年高二上学期数学周测（二）

2026-2027学年高二上学期数学周测(二)(2026年9月27日) 一、单选题(每题5分,共40分) 1.已知点,,,若,,三点共线,则,的值分别是( ) A. , B. , C. , D. , 2.我国古代数学名著九章算术中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图所示,已知四棱锥是阳马,平面,且,若,则( ) A. B. C. D. 3.在棱长为的正方体中,点是的中点,点是侧面上的一个动点,满足平面,则线段长度的最大值为( ) A. B. C. D. 4.已知三棱锥中,点平面,若,则( ) A. B. C. D. 5.已知直线:,直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线,则直线的方程是( ) A. B. C. D. 6.点到直线距离的最大值是( ) A. B. C. D. 7.已知,若点在线段上,则的最大值为 ( ) A. B. C. D. 8.如图,在直四棱柱中,,, ,,分别是侧棱,上的动点,且平面与平面所成锐二面角的大小为,则线段长度的最大值为( ) A. B. C. D. 二、多选题(每题6分,共18分) 9.下列说法正确的有( ) A. 若直线经过第一、二、四象限,则在第二象限 B. 直线过定点 C. 过点且斜率为的点斜式方程为 D. 斜率为,在轴截距为的直线方程为 10.在直三棱柱中,,,为的中点,则( ) A. B. 平面 C. 平面 D. 直线与所成的角为 11.如图,正三棱柱中,,点在线段上不含端点,则( ) A. 不存在点,使得 B. 面积的最小值为 C. 的最小值为有 D. 三棱锥与三棱锥的体积之和为定值 三、填空题(每题5分,共15分) 12.已知点,且过点的直线分别到点的距离相等,则直线的斜率为 . 13.已知直线经过,两点,则直线的倾斜角的取值范围是 . 14.如图,在三棱锥中,平面,,,若,分别为棱,的中点,过,,三点的平面截三棱锥的外接球,则截面的面积为 . 2026-2027学年高二上学期数学周测(二)答题卷 总分 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9(多) 10(多) 11(多) 答案 三、填空题 12. 13. 14. 四、解答题(第15题12分,第16题15分,共27分) 15.(12分)已知,,. 求点的坐标,满足,. 若点在轴上,且,求直线的倾斜角. 15. 16(15分).已知直角梯形,,,,,为对角线与的交点现以为折痕把折起,使点到达点的位置,点为的中点,如图所示: 证明:平面; 求三棱锥体积的最大值; 当三棱锥的体积最大时,求直线与平面所成角的正弦值. 16. 试卷第1页,共3页 试卷第4页,共4页 学科网(北京)股份有限公司 2026-2027学年高二上学期数学周测(二)参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9(多) 10(多) 11(多) 答案 D D A A C B C B ABC AC BD 3、 填空题 12.或 13. 或 14. 4、 解答题 15.【答案】解:设, 由已知得,又,可得 即, 由已知得,又,可得,即, 联立求解得,, . 设, , 又,, 解得, ,又, 轴, 故直线的倾斜角为. 16.【答案】解:证明:直角梯形中,由相似可得,, 因为,,可得,, 故可得,, 由勾股定理得,,即,, 翻折后可得,,, 又因为,,在平面内, 故AC平面; 因为点为边的中点,所以, 又,, 所以, 因为平面,所以平面平面, 所以点到平面的距离,即为点到的距离,设为, 因为为定值, 所以当最大时,三棱锥的体积最大, 而,则, 当时,; 由得,当三棱锥的体积最大时, 点到平面的距离为,即平面, 故,, 又因为,故,,两两垂直, 如图,故可以为原点,直线,,分别为,,轴建立空间直角坐标系, 由题可得,,,,, 则,,, 设平面的法向量为, 则, 令,得, 设直线与平面所成角为, 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 详解: 1.【答案】 【解析】【分析】 本题考查空间向量共线的条件,属基础题. 直接利用向量共线的条件计算即可解答. 【解答】 解:,, 因为,,三点共线,所以,显然, 所以解得,, 故选D. 2.【答案】 【解析】解:如图,,所以,又, 则. 故选:. 3.【答案】 【解析】解:根据题意:以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴正方向建立空间直角坐标系, 则,,,,,,,, ,, 平面过点、、, 向量,, 设法向量,由,得,取, 平面等价于, , 故,即, . 由得,函数在上单调递增, 故时最大,最大值为. 故选:. 4.【答案】 【解析】解:由题意得,,则,则,解得. 故选A. 5.【答案】 【解析】设直线的倾斜角为,则,由直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线,故直线的倾斜角为,故直线的斜率为,又在直线上,故直线过点,即直线的方程为,化简得. 6.【答案】 【解析】略 7.【答案】 【解析】作出线段如图,令,则直线过点时,取得最大值故选C. 8.【答案】 【解析】依题意知,,两两互相垂直,以为原点,,,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系设,,且,不同时为,则,,,所以,设平面的法向量为,则令,得,,则是平面的一个法向量由题意可知为平面的一个法向量因为平面与平面所成锐二面角的大小为,所以,,得,所以,所以当时,取得最大值,最大值为. 9.【答案】 【解析】中,直线经过第一、二、四象限,则,,所以在第二象限,正确. 中,直线可写为,所以直线过定点,正确. 中,根据点斜式方程知正确. 中,由斜截式方程得,故D错误. 10.【答案】 11.【答案】 【解析】【分析】 本题考查空间中直线垂直的向量表示,三角形的面积、空间线段的长度和棱锥的体积等知识点,属于综合性较先求证平面,在平面内作,建立空间直角坐标系,然后对选项逐个判断即可. 先求证 【解答】 解:在正三棱柱中,取的中点,连接, 由题意得, 又底面,底面, , 又,,平面, 平面, 在平面内作, 则以为原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 因为,所以,, ,,,则, ,设,则, 解得,,,所以, 对于选项,,, 要使,即,解得, 当时,,故A选项不正确 对于选项,,,设, 则,, 所以, 则 , 因为,所以当时,取得最小值,故B选项正确 对于选项,将和沿展开,如图所示, 连接交于点,可知,当点与点重合时取得最小值, 由题意得,,,,,, 所以,, 则, 在中,由余弦定理得 ,则, 所以的最小值为,故C选项错误 对于选项,, 故D选项正确. 12.【答案】或 【解析】【分析】 本题考查了两直线互相平行时斜率相等,以及线段的中点坐标公式,斜率公式. 由题意得出当过点的直线与直线平行,或过点的直线经过,的中点时,直线与点,的距离相等,从而求解出斜率. 【解答】 解:当过点的直线与直线平行时,直线与点,的距离相等, 所以, 当过点的直线经过,的中点时,直线与点,的距离相等, 所以,的中点坐标为, 所以. 故答案为或. 13.【答案】或 【解析】由题易知直线的斜率存在,故则,当且仅当,即时,等号成立.所以或,即直线的倾斜角的取值范围是或. 14.【答案】 【解析】【分析】 本题考查三棱锥外接球,以及空间几何体的截面问题,属于中档题目. 将三棱锥放入到一个正方体中,则三棱锥的外接球即为该正方体的外接球,利用正方体的棱长求出外接球半径,用向量法求球心到截面距离,几何法求截面面积. 【解答】 解:由平面,, , 将三棱锥放入到一个正方体中如图,则三棱锥的外接球即为该正方体的外接球,该外接球的球心为正方体的中心体对角线的中点, 因为, 外接球的直径为:,. 以为原点,的方向为轴,轴,轴正方向,建立如图所示空间直角坐标系, ,,,, ,,, 设平面的一个法向量, ,令,,则, 点到平面的距离为, 所以平面截球所得截面的半径 , 故所求截面的面积为. 故答案为: 15.【答案】解:设, 由已知得,又,可得 即, 由已知得,又,可得,即, 联立求解得,, . 设, , 又,, 解得, ,又, 轴, 故直线的倾斜角为. 【解析】本题主要考查了过两点的斜率公式以及两条直线平行、垂直与斜率的关系,熟练掌握斜率公式是解题的关键,属于中档题. 设,根据得出,然后由得出,解方程组即可求出的坐标. 设由得出,解方程求出的坐标,然后即可得出结果. 16.【答案】解:证明:直角梯形中, 由相似可得,, 因为,,可得,, 故可得,, 由勾股定理得,, 即,, 翻折后可得,,, 又因为,,在平面内, 故AC平面; 因为点为边的中点,所以, 又,, 所以, 因为平面,所以平面平面, 所以点到平面的距离,即为点到的距离,设为, 因为为定值, 所以当最大时,三棱锥的体积最大, 而,则, 当时,; 由得,当三棱锥的体积最大时, 点到平面的距离为,即平面, 故,, 又因为,故,,两两垂直, 如图,故可以为原点,直线,,分别为,,轴建立空间直角坐标系, 由题可得,,,,, 则,,, 设平面的法向量为, 则, 令,得, 设直线与平面所成角为, 则, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】本题考查直线与平面垂直的判定,考查利用空间向量求解线面角,属于中档题. 根据相似得出,结合勾股定理得到,以及折叠后,,即可得证; 利用点到平面的距离,即为点到的距离,结合等体积转换法即可求解; 以为原点,直线,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用向量夹角公式即可求解. 答案第1页,共2页 答案第1页,共1页 学科网(北京)股份有限公司 $