河南省部分学校2026-2027学年高二上学期9月测评数学试题

2026~2027学年高二9月测评•数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C A D C B 题号 9 10 11 答案 AD BCD BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】3 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．【答案】（1）5 （2）13 【解析】（1）因为，所以①， 又因为②， ①②得：，所以， 2分 再将代入②得：，即， 3分 所以， 5分 所以； 7分 （2）， 10分 因为与垂直，所以， 11分 所以，解得． 13分 16．【答案】（1），， （2）或 【解析】（1）因为，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到图象对应的解析式为：； 2分 再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象， 则； 4分 则函数的最小正周期； 5分 令，得， 则函数的图象的对称中心为：，； 7分 （2）， 10分 因为为偶函数， 所以， 13分 则，，又因为，则或． 15分 17．【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设事件“质点移动一次移动到顶点”，因为质点从顶点出发，且每次等可能地沿棱移动到顶点，，处，所以； 2分 （2）设事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件“质点移动2次后移动到顶点”， 事件包括下列三种情况：；；， 所以； 4分 事件包括下列两种情况：；，所以， 6分 则， 即这两个质点移动2次后都移动到顶点的概率为； 8分 （3）设事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件“质点移动3次后移动到顶点”， 事件包含下列6种情况：，，，， ，，则； 10分 事件包含下列7种情况：，，；，，，， 所以． 13分 则， 即这两个质点移动3次后至少有一个移动到顶点的概率为． 15分 18．【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）存在， 【解析】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以． 2分 所以，又因为是正三角形，所以． 又因为，，所以，则， 则，所以． 3分 又因为为的中点，所以，又因为，，平面， 所以，又因为平面，平面，所以平面； 5分 （2）因为点为中点，所以，又因为，， 所以，即， 即，所以，． 6分 因为为直线与平面所成的角， 所以过点作平面，垂足一定在直线上， 7分 因为平面，所以， 又因为是正三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 8分 又因为平面，所以， 9分 且为的中点，所以； 10分 （3）由（2）知，且，，所以， 11分 所以，连接，因为为的中点，所以， 又因为，则即为二面角的平面角，即， 13分 在中，又因为，所以， 14分 由正弦定理得：，即，解得， 16分 所以，所以． 17分 19．【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）因为，又因为，，所以，， 1分 由题意知， 在中，由余弦定理得：，所以； 3分 （2）因为为的角平分线，所以， 设，则，设，则． 由，即， 化简整理得：， 5分 则， 6分 再由余弦定理得：， 7分 所以，解得：，即． 8分 取的中点为，连接，因为，所以，且， 所以， 9分 又因为，所以； 10分 （3）设，，， 因为，所以， 即，化简得：． 12分 所以， 13分 又因为，所以． 14分 因为为锐角三角形，所以，解得， 15分 令，即，则在上单调递增， 16分 且，，所以． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前 2026~2027学年高二9月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知向量，，若，则 A． B． C． D． 2．复数的共轭复数是 A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．2026年美加墨世界杯射手榜前10名的成绩（单位：粒）分别为：10，8，7，7，6，6，5，4，4，4，则这10名成绩的第60百分位数为 A．6 B．7 C． D． 5．已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则 A．11 B．1 C． D． 6．已知，则 A． B． C． D． 7．在中，角，，的对边分别为，，，，，，现以所在直线为轴，将其余两边旋转一周形成曲面并围成一个封闭的几何体，则这个几何体的体积为 A． B． C．或 D．或 8．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且，，点为的费马点，则的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一个盒子中有2个红球，3个绿球，每个球大小、质地均相同，采用不放回地方式从中依次随机取出2个球．记事件为“第1次取出的球是红色”，事件为“第2次取出的球是红色”，则 A． B． C． D． 10．已知，，为实数，则下列命题成立的是 A．若，则 B．，，，都有 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为4 11．已知正方体的棱长为2，点为正方体表面上一动点．则下列说法正确的是 A．当点在线段上时，直线与直线可能是异面直线 B．当点在线段上时， C．当点在线段上时，的最小值为 D．当点在侧面上时，且三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知偶函数，则________． 13．如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为________． 14．若，，且，满足，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知，． （1）求； （2）若与垂直，求的值． 16．（本小题满分15分） 已知函数，若将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象． （1）求函数的最小正周期和其图象的对称中心； （2）若函数（）为偶函数，求的值． 17．（本小题满分15分） 如图所示，质点，在随机外力的作用下，分别从正四面体的顶点，同时出发，每次等可能地沿棱移动到其他顶点处，其中这两个质点移动互不影响，并且可以在一条棱上同向或反向同时移动．一个质点从一个顶点移动到另一个顶点叫移动一次． （1）求质点移动一次移动到顶点的概率； （2）求质点与各移动2次后均移动到顶点的概率； （3）求质点与各移动3次后至少有一个移动到顶点的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，四棱锥中，是正三角形，平面，，，为的中点，为直线与平面所成的角，且，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的平面角为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 如图，在中，点在边上，且，． （1）若，求； （2）若为的角平分线，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $