河南省实验中学2026-2027学年高二上学期数学周测（一）

2026-2027学年高二上学期数学周测（一）（2026年9月13日） 一、单选题（每题5分，共40分） 1．下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 2．已知向量，，，若，，共面，则（    ） A．存在无数个实数符合题意 B．存在唯一的正整数符合题意 C．不存在正整数符合题意 D．不存在任何实数符合题意 3．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 4．如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为， 且两两之间的夹角都是，则（     ） A． B． C． D． 5．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小是( )． A．60° B．75° C．90° D．105° 6． 如图，在棱长为4的正方体中， 为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 7．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（   ） A． B．相交但不垂直 C． D． 8．已知正方体的棱长为1，点A关于直线和直线的对称点分别为点P和Q. 则P、Q两点间的距离是( ). A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 10．如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，的中点，点在线段上运动，下列选项正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．存在点，使得 C．平面截正方体所得的截面图形是五边形 D．点到平面的距离是 11．在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知正方体的三个顶点坐标为，，.则该正方体的中心坐标为______. 13．已知三棱锥的底面是边长为6的正三角形，平面，，若点满足，则三棱锥的体积为______． 14．已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为________ 2026-2027学年高二上学期数学周测（一）答题卷 总分_______________ 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9（多） 10（多） 11（多） 答案 三、填空题 12.___________ 13.___________ 14.____________ 四、解答题（第15题12分，第16题15分，共27分） 15.（12分）如图，在三棱锥中，平面，， ，，分别是棱，，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求三棱锥的体积； 15. 16（15分）．在平面四边形中，，， 将沿AC翻折至，其中P为动点. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上． （i）证明：平面平面； （ii）求球O的半径 (2)求二面角的余弦值的最小值. 16． 试卷第1页，共3页 试卷第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2026-2027学年高二上学期数学周测（一）参考答案： 1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．D 7．A 8．A 9．BD 10．BC 11．BC 12． 13． 14． 8.【详解】建立空间直角坐标系，有D（0，0，0）、A（1，0，0）、，、、.设，AP的中点为. 由，，得 解得. 同理，.故. 选A. 10. 11. 14. 15．【详解】（1）略 （2）由平面，，则可以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，，，，，，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则得， 设直线与平面所成角为，则, 故线与平面所成角的正弦值为. （3）由（2）可得，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为， 三角形的面积为，所以三棱锥体积 16．【详解】（1）在中，由，得， 所以，且，即， （i）证明：因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向 建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （2） 在平面中，过P作于G， 在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $