专题20 带电粒子在组合场、交变场中的运动（专项训练）2027年高考物理一轮复习高效培优系列

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题20带电粒子在组合场、交变场中的运动 参考答案 真题命题感知 考法01带电粒子在组合场中的运动 E=mv'sin0cos0 B=2mvsin 1.C 2.B 3.(1)正电 (2) qL (3) gL >考法02带电粒子在叠加场中的运动 1.C 2.AD 3.1) F=mg B-m g q (2B gVL ◆考法03带电粒子在交变场中的运动 2+V5 1+2n)5πd (2)2°d (n=0,1,2…) 1.ABD 2.(1)2 (3) 12v 进阶强化演练 粒子由磁场进入电场 1.B 2.BD 3.(1)带正电，见解析 (2)2.6×10s 113 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1 (2) (3) X + 0.4m 7.68×1018J 5.1)(0, 8mvo 128mv 5gB (2)①3 ②75gE 粒子由电场进入磁场 3Em 4 dm T 6.D 7.B 8.(1)60° (2)dg (3)3V3Eg 2eU 2πRV6meU U 2πm 9.(1)Vm (2) 9eU 10.(1)方向垂直纸面向里，d (2)3eB （3)x=(3n-1)m0%(n=1,35或x=(3n-2)mn=24,6） 2eB 2eB ◆带电粒子在交变磁场中的运动 11.A 12.C 13.D 2 1 45 14.(1)30 (2) V3π 2 (3) 3π ◆带电粒子在叠加场中的运动 15.D 16.D 17.(1)2gd (2) 2q (3)2d+4n2-V2dn=0,1,2,3. 18.(1)=VgL (3)y 259L 45 带电粒子在三维空间中的运动 213 命学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B=2mv 8mv2 E= 37 πL 19.D 20.(1)9L (2)π2qL (3) 135 mv哈tan20 mvo tana 21.(1) 2gh (2)2gh (3)4πh 22. 2E=m 2q; 2qL (2) L 5π 拔高•模拟预测 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 1.B 2.A 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.C 9.D 10.AC 11.BC 12.AC 二、非选择题：本题共4题，共52分。 (5π+6+3v3]m 13.(1)6=9Br (2)E=29Br m 名 (3)1= 6gB 14.(1) md2 2eT2 (2) eT 3)1807，d 23d 3v% 10W3d+8πd 143d,16πd 15.(1)2y,3 (2)kd (3)3%9或者39 16.(1mg B2ng 2v3vp 3q, 3qvo (2)t- 3g 3 V3π (3)2,小球一个周期内发生的位移=g,方向与x轴正方向成30角斜向上 313 专题20 带电粒子在组合场、交变场中的运动 目 录 真题·命题感知 考法01 带电粒子在组合场中的运动 1 考法02 带电粒子在叠加场中的运动 4 考法03 带电粒子在交变场中的运动 7 进阶·强化演练 粒子由磁场进入电场 8 粒子由电场进入磁场 11 带电粒子在交变磁场中的运动 14 带电粒子在叠加场中的运动 17 带电粒子在三维空间中的运动 19 拔高·模拟预测 22 真题·命题感知 考法01 带电粒子在组合场中的运动 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限中，角平分线把第一象限分为两个独立区域，上部有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，下部有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在y轴的正半轴上的A点，有一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以速度垂直于y轴方向进入电场，然后从角平分线上的某点垂直于角平分线进入磁场，则粒子在磁场中运动的轨迹半径为（粒子重力不计）（　　） A． B． C． D． 2．（2026·重庆永川·二模）如图所示，真空区域内水平边界ab与cd相距为h，其间存在竖直向上的匀强电场。边界cd上方存在范围足够大的垂直于纸面向里的匀强磁场。M、P、N为边界cd上的三点，且，。某时刻甲、乙两个带电粒子从ab边界沿电场线方向射入电场区域，然后分别由M、N两点同时射入磁场，最终同时被置于P点的粒子探测器接收。甲、乙粒子在磁场中运动的时间均为t，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两粒子的比荷之比为2∶1 B．乙粒子在电场中运动的时间为 C．乙粒子在电场中的加速度为 D．甲粒子在电场中运动时电势能减小 3．（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 （1）判断粒子的电性； （2）求电场强度大小E； （3）求磁感应强度大小B。 解题方法 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域内电场、磁场交替出现。 1．两种场力的比较 （1）电场 ①大小：F＝qE。 ②方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反。 ③功和能的特点：电场力做功与路径无关，W＝qU，电场力做功改变物体的电势能。 （2）磁场 ①大小：F＝qvB（v⊥B）。 ②方向：力的方向始终垂直于速度和磁场方向共同决定的平面，可用左手定则判断。 ③功和能的特点：洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的能量。 2．电场与磁场的组合 （1）从电场进入磁场 ①电场中：匀变速直线运动→磁场中：匀速圆周运动 ②电场中：类平抛运动→磁场中：匀速圆周运动 （2）从磁场进入电场 ①磁场中：匀速圆周运动→电场中：匀变速直线运动（v与E同向或反向） ②磁场中：匀速圆周运动→电场中：类平抛运动（v0与E垂直） 考法02 带电粒子在叠加场中的运动 1．（2026·贵州·高考真题）如图，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场及从点沿径向向外的电场，某处电场强度大小，为常量，为该处到的距离。一带负电粒子在纸面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率为，电势能为；当磁感应强度大小为（）时，粒子运动半径为，速率仍为，电势能为。取无限远处的电势为零，不计粒子重力，则（     ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为0.4T。长为0.4m的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端系着的带正电小球（可视为点电荷）。小球恰能绕O点沿顺时针方向在竖直平面内做完整的圆周运动，小球经过a点时速度最大，a、O两点连线与竖直方向的夹角θ的正弦值sinθ=0.6，直线cOd和电场线平行，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．电场的电场强度大小E=0.3N/C B．小球运动过程中的最小速度为m/s C．小球经过c点时机械能最大 D．小球经过a点时的速度大小为m/s 3．（2026·湖南湘潭·一模）如图所示的竖直平面直角坐标系中，第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场垂直平面（纸面）向里。一质量为、带电量为的小球，从轴上某点以平行于轴方向的初速度进入第一象限，当运动到点时，其他条件均不变，仅将电场方向突变为水平向左，之后小球沿直线匀速运动到点。不计空气阻力，重力加速度为，小球视为质点。求： （1）电场强度E的大小； （2）磁感应强度B的大小； （3）小球在第一象限中运动的时间t。 解题方法 1．“三步法”突破叠加场问题 2．是否考虑重力的判断 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力;对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。 （2）题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。 （3）不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。 3．配速法解决叠加场中粒子运动问题 若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做复杂曲线运动，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动（摆线）就可以分解成两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 以速度选择器模型为例。如图甲所示，空间中存在着电磁叠加场，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，匀强电场E的方向竖直向下，一个带电量为+q的粒子（不计重力）以初速度v0沿水平方向进入叠加场，则粒子受到竖直向上的洛伦兹力和竖直向下的电场力。 若满足qBv0＝qE，即，则带电粒子将受力平衡，做匀速直线运动；若粒子进入叠加场时速度v≠v0，则运动轨迹将是复杂的曲线，解决办法是将粒子的运动看成是v0与v1两个运动的合运动，即将v分解为v＝v0+v1，如图乙所示，因而粒子可以看作受到两个洛伦兹力作用，即qBv0与qBv1，其中qBv0与电场力qE平衡，则粒子在叠加场中所受合力为F＝qBv1，如图丙所示，这样，将粒子的复杂运动分解成匀速直线运动（速度v0）和匀速圆周运动（速率v1）的合运动。 考法03 带电粒子在交变场中的运动 1．（2026·海南·一模）（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且。若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．沿方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．沿方向经过P点，则电子的速度大小可能大于 C．垂直边过E点，则磁场变化周期一定是 D．垂直边过E点，则磁场变化周期可能小于 2．（2026·湖南常德·一模）如图甲所示，y轴左侧有两块带等量异种电荷的水平平行金属板，y轴右侧有交替变化的匀强磁场，x轴在平行金属板的中心线上。一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力不计），以初速度从金属板左端中心线沿方向进入，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，在时刻粒子第一次经过x轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的倍，磁场取垂直纸面向里为正方向，乙图中，T未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用、d和常量表示。 （1）求粒子在P点的速度大小v； （2）若粒子在时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y轴之间的宽度s； （3）若磁场宽度s不确定，但粒子出右边界时速度都是沿方向，求粒子在磁场中运动时间t的可能值。 解题方法 1．交变场的常见类型： （1）电场周期性变化、磁场不变。 （2）磁场周期性变化、电场不变。 （3）电场、磁场均周期性变化。 2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 进阶·强化演练 粒子由磁场进入电场 1．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．电场强度大小为 C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出 D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出 2．（2026·河南三门峡·三模）（多选）如图所示，在平面直角坐标系第一、二象限的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限的区域内存在着匀强电场，电场方向与轴负方向成斜向下。位于坐标原点处的粒子源能在平面向第二象限内持续发射质量为、电荷量为的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角，且各个方向的速度大小与的关系为（式中为未知定值）。的粒子恰好通过坐标为的点，经过直线时距轴最远的粒子到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，，不计粒子重力，及粒子间的相互影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电荷 B． C．粒子运动到直线上时与轴的最远距离为 D．匀强电场的电场强度为 3．在如图所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴正方向成， y轴右方有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。有一粒子以速度，由x轴上的A点（10cm，0）沿与x轴正方向成斜向上射入磁场，在磁场中运动一段时间后射入电场，后又回到磁场，经磁场作用后又射入电场。已知粒子质量近似为，电荷，粒子重力不计。求： （1）判断该粒子是正电荷还是负电荷，并说明理由。 （2）粒子从开始运动到第三次到达y轴过程中，在磁场中所经历的时间。（此问保留两位有效数字） 4．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度；磁场右边是宽度、场强、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量，质量，以的速度沿垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。不计粒子重力，求： （1）大致画出带电粒子的运动轨迹； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （3）带电粒子飞出电场时的动能。 5．如图所示，在坐标平面内的第一、二象限有沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，第三、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。平面内y轴上的M处有一粒子发射源，能向第三象限发射不同速率的带负电的相同粒子，速度方向与y轴正方向的夹角均为，其中发射速度大小为的粒子a恰好没有进入电场；已知粒子质量为m，电荷量大小为q。不计粒子的重力及其相互之间的影响，。 （1）求粒子发射源的位置坐标。 （2）若另一粒子b恰好自坐标原点O进入电场，求： ①粒子b的发射速度大小； ②粒子b第一次通过x轴进入磁场时到O点的距离。 粒子由电场进入磁场 6．质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具，最初是由汤姆孙的学生阿斯顿设计的。他设计了多种质谱仪测量同位素的比荷，图示为其设计的一种质谱仪。现有大量甲、乙两种电荷量均为、质量分别为和的离子从的狭缝处以接近于零的速度进入电压为的加速电场中被加速，加速后由点垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场，最后打在照相底片上，形成、两条质谱线，不计离子重力及离子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．经过加速电场后甲离子的动能较大 B．到点时乙离子的速率较大 C．底片上谱线为乙离子的质谱线 D．甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短 7．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。带正电粒子以方向垂直于轴、大小为的速度从轴上的点射入电场中，粒子从轴上的点进入磁场，恰好垂直于轴射出磁场。已知、点到坐标原点的距离分别为、。粒子在磁场中运动的轨迹半径为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，在第一、四象限0≤x≤d的区域内存在匀强磁场。一质量为m，带电量为+q的粒子在x轴上距坐标原点的A点以初速度沿y轴正方向射入电场区域，粒子运动过程中恰好未从边界离开磁场区域，不计粒子重力，不考虑粒子离开磁场区域后的运动，求： （1）粒子进入磁场时，其速度方向与y轴正方向夹角； （2）磁场的磁感应强度大小； （3）粒子在磁场区域中运动的时间。 9．如图所示，在xOy平面内有一圆心为O、半径为R、磁感应强度大小为B方向垂直纸面向里的匀强磁场。磁场外部有一指向圆心的环形辐射电场，电场两端的电压为U。在第一和第四象限内紧贴电场外边缘放置一荧光屏，粒子接触荧光屏后被吸收。在x负半轴紧靠电场外边缘处有一粒子源，粒子源能向x轴正方向无初速度释放 粒子。若已知 的电荷量为 e、质量为m。不计粒子重力。求： （1）粒子进入磁场时的速度； （2）粒子在磁场中运动的时间； 10．如图，平行板电容器水平放置，上极板接电源正极，下极板接电源负极，两极板间电势差为U，板间距为d。极板间存在垂直于纸面的匀强磁场，在竖直线PQ右侧存在足够大的匀强磁场区域，以ON为分界线将该区域磁场分为两部分：区域Ⅰ内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；区域Ⅱ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，已知。现有一电子，电荷量大小为e、质量为m，以初速度v0水平向右射入电容器，并沿直线通过电容器，之后垂直通过PO，且电子第一次经过ON时速度方向与ON垂直。电子重力不计，求： （1）平行板电容器间磁感应强度方向及大小B0； （2）电子从垂直通过PO到第一次经过ON所需的时间t； （3）以O点为坐标原点，ON方向为x轴正方向，求电子第n次经过ON时的位置坐标。 带电粒子在交变磁场中的运动 11．如图甲所示的正方形平面内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为、所带电荷量为的粒子（不计重力）在时刻沿边从点射入磁场。已知正方形边长为，磁感应强度的大小为，带电粒子在磁场中运动的直径小于边长，规定磁场垂直于纸面向外的方向为正方向。若要使带电粒子不能从边界射出磁场，磁感应强度的变化周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子（    ） A．沿方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．沿方向经过P点，则电子的速度大小可能大于 C．垂直边过E点，则磁场变化周期一定是 D．垂直边过E点，则磁场变化周期可能小于 13．如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E1，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E2和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为的点由静止释放，经过时间T，在t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知，重力加速度大小为g，不计一切阻力。则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 14．如图1所示，在直角坐标系xOy中，MN垂直x轴于N点，第二象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，Oy与MN间（包括Oy、MN）存在均匀分布的磁场，取垂直纸面向里为磁场的正方向，其磁感应强度随时间变化的规律如图2所示。一比荷的带正电粒子（不计重力）从O点沿纸面以大小、方向与Oy夹角θ＝60°的速度射入第一象限中，已知场强大小， （1）若粒子在t＝t0时刻从O点射入，求粒子在磁场中运动的时间t1； （2）若粒子在0~t0之间的某时刻从O点射入，恰好垂直y轴进入电场，之后从P点离开电场，求从O点射入的时刻t2以及P点的横坐标xP； （3）若粒子在0~t0之间的某时刻从O点射入，求粒子在Oy与MN间运动的最大路程s。 带电粒子在叠加场中的运动 15．如图所示，空间存在着垂直向里的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E，两个质量不同电量均为q的带电小球a和b从同一位置先后以相同的速度从场区左边水平进入磁场，其中 a小球刚好做匀速圆周运动，b小球刚好沿直线向右运动。不计两小球之间库仑力的影响，重力加速度为则（     ） A．a球一定带正电，b球可能带负电 B．a小球的质量等于 C．b小球的质量等于 D．a小球圆周运动的半径为 16．竖直平面内有一半径为R的固定光滑绝缘圆环，其上套有一个电荷量为、质量为m的小环P。整个装置处在水平向左的匀强电场和垂直竖直平面向里的匀强磁场中，电场强度大小，磁感应强度大小为B，重力加速度大小为。现将小环P从圆环的顶端a处由静止释放，则（　　） A．小环P在圆环上能做完整的圆周运动 B．当小环P运动到圆环的最低点c时速度最大 C．小环P运动的最大速率为 D．小环P受到的最大洛伦兹力大小为 17．如图所示，在xOy坐标系的第Ⅳ象限内充满了沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，从y轴上的P（0，d）点以垂直于y轴的初速度进入第Ⅰ象限，一段时间后经过x轴上的Q点（图中未画出）进入第IV象限，且速度方向与x轴正方向成角。若小球在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，且恰好没有进入第III象限，重力加速度为g。求： （1）带电小球从P点开始运动的初速度v0； （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小； （3）在x轴上O点右侧M点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从x轴上方打入的带电小球。问粒子靶应放在离O点多远的地方才能接收到小球？ 18．如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： （1）小球的初速度大小； （2）小球第一次在第四象限运动的时间； （3）小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 带电粒子在三维空间中的运动 19．如图所示，在xOy-z坐标系中，范围内有沿y轴正方向的匀强磁场，的范围内有沿y轴负方向的匀强磁场和匀强电场，两磁场磁感应强度大小均为，电场强度。一比荷的带正电粒子以速度从坐标原点沿x轴正方向射入匀强磁场中。忽略粒子重力，取，，则粒子第一次打在xOy平面时的位置坐标为（　　） A． B． C． D． 20．如图所示，空间直角坐标系O-xyz中，存在方向均沿y轴正方向的匀强磁场和匀强电场，其内有一边长为L的立方体区域，Od、Oa'、Ob三边分别在x、y、z轴上。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），以初速度v从O点沿x轴正方向进入立方体区域，恰好从b'点射出。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）电场强度E的大小； （3）若保持磁场不变，将题干中的匀强电场改为沿x轴负方向且电场强度大小为，该粒子仍从O点沿x轴正方向以初速度v射入立方体区域，求粒子射出立方体区域时与O点的距离。 21．如图所示，空间中有坐标系，平面水平，y轴沿竖直方向，在y轴右侧平面上方空间存在竖直向上的匀强电场，在y轴右侧平面下方空间存在竖直向下的匀强磁场。一带负电的粒子从y轴正半轴上的M点以一定速度沿平行于x轴的正方向射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成角离开电场，粒子在以后的运动中恰好不离开磁场。已知M点的坐标为，带负电的粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子重力，求： （1）电场强度大小； （2）磁感应强度大小； （3）粒子在平面上相邻切点间距离。 22．如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ的空间分布着沿轴正方向的匀强电场，在区域Ⅱ的空间分布着沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一平行于平面的无限大荧光屏（图中未画出）。在平面内处正下方有速度大小为0的粒子源可发射带正电粒子进入大小可调的加速电场，质量为，电荷量为。当加速电压取最大值时，粒子沿轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过轴上的点进入区域Ⅱ，已知点坐标为，最终打到荧光屏上的点（图中未画出）。不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： （1）最大加速电压和电场强度大小； （2）当荧光屏处于处时，求点的三维坐标； （3）当荧光屏处于处时，调加速电场的大小，则粒子打在荧光屏上的位置与的关系（可用表示）。 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 1．将不同种类离子注入航空发动机叶片，可以延长其使用寿命。如图，让甲离子从狭缝无初速度漂入电压为的加速电场，加速后垂直进入匀强磁场，打在叶片材料上；用乙离子替换甲，仅调节加速电压为，重复如上注入过程，乙能沿同一轨迹运动，并打在叶片材料上同一位置。已知甲、乙电荷量相等，且，则下列说法正确的是（     ） A．甲的比荷小于乙的比荷 B．甲、乙在磁场中的偏转角相等 C．甲在磁场中运动的动能比乙的小 D．甲、乙在磁场中运动的时间相等 2．如图所示，三个同心圆a、b、c的半径分别为r、2r、，在圆a区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1，在圆a和圆b间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b和圆c间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，从圆a边界上的A点沿半径方向以速度v0射入圆a内，第一次从圆a边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆c飞离磁场，已知磁感应强度，不计粒子的重力，则粒子在圆a内磁场中和圆c与圆b两边界间磁场中做圆周运动半径之比（　　） A．3:2 B．2:3 C． D． 3．质谱仪的工作原理如图所示，大量带等量正电荷的粒子，从容器A下方小孔飘入加速电场（粒子初速度为零），从飞出后，经沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场，最后打到照相底片D上。则粒子打到底片时，距越远的粒子 （　　） A．速度越大 B．质量越小 C．动能越小 D．比荷越小 4．如图所示，在平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度沿x轴正方向开始运动，从坐标原点O进入磁场时速度方向与x轴正方向成角，最终从x轴上的P点射出磁场。已知Q点到x轴距离为L，P点到y轴距离为，不计粒子重力。则磁感应强度和电场强度的大小之比为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，两个边长均为的正三角形区域和关于点对称，两个区域内均存在垂直纸面向外匀强磁场，区域右侧有平行于和的匀强电场。质量为、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），从点沿平行方向以速度射入，经中点进入电场，最终从点沿平行方向以速度射出。下列说法正确的是（   ） A．电场的电场强度大小为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在电场中运动的时间为 6．空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场，其方向随时间做周期性变化，磁感应强度B随时间t变化的图象如图所示．规定B＞0时，磁场的方向穿出纸面．一电荷量q＝5×10﹣7C、质量m＝5×10﹣10kg的带电粒子，位于某点O处，在t＝0时刻以初速度v0＝m/s沿某方向开始运动．不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响．则在磁场变化N个周期（N为整数）的时间内带电粒子的平均速度的大小等于（   ） A．m/s B．m/s C．m/s D．2m/s 7．如图所示，足够长的极板水平正对放置，板间距离为，板间存在方向竖直向下、电场强度大小为的匀强电场和方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。紧靠极板的右侧有一边长为的正方形匀强磁场区域（含边界），磁感应强度大小为（未知）、方向垂直纸面向外，与极板的中线重合。一质量为、带电荷量为的粒子由静止开始经电压为的加速电场加速后，由极板的左侧平行射入极板间，恰能沿直线通过极板且到达点。不计粒子重力，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为（a， 0），已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x， y），不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值可能取负值 B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离 D．粒子运动过程中的最大速率 9．如图所示，真空内存在向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，以该时刻粒子所在位置为坐标原点，沿v1、v2方向建立xOy直角坐标系，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．离子运动轨迹为等距的螺旋线 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．离子轨迹与x轴交点横坐标可能为 D．该离子的加速度大小保持不变 10．（多选）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为4B，在第三、四象限内也存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带负电的粒子从坐标原点沿y轴正方向以初速度射入磁场中，恰好在坐标（L，0）处飞出第二象限，在（0，-L）处与挡板MN发生碰撞。带电粒子与挡板碰撞前后x轴方向速度保持不变，y轴方向速度大小不变，方向相反。不计粒子所受的重力，则（     ） A．带电粒子的比荷为 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子再次回到原点的时间为 D．带电粒子再次回到原点的时间为 11．（多选）如图所示，在平面直角坐标系的区域有沿轴正方向的匀强电场，区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在电场中有坐标为的点和坐标为的点，一个质量为、电荷量为的带电粒子，第一次从点沿轴负方向射出，射出的初速度大小为，从坐标原点进入磁场，磁场的磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转后从轴上点（图中未画出）再次进入电场，并刚好能到达点，点离坐标原点的距离为、粒子在磁场中运动的时间为；第二次从点沿轴负方向射出，射出的初速度大小为，粒子仍从坐标原点进入磁场，磁场的磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转后从轴上点（图中未画出）再次进入电场，并刚好能到达点，点离坐标原点的距离为、粒子在磁场中运动的时间为；不计粒子的重力，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 12．（多选）如图（a），S为粒子源，水平向右持续发射相同速度的同种带正电粒子；MN为竖直放置的接收屏，能够记录下粒子打在其上的位置。当同时加上竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子恰好沿直线打到MN上；当只加电场和只加磁场时，粒子也都能够打到MN上。MN上记录的位置如图（b）所示，OP间距离为OQ间距离的2倍。已知电场的电场强度大小为E，磁场的磁感应强度大小为B，粒子源S到接收屏MN的距离为d。不计重力，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子源发射粒子的速度大小为 B．只加磁场时粒子打到接收屏的Q点 C．粒子的比荷为 D．OQ间距离为 二、非选择题：本题共4题，共52分。 13．如图所示，一半径为r的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于P点，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿方向的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿着方向从原点O射入磁场，粒子从P点离开磁场时速度方向沿方向，进入电场后，经电场偏转到达x轴上坐标为的点，不计粒子的重力。求： （1）粒子射入磁场时的速度大小。 （2）电场强度的大小E。 （3）若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与轴方向成30°角，求粒子从O点出发经磁场、电场偏转到达x轴所用的时间。 14．如图甲所示，xOy坐标系中，y轴左侧依次存在平行于y轴的金属板M、N和平行于x轴的金属板A、B。金属板A、B的右端位于y轴上，板长为d，两板到x轴的距离均为，两板间电场强度E随时间t的变化图像如图乙所示；y轴右侧存在一半径为d的圆形有界匀强磁场，圆心的坐标为；平行于x轴的边界、之间存在一匀强磁场，其中与圆形磁场的边界相切于P点，、之间的距离为。电子枪的金属丝K连续不断地逸出初速度为零的电子，经M、N两金属板之间的电场加速后，从N板中间的小孔沿x轴射入A、B之间的偏转电场。若A、B之间不加电场，电子在A、B两极板间的运动时间为T，且从原点O进入圆形有界磁场，再从P点进入、之间的磁场。两磁场区域的磁感应强度大小相等，方向均垂直纸面向里。电子的质量为m、电荷量为，不计电子的重力和电子之间的相互作用力。。求： （1）M、N两金属板之间的电压； （2）磁感应强度B的大小； （3）A、B间存在电场时，电子在、之间运动的最短时间和边界上有电子出射区域的长度l。 15．如图所示，在xOy坐标系的的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，在的区域内分布着垂直xOy平面向里的匀强磁场，MN为电场和磁场的交界面，ab为磁场的上边界。现从原点O处沿轴正方向发射出速率为v0、比荷（电荷量与质量之比）为k的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与ab相切并返回磁场。已知电场强度，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： （1）粒子第一次穿过MN时的速度大小v1和水平位移的大小x； （2）磁场的磁感应强度B的大小； （3）交界线MN上有一点P（图中未画出），坐标为，若某一粒子从原点O处发射时开始计时，什么时刻粒子能够到达P点？ 16．如图所示，空间中存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右（图中未画出），磁场方向垂直纸面向里。以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向，在与磁场方向垂直的竖直平面内建坐标系，原点为O。一质量为m、电荷量为的带正电小球由O点以与x轴正方向成30°的初速度射入复合场中，小球刚好做直线运动。已知重力加速度为g。 （1）求电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； （2）若仅撤去磁场，求小球第二次经过x轴的位置的横坐标x； （3）仅将小球初速度大小变为，求小球运动过程中的最大速率和小球在一个周期内发生的位移s。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 带电粒子在组合场、交变场中的运动 目 录 真题·命题感知 考法01 带电粒子在组合场中的运动 1 考法02 带电粒子在叠加场中的运动 5 考法03 带电粒子在交变场中的运动 10 进阶·强化演练 粒子由磁场进入电场 12 粒子由电场进入磁场 19 带电粒子在交变磁场中的运动 26 带电粒子在叠加场中的运动 31 带电粒子在三维空间中的运动 36 拔高·模拟预测 43 真题·命题感知 考法01 带电粒子在组合场中的运动 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系的第一象限中，角平分线把第一象限分为两个独立区域，上部有竖直向下的匀强电场，电场强度为E，下部有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在y轴的正半轴上的A点，有一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子以速度垂直于y轴方向进入电场，然后从角平分线上的某点垂直于角平分线进入磁场，则粒子在磁场中运动的轨迹半径为（粒子重力不计）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】粒子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，速度为 ，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动。由题意知，角平分线的倾角为 ，粒子垂直于角平分线进入磁场，说明粒子进入磁场时的速度方向与水平方向的夹角为 。根据速度的分解与合成，进入磁场时的竖直分速度 。 则粒子进入磁场时的合速度大小为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得 解得轨迹半径为。故选C。 2．（2026·重庆永川·二模）如图所示，真空区域内水平边界ab与cd相距为h，其间存在竖直向上的匀强电场。边界cd上方存在范围足够大的垂直于纸面向里的匀强磁场。M、P、N为边界cd上的三点，且，。某时刻甲、乙两个带电粒子从ab边界沿电场线方向射入电场区域，然后分别由M、N两点同时射入磁场，最终同时被置于P点的粒子探测器接收。甲、乙粒子在磁场中运动的时间均为t，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（    ） A．甲、乙两粒子的比荷之比为2∶1 B．乙粒子在电场中运动的时间为 C．乙粒子在电场中的加速度为 D．甲粒子在电场中运动时电势能减小 【答案】B 【解析】A．粒子竖直向上进入磁场，磁场垂直纸面向里，粒子做匀速圆周运动，轨迹为半圆（只有转半圈才能回到边界cd到达P点），因此粒子在磁场中运动时间 根据洛伦兹力提供向心力有 粒子在磁场中运动的周期为 解得 可见甲、乙两粒子的比荷相等，比值为1:1，故A错误； D．甲在M点需要向右偏转才能到达P点，因此甲带负电。电场竖直向上，负电荷受到的电场力方向竖直向下，甲从ab向上运动到cd，位移向上，电场力做负功，因此甲的电势能增大，故D错误； BC．甲、乙粒子在磁场中的运动的半径分别为，L，速度为， 两粒子在电场中做匀变速直线运动，由于比荷相等，根据可知，加速度相等，有 同时满足， 解得，，故B正确，C错误。 故选B。 3．（2025·天津·高考真题）如图所示，纸面内水平虚线下方存在竖直向上的匀强电场，虚线上方存在垂直于纸面的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的粒子从电场中的O点以水平向右的速度开始运动，在静电力的作用下从P点进入磁场，射入磁场时的速度大小为v、方向与竖直方向夹角为，粒子返回电场前的运动轨迹过P点正上方的Q点，P、Q间距离及O、P间的水平距离均为L。不计粒子重力。 （1）判断粒子的电性； （2）求电场强度大小E； （3）求磁感应强度大小B。 【答案】（1）正电 （2） （3） 【解析】（1）根据题意可知，粒子向上偏转，所受电场力向上，与电场方向相同，则粒子带正电。 （2）设粒子在电场中运动的时间为t，水平方向上由运动学公式，有 设粒子在电场中运动的加速度为a，由牛顿第二定律，有 竖直方向上由运动学公式，有 联立上述各式，得 （3）设粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为r，由几何关系，得                    洛伦兹力提供向心力，有 联立得 解题方法 组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域内电场、磁场交替出现。 1．两种场力的比较 （1）电场 ①大小：F＝qE。 ②方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反。 ③功和能的特点：电场力做功与路径无关，W＝qU，电场力做功改变物体的电势能。 （2）磁场 ①大小：F＝qvB（v⊥B）。 ②方向：力的方向始终垂直于速度和磁场方向共同决定的平面，可用左手定则判断。 ③功和能的特点：洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的能量。 2．电场与磁场的组合 （1）从电场进入磁场 ①电场中：匀变速直线运动→磁场中：匀速圆周运动 ②电场中：类平抛运动→磁场中：匀速圆周运动 （2）从磁场进入电场 ①磁场中：匀速圆周运动→电场中：匀变速直线运动（v与E同向或反向） ②磁场中：匀速圆周运动→电场中：类平抛运动（v0与E垂直） 考法02 带电粒子在叠加场中的运动 1．（2026·贵州·高考真题）如图，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场及从点沿径向向外的电场，某处电场强度大小，为常量，为该处到的距离。一带负电粒子在纸面内沿逆时针方向做匀速圆周运动。当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率为，电势能为；当磁感应强度大小为（）时，粒子运动半径为，速率仍为，电势能为。取无限远处的电势为零，不计粒子重力，则（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】带负电粒子在纸面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，则根据左手定则洛伦兹力背离圆心，电场力指向圆心，两力的合力提供向心力。 当磁感应强度大小为时，粒子运动半径为，速率为，此时有 当磁感应强度大小为（）时，粒子运动半径为，速率仍为，此时有 联立可得 因为，所以 又沿电场方向电势降低，电子在电势低处电势能大，故。故选C。 2．（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）如图所示，竖直平面内有水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为0.4T。长为0.4m的绝缘轻绳一端固定在O点，另一端系着的带正电小球（可视为点电荷）。小球恰能绕O点沿顺时针方向在竖直平面内做完整的圆周运动，小球经过a点时速度最大，a、O两点连线与竖直方向的夹角θ的正弦值sinθ=0.6，直线cOd和电场线平行，取重力加速度大小，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．电场的电场强度大小E=0.3N/C B．小球运动过程中的最小速度为m/s C．小球经过c点时机械能最大 D．小球经过a点时的速度大小为m/s 【答案】AD 【解析】A．小球经过点时速度最大，可知点为等效重力场的等效最低点，等效重力方向沿Oa方向，设等效重力加速度为g'，根据几何关系有 代入已知数据解得 可知电场的电场强度大小为，故A正确； B．由几何关系可知等效重力加速度大小为 解得 小球恰能绕点沿顺时针方向做完整的圆周运动，可知在等效最高点（设为点）绳子拉力恰好为零，此时小球速度最小。根据左手定则可知，带正电的小球沿顺时针方向运动时受到的洛伦兹力方向始终背离圆心向外，在点根据牛顿第二定律有 代入数据解得 可知小球运动过程中的最小速度为，故B错误； C．小球运动过程中除重力外只有电场力做功，由于电场力做正功等于小球机械能的增加量，当电场力做正功最多时机械能最大。因为电场方向水平向右，所以小球运动到最右端点时，电场力做正功最多，此时机械能最大，故C错误； D．小球从等效最高点运动到等效最低点的过程，根据动能定理有 解得 可知小球经过点时的速度大小为，故D正确。故选AD。 3．（2026·湖南湘潭·一模）如图所示的竖直平面直角坐标系中，第一象限存在着正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向竖直向下，磁场垂直平面（纸面）向里。一质量为、带电量为的小球，从轴上某点以平行于轴方向的初速度进入第一象限，当运动到点时，其他条件均不变，仅将电场方向突变为水平向左，之后小球沿直线匀速运动到点。不计空气阻力，重力加速度为，小球视为质点。求： （1）电场强度的大小； （2）磁感应强度的大小； （3）小球在第一象限中运动的时间。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）微粒从点到点做匀速直线运动，小球受力如下图 重力、电场力、洛伦兹力f的合力为零，几何关系可知。解得 （2）小球运动轨迹如图所示 电场变化前，微粒所受重力与电场力平衡，洛伦兹力 因此有     微粒在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动有     由几何知识可得     联立解得 （3）微粒做匀速直线运动的时间     微粒做匀速圆周运动的时间     微粒在复合场中的运动时间 解题方法 1．“三步法”突破叠加场问题 2．是否考虑重力的判断 （1）对于微观粒子，如电子、质子、离子等，若无特殊说明，一般不考虑重力;对于宏观带电小物体，如带电小球、尘埃、油滴、液滴等，若无特殊说明，一般需要考虑重力。 （2）题目中已明确说明是否需要考虑重力时则按说明分析。 （3）不能直接判断是否需要考虑重力的，在进行受力分析和运动分析时，由分析结果确定是否考虑重力。 3．配速法解决叠加场中粒子运动问题 若带电粒子在磁场中所受合力不为零，则粒子的速度会改变，洛伦兹力也会随着变化，合力也会跟着变化，则粒子做复杂曲线运动，此时，我们可以把初速度分解成两个分速度，使其一个分速度对应的洛伦兹力与重力（或电场力，或重力和电场力的合力）平衡，另一个分速度对应的洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，这样一个复杂的曲线运动（摆线）就可以分解成两个比较常见的运动，这种方法叫配速法。 以速度选择器模型为例。如图甲所示，空间中存在着电磁叠加场，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，匀强电场E的方向竖直向下，一个带电量为+q的粒子（不计重力）以初速度v0沿水平方向进入叠加场，则粒子受到竖直向上的洛伦兹力和竖直向下的电场力。 若满足qBv0＝qE，即，则带电粒子将受力平衡，做匀速直线运动；若粒子进入叠加场时速度v≠v0，则运动轨迹将是复杂的曲线，解决办法是将粒子的运动看成是v0与v1两个运动的合运动，即将v分解为v＝v0+v1，如图乙所示，因而粒子可以看作受到两个洛伦兹力作用，即qBv0与qBv1，其中qBv0与电场力qE平衡，则粒子在叠加场中所受合力为F＝qBv1，如图丙所示，这样，将粒子的复杂运动分解成匀速直线运动（速度v0）和匀速圆周运动（速率v1）的合运动。 考法03 带电粒子在交变场中的运动 1．（2026·海南·一模）（多选）如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且。若使电子满足下列条件时，说法错误的是（　　） A．沿方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．沿方向经过P点，则电子的速度大小可能大于 C．垂直边过E点，则磁场变化周期一定是 D．垂直边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】ABD 【解析】AB．据洛伦兹力提供向心力有 解得，电子的速度大小为 电子沿NP方向经过P点，根据几何关系有 当时，电子经过的路线为四分之一圆弧到达点，故电子的速度大小为 当时，电子通过的路线为个四分之一圆弧到达点，故电子的速度大小为 所以，沿方向经过P点，则电子的速度大小可能等于，也可能小于，故A错误，符合题意；B错误，符合题意； CD．设电子经个周期到达点，电子到达点时的速度垂直于，如图所示 每个周期内电子经两段圆弧后速度垂直于，设电子经个周期到达点，故， 联立解得 电子在磁场中做匀速圆周运动， 联立解得，电子做匀速圆周运动的周期（即电子运动一个圆周所用的时间）为 磁场变化的周期（即电子转动的圆心角为所用的时间）为 所以，磁场变化周期一定是，故C正确，不符合题意；D错误，符合题意。 故选ABD。 2．（2026·湖南常德·一模）如图甲所示，y轴左侧有两块带等量异种电荷的水平平行金属板，y轴右侧有交替变化的匀强磁场，x轴在平行金属板的中心线上。一个质量为m，电荷量为的带电粒子（重力不计），以初速度从金属板左端中心线沿方向进入，恰好能从金属板下边缘P点飞出并进入磁场。以粒子进入磁场为0时刻，在时刻粒子第一次经过x轴。已知两金属板间距为d，板长为板间距的倍，磁场取垂直纸面向里为正方向，乙图中，T未知，不考虑磁场变化引起的感生电场，计算结果用、d和常量表示。 （1）求粒子在P点的速度大小v； （2）若粒子在时刻恰到磁场右边界，求磁场的右边界到y轴之间的宽度s； （3）若磁场宽度s不确定，但粒子出右边界时速度都是沿方向，求粒子在磁场中运动时间t的可能值。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）设P点速度与水平方向夹角为，将P点速度反向延长，有 得 可得 （2）若粒子在时刻恰到磁场右边界，在磁场中 将代入得 则圆心恰在x轴上，宽度 （3）第一次经过x轴时速度方向沿方向，时间 之后每经过速度方向均沿方向，故 解题方法 1．交变场的常见类型： （1）电场周期性变化、磁场不变。 （2）磁场周期性变化、电场不变。 （3）电场、磁场均周期性变化。 2．分析带电粒子在交变场中运动问题的基本思路 进阶·强化演练 粒子由磁场进入电场 1．如图所示，水平虚线上方区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，下方区域有竖直向上的匀强电场。质量为m、电荷量为的粒子从磁场中的a点以速度向右水平发射，当粒子进入电场时其速度沿右下方向并与水平虚线的夹角为，然后粒子又射出电场重新进入磁场并通过右侧b点，通过b点时其速度方向水平向右。a、b距水平虚线的距离均为h，两点之间的距离为，不计粒子重力，则下列说法正确的是（　　） A．磁感应强度大小为 B．电场强度大小为 C．电场强度大小减半，粒子仍能从b点射出 D．磁感应强度大小加倍，粒子仍能从b点射出 【答案】B 【解析】A．根据题意可知，画出粒子的运动轨迹，如图所示 由题意可知 设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系有 解得 由牛顿第二定律有   解得，故A错误； B．根据题意，由对称性可知，粒子射出电场时，速度大小仍为，方向与水平虚线的夹角为60°，由几何关系可得 则粒子在电场中的运动时间    解得 沿电场方向上，由牛顿第二定律有 由运动学公式有   联立解得，故B正确； C．电场强度大小减半，则在电场中类斜抛运动竖直加速度减半，运动时间加倍，则水平位移加倍，进入磁场位置改变，但速度大小方向不变，则不能经过b点，故C错误； D．磁感应强度大小加倍后，根据可知，半径减半，即 粒子垂直进入电场，后垂直射出，因为不是偶数，所以无法经过b点，故D错误。故选B。 2．（2026·河南三门峡·三模）（多选）如图所示，在平面直角坐标系第一、二象限的区域内，存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为。在第一象限的区域内存在着匀强电场，电场方向与轴负方向成斜向下。位于坐标原点处的粒子源能在平面向第二象限内持续发射质量为、电荷量为的相同粒子，速度方向与轴正方向的夹角，且各个方向的速度大小与的关系为（式中为未知定值）。的粒子恰好通过坐标为的点，经过直线时距轴最远的粒子到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，，不计粒子重力，及粒子间的相互影响，下列说法正确的是（     ） A．粒子带负电荷 B． C．粒子运动到直线上时与轴的最远距离为 D．匀强电场的电场强度为 【答案】BD 【解析】A. 因沿y轴正向射出的粒子经过P点，则根据粒子在磁场中的偏转方向，结合左手定则可知，粒子带正电荷，A错误； B. 时，此时粒子恰好通过坐标为的点，可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为r0=L 根据。解得，B正确； C. 时，此时粒子做圆周运动的半径最大，粒子运动到直线上时与轴的距离最远，此时 解得 此时圆心恰好在x=L直线上，与轴的最远距离为，C错误； D. 粒子垂直于直线向右进入匀强电场，到达直线时，速度方向刚好沿轴负方向，则水平方向做匀减速运动，则到达x=2L时水平速度减为零，则 其中 解得匀强电场的电场强度为，D正确。故选BD。 3．在如图所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴正方向成， y轴右方有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度。有一粒子以速度，由x轴上的A点（10cm，0）沿与x轴正方向成斜向上射入磁场，在磁场中运动一段时间后射入电场，后又回到磁场，经磁场作用后又射入电场。已知粒子质量近似为，电荷，粒子重力不计。求： （1）判断该粒子是正电荷还是负电荷，并说明理由。 （2）粒子从开始运动到第三次到达y轴过程中，在磁场中所经历的时间。（此问保留两位有效数字） 【答案】（1）带正电，见解析 （2） 【解析】（1）由题可知，粒子可以在磁场中反复运动，结合左手定则可知，带电粒子应在磁场中向上偏转，因此带电粒子带正电。 （2）带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，则有 解得 由于带电粒子的初速度方向与x轴正方向夹角为30°，且半径恰好等于OA，因此，带电粒子将在磁场中做半个圆周到达y轴上的C点，如图所示 带电粒子在磁场中运动的周期为 则粒子从出发运动到第一次到达y轴的时间为 粒子在电场力作用下，先做匀减速运动，再做匀加速运动，粒子第二次达到y轴，再次进入磁场时，速度的方向与电场的方向相同，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，到达y轴的D点，由几何知识可知，此时粒子偏转的圆心角 则粒子第二次在磁场中运动的时间 则粒子从开始运动到第三次到达y轴过程中，在磁场中所经历的时间为 4．如图所示，有界匀强磁场的磁感应强度；磁场右边是宽度、场强、方向向左的匀强电场。一带电粒子电荷量，质量，以的速度沿垂直射入磁场，在磁场中偏转后进入右侧的电场，最后从电场右边界射出。不计粒子重力，求： （1）大致画出带电粒子的运动轨迹； （2）带电粒子在磁场中运动的轨道半径； （3）带电粒子飞出电场时的动能。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）磁场方向垂直纸面向里，负电荷所受洛伦兹力初始方向向下，故粒子在磁场中沿向下弯曲的圆弧运动。粒子进入电场后所受电场力方向向右，沿竖直方向的速度分量不变，沿水平方向的速度增大，轨迹逐渐向右弯曲。 （2）洛伦兹力提供向心力，有 解得 （3）粒子在磁场中运动时洛伦兹力不做功，进入电场后所受电场力方向向右，电场力做正功。 由动能定理得 代入数据得 5．如图所示，在坐标平面内的第一、二象限有沿y轴正方向、电场强度大小为E的匀强电场，第三、四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。平面内y轴上的M处有一粒子发射源，能向第三象限发射不同速率的带负电的相同粒子，速度方向与y轴正方向的夹角均为，其中发射速度大小为的粒子a恰好没有进入电场；已知粒子质量为m，电荷量大小为q。不计粒子的重力及其相互之间的影响，。 （1）求粒子发射源的位置坐标。 （2）若另一粒子b恰好自坐标原点O进入电场，求： ①粒子b的发射速度大小； ②粒子b第一次通过x轴进入磁场时到O点的距离。 【答案】（1） （2）① ② 【解析】（1）粒子在洛伦兹力的作用下做圆周运动，半径为，则有 解得 设粒子发射源的坐标为，根据题意可知，粒子的运动轨迹与轴相切，根据几何关系有 如图所示 代入相关数据，解得 因此粒子发射源的坐标为 （2）①粒子b自坐标原点O进入电场，设其在磁场内圆周运动的半径为，根据几何关系有 如图所示 设粒子的速度为，由第一问可知 代入相关数据，解得 ②粒子b自坐标原点O进入电场时，速度方向与y轴正方向的夹角为，指向右上方。粒子在电场内做类斜抛运动，根据牛顿第二定律，其在轴方向上的加速度大小 由于粒子带负电，加速度方向平行于轴向下，运动时间 则水平位移为 代入相关数据，解得 粒子由电场进入磁场 6．质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具，最初是由汤姆孙的学生阿斯顿设计的。他设计了多种质谱仪测量同位素的比荷，图示为其设计的一种质谱仪。现有大量甲、乙两种电荷量均为、质量分别为和的离子从的狭缝处以接近于零的速度进入电压为的加速电场中被加速，加速后由点垂直进入磁感应强度大小为的匀强磁场，最后打在照相底片上，形成、两条质谱线，不计离子重力及离子间的相互作用。下列说法正确的是（　　） A．经过加速电场后甲离子的动能较大 B．到点时乙离子的速率较大 C．底片上谱线为乙离子的质谱线 D．甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短 【答案】D 【解析】AB．离子在加速电场加速，根据动能定理可得， 解得， 故经过加速电场后两离子的动能相等，到点时甲离子的速率较大，故AB错误； C．在磁场区域，对于甲离子，根据洛伦兹力提供向心力 打在照相底片的点与点的距离为 同理可得，对于乙离子，打在照相底片的点与点的距离为 故底片上谱线为甲离子的质谱线，故C错误； D．甲离子在磁场中运动的时间 乙离子在磁场中运动的时间 故甲离子在磁场中运动的时间比乙离子在磁场中运动的时间短，故D正确。 故选D。 7．如图所示，平面直角坐标系的第一象限内存在沿轴负方向的匀强电场，第二象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场。带正电粒子以方向垂直于轴、大小为的速度从轴上的点射入电场中，粒子从轴上的点进入磁场，恰好垂直于轴射出磁场。已知、点到坐标原点的距离分别为、。粒子在磁场中运动的轨迹半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】粒子在电场中做类平抛运动，y方向做匀速运动有 可得​ 方向做匀加速运动，位移 Q点 方向的速度 粒子进入磁场时，速度与 轴夹角满足 根据粒子垂直 轴射出磁场，则圆心在 轴上，由几何关系可得 解得 故选B。 8．如图所示，在平面直角坐标系xOy的第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，在第一、四象限0≤x≤d的区域内存在匀强磁场。一质量为m，带电量为+q的粒子在x轴上距坐标原点的A点以初速度沿y轴正方向射入电场区域，粒子运动过程中恰好未从边界离开磁场区域，不计粒子重力，不考虑粒子离开磁场区域后的运动，求： （1）粒子进入磁场时，其速度方向与y轴正方向夹角； （2）磁场的磁感应强度大小； （3）粒子在磁场区域中运动的时间。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子的运动轨迹如图所示。 粒子在电场区域做类平抛运动有 设经过y轴时，沿x轴方向的分速度大小为，速度方向与y轴正方向夹角为，有 联立得 根据几何关系得 解得 （2）粒子进入磁场的速度大小为 粒子运动过程中恰好未从边界离开磁场区域，设粒子在磁场区域运动的轨迹半径为r，由几何关系可知 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动有 解得 （3）粒子在磁场中运动的周期为 由几何关系可知粒子在磁场中运动的时间为 解得 9．如图所示，在xOy平面内有一圆心为O、半径为R、磁感应强度大小为B方向垂直纸面向里的匀强磁场。磁场外部有一指向圆心的环形辐射电场，电场两端的电压为U。在第一和第四象限内紧贴电场外边缘放置一荧光屏，粒子接触荧光屏后被吸收。在x负半轴紧靠电场外边缘处有一粒子源，粒子源能向x轴正方向无初速度释放 粒子。若已知 的电荷量为 e、质量为m。不计粒子重力。求： （1）粒子进入磁场时的速度； （2）粒子在磁场中运动的时间； 【答案】（1） （2） 【解析】（1）粒子在加速电场中运动过程中，根据动能定理可得： 解得 （2）粒子在磁场中运动过程中，根据洛伦兹力提供向心力可得： 解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为： 设粒子在磁场中运动的轨迹对应的圆心角为，则有 解得 粒子运动轨迹如图所示： 根据几何关系结合周期公式可得： 10．如图，平行板电容器水平放置，上极板接电源正极，下极板接电源负极，两极板间电势差为U，板间距为d。极板间存在垂直于纸面的匀强磁场，在竖直线PQ右侧存在足够大的匀强磁场区域，以ON为分界线将该区域磁场分为两部分：区域Ⅰ内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B；区域Ⅱ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为2B，已知。现有一电子，电荷量大小为e、质量为m，以初速度v0水平向右射入电容器，并沿直线通过电容器，之后垂直通过PO，且电子第一次经过ON时速度方向与ON垂直。电子重力不计，求： （1）平行板电容器间磁感应强度方向及大小B0； （2）电子从垂直通过PO到第一次经过ON所需的时间t； （3）以O点为坐标原点，ON方向为x轴正方向，求电子第n次经过ON时的位置坐标。 【答案】（1）方向垂直纸面向里， （2） （3）或 【解析】（1）电子在电容器间做匀速直线运动，由于电子受到的电场力竖直向上，根据电子受力平衡，可知电子受到的洛伦兹力竖直向下，根据左手定则可知，磁感应强度方向垂直纸面向里。由 解得 （2）画出电子运动轨迹，如图所示 电子进入磁场区域Ⅰ，根据洛伦兹力提供向心力得 解得 由 解得 电子从PQ第一次到达ON经过的圆心角为 所需的时间为 代入数据解得 （3）电子进入磁场区域Ⅱ，根据洛伦兹力提供向心力得 解得 画出电子运动轨迹，如图所示 若，则： 若，则： 若，则： 若，则： 易知，x1、x2、x5……成等差数列，当n为奇数时： 代入数据得，当n为奇数时： x2、x4、x6……成等差数列，当n为偶数时： 代入数据得，当n为偶数时： 带电粒子在交变磁场中的运动 11．如图甲所示的正方形平面内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为、所带电荷量为的粒子（不计重力）在时刻沿边从点射入磁场。已知正方形边长为，磁感应强度的大小为，带电粒子在磁场中运动的直径小于边长，规定磁场垂直于纸面向外的方向为正方向。若要使带电粒子不能从边界射出磁场，磁感应强度的变化周期的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，可得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 联立解得 若带电粒子不能从边界射出磁场，临界情况下粒子的运动轨迹如图 则有 解得 在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转角，运动时间为 可知磁场使粒子每次变向的最长时间是，带电粒子不能从边界射出，则有 磁感应强度的变化周期的最大值 故选A。 12．如图甲所示，边长为L的正方形MNPQ区域内存在方向垂直于MNPQ平面的磁场，磁感强度大小为B0，方向周期性变化，且磁场变化周期T可调。以垂直MNPQ平面向外为磁感应强度的正方向，B-t图像如图乙所示。现有一电子在t=0时刻由M点沿MN方向射入磁场区，已知电子的质量为m，电荷量大小为e，PN边界上有一点E，且，若使电子（    ） A．沿方向经过P点，则电子的速度大小一定是 B．沿方向经过P点，则电子的速度大小可能大于 C．垂直边过E点，则磁场变化周期一定是 D．垂直边过E点，则磁场变化周期可能小于 【答案】C 【解析】AB．沿方向经过P点，根据几何关系，电子运动的半径为 根据洛伦兹力提供向心力 可得电子的速度大小，故AB错误 CD．设垂直边过E点时，磁场变化周期一定是在磁场中运动半径最大的粒子的运动时间的两倍，否则无法从垂直边过E点射出，设最大半径为R，有 粒子偏转的角度 解得 磁场变化周期，故C正确，D错误。 故选C。 13．如图甲所示，在三维坐标系Oxyz（y轴正方向竖直向上）中，y>0的空间内存在电场强度大小为E1，方向沿x轴正方向的匀强电场；y<0的空间内存在平行于y轴的匀强电场和匀强磁场，电场强度E2和磁感应强度B随时间变化的规律分别如图乙和丙所示，甲图中所示方向为正方向。一质量为m、电荷量为+q的小球，从坐标为的点由静止释放，经过时间T，在t=0时刻恰好过坐标原点O进入y<0的空间内。已知，重力加速度大小为g，不计一切阻力。则在t=4.5T时刻，小球的位置坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】小球在重力和电场力的作用下，从位置做初速度为零的匀加速直线运动，恰好过原点，则 ， 得 ， 到达O点的水平速度与竖直速度均为 由图乙、丙可知，在内，小球竖直方向有 可得 方向向上；小球竖直方向以g做匀减速直线运动，在时，竖直速度为 在内，小球在竖直方向以g做初速度为0的匀加速直线运动，时，速度又为，所以竖直方向以为一个周期，速度循环变化，则有，速度又为，则时，小球的y轴坐标为 得 小球在平面以做匀速圆周运动。在内，小球运动周期为 在内，小球运动周期为 所以在平面内做周期运动，则在时刻，小球恰好又回到和。 综上在时刻，小球的位置坐标为。 故选D。 14．如图1所示，在直角坐标系xOy中，MN垂直x轴于N点，第二象限中存在方向沿y轴负方向的匀强电场，Oy与MN间（包括Oy、MN）存在均匀分布的磁场，取垂直纸面向里为磁场的正方向，其磁感应强度随时间变化的规律如图2所示。一比荷的带正电粒子（不计重力）从O点沿纸面以大小、方向与Oy夹角θ＝60°的速度射入第一象限中，已知场强大小， （1）若粒子在t＝t0时刻从O点射入，求粒子在磁场中运动的时间t1； （2）若粒子在0~t0之间的某时刻从O点射入，恰好垂直y轴进入电场，之后从P点离开电场，求从O点射入的时刻t2以及P点的横坐标xP； （3）若粒子在0~t0之间的某时刻从O点射入，求粒子在Oy与MN间运动的最大路程s。 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】（1）设粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，有 且， 粒子在磁场中做圆周运动的周期， 解得 若粒子在t0时刻从O点射入，运动轨迹如图甲所示 由几何关系可知轨迹对应的圆心角 粒子在磁场中运动的时间 （2）由（1）可知，粒子的运动轨迹如图乙所示 则 解得 粒子在电场中做类平抛运动，设加速度大小为a，沿电场方向有 根据牛顿第二定律有qE＝ma 垂直电场方向有－xP＝v0t3 解得 （3）粒子在磁场中做匀速圆周运动，已知周期T＝2t0，粒子在Oy与MN间运动的路程最大时，其运动轨迹如图丙所示 当粒子第1次圆周运动的轨迹与y轴相切时，得 该运动情况符合题意。 由于3t0－t0＝2t0＝T，粒子从C点开始恰好做匀速圆周运动一圈回到C点，4t0时刻运动到D，则CD＝v0t0＝L 假设粒子从D点开始恰好做匀速圆周运动一圈回到D点，与MN相切，6t0后沿DG做直线运动，则， 因为，恰好等于ON的长度，假设成立。 所以粒子在Oy与MN间运动的最大路程 带电粒子在叠加场中的运动 15．如图所示，空间存在着垂直向里的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E，两个质量不同电量均为q的带电小球a和b从同一位置先后以相同的速度从场区左边水平进入磁场，其中 a小球刚好做匀速圆周运动，b小球刚好沿直线向右运动。不计两小球之间库仑力的影响，重力加速度为则（     ） A．a球一定带正电，b球可能带负电 B．a小球的质量等于 C．b小球的质量等于 D．a小球圆周运动的半径为 【答案】D 【解析】ABC．由题设条件，a小球刚好做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，洛伦兹力提供向心力，所以Eq=mag 即 电场力方向竖直向上，则a球一定带正电。 b小球刚好沿直线向右运动，如果b球带负电，则其所受的电场力洛伦兹力均向下，重力也向下，不能平衡，无法做直线运动，所以b球带正电。 对b球有qvB+Eq=mbg b小球的质量等于，故ABC错误； D．a小球圆周运动的半径为 结合其质量关系解得，故D正确。 故选D。 16．竖直平面内有一半径为R的固定光滑绝缘圆环，其上套有一个电荷量为、质量为m的小环P。整个装置处在水平向左的匀强电场和垂直竖直平面向里的匀强磁场中，电场强度大小，磁感应强度大小为B，重力加速度大小为。现将小环P从圆环的顶端a处由静止释放，则（　　） A．小环P在圆环上能做完整的圆周运动 B．当小环P运动到圆环的最低点c时速度最大 C．小环P运动的最大速率为 D．小环P受到的最大洛伦兹力大小为 【答案】D 【解析】A．小环P受到重力mg、电场力qE、洛伦兹力qvB和圆环的支持力N。其中洛伦兹力和支持力始终与速度方向垂直，不做功。只有重力和电场力做功，因此小环的机械能与电势能之和守恒。将重力和电场力等效为一个恒力，其合力大小为。该合力方向与竖直方向的夹角θ满足，即。等效最低点在O点下方偏左37°处，等效最高点在O点上方偏右37°处。小环从顶端a由静止释放，a点不是等效最高点，根据能量守恒，小环无法到达与a点等高的另一侧，因此小环将在等效最低点两侧往复运动，不能做完整的圆周运动，故A错误； B．小环速度最大时，其动能最大。根据能量守恒，此时其势能（重力势能与电势能之和）最小。势能最低点即为上述的等效最低点，由之前的分析可知，该点位于O点下方偏左37°处，而不是圆环的最低点c，故B错误； C．由上述分析可知，在等效最低点，小环的速率最大，由a到等效最低点有 解得，故C错误； D．当小环的速率最大时，其所受洛伦兹力最大，所以有，故D正确。故选D。 17．如图所示，在xOy坐标系的第Ⅳ象限内充满了沿y轴正方向的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q的带正电小球，从y轴上的P（0，d）点以垂直于y轴的初速度进入第Ⅰ象限，一段时间后经过x轴上的Q点（图中未画出）进入第IV象限，且速度方向与x轴正方向成角。若小球在第Ⅳ象限内做匀速圆周运动，且恰好没有进入第III象限，重力加速度为g。求： （1）带电小球从P点开始运动的初速度v0； （2）匀强磁场的磁感应强度B的大小； （3）在x轴上O点右侧M点处放置一粒子靶（忽略靶的大小），用于接收从x轴上方打入的带电小球。问粒子靶应放在离O点多远的地方才能接收到小球？ 【答案】（1） （2） （3）   【解析】（1）小球的运动轨迹如图所示 小球在第Ⅰ象限做平抛运动，设时间为t1，则有，，vy=gt1 在Q点，速度方向与x轴正方向成角，可知 解得，，x=2d （2）设小球进入第Ⅳ象限时速度大小为v，则 带电小球进入磁场后做匀速圆周运动，电场力与重力平衡，洛伦兹力提供向心力，有 由图中几何关系可知 联立解得 （3）如图所示，小球第一次在磁场中向左移动的距离 返回第一象限后做斜上抛运动，向右移动的距离 则每个周期在x轴上向右移动的总距离为 所以粒子靶应放在点才能接收到小球，式中n=0,1,2,3… 18．如图所示的平面直角坐标系xOy，y轴沿竖直方向。第二象限内有垂直纸面向里、磁感应强度为B1的匀强磁场和水平向左的匀强电场；第三象限内有水平向右、电场强度为E1的匀强电场；第四象限内有垂直纸面向外、磁感应强度为B2的匀强磁场和竖直向上、电场强度为E2的匀强电场。一质量为m、电荷量为+q的带电小球从M点以某一初速度沿MO做直线运动。已知MO的距离为L、与x轴负半轴的夹角，，，，，重力加速度大小为g，不计空气阻力，忽略电磁场边界效应。求： （1）小球的初速度大小； （2）小球第一次在第四象限运动的时间； （3）小球第三次经过y轴时到M点的竖直距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）小球初速度为v0，根据平衡条件有 得 （2）小球在第四象限内电场力 小球在第四象限做匀速圆周运动有 根据几何关系，小球在第四象限运动时间满足 得 （3）小球在第四象限做圆周运动有 得r=L 小球离开第四象限时，经过y轴的位置为N，ON之间距离 小球过N点时所受合力方向与竖直向下方向的夹角为，有 即 小球在第三象限内做类平抛运动，有 小球从N点运动到再次回到y轴所用时间为t，有 得 小球在与合力垂直方向位移 y轴方向位移 从O到M在竖直方向位移 由 得 带电粒子在三维空间中的运动 19．如图所示，在xOy-z坐标系中，范围内有沿y轴正方向的匀强磁场，的范围内有沿y轴负方向的匀强磁场和匀强电场，两磁场磁感应强度大小均为，电场强度。一比荷的带正电粒子以速度从坐标原点沿x轴正方向射入匀强磁场中。忽略粒子重力，取，，则粒子第一次打在xOy平面时的位置坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】带电粒子在平面内做匀速圆周运动，轨迹如下图所示 圆周运动半径，由几何关系有 解得，在区域内运动时圆心的坐标为 由几何关系，则 粒子第一次打在xOy平面时的坐标 范围内，在磁场中运动时有，由上述分析可知运动时间 范围内沿轴做匀加速直线运动有， 联立解得坐标，则粒子第一次打在xOy平面时的位置坐标为。故选D。 20．如图所示，空间直角坐标系O-xyz中，存在方向均沿y轴正方向的匀强磁场和匀强电场，其内有一边长为L的立方体区域，Od、Oa'、Ob三边分别在x、y、z轴上。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），以初速度v从O点沿x轴正方向进入立方体区域，恰好从b'点射出。 （1）求磁感应强度B的大小； （2）电场强度E的大小； （3）若保持磁场不变，将题干中的匀强电场改为沿x轴负方向且电场强度大小为，该粒子仍从O点沿x轴正方向以初速度v射入立方体区域，求粒子射出立方体区域时与O点的距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子轨迹为螺旋线的一部分，从正方向往负方向看为半圆，由洛伦兹力提供向心力 半径 解得 （2）粒子方向做匀加速直线运动，加速度 位移 时间 为圆周运动的周期， 联立解得 （3）粒子受力在平面内，因此做平面内的曲线运动。引入负方向速度用来产生洛伦兹力抵消电场力， 解得 为了抵消引入的速度，再引入正方向的大小为的速度，正方向速度与原速度合成速度 与轴正方向夹角满足 因此 至此，将粒子速度分解为负方向速度和，这样粒子的运动可以看作速度为的方向的匀速直线运动和速度为的圆周运动，圆周运动轨迹如图 洛伦兹力提供向心力 解得 令圆周运动的位置的半径与轴负方向夹角为，圆周运动轴坐标为 圆周运动轴坐标 其中 加上负方向的直线运动，粒子运动坐标为① 轴坐标 其中 因此轴坐标② 由于 且粒子还具有负方向的直线运动，因此，粒子不能从边射出，粒子将从边射出，有 代入①解得 由②得 由于 因此粒子射出正方体后不会再回到正方体内。因此粒子射出立方体区域时与O点的距离为 21．如图所示，空间中有坐标系，平面水平，y轴沿竖直方向，在y轴右侧平面上方空间存在竖直向上的匀强电场，在y轴右侧平面下方空间存在竖直向下的匀强磁场。一带负电的粒子从y轴正半轴上的M点以一定速度沿平行于x轴的正方向射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成角离开电场，粒子在以后的运动中恰好不离开磁场。已知M点的坐标为，带负电的粒子质量为m、电荷量大小为q，不计粒子重力，求： （1）电场强度大小； （2）磁感应强度大小； （3）粒子在平面上相邻切点间距离。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子从M点到N点做类平抛运动，初速度沿x轴正方向，电场力竖直向下，由牛顿第二定律 由到，竖直位移满足，水平位移 离开电场时竖直分速度 联立解得， （2）粒子从N点进入磁场，其中沿方向的速度与磁感应强度平行，不受洛伦兹力而做匀速直线运动，沿方向的速度与磁感应强度垂直，受洛伦兹力做匀速圆周运动，粒子在以后的运动中恰好不离开磁场，则轨迹圆与平面相切，则有 洛伦兹力提供向心力 代入，解得 （3）粒子在磁场中做螺旋运动，周期 代入，解得 粒子在平面上相邻切点间距离为匀速圆周运动一圈的时间内在方向匀速直线运动的距离，有 联立可得 22．如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ的空间分布着沿轴正方向的匀强电场，在区域Ⅱ的空间分布着沿轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，有一平行于平面的无限大荧光屏（图中未画出）。在平面内处正下方有速度大小为0的粒子源可发射带正电粒子进入大小可调的加速电场，质量为，电荷量为。当加速电压取最大值时，粒子沿轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过轴上的点进入区域Ⅱ，已知点坐标为，最终打到荧光屏上的点（图中未画出）。不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： （1）最大加速电压和电场强度大小； （2）当荧光屏处于处时，求点的三维坐标； （3）当荧光屏处于处时，调加速电场的大小，则粒子打在荧光屏上的位置与的关系（可用表示）。 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】（1）粒子在加速电场中运动，根据动能定理 可得加速电场的电压 带电粒子进入电场后，仅受电场力做类平抛运动，则 方向做匀速直线运动，可得运动时间 方向做匀加速直线运动，有 联立得 （2） 带电粒子在匀强磁场中做等距螺旋运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和垂直于轴的平面内的匀速圆周运动。粒子在点的速度分量为， 在垂直于轴的平面内，粒子做匀速圆周运动有 解得 周期 粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得，即带电粒子将螺旋转动圈后打到荧光屏上的点 则点x轴坐标，y轴坐标，z轴坐标 点的三维坐标为 （3）调加速电场后，设加速后粒子初速度为，加速过程 结合 可得 粒子在区域Ⅰ的方向位移恒为，加速度不变，因此运动时间恒为 到达y轴时方向位移为 在区域Ⅱ，粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得 因此带电粒子将螺旋转动1圈后打到荧光屏上的轴，粒子打荧光屏上的位置为 拔高·模拟预测 一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 1．将不同种类离子注入航空发动机叶片，可以延长其使用寿命。如图，让甲离子从狭缝无初速度漂入电压为的加速电场，加速后垂直进入匀强磁场，打在叶片材料上；用乙离子替换甲，仅调节加速电压为，重复如上注入过程，乙能沿同一轨迹运动，并打在叶片材料上同一位置。已知甲、乙电荷量相等，且，则下列说法正确的是（     ） A．甲的比荷小于乙的比荷 B．甲、乙在磁场中的偏转角相等 C．甲在磁场中运动的动能比乙的小 D．甲、乙在磁场中运动的时间相等 【答案】B 【解析】AC．粒子加速过程，由动能定理可得 粒子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，则有 联立解得比荷 结合题意可知甲、乙电荷量相等，，则甲的比荷大于乙的比荷，甲在磁场中运动的动能比乙的大，故AC错误； B．由于甲、乙沿同一轨迹运动，粒子在磁场中运动的轨迹为半圆，圆心角均为，故B正确； D．两粒子在磁场中运动的时间为 结合上述分析可知，甲的比荷大于乙的比荷，知甲在磁场中运动的时间比乙小，故D错误。 故选B。 2．如图所示，三个同心圆a、b、c的半径分别为r、2r、，在圆a区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场B1，在圆a和圆b间的环形区域存在背向圆心的辐向电场，在圆b和圆c间的环形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B2，一质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，从圆a边界上的A点沿半径方向以速度v0射入圆a内，第一次从圆a边界射出时速度方向偏转60°，经过辐向电场加速后，从圆b边界上进入外环区域，粒子恰好不会从圆c飞离磁场，已知磁感应强度，不计粒子的重力，则粒子在圆a内磁场中和圆c与圆b两边界间磁场中做圆周运动半径之比（　　） A．3:2 B．2:3 C． D． 【答案】A 【解析】粒子的运动轨迹如图所示 根据几何关系有 所以 故选A。 3．质谱仪的工作原理如图所示，大量带等量正电荷的粒子，从容器A下方小孔飘入加速电场（粒子初速度为零），从飞出后，经沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场，最后打到照相底片D上。则粒子打到底片时，距越远的粒子 （　　） A．速度越大 B．质量越小 C．动能越小 D．比荷越小 【答案】D 【解析】AD．带电粒子进入磁场的动能 解得 带电粒子在磁场中，由牛顿第二定律 联立可知 距越远的粒子轨迹半径越大，则比荷越小，则速度越小，故A错误，D正确； B．粒子带电量相等，可见距越远的粒子质量较大，故B错误； C．在加速电场中，由动能定理可得带电粒子进入磁场的动能为，粒子电量相等，则动能相等，故C错误。故选D。 4．如图所示，在平面直角坐标系中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴负方向的匀强电场。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度沿x轴正方向开始运动，从坐标原点O进入磁场时速度方向与x轴正方向成角，最终从x轴上的P点射出磁场。已知Q点到x轴距离为L，P点到y轴距离为，不计粒子重力。则磁感应强度和电场强度的大小之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】粒子运动轨迹如图 粒子在电场中由Q到O做类平抛运动，根据运动的分解，有 在O点 解得 粒子到达O点时的速度大小为 粒子做匀速圆周运动的半径为R，洛伦兹力提供向心力，有 根据几何关系可知 联立解得 故有 B正确，ACD错误。故选B。 5．如图所示，两个边长均为的正三角形区域和关于点对称，两个区域内均存在垂直纸面向外匀强磁场，区域右侧有平行于和的匀强电场。质量为、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），从点沿平行方向以速度射入，经中点进入电场，最终从点沿平行方向以速度射出。下列说法正确的是（   ） A．电场的电场强度大小为 B．磁场的磁感应强度大小为 C．粒子在磁场中运动的时间为 D．粒子在电场中运动的时间为 【答案】C 【解析】B．粒子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹如图所示 由几何关系可知，半径为 根据牛顿第二定律可得 解得，故B错误； C．由几何关系可知，粒子在上方磁场中运动的圆心角为 所用时间为 根据运动的对称性可知，粒子在下方磁场中运动的时间与在上方磁场中运动的时间相等，所以粒子在磁场中运动的时间为，故C正确； D．粒子在电场中，向下做匀速直线运动，速度大小为 则运动时间为 解得，故D错误； A．粒子在电场中，先向右减速，后向左加速，根据运动的对称性可知，粒子向右的初速度和向左的末速度大小均为 根据牛顿第二定律 又 解得，故A错误。故选C。 6．空间存在垂直于纸面方向的均匀磁场，其方向随时间做周期性变化，磁感应强度B随时间t变化的图象如图所示．规定B＞0时，磁场的方向穿出纸面．一电荷量q＝5×10﹣7C、质量m＝5×10﹣10kg的带电粒子，位于某点O处，在t＝0时刻以初速度v0＝m/s沿某方向开始运动．不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的一切其他影响．则在磁场变化N个周期（N为整数）的时间内带电粒子的平均速度的大小等于（   ） A．m/s B．m/s C．m/s D．2m/s 【答案】D 【解析】设粒子运动半径为r，则有：，周期为：；粒子的运动轨迹示意图如图所示： 磁场变化的一个周期内，带电粒子的位移为，所以在磁场变化N个周期的时间内，带电粒子的平均速度为：；故D正确，A、B、C错误。故选D。 7．如图所示，足够长的极板水平正对放置，板间距离为，板间存在方向竖直向下、电场强度大小为的匀强电场和方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。紧靠极板的右侧有一边长为的正方形匀强磁场区域（含边界），磁感应强度大小为（未知）、方向垂直纸面向外，与极板的中线重合。一质量为、带电荷量为的粒子由静止开始经电压为的加速电场加速后，由极板的左侧平行射入极板间，恰能沿直线通过极板且到达点。不计粒子重力，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】经电压加速，由动能定理可得 据题意可知，极板间电场力与洛伦兹力平衡，则有 整理得 粒子恰能沿直线通过极板且到达点，表明粒子沿极板的中线水平进入正方形磁场，到达右下角点，则圆心在点，由几何关系可知，粒子做圆周运动的半径 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 则。故选B。 8．空间存在磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面向里，匀强电场的场强为E、方向沿y轴向下，将一个质量为m、带正电q的粒子从O点由静止释放，粒子的部分运动轨迹如图中曲线所示。出发后粒子第一次到达x轴的坐标为（a， 0），已知该曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，该粒子运动过程中任意位置的坐标可以表示为P（x， y），不计粒子的重力，则（　　） A．该粒子运动过程中任意位置坐标的y值可能取负值 B．该粒子运动过程中任意位置坐标的x值不可能大于a C．粒子在运动过程中第一次运动到离x轴最远处时，距离x轴的距离 D．粒子运动过程中的最大速率 【答案】C 【解析】AB．粒子从初始位置运动到x轴时电场力做功为0，根据能量守恒可知，不可能运动到x轴以上位置，即y值不可能取负值；到达x轴的速度为零，所以会再次向下运动，重复前一段的轨迹向前运动，则x值会大于a，故AB错误； C．粒子第一次运动到距离x轴最远处时洛伦兹力不做功，由动能定理得 解得 在此处有 解得，故C正确； D．最大速率满足 解得，故D错误。故选C。 9．如图所示，真空内存在向右的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。质量为m，电荷量为q的正离子在此电场和磁场中运动，某时刻其速度平行于磁场方向的分量大小为v1，垂直于磁场方向的分量大小为v2，以该时刻粒子所在位置为坐标原点，沿v1、v2方向建立xOy直角坐标系，不计粒子重力，下列说法正确的是（　　） A．离子运动轨迹为等距的螺旋线 B．该离子受到的洛伦兹力大小为 C．离子轨迹与x轴交点横坐标可能为 D．该离子的加速度大小保持不变 【答案】D 【解析】A．离子沿电场方向做匀加速直线运动，在垂直于电场方向做匀速圆周运动，根据匀速圆周运动的周期性可知，离子运动轨迹为不等距的螺旋线，故A错误； B．由于v1与磁场方向平行，该分速度对应的洛伦兹力等于0，则该离子受到的洛伦兹力大小为，故B错误； C．结合上述可知，离子在垂直于磁场方向做匀速圆周运动，则有， 解得 离子在沿电场方向做匀加速直线运动，根据周期性可知，离子轨迹与x轴交点横坐标可能为（n=1，2，3…） 可知，离子轨迹与x轴交点横坐标不可能为，故C错误； D．离子在运动过程中，受到的电场力不变，洛伦兹力大小不变，方向总是与电场力方向垂直，则该离子受到的合力大小不变，即该离子的加速度大小保持不变，故D正确。 故选D。 10．（多选）如图所示，在平面直角坐标系的第一、二象限内存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为4B，在第三、四象限内也存在方向垂直坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一带负电的粒子从坐标原点沿y轴正方向以初速度射入磁场中，恰好在坐标（L，0）处飞出第二象限，在（0，-L）处与挡板MN发生碰撞。带电粒子与挡板碰撞前后x轴方向速度保持不变，y轴方向速度大小不变，方向相反。不计粒子所受的重力，则（     ） A．带电粒子的比荷为 B．带电粒子的比荷为 C．带电粒子再次回到原点的时间为 D．带电粒子再次回到原点的时间为 【答案】AC 【解析】AB．带电粒子由原点进入第二象限的磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 带电粒子恰好在坐标处飞出第二象限，由几何关系可知其运动轨迹为半圆，有 联立解得，故A正确，故B错误； CD．带电粒子在第三、四象限内的磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有 解得 带电粒子以大小为、方向沿轴负方向的速度从处进入第三象限，其做圆周运动的圆心为，带电粒子与挡板MN发生碰撞的位置为。由几何关系可知圆心与连线同轴负方向的夹角为，即、两点对应的圆心角为，则粒子到达处时速度方向与轴正方向成角斜向下。由于带电粒子与挡板碰撞前后轴方向速度保持不变，轴方向速度大小不变、方向相反，则碰撞后速度方向与轴正方向成角斜向上，速度大小仍为。碰撞后粒子做圆周运动的圆心变为，由于圆心刚好在点，且轨迹半径仍为，所以粒子刚好从处垂直轴进入第一象限，此过程对应的圆心角也为。粒子在第二象限中运动的时间为 解得 粒子在第三象限碰前运动的时间为 解得 粒子碰后在第四象限运动的时间为 解得 粒子在第一象限中运动的轨迹为半圆并恰好回到原点，其运动的时间为 解得 带电粒子再次回到原点的总时间为 联立解得，故C正确，故D错误。故选AC。 11．（多选）如图所示，在平面直角坐标系的区域有沿轴正方向的匀强电场，区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在电场中有坐标为的点和坐标为的点，一个质量为、电荷量为的带电粒子，第一次从点沿轴负方向射出，射出的初速度大小为，从坐标原点进入磁场，磁场的磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转后从轴上点（图中未画出）再次进入电场，并刚好能到达点，点离坐标原点的距离为、粒子在磁场中运动的时间为；第二次从点沿轴负方向射出，射出的初速度大小为，粒子仍从坐标原点进入磁场，磁场的磁感应强度大小为，粒子经磁场偏转后从轴上点（图中未画出）再次进入电场，并刚好能到达点，点离坐标原点的距离为、粒子在磁场中运动的时间为；不计粒子的重力，下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】A．粒子在电场中做类平抛运动，则有 解得 同理可得 所以 A错误； B．由平行轴方向的分运动可知，粒子从点射出，第1次在电场中运动的时间与从点进入电场至点过程的运动时间相等，因此沿电场方向间的距离为，即，同理可得 所以 B正确； C．设第一次粒子从点进磁场时速度方向与轴负方向夹角为，粒子在点的速度反向延长线交于轴方向位移中点，因此 粒子进磁场时的速度大小为 粒子在磁场中做圆周运动的半径 同理可得粒子第二次经过点时速度与轴负方向夹角 粒子进磁场时的速度大小为 粒子在磁场中做圆周运动的半径 由得 解得 C正确； D．根据题意有 解得 D错误。故选BC。 12．（多选）如图（a），S为粒子源，水平向右持续发射相同速度的同种带正电粒子；MN为竖直放置的接收屏，能够记录下粒子打在其上的位置。当同时加上竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子恰好沿直线打到MN上；当只加电场和只加磁场时，粒子也都能够打到MN上。MN上记录的位置如图（b）所示，OP间距离为OQ间距离的2倍。已知电场的电场强度大小为E，磁场的磁感应强度大小为B，粒子源S到接收屏MN的距离为d。不计重力，则下列说法中正确的是（　　） A．粒子源发射粒子的速度大小为 B．只加磁场时粒子打到接收屏的Q点 C．粒子的比荷为 D．OQ间距离为 【答案】AC 【解析】A．同时加上竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子恰好沿直线打到MN上，即粒子做匀速直线运动，所以 解得，故A正确； B．只加磁场时，粒子受到竖直向上的洛伦兹力，粒子向上偏转，将打到接收屏的P点，故B错误； CD．只加磁场时，洛伦兹力提供向心力，则 根据几何关系可得 只加电场时，粒子做类平抛运动，向下偏转，则，， 根据题意可得 联立解得，，故C正确，D错误。故选AC。 二、非选择题：本题共4题，共52分。 13．如图所示，一半径为r的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于P点，其右侧的第Ⅰ象限内存在沿方向的匀强电场。现有一质量为m，电荷量为q的带正电粒子沿着方向从原点O射入磁场，粒子从P点离开磁场时速度方向沿方向，进入电场后，经电场偏转到达x轴上坐标为的点，不计粒子的重力。求： （1）粒子射入磁场时的速度大小。 （2）电场强度的大小E。 （3）若仅使从O点射入的带电粒子初速度方向与轴方向成30°角，求粒子从O点出发经磁场、电场偏转到达x轴所用的时间。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）粒子沿 方向由点射入，洛伦兹力提供向心力，粒子从圆形磁场右端 点沿 方向射出，由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为。 由 得 （2）粒子进入电场时速度沿 方向，水平分运动为匀速直线运动，竖直分运动为初速度为零、加速度大小为 的匀加速直线运动。 由 点到达 ，水平方向有 ，竖直方向有 将 代入，得， （3）若速度大小仍为 ，粒子在磁场中圆周运动半径仍为 。 设粒子轨迹圆圆心为 ，圆形磁场圆心为 ，第二次交边界点为 ，进入电场左边界点为 。 由 可知四边形为菱形，粒子离开磁场时速度沿方向，轨迹对应圆心角为。 磁场中圆周运动周期为 ，故磁场内运动时间 从 到匀速直线运动，水平距离为，时间 在电场中竖直位移大小为 ，由 得 故总时间 14．如图甲所示，xOy坐标系中，y轴左侧依次存在平行于y轴的金属板M、N和平行于x轴的金属板A、B。金属板A、B的右端位于y轴上，板长为d，两板到x轴的距离均为，两板间电场强度E随时间t的变化图像如图乙所示；y轴右侧存在一半径为d的圆形有界匀强磁场，圆心的坐标为；平行于x轴的边界、之间存在一匀强磁场，其中与圆形磁场的边界相切于P点，、之间的距离为。电子枪的金属丝K连续不断地逸出初速度为零的电子，经M、N两金属板之间的电场加速后，从N板中间的小孔沿x轴射入A、B之间的偏转电场。若A、B之间不加电场，电子在A、B两极板间的运动时间为T，且从原点O进入圆形有界磁场，再从P点进入、之间的磁场。两磁场区域的磁感应强度大小相等，方向均垂直纸面向里。电子的质量为m、电荷量为，不计电子的重力和电子之间的相互作用力。。求： （1）M、N两金属板之间的电压； （2）磁感应强度B的大小； （3）A、B间存在电场时，电子在、之间运动的最短时间和边界上有电子出射区域的长度l。 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】（1）电子在金属板间，沿水平方向做匀速直线运动，运动时间为，设进入两板间时速度为，有 在间运动时根据动能定理 联立可得 （2）从原点进入圆形有界磁场的电子，从点离开圆形有界磁场，可知在磁场中运动的轨迹半径 根据洛伦兹力提供向心力 可得 （3）设电子在金属极板间运动时沿着竖直方向加速度大小为，则有 时进入间的粒子偏转距离最大，假设没有打到极板上，则的时间内沿电场方向的位移 故电子恰好没有打到极板上，假设成立，所有电子均沿着轴方向离开偏转电场，且离开时速度大小均为 根据磁聚焦规律可知，所有电子均从点离开圆形有界磁场，根据几何关系可知，电子通过点时速度方向与边界的夹角最小为，设是边界上的点，且与边界垂直当电子从离开磁场时，电子在之间运动的时间最短，设对应的圆心角为，有 可得 电子在磁场中运动的周期 则最短时间 当电子通过点时速度方向与的夹角为且向右时，通过边界的位置是最靠右的，设此时通过边界的位置到的距离为，由几何知识可得 当电子通过点时速度方向与的夹角为且向左时，通过边界的位置是最靠左的设此时通过边界的位置到的距离为，由几何知识可得 故边界上有电子出射区域的长度 15．如图所示，在xOy坐标系的的区域内分布着沿y轴正方向的匀强电场，在的区域内分布着垂直xOy平面向里的匀强磁场，MN为电场和磁场的交界面，ab为磁场的上边界。现从原点O处沿轴正方向发射出速率为v0、比荷（电荷量与质量之比）为k的带正电粒子，粒子运动轨迹恰与ab相切并返回磁场。已知电场强度，不计粒子重力和粒子间的相互作用。求： （1）粒子第一次穿过MN时的速度大小v1和水平位移的大小x； （2）磁场的磁感应强度B的大小； （3）交界线MN上有一点P（图中未画出），坐标为，若某一粒子从原点O处发射时开始计时，什么时刻粒子能够到达P点？ 【答案】（1）， （2） （3）或者 【解析】（1）根据动能定理可知 解得 粒子在电场中做类平抛运动，有， 两方程联立解得， （2）粒子的运动轨迹如图所示 设粒子以与轴正方向成角进入磁场，则 解得 根据几何关系 解得 由牛顿第二定律可得 解得 （3）粒子将以上图的轨迹周期性运动，第一次在磁场中运动的时间为            一个完整周期的时间为 坐标为为粒子运动轨迹中第三个周期或第四周期上的点，即从原点处发射时开始计时，需要经过或 粒子接收器能将该粒子捕获。 16．如图所示，空间中存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右（图中未画出），磁场方向垂直纸面向里。以水平向右为x轴正方向、竖直向上为y轴正方向，在与磁场方向垂直的竖直平面内建坐标系，原点为O。一质量为m、电荷量为的带正电小球由O点以与x轴正方向成30°的初速度射入复合场中，小球刚好做直线运动。已知重力加速度为g。 （1）求电场强度E的大小和磁感应强度B的大小； （2）若仅撤去磁场，求小球第二次经过x轴的位置的横坐标x； （3）仅将小球初速度大小变为，求小球运动过程中的最大速率和小球在一个周期内发生的位移s。 【答案】（1）， （2） （3），小球一个周期内发生的位移，方向与x轴正方向成30°角斜向上 【解析】（1）设电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，对小球受力分析如图所示 由几何关系有 解得 且 解得 （2）若仅撤去磁场，小球做匀变速曲线运动，对小球受力分析并结合牛顿第二定律有 且加速度方向与初速度方向垂直，所以有， 解得 （3）仅将小球初速度大小变为；由配速法可知将小球初速度看成一个原方向的和一个反方向的，所以小球的运动可以看作是原方向的速度为的匀速直线运动和一个匀速圆周运动，如图所示 所以小球做圆周运动时有 解得 小球做圆周运动的周期 由运动分析可知当小球从O点开始运动半周时速率最大，有 小球一个周期内发生的位移 方向与x轴正方向成30°角斜向上。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $