精品解析：湖北荆州市公安县车胤中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

公安县车胤中学2026-2027学年度上学期高三九月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】解绝对值不等式后结合子集公式即可求解. 【详解】解不等式，得，因为， 则集合，所以集合共有个子集. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，此时，故“”是“”的充分条件； 反之成立时，可以取，，此时均无意义，故“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 3. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法，先对函数化简，然后判断函数的奇偶性，再取特殊值可求得结果. 【详解】，定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以图象关于原点对称， 所以排除B、D； 因为，且， 所以，所以排除C； 故选：A． 4. 在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，将角α的终边顺时针旋转得到角β，则cosβ=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用三角函数的定义，求得的值，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】解：由题意知：角α的终边经过点，可得， 根据三角函数的定义得， 则 5. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 6. 2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城揭晓了2026年菲尔兹奖得主，中国籍数学家王虹和邓煜双双获奖，实现历史性突破.数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，首次以数学严格方式推导出从微观粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的完整逻辑链条获得菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先写出的具体表达式，通过取常用对数，结合已知的、近似值计算对数值，确定的值． 【详解】已知，分别计算的三个组成部分的对数值： ，因此； ，因此； ， 因此. 所以， 故． 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且，因为，所以①， 为偶函数，所以②， 当时，，由①②得，， 解得，. 8. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，求导可知单调递增. 将不等式转化为，利用单调性得 ，解得. 【详解】设函数，由于， 得，则在上单调递增，， 则，即， 于是，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论或等式正确的是（ ） A. B. 若函数在上有零点，则 C. 若角α为第二象限角，且，则角为第二象限角 D. 命题“存在，”的否定是“对于任意的，” 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数幂与对数的运算法则，可判定A正确；根据函数零点的定义，可判定B不正确；根据象限角的标准方法和三角函数的符号，可判定C不正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定D正确. 【详解】对于A，由 ，所以A正确； 对于B，例如：函数，令，解得， 即是函数的零点，即在上有零点， 但，即，所以B不正确. 对于C，由角为第二象限角，则， 可得，即为第一象限角或第三象限角， 又由，可得，所以为第三象限角，所以C不正确； 对于D，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“存在”的否定是“对于任意的”， 所以D正确. 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知，故. 对选项A： ∵ ，∴ ，代入得： , 该式为关于的二次函数，开口向上，对称轴为，且, ∴ 当时，取最小值，代入得，故A正确. 对选项B： . ∵ ，∴ ， 当且仅当即，即时等号成立, 故最小值为，B正确. 对选项C： 由基本不等式得, 代入得，整理得，当且仅当，即时等号成立， 即存在最大值，当时，，无最小值，故C错误. 对选项D： 令，，两边平方得： , 由C得 ，代入得, ∴ ，当且仅当时等号成立，代入解得，满足取值范围， 故最大值为，D正确. 11. 已知定义域为的函数不恒为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，令，即可求出、；对于C，令，结合，即可得到，对于D，令，可得，进而可得的周期是4，再结合即可求解． 【详解】令，则，选项A正确； 令，则，， 解得或， 令，则，即， 若，则，即，与条件矛盾，所以，选项B正确； 由，得，选项C错误； 由， 令，得， 令，得， 即，则， 所以的周期是4，由， 令，得，，，选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，且，所以，，所以. 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先用诱导公式化简，再把拆成，拆成，利用两角和与差正弦公式展开，变形化为正切形式求解. 【详解】因为，所以. 所以， 化简可得： 即 则 两边同时除以可得： 整理可得：. 14. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定函数，的值域与函数，的值域，再求这两个函数的值域的包含关系求得参数的取值范围. 【详解】由于在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故， 则在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为，即； 由， 令，则，则或， 作出函数的图象如图： 由于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 故，解得，即， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递减，函数． （1）求实数的值； （2）记集合，集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）结合幂函数的定义与单调性求解； （2）利用函数性质得到，，再利用得到，结合子集知识求解. 【小问1详解】 由题意得，，解得或， 当时，，在上单调递减，满足题意； 当时，，此时在上单调递增，不满足题意. 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，，又，则， . . ，解得， 即实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （2）若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用导数的几何意义和两直线平行即可求解; (2)所求转化为直线与函数的图象有两个交点，利用导数画出的草图，利用图像即可求解. 【小问1详解】 依题意得，即，解得. 故， 在点处的切线方程为，即； 而在点处的切线方程为，这两条切线平行，故. 【小问2详解】 函数的图象与的图象有两个公共点, 方程有两个不等实根 方程有两个不等实根 方程有两个不等实根 直线与函数的图象有两个交点. 当时，单调递增；当时，单调递减. 有极大值，也是最大值为. 当时，；当时， 可以画出的草图（如图）： 由图可知当时，直线与函数的图象有两个交点， 即函数的图象与的图象有两个公共点，故. 17. 已知命题p：函数的定义域为R；命题，不等式在上有解． （1）若q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求出，可化为在上有解，即，求出最大值即可求出答案； （2）根据条件有且仅有一个为真，分两类讨论，最后取并集即可． 【小问1详解】 若为真命题， 则当时，， 令，则， 由不等式在上有解，得在上有解， 即时，， 函数开口向上，对称轴为， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以， 所以，若q为真命题，则实数的取值范围为． 【小问2详解】 若为真命题，则在R上恒成立， 当时，恒成立； 当时，需，解得； 所以，若为真命题，则， 因为，有且仅有一个为真命题， 当为真命题，为假命题时，，所以， 当为假命题时，或，为真命题时，，所以， 综上，实数的取值范围为． 18. 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2） ，从而，其中， 所以恰有两解，即函数恰有两个驻点，设为，，， 则就是一元二次方程； 当时，，当时，，当时， 从而是的极大值点，是的极小值点，所以函数存在两个极值点，此外再无极值点. 因为是的极小值点，所以，即，解得或1. 当时，， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 因此是的极大值点(舍去)； 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 因此是的极小值点. 综上，可得，极小值点，极大值点. 所以的所有极值点为和. 极小值点1，极大值点； （3）是，. 【解析】 【分析】（1）法一：由题意可得是奇函数，由此计算可求得；法二：由题意可得对任意实数恒成立，据此计算可求得； （2）求导可得，可得有两个不等的解，进而可得有两个极值点，由题意可得，求得的值，验证即可； （3）法一：当时，由题意有，可得，求解即可.法二：由题意可得恒成立，求解即可. 【小问1详解】 法一：若函数是点奇函数，则是奇函数，得是奇函数， 即，因为， ，比较两式右边，由 所以，解得. 法二：若函数是点奇函数，则的图像关于点对称， 则对任意实数恒成立， 即，化简得， 所以，解得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 法一：由（2）可知，当时，是的极大值点， ， 极大值点，极小值点. 假设 是点奇函数，则满足：， 即， 等式左边展开计算：， 要求与无关，所以的系数必须为0，所以，解得. . 即函数的对称中心是，函数是点奇函数. 法二：由（2）可知，当时，是的极大值点，， 此时极大值点，极小值点.符合题意； 假设存在对称中心，则满足恒成立， 即， 化简得恒成立， 所以，解得 所以函数存在唯一的对称中心， 所以函数是点奇函数. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设函数有两个极值点，（），证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 （2）由已知，， 则， 函数有两个极值点，， 即在上有两个不等实根， 只需，故， 又，， 所以 ， 要证，即证， 只需证， 令，， 则， 在上单调递减，又，， 由零点存在性定理得，使得，即， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 则， ∵由对勾函数知在上单调递增， ， ，即，得证． 【解析】 【分析】（1）先确定函数定义域为，对求导后得到导函数的零点为和，根据与的大小关系以及的正负性分类讨论，即可得到在不同参数范围下的单调区间. （2）先化简得到的表达式，结合极值点的定义可知是方程的两个正实根，利用韦达定理将转化为关于的函数，再构造新函数研究其单调性与最大值，即可证明不等式成立. 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ， ①当时：对恒成立，时，单调递减； 时，单调递增 ； ②当时，当时，单调递增； 当时，单调递增； 当时，单调递减； ③当时：恒成立，在单调递增； ④当时：当时，单调递增； 当时，单调递增；时，单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 当时，在单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减 【小问2详解】 略 【点睛】方法归纳：①含参函数单调性讨论的核心步骤：先确定函数定义域，求导后将导函数因式分解找到零点，再根据零点的大小、零点是否在定义域内对参数进行分类讨论，最终得到不同参数范围下函数的单调区间；②双极值点不等式证明的常用技巧：利用韦达定理将双变量的和、积用参数表示，将双变量表达式转化为关于单参数的函数，再通过构造新函数，利用导数研究新函数的最值完成不等式的证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 公安县车胤中学2026-2027学年度上学期高三九月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合的子集个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角α的终边经过点，将角α的终边顺时针旋转得到角β，则cosβ=（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 2026年7月23日，国际数学家大会在美国费城揭晓了2026年菲尔兹奖得主，中国籍数学家王虹和邓煜双双获奖，实现历史性突破.数学家邓煜因攻克狭义希尔伯特第六问题，首次以数学严格方式推导出从微观粒子系统到宏观玻尔兹曼方程的完整逻辑链条获得菲尔兹奖，其发表的相关论文中涉及函数：，，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，，当时，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 设定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论或等式正确的是（ ） A. B. 若函数在上有零点，则 C. 若角α为第二象限角，且，则角为第二象限角 D. 命题“存在，”的否定是“对于任意的，” 10. 设，，，则（ ） A. 最小值为 B. 最小值为 C. 最小值为 D. 最大值为 11. 已知定义域为的函数不恒为，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则________. 13. 已知，则________． 14. 记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知幂函数在上单调递减，函数． （1）求实数的值； （2）记集合，集合，若，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （2）若函数的图象与的图象有两个公共点，求实数的取值范围. 17. 已知命题p：函数的定义域为R；命题，不等式在上有解． （1）若q为真命题，求实数m的取值范围； （2）若p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 18. 已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数，. （1）若函数是点奇函数，求实数的值； （2）证明：对于任意给定的实数，函数存在两个极值点；若是的极小值点，求出的所有极值点； （3）若是的极大值点，函数是否是点奇函数？若是，求出对称中心；若不是，请说明理由. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）设函数有两个极值点，（），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $