第13讲 锐角三角函数 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第13讲 锐角三角函数 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中正确求值 · · 掌握锐角三角函数的增减性，能比较同名及异名三角函数值的大小 · · 掌握同角三角函数关系sin2A＋cos2A＝1及tanA＝ · · 掌握互余两角关系sinA＝cos(90°－A)，能灵活转化 · · 熟记30°、45°、60°的三角函数值并能进行混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝ cosA＝＝ tanA＝＝ 关键：先分清对边、邻边、斜边，再代定义 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求cosA 解析：由勾股定理AB＝＝5，cosA＝＝ ☆ 2.锐角三角函数的增减性 在0°～90°范围内，sinα随α增大而增大 cosα随α增大而减小 tanα随α增大而增大 当α＝45°时sinα＝cosα；α＜45°时sinα＜cosα，α＞45°时sinα＞cosα 概念辨析例题：比较sin47°与cos42°的大小 解析：cos42°＝sin48°，sin47°＜sin48°，故sin47°＜cos48°＝cos42°的等价值转换后比较 ☆ 3.同角与互余两角的三角函数关系 同角平方关系：sin2A＋cos2A＝1 同角商数关系：tanA＝ 互余关系：sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)，tanA·tan(90°－A)＝1 已知一个三角函数值，可求其余两个 概念辨析例题：已知sinA＝，求cosA与tanA 解析：由sin2A＋cos2A＝1得cosA＝＝，tanA＝＝ ☆ 4.特殊角三角函数值与计算 sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝ sin45°＝cos45°＝，tan45°＝1 sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝ 混合运算：先代值，再按实数运算法则计算 概念辨析例题：计算：4sin30°－2cos45°＋tan60° 解析：原式＝4×－2×＋＝2－＋ 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 正弦sinA ＝ 对边勿找错 余弦cosA ＝ 邻边勿找错 正切tanA ＝ 无斜边 同角平方关系 sin2A＋cos2A＝1 恒等式 互余关系 sinA＝cos(90°－A) 奇变偶不变 增减性 sin、tan增；cos减 只看0°～90° 特殊角 30°/45°/60°值要熟记 混合运算先代值 ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角三角函数的意义（第1-10题） · · 先在直角三角形中分清对边、邻边、斜边 · · 网格题用勾股定理求边长 · · 遇等积式或定义变形，回到sin/cos/tan定义 · · 非直角三角形作高构造直角三角形 1．（2025秋•南山区校级期末）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（　　） A．c＝a•sinA+b•sinB B．c＝a•cosA+b•cosB C．c＝a•sinB+b•sinA D．c＝a•cosB+b•cosA 【分析】通过作高将边c分解为两段，利用余弦的定义求解即可． 【解答】解：设从C点作高CD⊥AB于D，如图， ∵， ∴AD＝b•cosA， ∵， ∴BD＝a•cosB， ∵c＝AB＝AD+BD， ∴c＝b•cosA+a•cosB． 故选：D． 【点评】本题考查了三角函数的定义，解决本题的关键是作出正确的图象． 2．（2026•道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 【分析】根据题意画出图形，明确∠A的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入AB＝3BC即可求解． 【解答】解：如图，∠C＝90°，斜边是AB，∠A的对边是BC， 又∵AB＝3BC， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键． 3．（2026•潮南区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　） A． B． C． D．2 【分析】取格点M，连接AM，BM，由正方形网格的特点得BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°，由此得CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90，则∠B＝∠CPB，在Rt△ABM中，tanB＝tan∠CPB＝AM/BM，再由勾股定理求出AM，BM即可得出tan∠CPB的值． 【解答】解：取格点M，连接AM，BM，如图所示： 由正方形网格的特点得：BM经过格点N，∠CDN＝∠BNE＝∠AMD＝∠BMD＝45°， ∴CD∥BM，∠AMD+∠BMD＝90， ∴∠B＝∠CPB，△ABM是直角三角形， 在Rt△ABM中，tanB， ∴tan∠CPB， 又∵正方形网格中的小正方形的边长为1， ∴由勾股定理得：AM，BM， ∴tan∠CPB， 即tan∠CPB的值为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形网格的特点，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 4．（2026春•岳阳楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．a＝b•tanB B．c＝b•cosA C． D． 【分析】根据锐角三角函数，确定Rt△ABC中各角的三角函数值，进行判断即可． 【解答】解：如图所示，， A．由，可得b＝a•tanB，选项计算错误，不符合题意； B．由，可得b＝c•cosA，选项计算错误，不符合题意； C．由，可得，选项计算正确，符合题意； D．由，可得a＝c•cosB，选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 5．（2026•保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【分析】由可求出CD＝4，由AD＝BD＝8可求出BC的长． 【解答】解：∵， ∴， ∵AD＝BD＝8， ∴CDAD8＝4， ∴BC＝8+4＝12． 故选：C． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 6．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 　　 ． 【分析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB中点得CD＝AD＝BDAB，进而得∠A＝∠DCA，根据DE＝CE得∠EDC＝∠DCA＝∠A，由三角形外角性质得∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A，在Rt△ADE中根据∠A+∠AED＝90°，得∠A＝30°，设DE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得AD，然后根据正割函数的性质即可得出答案． 【解答】解：如图所示： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点， ∴CD是Rt△ABC斜边AB上的中线， ∴CD＝AD＝BD＝1/2AB， ∴△DAC是等腰三角形， ∴∠A＝∠DCA， ∵DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCA， ∴∠EDC＝∠DCA＝∠A， ∵∠AED是△EDC的外角， ∴∠AED＝∠EDC+∠DCA＝2∠A， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是直角三角形， ∴∠A+∠AED＝90°， ∴∠A+2∠A＝90°， ∴∠A＝30°， 设DE＝a，则AE＝2a， 由勾股定理得：AD， ∴secA． 【点评】此题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义，理解直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正割函数的定义是解决问题的关键． 7．（2025秋•莱阳市期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BC＝1，BD⊥AC于点D，则cos∠DBC的值为　　 ． 【分析】根据勾股定理求出AB的长，再直角三角形的性质得出∠DBC＝∠A，由∴cos∠DBC＝cosA进行计算即可． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BC＝1， ∴∠A+∠C＝90°，AB2， 又∵BD⊥AC， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠C＝90°， ∴∠DBC＝∠A， ∴cos∠DBC＝cosA， 故答案为：． 【点评】本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握勾股定理，直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键． 8．（2025秋•福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值． 【分析】由勾股定理求出AC的长，由锐角的正弦、余弦和正切定义，即可计算， 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC， ∴sinA，cosA，tanB． 【点评】本题考查锐角三角形函数定义，关键是掌握锐角的正弦定义，余弦定义，正切定义． 9．（2024秋•台江区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请你确定式子cosAcosB是否为常数，并试证明你的结论． 【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理得cosA，cosB，a2+b2＝c2，代入式子计算，即可得出结论． 【解答】解：是常数，证明： ∵cosA，cosB，a2+b2＝c2， ∴cosAcosB •• ＝1． ∴式子cosAcosB是常数． 【点评】本题主要考查的是锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 10．（2025秋•红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值． 【分析】根据正弦、余弦、正切的定义求解即可． 【解答】解：根据题意可知，， ∴，，． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是关键． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第11-15题） · · sin、tan随角度增大而增大，cos相反 · · 异名比较先统一化为同名 · · 与1比较：tan45°＝1，cos0°＝1 · · 由函数值反推角度范围 11．（2025•惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 【分析】根据余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小．因此，在25°到65°的区间内，当α取最小值25°时，cosα取得最大值． 【解答】解：已知25°≤α≤65°，当α取最小值时，即α＝25°，cosα的值最大，即最大值为cos25°． 故选：A． 【点评】本题考查了余弦函数值的变化，余弦函数在锐角范围内的角度越大，余弦值越小是关键． 12．（2025秋•安国市期末）比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　） A．tan50°＜cos10°＜sin70° B．tan50°＜sin70°＜cos10° C．sin70°＜tan50°＜cos10° D．sin70°＜cos10°＜tan50° 【分析】利用三角函数的关系将sin70°转化为cos20°，再根据余弦函数在锐角范围内的递减性，比较cos10°和cos20°，最后利用正切函数的递增性和特殊值比较tan50°与cos10°即可． 【解答】解：∵在锐角范围内，余弦函数递减，且10°＜20°， ∴cos10°＞cos20°＝sin70°， 即sin70°＜cos10°． ∵tan45°＝1，且正切函数在锐角范围内递增，50°＞45°， ∴tan50°＞1， 又∵cos10°＜1（余弦函数递减，cos0°＝1）， ∴cos10°＜tan50°， 综上，sin70°＜cos10°＜tan50°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数值的比较，掌握锐角三角函数的增减性是做题的关键． 13．（2026春•莱芜区期末）已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 【分析】根据特殊锐角三角函数值得出sin30°，进而得到sinα＞sin30°，再根据三角函数的增减性进行解答即可． 【解答】解：∵sin30°，而sinα， ∴sinα＞sin30°， ∴α＞30°， 又∵α为锐角， ∴α＜90°， ∴30°＜α＜90°， 故选：A． 【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，三角函数的增减性，掌握特殊锐角三角函数值，三角函数的增减性是正确解答的关键． 14．（2024秋•裕安区校级期末）比较大小：sin47° 　＞　 sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 【分析】根据正弦函数是0°～90°范围内是单调递增的，即可得到结果． 【解答】解：∵0°＜43°＜47°＜90°， ∴sin43°＜sin47°， 即sin47°＞sin43°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了三角函数的大小，熟练理解锐角三角函数的单调性是解题的关键． 15．（2025秋•苏州校级期中）tan60°　＞　 tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【分析】利用正切值随角度的增加而增加即可得出答案． 【解答】解：∵60°＞40°， ∴tan60°＞tan40°， 故答案为：＞． 【点评】本题考查锐角三角函数的增减性，解决本题的关键是掌握正切值随角度的增加而增加． 【考点3】同角三角函数的关系（第16-21题） · · sin2A＋cos2A＝1 知一求二 · · tanA＝ 用于商数转换 · · (sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA · · 开方时注意取正（锐角） 16．（2026•桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据sin2A+cos2A＝1代入计算即可． 【解答】解：∵sinA，sin2A+cos2A＝1， ∴cosA， 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握sin2A+cos2A＝1是正确解答的关键． 17．（2025秋•琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】由锐角的余弦定义得到cosA，令AC＝x，AB＝3x，由勾股定理得到BC2x，由锐角的正切定义即可求出tanA＝2． 【解答】解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵cosA， ∴令AC＝x，AB＝3x， ∴BC2x， ∴tanA2． 故选：B． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，关键是掌握锐角的余弦，正切定义． 18．（2025秋•宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 b＜a＜c ． 【分析】根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系解答即可． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质及正弦值与余弦值的关系可知： cos48°＝sin42°＜sin48°＜1，tan48°＞tan45°＝1， ∴b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 【点评】本题考查锐角三角函数的应用，熟练掌握锐角三角函数的性质及特殊的锐角三角函数值是解题关键． 19．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°　＜　 cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 【分析】利用锐角三角函数的性质，比较sin42°和cos42°的大小． 【解答】解：根据锐角三角函数的性质可知： 因为当0°＜α＜45°时，sinα＜cosα， 所以sin42°＜cos42°． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的大小，熟练掌握该知识点是关键． 20．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 【分析】（1）根据正弦、余弦的定义和勾股定理证明即可； （2）将sinA+cosA两边同时平方并将左边展开，将（1）的关系式代入计算即可． 【解答】（1）证明：∵sinA，cosA， ∴sin2A+cos2A， ∵∠C＝90°， ∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2， ∴sin2A+cos2A＝1． （2）解：∵sinA+cosA， ∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA•cosA， ∵sin2A+cos2A＝1， ∴1+2sinA•cosA， ∴sinA•cosA． 【点评】本题考查同角三角函数的关系，掌握正弦、余弦的定义是本题的关键． 21．（2025秋•南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝　　 ，cosA＝　　 ，sin2A+cos2A＝　1　 ； 在图②中，sinA1＝　　 ，cosA1＝　　 ，　1　 ． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来． （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值． 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，从而发现规律； （2）根据（1）中的规律，即可求解． 【解答】解：（1）如图①，利用三角函数的定义， ∴，，sin2A+cos2A＝1， 图②中，，，， 规律：对于任意锐角β有sin2β+cos2β＝1； （2）∵β为锐角，∴sinβ＞0，cosβ＞0， 结合得出的规律得， 由，得10cos2β＝1， 解得（负值已经舍去）． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义以及发现规律的能力，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【考点4-5】互余关系与特殊角值（第22-33题） · · sinA＝cos(90°－A) 互余转换 · · 特殊角值：30°/45°/60°必背 · · 混合运算先代值再算 · · 非负数之和为0时各部分为0 22．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数的定义得出tanB，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【解答】解：∵tanB， ∴设AC＝4x，BC＝3x， 由勾股定理得：AB5x， ∴sinA． 故选：B． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键． 23．（2025秋•合肥期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】利用三角函数的定义及勾股定理进行计算即可进行求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA，∴，可设ACx，则AB＝3x，由勾股定理得，BCx，∴tanB故选：D． 【点评】本题考查互余两角的三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义，掌握勾股定理是正确解答的前提． 24．（2025秋•安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝　　 ． 【分析】根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，掌握正弦与余弦的定义是解题关键． 25．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为 　　 ． 【分析】利用互余两角的三角函数关系求解． 【解答】解：∵sinα＝cos（90°﹣α）， ∴cos（90°﹣α）＝sinα． 故答案为：． 【点评】本题考查的是互余两角三角函数的关系，解答此题的关键，是要牢记互余两角的三角函数关系，即sinα＝cos（90°﹣α）（α是锐角）． 26．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 　　 ． 【分析】根据题意设BC＝3a，AB＝4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵sinA， ∴设BC＝3a，AB＝4a， ∴ACa， ∴tanB． 故答案为：． 【点评】本题考查互余两角的三角函数关系，解题的关键是掌握三角函数的定义． 27．（2025春•海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 【分析】根据锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系进行计算即可． 【解答】解：设在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， ∴tanA，tanB，sinA，sinB， ∵tanA+tanB，即， ∴， ∵a2+b2＝c2， ∴， ∴•， 即sinA•sinB， ∴（sinA﹣sinB）2＝sin2A+sin2B﹣2sinA•sinB ＝sin2A+cos2A﹣2sinA•sinB ＝1﹣2 ， ∴sinA﹣sinB＝±． 【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的定义，勾股定理以及互余两角三角函数的关系是正确解答的关键． 五．考点5：特殊锐角三角函数的值（共6小题） 28．（2025•广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是　直角三角形　 ． 【分析】先根据非负数的性质确定，继而求出∠A＝60°，∠C＝30°，即可判断三角形ABC的形状． 【解答】解：∵， ∴∠A＝60°，∠C＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴三角形ABC的形状是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，绝对值和平方式的非负性，熟练掌握以上知识点是关键． 29．（2025秋•南通期末）4sin30°﹣2cos45°+tan60°＝　2　 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入表达式并计算． 【解答】解：原式＝42 ＝2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值是关键． 30．（2025秋•兴庆区期末）在锐角△ABC中，若，则∠A的度数是　30°　 ． 【分析】利用特殊角的三角函数值进行求解即可． 【解答】解：由条件可知， 又∠A是锐角， ∴∠A＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值． 31．（2025秋•桓台县期末）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝　　 ． 【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记各特殊角的三角函数值． 32．（2026•苏州模拟）计算：． 【分析】先根据特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则分别计算出各数，再算加减即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，熟知以上知识是解题的关键． 33．（2025秋•吉林期末）计算：． 【分析】根据特殊角的三角函数值和实数的运算法则求得计算结果． 【解答】解：原式（）2+1 ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 六．考点6：计算器—三角函数（共3小题） 34．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是　sin28°＜tan26°＜cos27°　 （用“＜”连接）． 【分析】先用计算器求出tan26°、cos27°、sin28°的值，比较即可． 【解答】解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469， ∴sin28°＜tan26°＜cos27°． 故答案为：sin28°＜tan26°＜cos27°． 【点评】本题考查了计算器求三角函数值，掌握计算器的使用方法是解题的关键． 35．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 　2ndF ，再按三角函数键，最后输入 　函数值　 ，即可得到结果． 【分析】按计算器使用说明即可． 【解答】解：已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键2ndF，再按三角函数键，最后输入函数值，即可得到结果． 故答案为：2ndF；函数值． 【点评】本题主要考查了计算器使用，解题关键是正确使用． 36．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）． 【分析】用计算器求三角函数，即可解答． 【解答】解：∵tanB＝1.6863， ∴锐角B的度数≈59°． 【点评】本题考查了用计算器求三角函数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•安溪县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴cosA． 故选：A． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解余弦的定义是解决问题的关键． 【练习 2】（2025秋•市中区期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 【分析】先根据勾股定理的逆定理，证明△ABC是直角三角形，进而根据正切的定义即可求解． 【解答】解：根据网格可得：，，， ∵AC2+BC2＝20+5＝25，AB2＝25， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查了网格与勾股定理，求正切，证明△ABC是直角三角形是解题的关键． 【练习 3】（2023秋•祁阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余弦的定义即可求得cosB的值． 【解答】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴cosB， 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记余弦的定义是解题的关键． 【练习 4】（2025秋•淄川区期末）若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据特殊角的三角函数值即可解答． 【解答】解：∵sinα， ∴锐角α的度数是45°． 故选：B． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习 5】（2025秋•神木市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为　　 ． 【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠B＝∠ACD，进而利用锐角三角函数关系即可求出cos∠ACD的值． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15， ∴， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠A＝90°，∠A+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数关系的定义，掌握其相关知识点是解题的关键． 【练习 6】（2026•惠东县模拟）计算：cos60°　　 ． 【分析】将特殊角的三角函数值代入，再根据负整数指数幂的运算法则即可得解． 【解答】解：原式， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解题关键是熟练掌握相关计算法则． 【练习 7】（2026•旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为　90°　 ． 【分析】先根据非负数的性质求出sinA及tanB的值，再由锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴∠A＝60°，∠B＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习 8】（2025秋•浙江期末）计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2025． 【分析】先根据特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【练习 9】（2025秋•永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°． 【分析】根据特殊角的三角函数值代入求值即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，解题的关键熟记特殊角的三角函数值． 💯 课后巩固 复习建议 · · 定义三板斧：对边、邻边、斜边，先画图再代公式 · · 增减性口诀：正、切增，余减 · · 同角关系：sin2A＋cos2A＝1 是万能工具 · · 互余关系：正弦余弦互换，角度变90°－原角 · · 特殊角30°/45°/60°必须背熟，混合运算先代值再化简 【作业 1】（2026•沙坪坝区校级模拟）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正切的定义即可求得答案． 【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3， 则tanB， 故选：B． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业 2】（2026春•北京期中）若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】通过解方程，利用特殊角的三角函数值 ，求出α的度数． 【解答】解：由题意得， 又∵，且α为锐角， ∴α+10°＝30°， ∴α＝20°． 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 【作业 3】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ 　或　 ． 【分析】分∠C＝90°或∠A＝90°两种情况进行讨论，再根据锐角三角函数的定义，即可求出本题的答案． 【解答】解：在Rt△ABC中，当∠C＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∴sinB， 在Rt△ABC中，当∠A＝90°时， ∵AC＝3，BC＝4， ∴sinB， 综上分析可知，sinB或sinB． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义，注意分情况讨论是关键． 【作业 4】（2026•蓬江区模拟）°＝　1　 ． 【分析】先根据分母有理化、特殊角的三角函数值计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：2﹣1＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了分母有理化，特殊角的三角函数值，正确计算是解题的关键． 【作业 5】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是　2　 ． 【分析】首先，根据已知条件，得出AG∥FC，得∠AEB＝∠BCF，最后，得． 【解答】解：如图，在3×3的正方形网格中， ∵AG∥FC， ∴∠BCF＝∠AEB， ∵∠BFC＝90°， ∴A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则． 故答案为：2． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 6】（2025春•同步）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？ 【分析】首先根据BE⊥AD于E，CF⊥AD于F可得CF∥BE，从而得到∠DCF＝∠DBE；设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α，则可用含有α的表达式表示出CF及BE；由于∠ABC＝90°，可以求得0＜α＜90°，根据点D从B→D运动时α的变化情况，即可得出cosα的变化趋势，进而得出结论． 【解答】解：∵BE⊥AD于E，CF⊥AD于F， ∴CF∥BE， ∴∠DCF＝∠DBF． 设CD＝a，DB＝b，∠DCF＝∠DBE＝α， ∴CF＝DC•cosα，BE＝DB•cosα， ∴BE+CF＝（DB+DC）cosα＝BCcosα． ∵∠ABC＝90°， ∴0＜α＜90°． 当点D从B→D运动时，α是逐渐增大的，cosα的值是逐渐减小的， ∴BE+CF＝BCcosα的值是逐渐减小的． 综上，在D点的运动过程中，BE+CF的值是逐渐减小的． 【点评】本题侧重考查知识点的理解、应用能力． 学生在日常学习中应从以下2个方向（【直观想象】【逻辑推理】）培养对知识点的理解、应用能力． 【作业 7】（2026春•广饶县期末）已知α是锐角，且．求的值． 【分析】先根据且α是锐角求出α的度数，再将特殊角的三角函数值代入求解． 【解答】解：∵且α是锐角， ∴α＝45°， ∴ ． 【点评】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，根据α的正弦值求出α的度数是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 锐角三角函数 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解锐角正弦、余弦、正切的定义，能在直角三角形中正确求值 · · 掌握锐角三角函数的增减性，能比较同名及异名三角函数值的大小 · · 掌握同角三角函数关系sin2A＋cos2A＝1及tanA＝ · · 掌握互余两角关系sinA＝cos(90°－A)，能灵活转化 · · 熟记30°、45°、60°的三角函数值并能进行混合运算 📚 知识梳理 ☆ 1.锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝＝ cosA＝＝ tanA＝＝ 关键：先分清对边、邻边、斜边，再代定义 概念辨析例题：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求cosA 解析：由勾股定理AB＝＝5，cosA＝＝ ☆ 2.锐角三角函数的增减性 在0°～90°范围内，sinα随α增大而增大 cosα随α增大而减小 tanα随α增大而增大 当α＝45°时sinα＝cosα；α＜45°时sinα＜cosα，α＞45°时sinα＞cosα 概念辨析例题：比较sin47°与cos42°的大小 解析：cos42°＝sin48°，sin47°＜sin48°，故sin47°＜cos48°＝cos42°的等价值转换后比较 ☆ 3.同角与互余两角的三角函数关系 同角平方关系：sin2A＋cos2A＝1 同角商数关系：tanA＝ 互余关系：sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)，tanA·tan(90°－A)＝1 已知一个三角函数值，可求其余两个 概念辨析例题：已知sinA＝，求cosA与tanA 解析：由sin2A＋cos2A＝1得cosA＝＝，tanA＝＝ ☆ 4.特殊角三角函数值与计算 sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝ sin45°＝cos45°＝，tan45°＝1 sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝ 混合运算：先代值，再按实数运算法则计算 概念辨析例题：计算：4sin30°－2cos45°＋tan60° 解析：原式＝4×－2×＋＝2－＋ 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 正弦sinA ＝ 对边勿找错 余弦cosA ＝ 邻边勿找错 正切tanA ＝ 无斜边 同角平方关系 sin2A＋cos2A＝1 恒等式 互余关系 sinA＝cos(90°－A) 奇变偶不变 增减性 sin、tan增；cos减 只看0°～90° 特殊角 30°/45°/60°值要熟记 混合运算先代值 ⚠️ 核心考点 【考点1】锐角三角函数的意义（第1-10题） · · 先在直角三角形中分清对边、邻边、斜边 · · 网格题用勾股定理求边长 · · 遇等积式或定义变形，回到sin/cos/tan定义 · · 非直角三角形作高构造直角三角形 1．（2025秋•南山区校级期末）在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（　　） A．c＝a•sinA+b•sinB B．c＝a•cosA+b•cosB C．c＝a•sinB+b•sinA D．c＝a•cosB+b•cosA 2．（2026•道里区校级模拟）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinA的值为（　　） A． B． C．3 D． 3．（2026•潮南区一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，AB与CD相交于点P，则tan∠CPB的值为（　　） A． B． C． D．2 4．（2026春•岳阳楼区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A、∠B、∠C所对的边是a、b、c，下列等式中成立的是（　　） A．a＝b•tanB B．c＝b•cosA C． D． 5．（2026•保山二模）如图，AD是△ABC的BC边上的高，若BD＝AD＝8，tan∠DAC，则边BC的长为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 6．（2026•邹城市三模）定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（sec），锐角A的正割记作secA．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是斜边AB的中点，点E在边CA上，∠ADE＝90°，DE＝CE，那么secA的值是 ____________________ ． 7．（2025秋•莱阳市期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝3，BC＝1，BD⊥AC于点D，则cos∠DBC的值为____________________ ． 8．（2025秋•福建期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值． 9．（2024秋•台江区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，请你确定式子cosAcosB是否为常数，并试证明你的结论． 10．（2025秋•红桥区期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝4，求sinB，cosB，tanB的值． 【考点2】锐角三角函数的增减性（第11-15题） · · sin、tan随角度增大而增大，cos相反 · · 异名比较先统一化为同名 · · 与1比较：tan45°＝1，cos0°＝1 · · 由函数值反推角度范围 11．（2025•惠城区三模）已知α为锐角，当25°≤α≤65°时，cosα的最大值为（　　） A．cos25° B．cos65° C． D． 12．（2025秋•安国市期末）比较tan50°，cos10°，sin70°的大小关系是（　　） A．tan50°＜cos10°＜sin70° B．tan50°＜sin70°＜cos10° C．sin70°＜tan50°＜cos10° D．sin70°＜cos10°＜tan50° 13．（2026春•莱芜区期末）已知，那么锐角α的取值范围是（　　） A．30°＜α＜90° B．0°＜α＜30° C．45°＜α＜90° D．0°＜α＜60° 14．（2024秋•裕安区校级期末）比较大小：sin47° _____ sin43°．（填“＞”，“＝”或“＜”） 15．（2025秋•苏州校级期中）tan60°_____ tan40°（选填“＞”或“＝”或“＜”）． 【考点3】同角三角函数的关系（第16-21题） · · sin2A＋cos2A＝1 知一求二 · · tanA＝ 用于商数转换 · · (sinA＋cosA)2＝1＋2sinAcosA · · 开方时注意取正（锐角） 16．（2026•桓台县模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 17．（2025秋•琅琊区期末）已知∠A为锐角，cosA，则tanA的值为（　　） A． B．2 C． D． 18．（2025秋•宁国市月考）若a＝sin48°，b＝cos48°，c＝tan48°，则a，b，c由小到大的顺序为 __________ ． 19．（2025秋•蒙城县月考）比较大小：sin42°_____ cos42°．（填“＞”或“＝”或“＜”） 20．（2024秋•涡阳县期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）求证：sin2A+cos2A＝1； （2）若sinA+cosA，求sinA•cosA的值． 21．（2025秋•南阳校级月考）如图，根据提供的数据回答下列问题： （1）在图①中，sinA＝__________________ ，cosA＝__________________ ，sin2A+cos2A＝_____ ； 在图②中，sinA1＝____________________ ，cosA1＝___________________ ，_____ ． 通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角β的等式表示出来． （2）利用你发现的规律求解以下题目：已知β是锐角，且满足sinβ＝3cosβ，求cosβ的值． 【考点4-5】互余关系与特殊角值（第22-33题） · · sinA＝cos(90°－A) 互余转换 · · 特殊角值：30°/45°/60°必背 · · 混合运算先代值再算 · · 非负数之和为0时各部分为0 22．（2025•海伦市二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 23．（2025秋•合肥期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanB＝（　　） A． B． C． D． 24．（2025秋•安化县期末）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则cosB＝__________________ ． 25．如果α是锐角，且，那么cos（90°﹣α）的值为 __________________ ． 26．（2024秋•慈溪市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．若，则tanB的值是 ____________________ ． 27．（2025春•海淀区校级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，，求sinA﹣sinB的值． 五．考点5：特殊锐角三角函数的值（共6小题） 28．（2025•广信区校级模拟）在三角形ABC中，已知∠A，∠C都是锐角，且满足，则三角形ABC的形状是__________ ． 29．（2025秋•南通期末）4sin30°﹣2cos45°+tan60°＝____________________ ． 30．（2025秋•兴庆区期末）在锐角△ABC中，若，则∠A的度数是________ ． 31．（2025秋•桓台县期末）计算：3tan30°+cos45°﹣2sin60°＝____________________ ． 32．（2026•苏州模拟）计算：． 33．（2025秋•吉林期末）计算：． 六．考点6：计算器—三角函数（共3小题） 34．用计算器求tan26°，cos27°，sin28°的值，则它们的大小关系是____________________ （用“＜”连接）． 35．已知锐角三角函数值求锐角时，往往先按第二功能键 __________ ，再按三角函数键，最后输入 ________ ，即可得到结果． 36．已知tanB＝1.6863，求锐角B的度数（精确到1°）． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•安溪县期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则cosA的值为（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2025秋•市中区期末）如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（　　） A． B． C． D．2 【练习 3】（2023秋•祁阳市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则cosB＝（　　） A． B． C． D． 【练习 4】（2025秋•淄川区期末）若，则锐角α的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【练习 5】（2025秋•神木市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，过点C作CD⊥AB于点D，则cos∠ACD的值为____________________ ． 【练习 6】（2026•惠东县模拟）计算：cos60°___________________ ． 【练习 7】（2026•旺苍县模拟）在△ABC中，若∠A，∠B满足则∠C的度数为________ ． 【练习 8】（2025秋•浙江期末）计算：2cos45°+2sin30°+tan60°+（﹣1）2025． 【练习 9】（2025秋•永寿县期末）计算：cos60°+sin245°﹣3tan30°． 💯 课后巩固 复习建议 · · 定义三板斧：对边、邻边、斜边，先画图再代公式 · · 增减性口诀：正、切增，余减 · · 同角关系：sin2A＋cos2A＝1 是万能工具 · · 互余关系：正弦余弦互换，角度变90°－原角 · · 特殊角30°/45°/60°必须背熟，混合运算先代值再化简 【作业 1】（2026•沙坪坝区校级模拟）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，若BC＝4，AC＝3，则tanB等于（　　） A． B． C． D． 【作业 2】（2026春•北京期中）若，则锐角α的度数是（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【作业 3】（2026•海门区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，则sinB＝ ____________________ ． 【作业 4】（2026•蓬江区模拟）°＝_____ ． 【作业 5】（2026•福州模拟）在3×3的正方形网格中，A，B，C，D均为格点，BC交网格线于点E，则tan∠AEB的值是_____ ． 【作业 6】（2025春•同步）如图，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动（点D与点B，C不重合），作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，在D点的运动过程中，试判断BE+CF的值是否发生改变？ 【作业 7】（2026春•广饶县期末）已知α是锐角，且．求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $