专题06 整式的加减运算（专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题06 整式的加减运算 常考题型·精准突破 题型1 去括号、添括号（重） 题型2 整式的加减运算（高频） 题型3 整式的加减中化简求值问题（高频） 题型4 整式的加减中无关型问题（高频） 题型5 整式加减的应用（高频） 题型6 带字母的绝对值化简问题（难） 题型7 新定义下的整式运算问题（高频） 题型8 整式加减运算中的看错问题 题型9 整体思想在整式运算中的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 去括号、添括号 1．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 2．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 3．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 4．在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． ◆题型2 整式的加减运算 5.化简． (1) (2) 6．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．化简： (1)； (2)； (3)． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型3 整式的加减中化简求值问题 9．先化简，再求值：，其中，． 10．先化简，再求值：，其中，． 11．先化简，再求值：，其中，满足． 12．先化简，再求值：，其中，． 13．先化简，再求值：，其中，． ◆题型4 整式的加减中无关型问题 14．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 15．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 16．若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． ◆题型5 整式加减的应用 17．某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 18．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 19．按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． ◆题型6 带字母的绝对值化简问题 20．若，则___． 21．若，那么_____． 22．按要求完成下列各题： (1)已知，，且，求的值． (2)已知，，且，求的值． 23．已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 24．有理数，，在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． ◆题型7 新定义下的整式运算问题 25．定义一种新运算，观察下列等式： (1)请你想一想：________； (2)若，请计算的值．（新定义） 26．对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 27．若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：． (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 28．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． ◆题型8 整式加减运算中的看错问题 29．小明在一次测验中计算一个多项式A减去时，不小心看成加上，计算出错误结果为，试求出原题目的多项式A． 30．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 31．已知和是关于，的两个多项式，小北在计算时，错误地写成了，得到的结果为，已知． (1)求出的正确结果； (2)若，，则的值为多少？ 32．已知：A、B分别是关于x和y的多项式， (1)某同学在计算多项式“”时，把“”错误地看成“”，结果求出的答案是，请你帮忙这位同学求a及正确结果 (2)若多项式中不含y项，求a的值 ◆题型9 整体思想在整式运算中的应用 33．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 34．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)已知，求代数式的值； (3)若，，直接写出代数式的值． 35．阅读与思考 阅读材料：代数式运算中：，，类似的，我们把看成整体，则． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 36．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 37．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小敏同学解题过程如下： 解：原式． 小敏同学把作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则___________； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求代数式的值． 综合攻坚·知能拔高 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 3．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 4．若，的最小值是（     ） A．1 B．3 C．2 D．0 5．如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为（     ） A． B．0 C． D．1 6．若，则代数式___________． 7．若代数式化简后不含项，则代数式的值为_____． 8．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，应用整体思想，完成下面问题： （1）已知，则_______； （2）已知，，则_______． 10．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 12．有这样一道题：当，时，求整式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 13．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 14．新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 15．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 16．综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的加减运算 常考题型·精准突破 题型1 去括号、添括号（重） 题型2 整式的加减运算（高频） 题型3 整式的加减中化简求值问题（高频） 题型4 整式的加减中无关型问题（高频） 题型5 整式加减的应用（高频）（重） 题型6 带字母的绝对值化简问题（难） 题型7 新定义下的整式运算问题（高频） 题型8 整式加减运算中的看错问题 题型9 整体思想在整式运算中的应用 （重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 去括号、添括号 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】 【详解】解：（1）； （2）． 4．【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】 根据添括号法则，括号前为负号时，添括号后括号内各项改变符号，依次计算各空即可． 【详解】解：（1）对等式变形得， 因此括号内填； （2）对等式变形得， 因此括号内填； （3）对等式变形得， 因此两个括号依次填（答案不唯一）和（答案不唯一）． ◆题型2 整式的加减运算 5.【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ◆题型3 整式的加减中化简求值问题 9．【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 10．【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 11．【答案】，． 【分析】先去括号，然后合并同类项可得化简结果，再根据绝对值的非负性求，的值，最后代值求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，， 当，时， 原式 ． 12．【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先利用去括号和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 13．【答案】；10 【分析】先去括号，再合并同类项，得到最简表达式后代入数值计算． 【详解】解：原式． 当，时，原式． ◆题型4 整式的加减中无关型问题 14．【答案】1 15．【答案】 7 16．【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 整式加减的应用 17．【答案】(1)270元 (2)当时，实际付款为元；当时，实际付款为元；当时，实际付款为元 (3)①元；②元 【分析】（1）先判断300元在200元元之间，所以全部享受九折优惠，代入即可求出； （2）将分三种情况讨论，即，和，然后根据题目中的优惠方式，分别用含有的式子表示出实际付款金额即可； （3）① 根据优惠前第一次购买物品的价格为元可知，第二次购买物品的价格为元，则 ，然后再根据两次的购买价格选择优惠方式进行计算求出实际付款金额并用含有的式子表示，最后两次相加即可；② 当元时，先代入① 中已求的代数式中求出分两次付款的付款金额，再根据购买价格合计为550元选择相应的优惠方式求出合计一次性付款的付款金额，最后两者相减即可． 【详解】（1）解： ， 实际付款金额为（元）， 王老师实际付款了270元； （2）解：由题意得，当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； （3）解：①， 第一次实际付款金额为元， 两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元， 第二次购买物品的价格（优惠前）为元，则， 第二次实际付款金额为元， 两次购物实际付款为元； ② 由① 得，分两次付款的付款金额用含有的式子表示为元， 当元时，分两次付款的付款金额为 （元）， ， 两次购物合计一次性付款的付款金额为（元）， 节省了（元）， 两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了元． 18．【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 19．【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)①，； ②证明： ， ，为正整数， 为整数， 顺子数都可以被3整除． 【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可； （2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； ②把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； （2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）； （3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数， ∴； ②略 ◆题型6 带字母的绝对值化简问题 20．【答案】2 21．【答案】7 22．【答案】(1)的值为或 (2)的值为或 【分析】（1）根据绝对值定义确定m，n的所有可能取值，结合得出为非负数，筛选符合条件的取值后代入计算． （2）根据绝对值定义确定x，y的所有可能取值，结合的条件，筛选符合条件的取值后代入计算． 【详解】（1）解：，． ，． ． ． 当，时，，符合题意． ∴． 当，时，，不符合题意，舍去． 当，时，，符合题意． ∴． 当，时，，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为或． （2）解：，． ，． ． ，． 当，时， ． 当，时， ． 综上所述，的值为或． 23．【答案】(1)的值为或． (2)的值为或． 【分析】（1）先代入，再根据绝对值的意义化简即可； （2）先得到，继而确定，或，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 即的值为或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， ∴或． 24．【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，再利用有理数的加减运算法则确定符号即可； （2）根据（1）的判断，再化简绝对值，并合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． ◆题型7 新定义下的整式运算问题 25．【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）观察给出的新运算实例，对比运算前后的数字变化，归纳新运算的通用表达式，找到⊙前后的数与运算结果中各项的对应关系． （2）先根据第一问得到的新运算规则，将展开，整理得到与的数量关系．再将按照新运算规则展开化简，代入上述与的数量关系计算结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ， ． 26．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 27．【答案】(1)不是；是 (2)证明：设任意一个千丝数的个位数字是，千位数字是（不能为，且为偶数）． 根据千丝数的定义：十位数字是，百位数字是． 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： ∴ 所以能被5整除． 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【分析】（1）根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数． （2）利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值．通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断． 【详解】（1）解：对于4376： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是4，个位数字是6，千位与个位数字的平均数是； 百位数字是3，，不符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以不是千丝数． 对于7787： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是，个位数字是，它们的平均数是； 百位数字是，，符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以是千丝数． （2）略 【点睛】①千丝数需要同时满足两个判定条件；②各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数．③证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性． 28．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． ◆题型8 整式加减运算中的看错问题 29．【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据一个加数=和另一个加数，即可求出A． 【详解】解：根据题意可得：， ∴ ． 30．【答案】 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 31．【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是整式的加减混合运算、已知字母的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握整式的加减混合运算． （1）先根据求出表示的代数式，再将、所代表的多项式代入中即可得解； （2）将，代入即可得解． 【详解】（1）解：依题意得：， 其中， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，， 将，代入， 得原式． 32．【答案】(1)，正确结果 (2) 【分析】（1）先求出多项式A表示的式子，利用对应系数相等求出的值，在计算正确结果即可； （2）化简，然后令含的项的系数为零即可求出a的值． 【详解】（1） ， ， 所以，即 ， ， ； （2）解： ， ， 因为多项式中不含y项， 所以，即． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用运算法则． ◆题型9 整体思想在整式运算中的应用 33．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 34．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值，解决问题的关键是整体代入的方法求代数式的值． (1)把整体看成一个字母，根据合并同类项的法则进行计算； (2)由，可得，再利用整体代入的方法求代数式的值； (3)把与的两式相减，可得：． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 即， ； （3）解：，， ， 去括号得：， 合并同类项得：． 35．【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的化简求值，理解和掌握阅读材料的解题思想方法是解题的关键． （1）仿照阅读材料解答即可； （2）将原式化为，再将代入计算即可； （3）将原式化为，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 36．【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 37．【答案】（1）；（2）；（3）18． 【分析】本题考查整体代入法求代数式的值． （1）将看作整体，把化为，进而根据计算即可； （2）将看作整体，把化为，进而根据计算即可； （3）将变为，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 综合攻坚·知能拔高 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】4050 7．【答案】 8．【答案】 2 10．【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 11．【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 12．【答案】这个整式的值与a、b取值无关， 理由：原式， ， ， ． 所以这个整式的值与a、b取值无关、所以两人做出的结果一样. 【详解】略 13．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 14．【答案】(1)（元） (2)解：将代入得（元）， 因为， 所以学校预算够用． 【分析】（1）先根据小垃圾桶单价和大垃圾桶单价的数量关系，用含的代数式写出小垃圾桶的单价，因为总付款等于大垃圾桶总费用加上小垃圾桶总费用，所以分别计算两种垃圾桶的总费用后相加，化简得到总付款的代数式即可； （2）将代入第一问得到的总付款代数式，计算出实际总费用，如果计算出的实际总费用小于等于1200元，那么预算够用，反之则不够用． 【详解】【小题1】解：（元）； 【小题2】略． 15．【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 16．【答案】（1）；  （2）；  （3） 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值、整式的加减，能熟练利用整体思想求解是解题的关键； （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入并整理得，把代入得，再化为，整体代入，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 整式的加减运算 常考题型·精准突破 题型1 去括号、添括号（重） 题型2 整式的加减运算（高频） 题型3 整式的加减中化简求值问题（高频） 题型4 整式的加减中无关型问题（高频） 题型5 整式加减的应用（高频） 题型6 带字母的绝对值化简问题（难） 题型7 新定义下的整式运算问题（高频） 题型8 整式加减运算中的看错问题 题型9 整体思想在整式运算中的应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 去括号、添括号 1．与相等的整式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．下列各式中，去括号正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据去括号规则：括号前是正号，去括号后括号内各项不变号，括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，括号前有系数时，需将系数乘以括号内每一项，据此逐一判断选项即可求解． 【详解】解：∵ 对选项A，，∴A错误． ∵ 对选项B，，∴B正确． ∵ 对选项C，，∴C错误． ∵ 对选项D，，∴D错误． 3．在下列各式的括号内填上恰当的项： （1）( )； （2）( )． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）． 4．在下列各式的括号内填入适当的项： （1）( )； （2）( )； （3）( )( )． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】 根据添括号法则，括号前为负号时，添括号后括号内各项改变符号，依次计算各空即可． 【详解】解：（1）对等式变形得， 因此括号内填； （2）对等式变形得， 因此括号内填； （3）对等式变形得， 因此两个括号依次填（答案不唯一）和（答案不唯一）． ◆题型2 整式的加减运算 5.化简． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ◆题型3 整式的加减中化简求值问题 9．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 10．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式． 11．先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】，． 【分析】先去括号，然后合并同类项可得化简结果，再根据绝对值的非负性求，的值，最后代值求解即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，， 当，时， 原式 ． 12．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，先利用去括号和合并同类项法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 当，时，原式． 13．先化简，再求值：，其中，． 【答案】；10 【分析】先去括号，再合并同类项，得到最简表达式后代入数值计算． 【详解】解：原式． 当，时，原式． ◆题型4 整式的加减中无关型问题 14．已知，．若的值与x的取值无关，则___． 【答案】1 【分析】本题考查整式的加减运算，理解代数式的值与某个字母取值无关的含义，即该字母各项的系数均为，掌握合并同类项法则即可求解． 【详解】解： ， 因为的值与的取值无关，所以的各项系数为，可得 ，， 解得，， 则． 15．若多项式（m，n为常数），无论x取何值代数式的值不变，则___________，___________． 【答案】 7 【分析】先合并同类项，再根据已知条件列出方程式，进而得出答案． 【详解】解： ， ∵无论x取何值代数式的值不变， ∴，， ∴，． 16．若整式与的和的值与所取的值无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是整式加减运算，代数式求值，解题的关键是掌握合并同类项法则等知识．先化简代数式，根据题意可知含项的系数为，进而求得的值，再代入即可求解． 【详解】解： ∵整式与的和的值与所取的值无关， ∴， ∴， ∴． ◆题型5 整式加减的应用 17．某超市在“国庆—中秋”双节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠方法 少于200元 不予优惠 200元元 全部九折优惠 超过500元 500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物300元，他实际付款多少元？ (2)若某位顾客在该超市一次性购物元，请根据的范围求他的实际付款为多少元？（用含的代数式表示） (3)如果王老师两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元，第一次购买物品的价格为元（超过50元，少于200元）． ①求王老师这两次购物实际付款多少元？（用含的代数式表示） ②在中秋节当天，超市又推出了双节期间可合计一次性付款优惠，当元时，王老师两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了多少元？ 【答案】(1)270元 (2)当时，实际付款为元；当时，实际付款为元；当时，实际付款为元 (3)①元；②元 【分析】（1）先判断300元在200元元之间，所以全部享受九折优惠，代入即可求出； （2）将分三种情况讨论，即，和，然后根据题目中的优惠方式，分别用含有的式子表示出实际付款金额即可； （3）① 根据优惠前第一次购买物品的价格为元可知，第二次购买物品的价格为元，则 ，然后再根据两次的购买价格选择优惠方式进行计算求出实际付款金额并用含有的式子表示，最后两次相加即可；② 当元时，先代入① 中已求的代数式中求出分两次付款的付款金额，再根据购买价格合计为550元选择相应的优惠方式求出合计一次性付款的付款金额，最后两者相减即可． 【详解】（1）解： ， 实际付款金额为（元）， 王老师实际付款了270元； （2）解：由题意得，当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； 当时，实际付款为元； （3）解：①， 第一次实际付款金额为元， 两次购买物品的价格（优惠前）合计为550元， 第二次购买物品的价格（优惠前）为元，则， 第二次实际付款金额为元， 两次购物实际付款为元； ② 由① 得，分两次付款的付款金额用含有的式子表示为元， 当元时，分两次付款的付款金额为 （元）， ， 两次购物合计一次性付款的付款金额为（元）， 节省了（元）， 两次购物合计一次性付款比分两次付款共节省了元． 18．定义：将图①中的长方形纸片剪成号，号，号，号正方形和号长方形． (1)设号正方形的边长为，号正方形的边长为，求号，号正方形的边长分别是多少？（用，的代数式表示） (2)若图①中裁剪前长方形的周长为，试求号正方形的边长； (3)在（2）的情况下，若将这五个图形按图②的方式放入周长为的长方形中，求阴影部分的周长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）观察图形，易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长，同理易知号正方形的边长为号正方形的边长减去号正方形的边长； （2）根据观察可知，图①中大长方形的长为号正方形的边长与号正方形的边长和，宽为号正方形的边长与号正方形的边长和，又知长方形的周长，即可求出号正方形的边长； （3）要求阴影部分的周长，可根据平移的性质得出阴影部分的周长即为长方形的周长，再利用大长方形的周长和大长方形的宽，进而可求出的长，从而解得阴影部分的周长． 【详解】（1）解：号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号正方形的边长为，号正方形的边长为． （2）解：设号正方形的边长为，号正方形的边长为， ∴号正方形的边长为，号正方形的边长为， 则图①中的长方形的长为，宽为， 长方形的周长为，即， ． 号正方形的边长为， 号正方形的边长为． （3）解：如图，由平移知识可得阴影部分的周长为长方形的周长， 由（2）可知，号正方形的边长为，号正方形的边长为， 号长方形的宽为号正方形的边长减去号正方形的边长的差即：， ， 周长为的长方形的长为：，宽为， ， ， 则长方形的周长为：， 即阴影部分的周长为． 19．按要求解答下列各题： (1)列式：设是一个三位数，则用含，，的代数式表示为______； (2)定义：如果一个三位数的三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数，则这个三位数叫作顺子数，如“123”“456”等都是顺子数．请你再举出一个顺子数：______； (3)推理：嘉嘉经过观察计算发现顺子数都可以被3整除．设是一个顺子数． ①请用含的代数式表示和； ②通过整式的运算，证明上述发现的结论． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)①，； ②证明： ， ，为正整数， 为整数， 顺子数都可以被3整除． 【分析】（1）根据多位数的表示方法列出含a，b，c的代数式即可； （2）根据顺子数的定义，写出一个顺子数即可； （3）①根据顺子数的定义，百位数为a，十位数为，个位数为可得到结果； ②把顺子数表示为，整理为，证得结论． 【详解】（1）解：三位数可表示为：； （2）解：根据题意一个顺子数为：789（答案不唯一）； （3）解：①∵三个数位上的数字是按从小到大排列的三个连续的正整数， ∴； ②略 ◆题型6 带字母的绝对值化简问题 20．若，则___． 【答案】2 【分析】根据绝对值的性质，在给定范围内去掉绝对值符号进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 21．若，那么_____． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质，判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值化简计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 22．按要求完成下列各题： (1)已知，，且，求的值． (2)已知，，且，求的值． 【答案】(1)的值为或 (2)的值为或 【分析】（1）根据绝对值定义确定m，n的所有可能取值，结合得出为非负数，筛选符合条件的取值后代入计算． （2）根据绝对值定义确定x，y的所有可能取值，结合的条件，筛选符合条件的取值后代入计算． 【详解】（1）解：，． ，． ． ． 当，时，，符合题意． ∴． 当，时，，不符合题意，舍去． 当，时，，符合题意． ∴． 当，时，，不符合题意，舍去． 综上所述，的值为或． （2）解：，． ，． ． ，． 当，时， ． 当，时， ． 综上所述，的值为或． 23．已知， (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)的值为或． (2)的值为或． 【分析】（1）先代入，再根据绝对值的意义化简即可； （2）先得到，继而确定，或，，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； 即的值为或． （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， ∴或． 24．有理数，，在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：______0，______0，______0； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断，再利用有理数的加减运算法则确定符号即可； （2）根据（1）的判断，再化简绝对值，并合并同类项即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． ◆题型7 新定义下的整式运算问题 25．定义一种新运算，观察下列等式： (1)请你想一想：________； (2)若，请计算的值．（新定义） 【答案】(1)； (2)6 【分析】（1）观察给出的新运算实例，对比运算前后的数字变化，归纳新运算的通用表达式，找到⊙前后的数与运算结果中各项的对应关系． （2）先根据第一问得到的新运算规则，将展开，整理得到与的数量关系．再将按照新运算规则展开化简，代入上述与的数量关系计算结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ， ． 26．对于有理数，，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，，． (1)填空： ； ． (2)，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据定义的运算进行解答即可； （2）先根据数轴得到，则，再化简绝对值并合并同类项即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）解：根据题意可知，， ∴ ∴ 27．若一个四位正整数M的十位数字比个位数字大1，百位数字是千位数字与个位数字的平均数，则称这样的数为千丝数．把千丝数M的四个数字按从小到大的顺序从左到右进行排列后得到的新数叫作千丝数M的万缕数，例如：2598，其十位数字，百位数字，所以2598是千丝数，2589就是千丝数2598的万缕数，对于千丝数M，定义：． (1)判断：4376________千丝数；7787________千丝数．（填“是”或者“不是”） (2)请证明：任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【答案】(1)不是；是 (2)证明：设任意一个千丝数的个位数字是，千位数字是（不能为，且为偶数）． 根据千丝数的定义：十位数字是，百位数字是． 这个千丝数M可以表示为： 千丝数与它的个位数字的6倍之差为： ∴ 所以能被5整除． 即任意一个千丝数与它的个位数字的6倍之差能被5整除． 【分析】（1）根据千丝数的定义，分别验证所给数的十位数字是否比个位数字大1，以及百位数字是否等于千位数字与个位数字的平均数． （2）利用用字母表示数的方法，设个位数字和千位数字分别为未知数，根据定义表示出十位和百位数字，进而表示出这个四位数的值．通过代数运算计算该数与个位数字6倍的差，最后根据能被5整除的数的特征进行判断． 【详解】（1）解：对于4376： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是4，个位数字是6，千位与个位数字的平均数是； 百位数字是3，，不符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以不是千丝数． 对于7787： 个位数字是，十位数字是，，符合条件：十位数字比个位数字大1； 千位数字是，个位数字是，它们的平均数是； 百位数字是，，符合条件：百位数字是千位数字与个位数字的平均数． 所以是千丝数． （2）略 【点睛】①千丝数需要同时满足两个判定条件；②各数位数字的取值范围：千位数字是1到9的整数，个位、十位、百位数字是0到9的整数．③证明整除时，需将代数式整理为5与某个整数的乘积形式，确保变形过程的严谨性． 28．定义一种新运算，观察下列各式： ； ； ： ． (1)用代数式表示的结果为 ； (2)若，则 （填“”或“”）； (3)若的值与x无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查定义新运算中数字变化的规律问题，整式的加减与代数式求值； （1）由已知可知； （2）写出和的算式，可得结果； （3）写出，计算的值，再求即可． 【详解】（1）解：由； ； ； ； 可知：； （2）解：由题意得：，， 若，则， 即：； （3）解：∵ ， ∵的值与x无关，即的值与x无关， ∴， 解得． 当时， ． ◆题型8 整式加减运算中的看错问题 29．小明在一次测验中计算一个多项式A减去时，不小心看成加上，计算出错误结果为，试求出原题目的多项式A． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据一个加数=和另一个加数，即可求出A． 【详解】解：根据题意可得：， ∴ ． 30．某同学做一道数学题：已知两个多项式A，B，，计算．这名同学误将“”看成“”，求出的结果是．请你求出正确的结果． 【答案】 【分析】首先根据错误的运算关系求出，然后代入求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴ ∴， ∴ ． 31．已知和是关于，的两个多项式，小北在计算时，错误地写成了，得到的结果为，已知． (1)求出的正确结果； (2)若，，则的值为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是整式的加减混合运算、已知字母的值求代数式的值，解题关键是熟练掌握整式的加减混合运算． （1）先根据求出表示的代数式，再将、所代表的多项式代入中即可得解； （2）将，代入即可得解． 【详解】（1）解：依题意得：， 其中， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）得，， 将，代入， 得原式． 32．已知：A、B分别是关于x和y的多项式， (1)某同学在计算多项式“”时，把“”错误地看成“”，结果求出的答案是，请你帮忙这位同学求a及正确结果 (2)若多项式中不含y项，求a的值 【答案】(1)，正确结果 (2) 【分析】（1）先求出多项式A表示的式子，利用对应系数相等求出的值，在计算正确结果即可； （2）化简，然后令含的项的系数为零即可求出a的值． 【详解】（1） ， ， 所以，即 ， ， ； （2）解： ， ， 因为多项式中不含y项， 所以，即． 【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用运算法则． ◆题型9 整体思想在整式运算中的应用 33．【阅读材料】：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛， 例：化简． 解：原式 参照本题阅读材料的做法进行解答： (1)若把看成一个整体，合并的结果是 ； (2)已知：，求代数式的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用合并同类项法则计算即可； （2）把代数式变形后整体代入即可； （3）把代数式去括号并利用加法交换律和结合律变形，再把已知条件整体代入计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）∵，，， ∴ 34．阅读材料：我们知道，，类似的，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，合并的结果是_____； (2)已知，求代数式的值； (3)若，，直接写出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减、代数式求值，解决问题的关键是整体代入的方法求代数式的值． (1)把整体看成一个字母，根据合并同类项的法则进行计算； (2)由，可得，再利用整体代入的方法求代数式的值； (3)把与的两式相减，可得：． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 即， ； （3）解：，， ， 去括号得：， 合并同类项得：． 35．阅读与思考 阅读材料：代数式运算中：，，类似的，我们把看成整体，则． “整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式的化简求值，理解和掌握阅读材料的解题思想方法是解题的关键． （1）仿照阅读材料解答即可； （2）将原式化为，再将代入计算即可； （3）将原式化为，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵，， ∴ ． 36．整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，例如：已知，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)2028 (2)15 (3) 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减运算，解题的关键是将代数式正确变形． （1）由得到，然后整体代入求解即可； （2）将整体代入求解即可； （3）由，，得到，整理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， 由得：， 整理得：， ∴． 37．有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的小敏同学解题过程如下： 解：原式． 小敏同学把作为一个整体求解，整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【简单应用】 （1）已知，则___________； （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）18． 【分析】本题考查整体代入法求代数式的值． （1）将看作整体，把化为，进而根据计算即可； （2）将看作整体，把化为，进而根据计算即可； （3）将变为，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； 故答案为：； （2）∵， ∴ ； （3）∵， ∴ ． 综合攻坚·知能拔高 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据去括号与添括号的法则求解即可． 【详解】解：． 2．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 3．若式子的值与字母x的取值无关，则m的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】代数式的值与某个字母的取值无关，说明该字母对应所有项的系数为0，据此即可求出m的值． 【详解】解：∵式子的值与的取值无关， ∴， ∴． 4．若，的最小值是（     ） A．1 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【分析】负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：， ， ， ， 当时,原式取得最小值，最小值是3． 5．如图，已知、、、在数轴上表示的数分别为、、、且满足，，则的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】由数轴可得，从而可得，，，，结合绝对值的意义得出，，即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 6．若，则代数式___________． 【答案】4050 【分析】先化简所求代数式，将其整理为含的形式，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 7．若代数式化简后不含项，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】先去括号，再合并同类项，结合化简后不含项，得出，解方程即可求出的值，最后代入代数式计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵代数式化简后不含项， ∴， ∴， ∴ ． 8．整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，应用整体思想，完成下面问题： （1）已知，则_______； （2）已知，，则_______． 【答案】 2 【分析】本题考查整体思想在代数式求值中的应用． （1）通过提取公因式将所求式子变形后代入已知条件； （2）先化简代数式，再整体代入已知条件求值． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）原式 ， 代入，， 得． 故答案为：，． 10．先去括号，再合并同类项： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先去括号，再合并同类项； （2）先根据乘法分配律计算，再合并同类项； （3）（4）仿照（2）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 11．先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，4 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 12．有这样一道题：当，时，求整式的值，马小虎做题时把错抄成，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由． 【答案】这个整式的值与a、b取值无关， 理由：原式， ， ， ． 所以这个整式的值与a、b取值无关、所以两人做出的结果一样. 【详解】略 13．已知代数式． (1)化简：； (2)若，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整式的加减即可解答； （2）根据绝对值和偶次方的非负性，可得，代入（1）中化简的结果即可； （3）根据题意可得含有的项相加得零，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，， 把，代入， ； （3）解：∵， 且的值与y的取值无关， ， 解得． 14．新学期学校准备更换校园内垃圾桶，计划采购大小两种型号垃圾桶．大垃圾桶单价元/个，小垃圾桶单价比大垃圾桶单价的多20元，此次预计采购大垃圾桶5个，小垃圾桶7个． (1)用含的代数式表示此次购买垃圾桶共付款多少元？ (2)若大垃圾桶单价为120元/个，学校预算1200元，是否够用？请说明理由． 【答案】(1)（元） (2)解：将代入得（元）， 因为， 所以学校预算够用． 【分析】（1）先根据小垃圾桶单价和大垃圾桶单价的数量关系，用含的代数式写出小垃圾桶的单价，因为总付款等于大垃圾桶总费用加上小垃圾桶总费用，所以分别计算两种垃圾桶的总费用后相加，化简得到总付款的代数式即可； （2）将代入第一问得到的总付款代数式，计算出实际总费用，如果计算出的实际总费用小于等于1200元，那么预算够用，反之则不够用． 【详解】【小题1】解：（元）； 【小题2】略． 15．我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；②与；③与； (2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”． 【答案】(1)②③ (2) 【分析】（1）判断和是否为常数即可得到结果； （2）根据和为常数，可知所有含未知数项的系数均为0，求出的值后计算常数项即可得到对消值. 【详解】（1）解：，和不是常数，故①不是“对消多项式”； ，和为常数，故②是“对消多项式”； ，和为常数，故③是“对消多项式”； （2）解：∵ ； ∵与互为“对消多项式”，和为常数， ∴， ∴ 解得， ∴，即它们的对消值为. 16．综合与探究 在日常生活、生产中，人们经常需要处理一些结构相似、重复出现的量．例如：某工厂生产一种产品，每件产品的成本由两部分组成：固定成本（设备折旧、场地租金等）和可变成本（原材料、人工等）．若设每件产品的可变成本为元，固定成本分摊到每件产品上为3元，则每件产品的总成本可以表示为（x＋3）元．当我们研究“成本变化对利润的影响”时，常常不需要单独考虑和3，而是把看作一个整体来分析，这种把“一个代数式当成一个整体”来解决问题的方法，叫做整体思想．“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中广泛应用．下图所示是老师安排的一道作业题： 代数式的值为7，求代数式的值． 【阅读理解】小明在做作业时采用的方法如下：因为，所以，所以，所以代数式的值为5． 【方法运用】 （1）若代数式的值为15，求代数式的值； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；  （2）；  （3） 【分析】本题考查了用整体代换法求整式的值、整式的加减，能熟练利用整体思想求解是解题的关键； （1）将化为，整体代入，即可求解； （2）把代入并整理得，把代入得，再化为，整体代入，即可求解； （3）将化为，整体代入，即可求解． 【详解】解：（1）， ， ； （2）把代入得： ， ， ∴把代入得： ； （3），， 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $