专题06 等腰三角形重难点八大题型（专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

专题06 等腰三角形重难点八大题型 常考题型·精准突破 题型1 腰和底不明时需分类（高频） 题型2 顶角和底角不明时需讨论（高频） 题型3 涉及高位置的讨论（重） 题型4 等腰三角形个数的讨论（高频） 题型5 等腰三角形中动点引起的分类（高频） 题型6 等边三角形中动点综合问题（重） 题型7 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（难） 题型8 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类 1．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为4，求它的周长． 【答案】11或10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，掌握这些是解题的关键．本题应分为两种情况：3为底，4为腰；4为底，3为腰，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：等腰三角形的两条边长为3和4， 3为底，4为腰时，，，能构成三角形，此时周长为：； 4为底，3为腰时，，，能构成三角形，此时周长为：． 综上，它的周长为11或10． 2．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 【答案】A 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 3．如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 【答案】 【分析】本题分情况讨论，分别为底边长为或腰长为两种情况，再结合三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：∵等腰三角形周长为，其中一边长为， ∴分两种情况讨论： 当底边长为时， 腰长为， 此时三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 当为腰长时， 底边长为， 此时三边长为，，， 由于，不满足三角形三边关系，故舍去； 综上，该等腰三角形的底边长为． 4．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. ◆题型2顶角和底角不明时需讨论 5．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：若的角为底角，则两底角和为，不符合三角形内角和； ∴ 的角为这个等腰三角形的顶角， ∴这个等腰三角形的底角度数为． 6．等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质解题． 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为， 分两种情况讨论： 若为底角，则底角就是； 若为顶角，则底角为； ∴该等腰三角形的底角度数是或． 7．等腰三角形一个内角是，则底角为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】已知等腰三角形一个内角为，未说明该角是顶角还是底角，需结合等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理分情况讨论求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当的内角为顶角时 ∵三角形内角和为，等腰三角形两底角相等 ∴底角 情况2：当的内角为底角时，底角即为 综上，等腰三角形的底角为或 8．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】已知内角没有说明是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论计算． 【详解】分两种情况讨论：情况1：当的内角为顶角时，顶角就是； 情况2：当的内角为底角时， ∴ 顶角为； 综上，该等腰三角形的顶角为或． ◆题型3涉及高位置的讨论 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；分别求解即可． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴，即顶角为； 当等腰三角形为钝角三角形时， ， ∵，， ∴， ∴，即顶角为； 综上所述，其顶角为或， 故选：C． 10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形内角和定理，通过分该等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况，并画出对应的图形进行分类讨论是正确解答本题的关键． 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，    由题意得：，， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，    由题意得：，， ∴， ∴， ∴此等腰三角形的顶角的度数为； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为或， 故选：D． 11．已知是等腰中一腰上的高，，则顶角的度数可能有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的顶角不同，对进行分类讨论即可解答． 【详解】解：∵，是腰上的高， ∴，    ①如图1，若为顶角， 则，两底角为， 此时三角形的三个内角为：，，， ②如图2，为顶角， 则顶角为， 此时三角形的三个内角为：，，， ③如图3，若为顶角时， ， ∴， 即顶角， 此时三角形的三个内角为：，，， 顶角的度数可能有，，， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键． ◆题型4等腰三角形个数的讨论 12．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 13．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴为等腰三角形，， ∵ ∴， ∴，为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴，为等腰三角形， ， ∴，为等腰三角形， ∵，， ∴ ∴，为等腰三角形． 综上所述：共有5个等腰三角形． 故选C． 14．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，结合三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形，， ∴ ， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∵，， ∴，， ∴、是等腰三角形， 故图中共有5个等腰三角形， 故选：C． 15．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由对折后重合得相等的线段和相等的角，由平行线得相等的角，再得相等的线段，判断出等腰三角形； 【详解】解：由对折后重合得，，， ，， 和为等腰三角形， ， ， ，， ，， 和为等腰三角形， 因此共有个等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，在图形中找出相应条件是解题关键． ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类 16．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【详解】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个； （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12． 17．在直角三角形中，，，点是边上一个定点（），点是边上的一个动点，将沿翻折，得到，其中． (1)若，则_____，_____； (2)当时，求证； (3)当与其中一边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， ∴； (3)或或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理及折叠的性质作答即可； （2）根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，可知，即可证明； （3）分三种情况根据折叠的性质、三角形内角和定理及平行线的性质作答即可． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可知； （2）略； （3）解：如图，当且P在M左侧时， 由得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∵， ∴，即； 如图，当且P在M右侧时， 由得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∵， ∴，即； 如图，当时， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， 解得； 综上所述，的值为或或． 18．在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）利用三角形内角和为求解； （2）①利用三角形内角和为求出的度数，再利用角的加减求解； ②利用三角形内角和为以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴． （2）解：①∵是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ． ②解：由（1）可知和均为等边三角形 ，， ， 在和中，， ∴， ， ， ， 当时，； 当时，， ； 当时，， ∴， ∵， 在中，，与三角形的内角和为相悖，故不成立 综上，当为等腰三角形时，或． 19．在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）根据已知可得是等边三角形，则，根据题意列出一元一次方程，即可求解； （3）当线段把的周长平分时，分两种情况，①当在上时，②当在上时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （4）分点在的中点以及点时，求得的值，进而求得的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动， ∴，则； （2）解：∵等边三角形， ∴， 当时，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵等边三角形中，， ∴的周长为， 点的运动时间为秒，， 当线段把的周长平分时，分两种情况， ①当在上时，， ， ∴， 解得：（舍去）， ②当在上时，， ， ∴， 解得：， （4）解：∵， ∴当在的中点时，点到的两边距离相等， 当时，， 解得：， 此时， 当与点重合时，， 解得， 此时， 当时，， 解得：， 此时， 综上所述，的长度为或或． ◆题型6等边三角形中动点综合问题 20．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质求出边长，作点关于的对称点，连接交于点，连接，利用两点之间线段最短可知即为的最小值，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，是边上的高，， ∴，，平分， 作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴在上，，， ∴， 即有最小值，为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ， ∴， ∴的最小值为． 21．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，由等边三角形的性质可得，，，即得，作点关于的对称点，连接交于，则，可得，即得的最小值即为线段的长，再证明是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是中线， ∵，，， ∵， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接交于，则， ∴ 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 22．如图，，动点从点出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，求出是解本题的关键．先判断出，，分两种情况判断出，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：，， 是等边三角形， ， ①当点在线段上时，如图1， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ②当点在的延长线上时，如图2， 同①的方法得出， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． 23．如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题 24．如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，见解析 【分析】（1）利用可证即可； （2）在上取点F，使，连接，由全等三角形的性质得，，同理可证，由全等三角形的性质得，，由等边三角形的判定得是等边三角形，结合等边三角形的性质，即可求解； 【详解】（1）证明：与都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中 ， （）， （2）解：； 理由如下： 如图，在上取点F，使，连接， ∵， ，， ， 同理可证：（）， ，， ， 是等边三角形， ， ． 25．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 【答案】(1)证明：① ，，平分， ， ， 是等边三角形， ， ， ； ②如图，在上取一点H，使，连接， 由（1）知， 是等边三角形， ，， ， ，， ， 即， 在和中， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）①根据角平分线的定义得，结合证明是等边三角形，推出，即可证明；②在上取一点H，使，连接，构造等边，再证 ，推出，可得； （2）连接，作于点M，交的延长线于点N，由轴对称的性质得，，，，根据三角形面积公式计算出，根据等腰三角形三线合一推出，，进而证明是等腰直角三角形，推出，即可求解． 【详解】（1）①略．②略． （2）解：如图，连接，作于点M，交的延长线于点N， 点与关于射线对称， ，，，， ， ， ，， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 26．在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，写出与相等的角； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接． ①补全图形； ②求； (3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)和 (2)①；②； (3) 【分析】（1）利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论； （2）①在上截取，连接， ②证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形，可得，进而可得，由（1）可得，则，进而可得； （3）延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴与相等的角是和 （2）①图略； ②如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形； ∴ ∴ ∵ 由（1）可得 ∴ ∴ （3）证明：如图3，延长交于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴由（1）可得 ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴． 27．阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长到点N，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： 如图所示，在上截取，连接， 由（1）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵对角线平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) (4)4或18 【分析】（1）方法1：证明，得到，再证明，得到，即可证明；方法2：证明，得到，再证明，得到，即可证明； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，得到；可求出，得到，则可证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得； （3）过点D作交的延长线于点F，连接，证明，得到，；再证明，得到，据此可得； （4）求出，得到；根据全等三角形的性质得到，，则可求出，进而得到；可求出，再分两种情况：点P从B向点C运动和点P从点C向点B运动，讨论求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点D作交的延长线于点F，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （4）解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴； 由（3）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴当点P从B向点C运动时，则， 当点P从点C向点B运动时，则， 综上所述，t的值为4或18． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题 28．问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． (1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； (2)【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： (3)【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)证明：如图2，过点作，交于点， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 又， ． 在和中， ，，， ， ； (3)结论： 证明：过作交于， 是等边三角形， ∴同理可得是等边三角形， ， ， ， 在中，，，， ， 平分， ， ， ， 在与中，， ， ， ． 【分析】（1）根据等边三角形的性质结合等角对等边即可得到与的数量关系； （2）添加辅助线，结合等边三角形的性质证明和全等，由此可证明； （3）添加辅助线，证明与全等，由此可得，再由边的关系证明即可． 【详解】（1）解：， ∵是等边三角形，点D在边的中点， ∴，，且平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略； （3）略． 29．综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)= (2)如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 【详解】（1）解：∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）略 30．如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． 【问题思考】 如图1，若点与点重合时，求证：； 【类比探究】 如图2，若点在边上，求证：； 【拓展归纳】 如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）． 【答案】 问题思考：证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； 类比探究：作交于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴； 【拓展归纳】． 【分析】问题思考：利用等边三角形的性质证明：可得，再利用，从而可得结论； 类比探究：作交于点，如图所示：证明是等边三角形，利用等边三角形的性质再证明：可得，从而可得结论； 拓展归纳：过D作，交AC的延长线于点G，如图所示：证明为等边三角形，再证明△EGD≌△FCD，可得EG=FC，从而可得结论． 【详解】拓展归纳：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC=CD+CE； 理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°， 过D作，交AC的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°， ∴， ∴△GCD为等边三角形， ∴DG=CD=CG， ∵△EDF为等边三角形， ∴ED=DF，∠EDF=∠GDC=60°， ∴∠EDG=∠FDC， 在△EGD和△FCD中， ， ∴△EGD≌△FCD（SAS）， ∴EG=FC， ∴FC=EG=CG+CE=CD+CE． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握作出适当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】题目未明确等腰三角形的腰与底，需分类讨论腰长，结合三角形三边关系排除不能构成三角形的情况后计算周长即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况讨论： 当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，，三边长能构成三角形， ∴周长为； 当腰长为时，等腰三角形的三边长为，，， ∵， 此情况的三边长不能构成三角形，舍去． 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 3．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 4．等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需分类讨论外角对应底角的外角还是顶角的外角，结合三角形内角和定理排除不合理情况，即可得到结果，分类讨论是解题的关键． 【详解】解：∵ 等腰三角形的一个外角为， ∴ 和这个外角相邻的内角为． 分两种情况讨论： ① 若是底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和定理，舍去该情况． ② 若是顶角，则底角为 ． ∴ 该等腰三角形的底角为． 5．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 6．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称性得到和，再利用两点之间线段最短和垂线段最短得到时最小，根据同角的余角相等得到，最后利用外角性质得到的度数． 【详解】解：作点C关于直线的对称点，过点作于点，交于点，延长交于点H， ∵点C和点关于直线对称， ∴，， ∴， 当、、三点共线且时，最小，最小值为线段的长， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 【答案】C 【分析】设运动时间为，根据线段的中点可得：再根据题意可得：，，从而可得，然后分两种情况：当时；当时，从而分别进行计算即可解答． 【详解】解：设运动时间为， ∵D是中点，， ∴，， 由题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：，； 综上所述：为使与在两点运动过程中全等，点Q的速度应为或． 二、填空题 8．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和平方数的非负性求出和的值，再分情况讨论腰长，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 若是腰长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为； 若是底边长，三角形三边长为，，，，满足三角形三边关系，此时的周长为， 综上，的周长为或． 9．一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 【答案】 或 【分析】题目中给出的边长可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，需要分两种情况计算，再根据三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况进行计算： 情况1：当为腰长时，底边长为 ， 此时三角形三边长为 ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为， ； 情况2：当为底边长时，腰长为， 此时三角形三边长为，， ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为 ； 综上，该等腰三角形的其他两边长为或． 10．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 【答案】 【分析】设出等腰三角形的腰长与底边长，根据周长得到二者的关系式，结合边长为正整数的条件与三角形三边关系，筛选出所有符合条件的边长组合，统计个数即可． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，其中，均为正整数， 由题意得：，即 ． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得且． 将代入不等式组得 ， 解不等式组得：． 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 因此符合条件的等腰三角形共有个． 11．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 【答案】 【分析】根据题意可得，；证明，得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴； ∵，是的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题 12．按要求完成下列各题： (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求它的周长； (2)已知一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其他两边的长． 【答案】(1)该等腰三角形的周长为或； (2)其他两边的长为和，或和． 【分析】（1）根据等腰三角形的特点分情况讨论即可； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：第一种情况：腰长为，底边长为，， 此时周长为； 第二种情况：腰长为，底边长为，， 此时周长为； 综上，该等腰三角形的周长为或； （2）解：第一种情况：腰长为， 此时底边长为，， 故其他两边长为和； 第二种情况：底边长为， 此时腰长为，， 故其他两边长为和． 综上，其他两边的长为和，或和． 13．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)；；或 (2)①，， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． 【分析】（1）根据运动速度和已知条件表示出和，分两种情况：当点D在线段上时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可； （2）①根据“”证明三角形全等即可；根据全等三角形的性质得出，再根据线段间的数量关系进行求解即可； ②证明，得出，根据线段间数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 当点D在线段上时，， ， ， ， 解得：； 当点D在延长线上时，， ， ∴， 解得：； 综上，当t为或时，的面积为； （2）解：①略 ②略 14．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 【答案】(1)证明：∵，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)证明：如图，在上截取，连接， ， ， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ，且， ， 在和中， ， ， ，， ， ∵是等边三角形， ∴， ，即， ． (3)； 【分析】（1）证即可得证； （2）在上截取，构造，从而证得，，再用线段的和与差即可证得； （3）类比探究，根据前问思路，构造“一线三等角”的全等，证明平分，即可得出点的运动轨迹，再利用面积法求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ， 是等边三角形， ，， ，且， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， 即， ， 平分， ∴如图所示，点E在的内角的角平分线上上运动． ∴点E的运动路程也就是的长度， 是等边三角形，是角平分线， ， ， ∵， ， 即点E的运动路程为． 15．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【详解】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个； （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 等腰三角形重难点八大题型 常考题型·精准突破 题型1 腰和底不明时需分类（高频） 题型2 顶角和底角不明时需讨论（高频） 题型3 涉及高位置的讨论（重） 题型4 等腰三角形个数的讨论（高频） 题型5 等腰三角形中动点引起的分类（高频） 题型6 等边三角形中动点综合问题（重） 题型7 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题（难） 题型8 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类 1．已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为4，求它的周长． 2．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 3．如果一个等腰三角形的周长为，其中一边长为，那么该等腰三角形的底边长为___________． 4．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 ◆题型2顶角和底角不明时需讨论 5．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（     ） A． B． C． D． 6．等腰三角形的一个内角是，则它底角的度数是（     ） A． B．或 C．或 D． 7．等腰三角形一个内角是，则底角为（     ） A． B． C． D．或 8．一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角为（     ） A． B． C．或 D． ◆题型3涉及高位置的讨论 9．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D．或 11．已知是等腰中一腰上的高，，则顶角的度数可能有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型4等腰三角形个数的讨论 12．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 13．如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 14．如图所示，共有等腰三角形（    ） A．2 B．3 C．5 D．4 15．如图，四边形沿对角线对折后重合，连接交于点，若，则图中等腰三角形的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类 16．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 17．在直角三角形中，，，点是边上一个定点（），点是边上的一个动点，将沿翻折，得到，其中． (1)若，则_____，_____； (2)当时，求证； (3)当与其中一边平行时，直接写出的值． 18．在中，，点为上一点． (1)如图1，点为上一点，将沿折叠使点落在点处，如果是等边三角形，那么________； (2)在（1）的条件下，点为射线上一动点，以线段为边，在其左侧作等边． ①如图2，点在射线的下方，若，请求出的值； ②如图3，记射线与线段的交点为，连接，在点的运动过程中，当为等腰三角形时，请求出的度数． 19．在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿的方向运动；同时动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿的方向运动，连结，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)直接写出的长， （用含的代数式表示）： (2)当时，求出此时的值； (3)当线段把的周长平分时，求出此时的值； (4)在整个运动过程中，当点到的两边距离相等时，直接写出此时的值． ◆题型6等边三角形中动点综合问题 20．如图，是等边边上的高，，分别是，上的两个定点，，，若在上有一动点，使最短，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 21．如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 22．如图，，动点从点出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（   ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．无法确定 23．如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题 24．如图，和都是等边三角形，当点B，C，D在一条直线上时，连接，交于点M，连接， (1)求证：． (2)试探究线段与线段，之间的数量关系，并说明理由． 25．已知中，，点在上，连接． (1)设，平分，点在射线上，连接． ①如图1，若，试说明； ②如图2，若，试说明； (2)如图3，若，，作点关于射线的对称点，连接并延长交射线于点，连接，若，的面积为7，求的长． 26．在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接． (1)如图1，写出与相等的角； (2)如图2，当时，在上取点，使，连接． ①补全图形； ②求； (3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系． 27．阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点N，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． (1)方法积累：结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请写出线段之间的数量关系． (4)实际运用：在（3）的条件下，已知，，，动点P从B出发，沿线段以2个单位每秒向C运动，到达C后立即原路原速度返回至B停止，运动时间为t秒，请直接写出使得的所有t的值． ◆题型8等边三角形-作平行线法解决动点综合问题 28．问题解决 是等边三角形，点是直线上一点（不与，重合），点在射线上（不与，重合），且，连接，探究与的数量关系． (1)【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系________________； (2)【数学思考】如图2，当点是边上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程； 类比延伸： (3)【拓展应用】如图3，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明． 29．综合实践 数学是一门充满乐趣，奥妙，又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”．几何图形变幻无穷，但只要我们借助图形的直观，从特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．于是数学课上，刘老师出示了以下的题目：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： (1)【特殊情况，归纳猜想】如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出你的结论： （选填“”、“”或者“=”）； (2)【特例启发，推理证明】如图2，当不是的中点时，小优和小秀认为（1）中的结论仍然成立，所以他们尝试过点E作，交于点F．刘老师肯定了这种做法，请你帮助小优和小秀完成接下来的证明过程； (3)【拓展延伸，问题解决】当点E在的延长线上时，点D在边上，且，请自己画图，并探究（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 30．如图，在等边中，点是边上一定点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． 【问题思考】 如图1，若点与点重合时，求证：； 【类比探究】 如图2，若点在边上，求证：； 【拓展归纳】 如图3，若点在边的延长线上，请直接写出线段、与之间存在的数量关系的结论是：______（不证明）． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．若等腰三角形的一边长为，另一边长为，则周长为（     ） A．或 B． C． D．或 2．如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 4．等腰三角形的一个外角等于，则它的底角等于（     ） A． B． C． D． 5．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 6．如图，在锐角中，平分，，若、分别是、上的动点，当最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段上．由C点向A点运动．若点Q的运动速度为，则当与全等时，v的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．3或4 二、填空题 8．如果实数满足，且恰好是等腰的两边长，则的周长是___________． 9．一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 10．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 11．如图，在中，，，是的高，动点在线段上由向运动，速度为；动点在线段上由向运动，速度为．动点，同时出发，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．连接，交于点．设点的运动时间为秒，当时，_________秒． 三、解答题 12．按要求完成下列各题： (1)已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求它的周长； (2)已知一个等腰三角形的周长为，一边长为，求其他两边的长． 13．【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 14．按要求解答下列问题： (1)【模型熟悉】 如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，，求证：； (2)【模型运用】 如图2，在等边中，M、N分别为，边上的点，且， ，连接AD．若，求证： ； (3)【能力提升】 如图3，等边的面积是，，点D、F分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C，请在图3中作出点E的运动轨迹，并求出点E的运动路程． 15．已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06等腰三角形重难点八大题型 内容概览 目常考题型精准突破 题型1腰和底不明时需分类（高频） 题型2顶角和底角不明时需讨论（高频） 题型3涉及高位置的讨论（重） 题型4等腰三角形个数的讨论（高频） 题型5等腰三角形中动点引起的分类（高频） 题型6等边三角形中动点综合问题（重） 题型7等边三角形截长补短法解决动点综合问题（难） 题型8等边三角形作平行线法解决动点综合问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1腰和底不明时需分类 1.11或10 2.A 3.4 4.B ◆题型2顶角和底角不明时需讨论 5.A 6.C 7.D 8.C ◆题型3涉及高位置的讨论 9. 1/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， A B .BD⊥AC,∠ABD=40° .∠A=90°-∠ABD=50°，即顶角为50°： 当等腰三角形为钝角三角形时， C .BD⊥AC,∠ABD=40°， .∠BAD=90°-∠ABD=50°， ∴.∠BAC=180°-∠BAD=130°，即顶角为130°； 综上所述，其顶角为50°或130°， 故选：C 10. 【答案】D 【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1， D B 图1 由题意得：∠ABD=56°，BD⊥AC, .∠A=90°-56°=34°， ∴.此等腰三角形的顶角的度数为34°： ②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2， 2/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 、A B 图2 由题意得：∠ABD=56°，BD⊥CD, .∠BAD=90°-56°=34°， ∴∠BAC=180°-34°=146°， ∴.此等腰三角形的顶角的度数为146°； 综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为146°或34°， 故选：D 11. 【答案】C 【详解】解：，∠ABD=50°，BD是腰上的高， .∠BAD=90°-∠ABD=90°-50°=40°， D D D B C B 图1 图2 图3 ①如图1，若∠A为顶角， 则∠A=40°，两底角为70°， 此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°， ②如图2，∠BAC为顶角， 则顶角为∠BAC=∠D+∠ABD=140°， 此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°， ③如图3，若∠BCA为顶角时， ∠A=90°-∠ABD=40°， .∠A=∠ABC=40°， 即顶角∠BCA=100°， 此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°， 顶角的度数可能有100°，140°，40°， 3/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键. ◆题型4等腰三角形个数的讨论 12.A 13.C 14.C 15.D ◆题型5等腰三角形中动点引起的分类 16.(1)S=9t-6t2 (2)存在：4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 17.(1)126,126: (2)证明：，AP=AM, ∴.∠APM=∠AMP, ÷∠APM=∠AMP=80-24=7g, 2 根据折叠的性质可知∠APM=∠APM=78°， ∴.∠APM=∠AMP, ∴.APAM: (3)21或111或78. 18.(1)30 (2)①20°；②∠DGF=75°或120° 19.(1)12-2t 2t- 5 (3)t=6 (44或8或12 ◆题型6等边三角形中动点综合问题 20.C 21.B 22.C 4/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.C ◆题型7等边三角形-截长补短法解决动点综合问题 24. 【详解】(1)证明：，'△ABC与△EDC都是等边三角形， ∴.AC=BC=AB,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60°， ∴.∠ACE=180°-∠BCA-∠ECD=60°， ∴.∠BCE=∠ACD=60°+60°=120°， 在△BCE和△ACD中 t, .△BCE≌△ACD(SAS), (2)解：BM=AM+CM: 理由如下： 如图，在DA上取点F,使DF=ME,连接CF, .△BCE≌△ACD, ∴.BE=AD,∠BEC=∠ADC, ∴.∠MEC=∠FDC, 同理可证：△MEC≌△FDC(SAS), ∴.MC=FC,∠MCE=∠FCD, ∴.∠MCF=∠MCE+∠ECF=∠FCD+∠ECF=∠ECD=60°， △MCF是等边三角形， ∴.CM=MF .BM=BE-ME =AD-DF =AM+MF =AM+CM 25. 【答案】(1)证明：①，'∠BAC=o,a=120°，AD平分∠BAC, 六∠BAE=∠EAC=3<BAC=60, .AB=BE. 5/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ABE是等边三角形， ∴.∠E=60°， ∴.∠E=∠EAC, .BE‖AC ②如图，在AE上取一点H,使AH=AB,连接BH, H 图2 由(1)知∠BAE=60°， ∴.△ABH是等边三角形， .BH=BA=AH,∠BHA=60°， ∴.∠BHE=180°-∠BHA=120°=∠BAC, ,∠BDE=∠ADC,∠EBC=∠EAC=60°， ∴.180°-∠BDE-∠EBC=180°-∠ADC-∠EAC, 即∠E=∠C, 在△BHE和△BAC中， b, ∴.△BHE≌△BAC(AAS, .'HE=AC, ∴.AE=AH+HE=AB+AC: (2)解：如图，连接AC,作AM⊥BF于点M,AN⊥FC交FC的延长线于点N, B✉ M C' 0 .CC AD 图3 点与关于射线对称， .AC=AC,FC=FC=3,∠FAC=∠PAC=号∠CAC,SAc=SAAC=7, 6120 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FC.AM-FCAN-7, ∴.AM=AN 2S△ACE-2×7_14 FC 3 3 .AB=AC,AC=AC, ∴.AC=AB, .AM⊥BF, MC=NB.∠MAC-∠MAB-∠BAC, ∠MAC+∠FAC-∠BaC+号<CAC-号<BnC-90-45, ∴.△AMF是等腰直角三角形， AM=MF=14 MC=ME-FC=14-3=5 3 3 MB=MC=5 3 .BF=BM+MF=5+4=19 333· 26. 【答案】 【详解】(1)解：，AF平分∠CAE ∴.∠EAF=∠CAF, .AB=AC,AB=AE, ..AC=AE, 在△ACF和△AEF中， t, ∴.△ACF△AEF SAS, ∴.∠E=∠ACF, ..AB=AE, .∠AEB=∠ABE, ∴.∠ABE=∠ACF: .与∠ABE相等的角是∠AEB和∠ACF 7/20 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①图略： ②如图2，在FB上截取BM=CF,连接AM, ,△ACF△AEF, .EF=CF,∠E=∠ACF=∠ABM, 在△ABM和△ACF中， b, .△ABM≌△ACF|SAS, ∴AM=AF,∠BAM=∠CAF,∠AMB=∠AFC ,AB=AC,∠BAC=60°， ∴.△ABC是等边三角形， '∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°， ..AM=AF .△AMF为等边三角形： ∴.∠AMF=60° ∴.∠AMB=120° .'∠AMB=∠AFC=120° 由(1)可得△ACF≌△AEF ∴.∠AFE=∠AFC=120° ∴.∠CFE=360°-∠AFC-AFE=120° (3)证明：如图3，延长BA、CF交于N, :AE‖BC, ∠E=∠EBC, .AB=AE. .∠ABE=∠E, .∠ABF=∠CBF, .∠BAC=90°，AB=AC, ∴∠ABC=45°， .∠ABF=∠CBF=22.5°，∠ACB=45°， .由(1)可得△ACF≌△AEF ∴.∠ACF=∠E=∠ABF=22.5°，CF=EF .∠BF℃=180°-22.5°-45°-22.5°=90°， 8/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BFN=∠BFC=90°， 在△BFN和△BFC中， t, △BFN≌△BFCASA, ∴CF=FN, 即CN=2CF=2EF, ,∠BAC=90° .∠NAC=∠BAD=90°， 在△BAD和△CAN中， i, ∴△BAD≌△CAN ASA, ∴BD=CN, ..BD=2EF. N B 图3 27. 【答案】(1)解：选择方法1，证明如下： 如图所示，在BC上截取BM=BA,连接DM, B D ,对角线BD平分∠ABC, ·.∠ABD=∠MBD. 又.BA=BM,BD=BD, ∴.△ABD≌△MBD SAS, ∴.DA=MD,∠A=∠BMD ,∠A+∠C=180°，∠BMD+∠DMC=180°， 9120 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠C=∠DMC, ..DM=DC, ∴.DA=DC: 选择方法2，证明如下： 如图所示，延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN, B 对角线BD平分∠ABC, ∠NBD=∠CBD 又BN=BC,BD=BD, .△BDN≌△BDC|SAS, .DN=DC,∠C=∠DNB, :∠C+∠BAD=180°，∠DAN+∠DAB=180°， .∠C=∠DAN, ∴∠DAN=∠DNA, ..DA=DN, ∴DA=DC: (2)解：BD=AB+BC,理由如下： 如图所示，在BD上截取BF=AB,连接AF, 由(1)得DA=DC, .∠DAC=60° :△ACD是等边三角形， .AC=AD,∠ADC=60°： ,∠ABD+∠ADB+∠BAD=180°，∠BCD+∠BDC+∠CBD=180°， .∠ABD+∠ADB+∠BAD+∠BCD+∠BDC+∠CBD=360°， 10/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°， 又，∠BAD+∠BCD=180°， ∴.∠ABC=120° ,对角线BD平分∠ABC, ÷∠ABD=号∠ABC=60, 又BF=AB, ∴△ABF是等边三角形， ∴.AF=AB,∠BAF=60°=∠DAC, .∠BAF-∠CAF=∠DAC-∠CAF, .∠BAC=∠FAD, .△BAC≌△FAD SAS, ..BC=DF. .BD=BF+DF, ..BD=AB+BC; (3)BC=AB+2CE (4)4或18 【详解】(1)略 （2)略 (3)解：如图所示，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F,连接BD, :∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠FAD=180°， .∠C=∠FAD」 ,DF⊥BA,DE⊥BC .∠F=∠DEB=∠DEC=90°， 又DA=DC, ∴.△DFA2△DECAAS, ∴.DF=DE,AF=CE 又，BD=BD, 11/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .Rt△BDE≌Rt△BDFHL, ..BF=BE, .BC=BE+CE. ∴.BC=BF+CE=AB+CE+CE=AB+2CE,即BC=AB+2CE: (4)解：如图所示， DE⊥CE,DE=8,CE=6, ∴Saee号DE-CE=-24. 2 S△ABD:SACED=53, S△ABD-40; 由(3)可得△DFA≌△DEC,Rt△BDE≌Rt△BDF, .SAADF=SACDE-24,SABDE=SABDF=SAABD+SAADF-64, BEDE-64. .BE=16 ..BC=BE+CE=22 :SAD号BP-DE=32, BP=8, :当点P从B向点C运动时，则t=9=4, 当点P从点C向点B运动时，则t 22×2-8=18, 综上所述，t的值为4或18. ◆题型8等边三角形作平行线法解决动点综合问题 28. 【详解】(I)解：BD=DE, ,△ABC是等边三角形，点D在边AC的中点， :∠ACB=∠ABC=60°，AD=CD,且BD平分∠ABC, 12/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠CBD=30°，∠DCE=120° .AD=CE, ∴.CD=CE, ·∠E=180°-1200 =30° .∠CBD=∠E=30°， ∴BD=DE: (2)证明：如图2，过点D作DF‖BC,交AB于点F, ,△ABC是等边三角形， ∴.∠AFD=∠ABC=60°，∠ADF=∠ACB=60°， ∴.∠AFD=∠ADF=60°， D ∴.△AFD E 图2 是等边三角形， ∴.AD=DF=AF, .AB=AC, ..AB-AF=AC-AD. ∴.FB=CD .AD=CE, ∴.DF=CE, 又.∠AFD=∠ACB=60°， ∴.∠DFB=∠ECD=180°-60°=120° 在△FBD和△CDE中， FB=CD,∠DFB=∠ECD,DF=CE, △FBD≌△CDE SAS, ∴.DB=ED: (3)结论： AC=CM+CN证明：过M作MF‖AC交AB于F, 13/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A F .△ABC D M 是等边三角形， ∴.同理可得△BMF是等边三角形 ∴.BF=BM,AB=BC=AC,∠B=60°， .'AB-BF=BC-BM, ∴.AF=CM, ,'在△ABM中，∠MAB=180°-∠B-∠AMB,∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB, ∠B=∠AMN=60°， ∴.∠NMC=∠MAF, .CN平分∠ACD, .∠ACN=180°-60 2 =60° ∴.∠MCN=∠ACN+∠ACB=120°，∠AFM=180°-∠BFM=120°， ∴.∠MCN=∠AFM, 在△AFM与△MCN中，乙， .△AFM≌△MCNASA, ∴.FM=CN=BM, ∴.AC=BC=CM+BM=CM+CN 29. 【答案】(1)= ()②如图，过点E作EF BC交AC于点F, 则∠AEF=∠ABC=60°， :∠A=60°， ∴△AEF是等边三角形， 14/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AE=FE=AF,∠AFE=60°」 ∴.∠EFC=∠DBE=120°， .AB=AC,AE=AF, ∴BE=CF, .EF‖BC, ∠ECB=∠CEF, ..ED=EC, ∠D=∠ECB=∠CEF, 在△DBE和△EFC中， 飞， ∴△DBE≌△EFC(AAS, ..BD=FE, ..BD=AE; (3)不发生变化，证明如下： 如图，过点E作EF‖BC交CA的延长线于点F, E A 4人3 B D ∠1=，∠BCE+∠CEF=180° .∠B=∠ 1BAC=60°， ∠EAF=∠ 2E-60°， “△AEF是等边三角形， .AE=EF,∠F=∠B=60°， .DE=CE, .∠3=BCE, ∠ 3+, 4=CEF 在△BDE与△FEC中， 15/20 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ， ∴△BDE≌△FECAAS, ∴BD=EF, ..AE=BD 30. 【答案】 问题思考：证明：△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°，AB=BC ,△BEF是等边三角形， .BE=BF,∠EBF=60 :.∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC=60°， ∴∠ABE=∠CBF, 在△ABE和△CBF中， EB=BF {∠ABE=∠CBF AB=BC ∴△ABE≌△CBF(SAS) ∴.AE=CF, ..CD=CB=CA=CE+AE=CE+CF. ..CE+CF=CD 类比探究：作DG∥AB交AC于点G,如图所示： △ABC 是等边三角形， ∴.∠A=∠B=∠ACB=60°， .DG∥AB .∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60° ∴.∠GDC=∠DGC=∠GCD=60° ∴.△CDG是等边三角形， ..DG=DC=CG 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△DEF是等边三角形， .DE=DF,∠EDF=60°， ∴∠GDE+∠EDC=∠CDF+∠EDC=60°， .∠GDE=∠CDF, 在△DEG和△CDF中， GD=CD {∠GDE=∠CDF DE=DF ∴.△GDE≌△CDF(SAS) ..GE=CF. ..CD=CG=CE+EG=CE+CF. .CE+CF=CD 综合攻坚知能拔高 1.B 2.C 3.D 4.C 5.D 6.B 7.C 8.11或13 9.13cm,13cm 10cm,16cm 10.3 11.3 12.(1)该等腰三角形的周长为18cm或21cm; (2)其他两边的长为12cm和6cm,或9cm和9cm, 2.14 13.(①)3t:2t:3或3 (2)①△ABD≌△ACE,CD+CE=8cm, 理由如下： 17/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AD⊥AE, .∠DAE=90°， .∠BAC=90°， .∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, .AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=∠ACB=45°， .MN⊥BC, .∠BCE=90°， ∴.∠ACE=∠BCE-∠ACB=45°， .∠ABC=∠ACE ∴.△ABD≌△ACEASA: ..BD=CE. .CD+CE=CD+BD=BC=8cm: ②CD-CE=8cm,理由如下， 如图，AD⊥AE, ∴.∠DAE=90°， .∠BAC=90°， ∴.∠DAB=∠EAC, .'AB=AC, ∴.∠ABC=∠ACB=45°. ∴.∠ABD=180°-45°=135°， MN⊥BC, ∴.∠DCE=90° .∠ACE=90°+45°=135° ∴.∠ABD=∠ACE, ∴.△ABD≌△ACEASA, ∴.BD=CE .CD-BD=BC=8 cm, .∴.CD-CE=8cm. 18/20 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 14.(I)证明：，'∠B=∠ACD,∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠B+∠BAC, ∴.∠BAC=∠DCE, 在△ABC和△CED中， ∠B=∠E ∠BAC=∠ECD AC=CD ∴.△ABC≌△CED AAS, ∴.BC=DE: (2)证明：如图，在AB上截取AF=DF,连接DF, 9 D .'∠DAN=30 B C M ∴.∠DAN=∠ADF=30°， '.∠DFN=∠DAN+∠ADF=60°， ,△ABC是等边三角形， ,∠B=60°， ∴.∠DFN=∠B .'∠ANM=∠AND+∠DNM=∠BMN+∠B,且∠DNM=∠B=60, ∴.∠AND=∠BMN, 在△FDN和△BNM中， ∠DFN=∠B ∠DNF=∠NMB ND=MN .△FDN≌△BNM AAS, ∴.FD=BN,FN=BM, ∴.AF=BN, 19120 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△ABC是等边三角形， ∴AB=BC, ∴.AB-NF=BC-BM,即AF+BN=CM, ∴.CM=2BN D 3V3 B (3)M 15.(1)S=9t-6t2 (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 20/20