29.2.1垂直于弦的直径的应用（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦垂径定理的应用，通过赵州桥、圆管截面、隧道等生活情境导入，引导学生发现实际问题中弧与弦的共性，衔接垂径定理知识，构建“实际问题—几何模型”的学习支架。 特色在于强化数学建模与几何直观，将拱桥抽象为圆弧模型，圆管问题分水深小于和大于半径两种情形，用“半径—半弦—弦心距”直角三角形及勾股定理列方程，培养数学眼光和运算能力，助力学生掌握建模方法，为教师提供清晰教学流程与突破策略。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 29.2.1 垂径定理的应用（第2课时） 课 型 新授课 教学 目标 1.能运用垂径定理解决拱桥、隧道、圆管截面等实际问题，掌握将实际问题抽象为圆的几何模型的方法。 2.熟练运用"半径—半弦—弦心距"直角三角形模型进行计算，会处理弓形问题（拱高与弦心距的关系）。 3.在解决实际问题的过程中，体会数学建模思想和转化思想，培养用数学解决实际问题的能力。 ★核心素养：数学建模（实际问题抽象为几何模型）、数学运算（勾股定理计算）、几何直观（图形分析） 重点 垂径定理在实际问题中的应用，特别是拱桥问题和圆管截面问题中几何模型的建立。 ★关键：拱高=半径-弦心距（当拱顶在弦上方时），即h=r-d 难点 将实际问题抽象为圆的几何模型，正确识别弦、弦心距、拱高之间的关系，构造直角三角形求解。 ★突破策略：①画示意图标注已知量；②找圆心、作弦心距；③利用r²=d²+()²列方程；④注意拱高h=r-d或h=r+d的两种情形 教学 方法 建模教学法、图解分析法、实际应用法、变式训练法 ★学法指导：审题→画图→建模→求解→检验，注意实际问题中各量的对应关系 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约1400年，是世界上现存最古老的石拱桥之一。它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦长）约37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）约7.2m。你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ ②一根圆形排水管，截面直径为100cm，下雨后管内积水深度为20cm，你能求出此时水面的宽度吗？ ③隧道的截面是半圆形，一辆高4m、宽3m的货车能否通过一个半径为5m的半圆形隧道？ 2.互动提问： ①这些问题有什么共同特点？（都涉及圆的一部分——弧和弦） ②如何将这些实际问题转化为我们学过的数学问题？ 3.揭示课题：今天我们学习垂径定理在实际问题中的应用。 任务驱学 任务1：将拱桥问题抽象为几何图形——圆弧拱，水面（或桥面）对应弦，拱高对应弧中点到弦的距离。 任务2：过圆心作弦的垂线（弦心距所在直径），利用垂径定理得出半弦长，构造直角三角形。 任务3：分析拱高与弦心距的关系：拱高h=半径r-弦心距d（拱顶在圆心和弦之间时），列方程求解。 【设计意图】通过实际问题的建模过程，让学生掌握"实际问题→几何模型→直角三角形→方程求解"的解题路径。 二次备课 二、合作探究 探究1 拱桥问题的数学模型 ①将桥拱看作圆的一部分（圆弧），跨度AB为弦，拱顶C为弧的中点，拱高CD为C到弦AB的距离。 ②设圆心为O，半径为r。由垂径定理，OC⊥AB于D，AD=DB=。 ③关键关系：OD=OC-CD=r-h（h为拱高），即弦心距d=r-h。 ④在Rt△OAD中，OA²=OD²+AD²，即r²=(r-h)²+()²。 探究2 圆管截面问题的数学模型 ①圆管截面为圆，直径已知。水面为弦，水深为从底部到水面的距离。 ②设圆心O，半径r，水面AB，水深为h（从底部C到水面AB的距离）。 ③弦心距OD=|r-h|（当h<r时，D在O下方，OD=r-h；当h>r时，OD=h-r）。 ④在Rt△OAD中，OA²=OD²+AD²，可求半弦长AD，水面宽度AB=2AD。 ★深度剖析： ①拱桥问题中，拱高h一定小于半径r（因为拱顶在圆上），所以d=r-h>0； ②圆管问题中，水深h可以小于、等于或大于半径，要注意弦心距的绝对值； ③两种问题的核心都是构造直角三角形，利用勾股定理列方程。 ★易错点提示： ①拱高是"弧的中点到弦的距离"，不是"圆心到弦的距离"，二者相差一个半径； ②列方程时要注意是r-h还是h-r，取决于拱顶（或水面）与圆心的位置关系； ③实际问题中要注意单位统一，结果要符合实际意义。 ★数学思想渗透： 建模思想：将实际问题抽象为圆的几何模型； 方程思想：利用勾股定理建立方程求解未知量； 转化思想：将曲线问题转化为直角三角形问题。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 如图1，某圆弧形拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=4m（C为弧AB的中点，CD⊥AB于D），求桥拱所在圆的半径。 解：设桥拱所在圆的圆心为O，半径为r。 ∵C是弧AB的中点，CD⊥AB，由垂径定理可知O、C、D三点共线， 且AD=DB==8m。 ∵OD=OC-CD=r-4， 在Rt△OAD中，OA²=OD²+AD²， 即r²=(r-4)²+8²， r²=r²-8r+16+64， 8r=80，r=10。 答：桥拱所在圆的半径为10m。 【方法总结】拱桥问题解题步骤：①设半径r；②由垂径定理得半弦长；③用r表示弦心距（r-h）；④列勾股方程求解。 例2 如图2，一根圆形排水管的截面直径为10m，管内积水深度为2m（从管底到水面的距离），求此时水面的宽度AB。 解：设圆心为O，半径r=5m。过O作OD⊥AB于D，连接OA。 由垂径定理得AD=DB。 ∵水深为2m，管底C到水面AB的距离为2m， ∴OD=OC-CD=5-2=3m（D在O下方）。 在Rt△OAD中，AD²=OA²-OD²=5²-3²=25-9=16， ∴AD=4m，AB=2AD=8m。 答：此时水面的宽度为8m。 【方法总结】圆管问题关键是确定弦心距：水深h<r时，弦心距d=r-h；水深h>r时，弦心距d=h-r。 例3 变式：若例2中积水深度变为7m（水面超过圆心），求水面宽度。 解：此时水深h=7>r=5，弦心距OD=h-r=7-5=2m。 在Rt△OAD中，AD²=5²-2²=25-4=21，AD=√21， AB=2√21≈9.17m。 【易错警示】水深超过半径时，弦心距=水深-半径，不要仍用r-h。 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生板演例1、例2的建模和求解过程，小组互评是否正确识别了各量之间的关系。 2.讨论问题： ①在拱桥问题中，如果已知半径和拱高，如何求跨度？（同样用勾股定理：AB=2√(r²-(r-h)²)） ②在圆管问题中，为什么水深超过半径时弦心距要用h-r而不是r-h？（因为水面在圆心上方） 3.教师强调： ①实际问题的关键是画好示意图，准确标注已知量和未知量； ②拱高和弦心距是两个不同的概念，拱高=半径-弦心距（拱桥情形）； ③解方程后要检验结果是否符合实际意义。 ★拓展思考：一辆货车高4m、宽3m，能否通过一个半径为5m的半圆形隧道？（提示：比较货车角部位置的隧道高度与车高） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：拱桥问题中，拱高h、半径r、弦心距d的关系是____。 （答案：h=r-d或d=r-h） 2.填空：半径为13的圆中，弦长为10，则弦心距为____。 （答案：12） 3.选择：一圆形截面水管直径10，水深2，则水面宽度为（　） A.4 B.6 C.8 D.10 （答案：C） 4.解答：如图1，若拱桥跨度AB=12m，拱高CD=3m，求桥拱半径。 （答案：r²=(r-3)²+6²，r=7.5m） 5.拓展：一圆弧形隧道截面半径5m，一辆高4m、宽3m的货车能否通过？ （答案：在距中心线1.5m处，隧道高度=√(25-2.25)=√22.75≈4.77m>4m，能通过） 【分层设计】1-3题为基础题，4题为中档题，5题为稍难题 二次备课 课 堂 小 结 1.垂径定理应用的核心：构造"半径—半弦—弦心距"直角三角形。 2.拱桥问题：跨度为弦，拱高h=r-d，列方程r²=(r-h)²+()²。 3.圆管问题：水深h<r时d=r-h，h>r时d=h-r，水面宽=2√(r²-d²)。 4.解题步骤：审题画图→建立模型→构造直角三角形→列方程求解→检验。 5.数学思想：建模思想、方程思想、转化思想。 ★知识网络：实际问题→圆的模型→垂径定理→直角三角形→勾股方程→求解 课后 作业 1.必做：课本29.2.1练习第2题；习题29.2第2、3题。 2.选做： ①测量身边一个弧形物体（如拱形门、半圆形窗户）的跨度和拱高，计算其所在圆的半径； ②思考：如果拱桥的拱高增加，跨度不变，半径如何变化？ 3.预习：阅读课本29.2.2，了解圆心角、弧、弦之间的关系。 板 书 设 计 29.2.1 垂径定理的应用 一、拱桥问题 跨度AB=a（弦），拱高CD=h 弦心距d=r-h r²=(r-h)²+()² 二、圆管问题 直径D=2r，水深h h<r时d=r-h；h>r时d=h-r 水面宽=2√(r²-d²) 三、解题步骤 画图→建模→Rt△→方程→检验 课 后 反 思 教学反思 1.赵州桥的引入富有文化内涵，学生兴趣浓厚，体会到数学在古代建筑中的应用。 2.学生对"拱高"和"弦心距"的区别理解不够，容易混淆，需要通过图形反复强调。 3.例2的变式（水深超过半径）是难点，部分学生想不到弦心距要取绝对值，需要对比讲解。 4.建模能力是本节课的核心，部分学生在画示意图时不能准确标注各量，需要教师示范。 5.方程思想的渗透较为成功，学生能理解用勾股定理列方程求解未知半径的方法。 6.改进方向：可增加更多生活实例（如隧道、碗、锅盖等），让学生在不同情境中巩固建模方法；可引入小组合作测量活动，增强实践体验。 学科网（北京）股份有限公司 $