22.2 比例线段 （第3课时）教学设计 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“黄金分割”核心知识点，通过复习比例基本性质、合比及等比性质巩固旧知，以欧多克索斯经典问题自然导入新课，构建从比例线段到黄金分割的学习支架，为新知探究奠定基础。 此资料亮点在于引导学生独立列方程推导黄金比，落实方程思想，体现数学思维的推理能力，联系课本长宽比、鹦鹉螺外壳等实例培养数学眼光的抽象与创新意识，课堂小结用思维导图呈现知识结构，例题和练习强化分类讨论与计算，提升数学语言的模型应用能力，助力学生发展理性思维，便于教师教学层次清晰、高效实施。

第二十二章 相似形 22.2 比例线段 第3课时 黄金分割 1、 教学目标 1.理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念. 2.知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 3.经历从比例线段建立方程求解黄金比的过程，体会方程思想在几何计算中的应用. 4.激发数学探究兴趣，发展理性思维，提升数学核心素养. 二、教学重难点 重点：理解黄金分割、黄金分割点、黄金比的概念. 难点：知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件 4、 教学过程设计 环节一 情境导入 教师活动：教师提出问题，先让学生简单思考，然后回答. 问题1：比例的基本性质是怎样的？ 预设： 如果，那么(bd≠0)． 反之也成立，即 如果，那么(bd≠0)． 问题2：比例线段还具有哪些性质？ 预设： 合比性质： 如果，那么 (bd≠0)． 等比性质 如果，且， 那么. 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(约前400一前347)曾提出一个奇妙的问题：能否将一条线段AB分成不相等的两部分AP和PB(AP>PB)，AB：AP= AP：PB ? 设计意图：复习比例基本性质、合比、等比性质，巩固旧知，为黄金分割的比例列式计算做好知识铺垫。再抛出欧多克索斯经典问题，自然引出新课，激发探究兴趣，实现旧知到新知的过渡. 环节二 探究新知 【探究】 教师活动：教师提出问题先让学生独立解决，再交流探讨，最后教师展示答案. 如图，已知线段AB长度为a，点P是AB上一点，且使AB∶AP=AP∶PB．求线段AP的长和的值． 　 解： 设AP=x，那么PB=a-x． 根据题意，得 a∶x=x∶(a-x)， 即 x2+ax-a2=0. 解方程，得 . 因为线段长度不能为负值，所以取. 即 . 于是. 【归纳】 AB∶AP=AP∶PB 把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数．又称为黄金比. 注意：①一条线段有2个黄金分割点； ②黄金分割点的性质：=. 设计意图：让学生经历独立探究、列式解方程的过程，推导黄金比。从具体计算归纳黄金分割概念，理解比例中项含义，掌握黄金比，落实几何问题代数化的方程思想，突出本课重点. 【思考】 “黄金分割”在生活中还有哪些应用呢? 预设：数学课本是长方形，其宽与长的比约为0.618.鹦鹉螺外壳，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618 设计意图：联系生活实例，让学生感受黄金分割的实际价值，体会数学来源于生活，拓宽知识视野. 环节三 应用新知 例题 已知线段AB=6，点C为线段AB的黄金分割点，AC=a，BC=b，求a-b和a·b的值. 分析：分a＞b和a＜b进行计算即可. 解：当a＞b时，∵点C为线段AB的黄金分割点， ∴=，即2a=()AB. 又∵AB=6，∴a=3−3. ∴b=AB-a=9−3. ∴a-b=6，a∙b=36−72. 当a＜b时，∵点C为线段AB的黄金分割点， ∴=， 又∵AB=6.∴b=3−3. ∴a=AB-b=9−3. ∴a-b=12−6，a∙b=36−72. 设计意图：通过例题巩固黄金分割概念，训练分类讨论思想，落实 “一条线段两个黄金分割点” 的知识点。强化黄金比的运算，提升学生根式计算能力，学会运用新知解决具体计算题. 环节四 课堂练习 1.点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果，那么下列说法错误的是(   ) A.线段AB被点C黄金分割　　　B.点C叫作AB的黄金分割点 C.AC与AB的比叫作黄金比　　 D.AC= 答案：D. 2.小明同学发现自己的一本书的宽与长的比为黄金比.已知这本书的长为20 cm,则它的宽约为(    ) A.12.36 cm　　B.13.60 cm　　C.32.36 cm　　D.7.64 cm 答案：A. 3.大自然巧夺天工，图中这片小小的树叶蕴含“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB)，且AB的长度为10cm，求PB的长度. 解：∵P为AB的黄金分割点， ∴=√5−1/2，∴ AP=×10=5−5， ∴PB=AB-AP=10−(5−5)=15−5(cm). 4.已知点C是线段AB的黄金分割点，BC=AC+2，求线段AC的长.  解：设AC=x，那么BC=x+2，AB=2x+2 ． 根据题意，得 AB∶BC=BC∶AC， 即 (2x+2)∶(x+2) = (x+2)∶x， 化简得 x2 2x4=0. 解方程，得 . 因为线段长度不能为负值，所以取. 所以线段AC的长为. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 课堂小结 以思维导图的形式呈现： 设计意图：通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $