第6讲 反比例函数及性质 优等生讲义 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第6讲 反比例函数及性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解反比例函数的概念，能判断一个函数是否为反比例函数 · · 掌握反比例函数y=的图像是双曲线及画法 · · 掌握k的符号对图像所在象限和增减性的影响 · · 理解k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线所得矩形面积） · · 能综合反比例函数与一次函数的图像解决交点与不等式问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的定义 形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫反比例函数 也可写成y=kx-1或xy=k，自变量x≠0 判断反比例函数：分母含x且系数k≠0，指数为-1 y是z的反比例函数、z是x的正比例函数，则y仍是x的反比例函数 概念辨析例题：函数y=(k+1)x|k|-2是反比例函数，求k 解析：需|k|-2=-1且k+1≠0，即|k|=1且k≠-1，故k=1 ☆ 2.反比例函数的图像 图像是双曲线，有两个分支，关于原点中心对称 k>0时两支在第一、三象限；k<0时两支在第二、四象限 图像无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交 画法：列表→描点→连线，注意x≠0不能连成经过原点 概念辨析例题：反比例函数y=的图像在第二、四象限，求k范围 解析：在二、四象限则4-k<0，故k>4 ☆ 3.反比例函数的性质 k>0时，在每个象限内y随x增大而减小 k<0时，在每个象限内y随x增大而增大 注意：必须强调「在每个象限内」，不能跨象限比较 k的几何意义：过双曲线上任一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积=|k| 概念辨析例题：反比例函数y=，当-6≤x≤-2时y最大值为-1，求k 解析：x<0时y最大为-1，说明在第三象限k>0且x=-6时y=-1，k=(-6)(-1)=6 ☆ 4.反比例函数与一次函数综合 两个函数图像交点：联立方程求方程组的解 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称 不等式y1>y2的解集看图像谁在上方，分区间写 双曲线左右平移遵循左加右减：y=由y=右移a 概念辨析例题：一次函数y=-kx+1与反比例函数y=的图像可能是 解析：直线截距恒为1过y轴正半轴；k>0时斜率-k<0过一二四象限 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 反比例函数定义 y=(k≠0) x≠0 图像形状 双曲线 不与坐标轴相交 k>0 一、三象限，每个象限内y随x增大而减小 不能跨象限比较 k<0 二、四象限，每个象限内y随x增大而增大 不能跨象限比较 k的几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 交点 联立方程求解 正比例与反比例交点关于原点对称 平移 左加右减 y=右移a ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的定义（第1-7题） · · 指数必须为-1 · · 系数k≠0 · · 分母含x且为整式 · · 复合关系用代入法证明 1．（2026春•宝山区校级月考）如果函数y＝（k+1）x|k|﹣2是反比例函数，那么k的值为（　　） A．6 B．﹣1 C．1 D．2或3 【分析】反比例函数的形式为y＝kx﹣1（k≠0），因此需满足指数为﹣1且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【解答】解：由题意可得k+1≠0，|k|﹣2＝﹣1， ∴k≠﹣1，|k|＝1， 解得k＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 2．（2025秋•伊犁州期末）下列数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．人的身高和体重 B．等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高 C．看一本书，已经看的页数和没看的页数 D．买同一种练习本所需的费用与购买的本数 【分析】先确定相应的关系式，然后作出判断． 【解答】解：根据题意先确定相应的关系式，然后作出判断如下： A、人的身高和体重无固定乘积关系，不成比例，不符合题意； B、等腰三角形的面积等于底边和底边上的高的乘积的一半，当面积一定时，则底边和底边上的高成反比例关系，符合题意； C、看一本书，已经看的页数和没看的页数和一定，不成比例，不符合题意； D、买同一种练习本所需的费用与购买的本数比值一定，成正比例关系，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是掌握：判断两个量成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例． 3．（2026•宝山区二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【分析】形如y（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，据此进行判断即可． 【解答】解：y，y不符合反比例函数的定义，它们不是反比例函数， y中y是（x+1）的反比例函数，而非x的反比例函数， y中y是x的反比例函数， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 4．（2025秋•虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是　②③　 （填入序号）． 【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意． 【解答】解：①y是二次函数； ②y是反比例函数； ③y是反比例函数； ④y﹣1不是反比例函数； ⑤y不是反比例函数； 故答案为：②③． 【点评】此题主要考查了反比例函数定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y（k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）． 5．（2025秋•梓潼县期末）若是反比例函数，则a的值为　﹣1　 ． 【分析】根据反比例函数的定义解题即可． 【解答】解：若是反比例函数， 由题意知，， 解得：a＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，理解其定义是解题的关键． 6．（2024春•惠山区校级期末）若函数是反比例函数，则m的值为 　2　 ． 【分析】形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，也可写成y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），由此解答即可． 【解答】解：若函数是反比例函数， 则3﹣m2＝﹣1， 解得m＝±2， ∵m+2≠0， ∴m≠﹣2， ∴m＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 7．（2024•海淀区校级开学）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 【分析】（1）依题意设（a≠0），z＝bx（b≠0），根据时，y＝6，x＝6时，z＝4求出a＝﹣4，b＝4/6＝2/3，则①，②，将②代入①即可得出y与x之间的函数关系式； （2）由（1）得（a≠0），z＝bx（b≠0），则，由此即可得出结论． 【解答】（1）解：∵y是z的反比例函数， ∴设（a≠0）， ∵当时，y＝6， ∴a4， ∴①， ∵z是x的正比例函数， ∴设z＝bx（b≠0）， 又∵当x＝6时，z＝4， ∴， ∴②， 将②代入①，得：； （2）证明：由（1）得：（a≠0），z＝bx， ∴， ∴y是x的反比例函数． 【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正比例函数的定义，理解反比例函数的定义，正比例函数的定义是解决问题的关键． 【考点2】反比例函数的图像（第8-19题） · · 由k符号定象限 · · 两函数图像共存分情况讨论 · · 待定系数法求k · · 平移规律左加右减 8．（2026•科尔沁区校级二模）如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．5 C．2 D．0 【分析】根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得4﹣k＜0，求出k的取值范围进而即可求解． 【解答】解：由条件可知4﹣k＜0， ∴k＞4， 观察只有选项B的数值符合要求， ∴k的值可以是5． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026春•洛宁县期末）一次函数y＝﹣kx+1与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先分k＞0和k＜0两种情况，分别判断一次函数 y＝﹣kx+1 和反比例函数 y 的图象特征，再与选项对比．一次函数的截距恒为1，说明它一定经过y轴正半轴，可先排除不符合此条件的选项． 【解答】解：一次函数与y轴的交点为（0，1），因此图象必经过y轴正半轴．观察选项，选项 B 中的直线与y轴交于负半轴，直接排除， 情况一：k＞0， 反比例函数y的图象在一、三象限， 一次函数y＝﹣kx+1中，斜率﹣k＜0，截距1＞0，因此图象经过一、二、四象限，对比选项，只有选项A符合此特征， 情况二：k＜0， 反比例函数y的图象在二、四象限， 一次函数y＝﹣kx+1中，列率﹣k＞0，截距1＞0，因此图象经过一、二、三象限，观察选项，没有选项同时满足“反比例函数在二、四象限”和“一次函数经过一、二、三象限”． 故选：A． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的图象性质．熟练掌握根据系数k的符号判断两种函数图象位置的方法是解题的关键． 10．（2024秋•梓潼县期末）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答． 【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数在二，四象限，一次函数y＝﹣kx+k的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数在一、三象限，一次函数y＝﹣kx+k的图象过一、二、四象限，A选项符合． 故选：A． 【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题． 11．（2026•周至县一模）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】分k＞0和k＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【解答】解：k＜0时，一次函数y＝kx﹣4的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合， k＞0时，一次函数y＝kx﹣4的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（2026•娄底一模）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是k＜2026　 ． 【分析】由反比例函数的图象位于第二、四象限得到k﹣2026＜0，然后求解即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣2026＜0， 解得k＜2026． 故答案为：k＜2026． 【点评】本题考查了反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2026•硚口区一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电阻R＝6Ω时，则对应的电流是　6　 A． 【分析】先设出电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I（U≠0）利用待定系数法求出解析式，进而求出当R＝6时，I的值即可得到答案． 【解答】解：设电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I（U≠0）， 把（9，4）代入I（U≠0）中得：4（U≠0）， ∴U＝36， ∴电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数关系式为I， ∴当R＝6时I6， ∴电流I的大小为6A． 【点评】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 14．一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k1k2，b的取值范围分别是k1k2＞0；b＜0　 ． 【分析】先根据一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象在哪个象限内，判断出k1、k2、b的范围，再判断出k1k2，b的取值范围即可． 【解答】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴k1＜0，b＜0， 又∵反比例函数的图象经过二、四象限， ∴k2＜0， ∴k1k2＞0． 故答案为：k1k2＞0；b＜0． 【点评】本题主要考查了一次函数和反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2025秋•藁城区期末）如图是反比例函数（k≠0）的图象，整数k的值是　1　 ． 【分析】根据反比例函数的图象可得0＜k＜2，即可得出答案． 【解答】解：根据图象可知：0＜k＜2， ∴整数k的值是1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象与k的关系是关键． 16．（2025秋•栾城区校级期中）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则a＝　﹣4　 ，此时不等式的解集为x＜0或x＞4　 ． 【分析】利用左加右减的平移规律即可得到结论；根据图象即可求得． 【解答】解：将函数y的图象向右平移4个单位得到函数y的图象，则a＝﹣4； 故答案为：﹣4； 函数y向左平移a个单位得到函数的图象， 观察图象，不等式的解集为x＞4或x＜0． 故答案为：﹣4，x＜0或x＞4． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 17．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． （1）填写表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y1 … 　﹣1　 ﹣3 3 　　 1 … y2 … 1 　3　 ﹣3 … （2）以表格中的对应值为点的坐标，在图中画出函数图象． 【分析】（1）根据函数解析式求出对应的函数值后填写表格即可； （2）以表格中的对应值为点的坐标，描出点连线即可画出函数图象； 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，；当x＝2时，； 当x＝﹣1时，，当x＝3时，； ∴填写表格如下： x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 ⋯ y1 ⋯ ﹣1 ﹣3 3 1 ⋯ y2 ⋯ 1 3 ﹣3 ﹣1 ⋯ （2）画函数图象如下： 【点评】本题考查了画反比例函数图象，掌握画反比例函数图象的步骤是解题的关键． 18．（2024春•泰兴市校级月考）已知反比例函数； （1）直接写出自变量x的取值范围． （2）在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图象； x … … y … … （3）观察图象，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 【分析】（1）根据分母不为零即可得解； （2）根据自变量的取值范围，给定x的值，并求出相应的y的值，并描点连线即可； （3）根据画出的图象回答即可． 【解答】解：（1）分母不为零可知：自变量x的取值范围是x≠0； （2）列表格如下： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1.5 2 3 6 ﹣6 ﹣3 ﹣2 ﹣1.5 … 描点并连线如下： （3）由图象可知：在每一个象限y随x的变化是y随x的增大而增大． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，会运用描点法画函数图象是解题的关键． 19．（2024秋•长春期末）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 　10　 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 　12.5　 小时． 【分析】（1）根据图象直接得出保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10（小时）； （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （3）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，把y＝16分别代入一次函数和反比例函数的解析式即可求得时间段，求出出差即可解决问题． 【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2＝10小时； 故答案为：10； （2）设当0≤x≤2时，y与x之间的函数关系式为y＝kx+14， 把A（2，18）代入得18＝2k+14， ∴k＝2， ∴y＝2x+14（0≤x≤2）； （3）∵点B（12，18）在双曲线y上， ∴k＝12×18＝216， ∴y（x＞12）， 把y＝16代入得，16， 解得x＝13.5， 把y＝16代入y＝2x+14得，16＝2x+14， 解得x＝1， 所以这天该蔬菜能够快速生长的时间是13.5﹣1＝12.5小时． 故答案为：12.5． 【点评】本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练应用待定系数法解决问题． 【考点3】反比例函数的性质（第20-35题） · · 增减性必须说每个象限内 · · 区间最值代入端点比较 · · k几何意义面积=|k| · · 描点法探究新函数性质 20．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 【分析】根据两种函数的性质逐一判断各选项即可． 【解答】解：A、 是反比例函数 k＝3＞0 y仅在每个象限内随x增大而减小，在全体定义域内不满足y随x增大而减小，故A错误； B、 是反比例函数 k＝﹣3＜0 y在每个象限内随x增大而增大，故B错误； C、y＝﹣3x 是正比例函数∵k＝﹣3＜0∴y随x的增大而减小，故C正确； D、y＝3x 是正比例函数∵k＝3＞0∴y随x的增大而增大，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数与反比例函数的增减性，熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2025秋•通州区期末）已知反比例函数，下列判断正确的是（　　） A．函数图象分布在第二、四象限 B．图象经过点（﹣1，3） C．若x＞1，则y＞3 D．在各自象限内，y的值随x的增大而减小 【分析】根据所给反比例函数解析式，结合反比例函数的图象与性质对所给选项依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以函数图象位于第一、三象限， 故A选项不符合题意； 将x＝﹣1代入y得， y＝﹣3≠3， 所以图象不经过点（﹣1，3）， 故B选项不符合题意； 因为在第一象限y随x的增大而减小，且x＝1时，y＝3， 所以当x＞1时，0＜y＜3， 故C选项不符合题意； 因为反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， 故D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 22．（2026•拱墅区一模）设反比例函数y（k为常数，k≠0）．已知当﹣6≤x≤﹣2时，y的最大值为﹣1，则当2≤x≤3时，y的最大值为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以求得当2≤x≤3时，y的最大值． 【解答】解：∵反比例函数y（k为常数，k≠0），当﹣6≤x≤﹣2时，y的最大值为﹣1， ∴当k＞0时，x＝﹣6，y＝﹣1，则k＝6， 此时的函数解析式为y，当2≤x≤3时，x＝2，y取得最大值3； 当k＜0时，x＝﹣2，y＝﹣1，则k＝2（不合题意，舍去）； 由上可得，当2≤x≤3时，y的最大值为3， 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 23．（2025秋•海城市期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，﹣3） B．图象位于第一、第三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＞3 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【解答】解：反比例函数， A、∵k＝﹣1×（﹣3）＝3＞0， ∴点（﹣1，﹣3）一定在反比例函数上，确，不符合题意； B、∵k＝3＞0， ∴函数图象位于第一、第三象限，正确，不符合题意； C、∵k＝3＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵当x＜0时，恰好在第三象限内， ∴y随x的增大而减小，正确，不符合题意； D、∵k＝3＞0， ∴反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当x＞1时，0＜y＜3，原说法错误，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 24．（2024秋•上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大． A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D． 【分析】根据一次函数的增减性可得y＝﹣x不满足③；根据一次函数图象与其系数的关系可得y＝x﹣2不满足②；根据平行于x轴的直线的性质可得y＝﹣1不满足③；根据反比例函数的性质可得满足①②③． 【解答】解：根据一次函数与反比例函数图象的性质逐项分析判断如下： A、在y＝﹣x中，一次项系数小于0，则y随x的增大而减小，不符合③，不符合题意； B、在y＝x﹣2中，一次项系数大于0，常数项小于0，则该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，不符合题意； C、y＝﹣1中，y不随着x的变化而变化，不符合③，不符合题意； D、在中，﹣1＜0，则该函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，当x＝1时，，则该函数图象经过点（1，﹣1），故该函数满足①②③，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握该知识点是关键． 25．（2025•济南模拟）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（　　） A．x＞0时，y的值随x的增大而减小 B．x＜0时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 【分析】函数y可看作是由反比例函数y经过平移得到的．我们可以通过分析函数的单调性、函数值的正负等性质来判断各选项． 【解答】解：反比例函数y向右平移2个单位即可得到函数y， A、x＜2或x＞2时，y的值随x的增大而减小，故不符合题意； B、x＜0时，y的值随x的增大而减小，故不符合题意； C、图象不经过第二象限，故符合题意； D、图象经过第四象限，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是关键． 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，在确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案． 【解答】解：∵函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小， ∴k＞0， ∴双曲线在第一、三象限， ∴函数y＝﹣kx的图象经过第二、四象限， 故选：A． 【点评】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响． 27．（2022秋•宝鸡期末）若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，请写出满足条件的一个反比例函数的解析式 y（答案不唯一）　 ． 【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可． 【解答】解：∵反比例函数y中，当k＜0时，函数值y随x的增大而增大， ∴答案可以为：y（答案不唯一）． 故答案为：y（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，此题属开放性题目，答案不唯一． 28．（2026•郫都区模拟）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 k＞9　 ． 【分析】让反比例函数的比例系数大于0列式求值即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴k﹣9＞0， 解得k＞9． 故答案为：k＞9． 【点评】考查反比例函数的性质；用到的知识点为：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0． 29．（2026秋•同步）已知反比例函数（k≠0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝　﹣6或6　 ． 【分析】根据反比例函数的增减性，利用函数值的差列出方程解答． 【解答】解：当k＜0时，在每一象限内，反比例函数y随x的增大而增大， ∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴4， 解得k＝﹣6； 当k＞0时，在每一象限内，反比例函数y随x的增大而减小， ∵当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴4， 解得k＝6， 综上所述，k＝﹣6或k＝6． 故答案为：﹣6或6． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 30．（2026•古浪县校级模拟）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是m＜3　 ． 【分析】反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零，即6﹣2m＞0，再解不等式即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴比例系数6﹣2m＞0， 解得：m＜3． 故答案为：m＜3． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图象位于第一、三象限时，比例系数大于零是解题的关键． 31．（2025秋•罗湖区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为　﹣6　 ． 【分析】先分k＞0，k＜0两种情况讨论区间﹣3≤x≤﹣1内函数增减性，判断哪种情况能出现最大值6，求出符合题意的k后，再利用对应分支增减性算出1≤x≤3时y的最小值． 【解答】解：k＞0时，反比例函数在x＜0时，y随x增大而减小， 在﹣3≤x≤﹣1中，x＝﹣3时y最大，代入得6，k＝﹣18，与k＞0矛盾，舍去； 若k＜0， 反比例函数在x＜0时，y随x增大而增大， 在﹣3≤x≤﹣1中，x＝﹣1时y最大，吧x＝﹣1，y＝6代入y， 6，解得k＝﹣6，符合k＜0， 函数解析式为y， 当1≤x≤3时，k＝﹣6＜0，x＞0分支随x增大而增大， 故 x＝1时y最小，y最小6． 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 32．（2026春•长治期末）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是　①　 函数关系（填序号）； ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，估计这个人的身高． 【分析】（1）根据表中数据描点即可； （2）由图知坐标系中点呈直线分布，所以身高y和脚长x之间是一次函数关系； （3）利用待定系数法求一次函数解析式即可； （4）将x＝25.8代入y＝7x﹣5即可． 【解答】解：（1） （2）因为坐标系中点呈直线分布，所以身高y和脚长x之间是一次函数关系， 故答案为：①； （3）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵当x＝23时，y＝156；当x＝24时，y＝163， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式y＝7x﹣5； （4）当x＝25.8时，y＝7×25.8﹣5＝175.6， ∴估计这个人的身高为175.6cm． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数的应用，熟知以上知识是解题的关键． 33．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是　120　 ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 【分析】（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【解答】解：（1）∵1×300＝1.5×200＝2×150＝3×100＝300， ∴点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变， ∴； 故答案为：120； （2）F与l之间的函数图象，如图所示： （3）由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内， 根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2025秋•太原校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【分析】（1）分别列出点P在AB和BC上运动时，y关于x的函数关系式即可； （2）画出（1）中解析式的图象，并从增减性上答出一条性质即可； （3）根据图象，当y1＝y时x的取值估读为x1≈2.4，x2≈9.6． 【解答】解：（1）根据题意，当点P在AB上运动时，解析式为y2x（0＜x≤6）； 当点P在BC上运动时，解析式为：y6×（10﹣x）＝30﹣3x（6＜x＜10）， ∴y， （2）图象如图所示，性质如下： 【增减性】：当0＜x≤6时，y随x的增大而增大； 当6＜x≤10时，y随x的增大而减小（答案不唯一）． （3）根据图象所示，两个函数的交点的横坐标估值为：x1≈2.4，x2≈9.6． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握作图技巧是关键． 35．（2025秋•南山区校级期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x＞　1或x＜1　 时，y随x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 　（1，0）　 ； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数y图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 x≥2或x＜1　 ． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）观察图象即可解答； （3）当y≥﹣2时，即，整理得到，再结合（1）中的图象即可解答． 【解答】解：（1）函数图象如图： （2）①当x＞1或x＜1时，y随x的增大而增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为（1，0）； 故答案为：①x＞1或x＜1，增大；②（1，0）； （3）当y≥﹣2时，即， 整理得：， 由（1）中图象得当x≥2或x＜1时，有， ∴当y≥﹣2时，x的取值范围是：x≥2或x＜1． 故答案为：x≥2或x＜1． 【点评】本题考查了描点法画函数图象、中心对称图形、图象法解不等式，正确画出函数图象是解题的关键． 【考点4】创新及压轴题（第36-39题） · · 数形结合求分式最值 · · 待定系数法选函数模型 · · 类比推理研究分式型函数 · · 利用反比例函数作图等分线段 36．（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：　数形结合思想　 ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 【分析】（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； （2）小红的方法：画出图象观察即可；小明的方法：求出1﹣x的最小值为1，可得的最大值为1，从而求出2的最大值为3； （3）y1，先求出x﹣1的最大值为﹣3，则的最小值为，即可求出y＝1的最小值为． 【解答】解：（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想； （2）小红的方法：通过观察图象可知：当﹣8≤x≤0时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最大值3； 小明的方法：∵﹣8≤x≤0， ∴1≤1﹣x≤9， ∴1﹣x的最小值为1， ∴的最大值为1， ∴2的最大值为3； （3）y1， ∵﹣6≤x≤﹣2， ∴﹣7≤x﹣1≤﹣3， ∴x﹣1的最大值为﹣3， ∴的最小值为， ∴y＝1的最小值为． 【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，根据所给的阅读材料，数形结合，利用函数思想类比解题是关键． 37．（2025•海珠区一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 【分析】（1）根据表格数据可知乘积恒为900，说明y与x成反比例函数，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）根据题意，先求出新售价前的剩余量300千克，再设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意列出方程求出a值即可． 【解答】解：（1）根据表格数据可知：18×50＝900，15×60＝900，12×75＝900，10×90＝900，9×100＝900， 乘积恒为900，说明y与x成反比例函数， 设反比例函数解析式为y，代入x＝18，y＝50得：k＝18×50＝900， ∴反比例函数解析式为y． （2）根据题意，试销5天销售总量为50+60+75+90+100＝375， 剩余量1575﹣375＝1200（千克）， 后续销售10天，销量＝90×10＝900， 剩余量1200﹣900＝300（千克）， 设新售价为a元/千克，则每天的销量为千克，根据题意得： 2300， 解得a＝6． 答：新的售价最高定为6元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完． 【点评】本题考查了反比例函数的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 38．（2025•长治一模）阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线AP上连续截取PQ，QR，使PQ＝QR＝AP． 第三步：过点R作RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线OA上连续截取OD，DE，使OD＝DE＝BC，则D，E为OA的三等分点． 但是BC为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设OA＝m，则点A的坐标为（m，0）． ∵PA⊥x轴于点A，交的图象于点P， ∴点P的坐标为． … 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段OA的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整； （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段OA的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 【分析】（1）先求出点R的坐标为．再得出点C的纵坐标为．把代入，得，解得，可得点B的坐标为，得出．再求解即可； （2）仿照（1）的方法进行解答即可． 【解答】解：（1）∵PQ＝QR＝AP， ∴点R的坐标为． ∵RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C， ∴点C的纵坐标为． 把代入反比例函数的解析式，得， 解得， ∴点B的坐标为， ∴BC． ∵OA＝m， ∴BCOA． （2）如图，M，N，K，L就是线段OA的五等分点． 具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：过点T作TF⊥y轴于点F，交反比例函数的图象于点W，则． 第三步：在射线AP上连续截取PQ，QR，RS，ST，使PQ＝QR＝AP＝RS＝ST． 第四步：在射线OA上连续截取OM，MN，NK，KL，LA，使OM＝MN＝NK＝KL＝LA， 则M，N，K，L就是线段OA的五等分点． 【点评】本题是反比例综合题，考查了反比例函数的性质，性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 39．（2024春•夹江县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为 　　 ； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当x＞0时，y随着x的增大而 　增大　 （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 【分析】（1）根据题意逆用分式加法的法则将假分式化为带分式； （2）先将分式化为带分式，再根据反比例函数的性质即可求解； （3）将分式化为带分式，再根据横、纵坐标均为整数确定x的值，进一步确定y的值即可得到答案． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）， ∵﹣7＜0， ∴当x＞0时，随着x的增大而增大， ∴当x＞0时，随着x的增大而增大， 故答案为：增大； （3）∵， 若纵坐标为整数，即为整数，且横坐标为整数，即x为整数， ∴x﹣1＝±1， ∴x＝0或2， 当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝5， ∴函数图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标为（0，3）和（2，5）． 【点评】本题考查了分式的加减运算，反比例函数的性质，（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断反比例函数三要素：分母含x、指数-1、系数k≠0 · · k>0在一三象限递减，k<0在二四象限递增，必须说每个象限内 · · k的几何意义：过图像上点作坐标轴垂线，矩形面积恒为|k| · · 两函数交点问题联立方程，不等式看图像上下位置分区间写 · · 正比例与反比例交点关于原点对称，可少算一半 【作业 1】（2025秋•淄博期末）如图，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C在反比例函数的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，若AB＝2CD，则k的值为　　 ． 【分析】依据题意，过点C作CH⊥y轴于H，过点D作DT⊥OH于T，过点C作CG⊥DT于G．利用相似三角形的性质可得2AH＝CH，设AH＝m，CH＝2m，则C（﹣2m，m+4），再证明CG＝2，DG＝1，可得D（﹣2m﹣1，m+2），再根据方程求出m即可解决问题． 【解答】解：如图，过点C作CH⊥y轴于H，过点C作CG⊥DT于G，过点D作DT⊥OH于T， ∵点B的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（0，4）， ∴OA＝4，OB＝2， ∵AC⊥AB， ∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°， ∴∠CAH+∠ACH＝90°，∠BAO+∠CAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ACH， ∴△BOA∽△AHC， ∴， ∴2AH＝CH， 设AH＝m，CH＝2m，则C（﹣2m，m+4）， ∵CG∥OA，CD∥AB， ∴∠ACD＝180°﹣90°＝90°＝∠GCH， ∴∠DCG＝∠ACH， ∴∠DCG＝∠BAO， ∵∠DGC＝∠BOA＝90°， ∴△BOA∽△DGC， ∴， ∴CG＝2，DG＝1， ∴D（﹣2m﹣1，m+2）， ∵D，C在反比例函数上， ∴（m+4）•（﹣2m）＝（﹣2m﹣1）•（m+2）， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 【作业 2】（2026春•同步）已知下列反比例函数：y，y，y，y．其中，图象位于第一、三象限的函数是y　 ；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是y，y，y　 ． 【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得出答案． 【解答】解：∵k＞0时，函数y的图象位于第一、三象限，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小， k＜0时，函数y的图象位于第二、四象限，在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ∴图象位于第一、三象限的函数是y；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是y，y，y． 故答案为：y；y，y，y． 【点评】此题主要考查了反比例的性质，正确掌握反比例函数图象的分布规律和性质是解题关键． 【作业 3】（2026•鼓楼区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝　﹣6　 ． 【分析】作高，由等腰三角形的性质可得S△AODS△AOC|k|，进而求出k的值． 【解答】解：如图，过点A作AD⊥OC于点D， ∵AC＝AO， ∴CD＝DO， ∵函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点， ∴A、B关于原点对称， ∴OA＝OB， ∵S△ABC＝12， ∴S△AOC6， ∴S△AODS△AOC|k|， 又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即k＜0， ∴k＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，理解正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称是解决问题的关键． 【作业 4】（2026春•奉贤区期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图象和一个反比例函数图象，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： x … a 1 2 … y1 … ﹣2 2 1 … 表2： x … a 1 2 … y2 … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中（如图），画出这两个函数的大致图象，并结合这两个函数的图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 【分析】（1）根据表格中的自变量和函数值进行判断即可； （2）根据所求函数解析式进行解答即可； （3）根据表格画出函数图象，根据函数图象的位置和交点坐标写出自变量x的取值范围即可． 【解答】解：（1）根据表1可知xy＝2×1＝2， ∴表1对应反比例函数，即， 根据表2可知，2＝1×2，4＝2×2，即， ∴表2对应正比例函数，即， （2）由题意可得， 解得a＝﹣1， 由题意可得，b＝2a＝﹣2， （3）根据表格画出函数图象， 根据图象可知，自变量x的取值范围为﹣1＜x＜0或x＞1． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 六．课后巩固（共14小题） 【作业 1】（2026春•开州区期中）反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【分析】根据反比例函数比例系数的符号，结合反比例函数的图象性质，即可判断图象所在象限． 【解答】解：∵k＝6＞0， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 2】（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的大致图象可能是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】利用反比例函数的图象及正比例函数的图象分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限，正比例函数的图象位于一三象限，①正确；当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限，正比例函数的图象位于二四象限，②正确；故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数及正比例函数的图象，属于函数的基础知识，难度不大． 【作业 3】（2026春•香坊区校级同步）若反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A．过一、二、三象限 B．过一、二、四象限 C．过一、三、四象限 D．过二、三、四象限 【分析】根据反比例函数的性质可以确定k的符号，再根据一次函数的性质即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴k＜0， 则一次函数y＝kx+2图象经过一、二、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先利用反比例函数的性质确定k的取值，再利用一次函数的性质求解． 【作业 4】（2026春•同步）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k　＜　 0；在图象的每一支上，y随着x的增大而　增大　 ． 【分析】直接利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案． 【解答】解：如果反比例函数y（k≠0）的图象位于第二、四象限，那么k＜0；在图象的每一支上，y随着x的增大而增大． 故答案为：＜，增大． 【点评】本题考查的是反比例函数的图象和性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业 5】（2026•酒泉模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是k＜3　 ． 【分析】根据反比例函数的性质得k﹣3＜0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣3＜0， 解得k＜3． 故答案是：k＜3． 【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业 6】（2026春•沙坪坝区校级同步）若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是　5　 ． 【分析】根据反比例函数的性质可得a+3＞0，从而可得a＞﹣3，解分式方程求得x，根据关于x的方程的解为非负整数，即可求得a＝1或4，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限， ∴a+3＞0， ∴a＞﹣3， ， 去分母得，a+x＝﹣2（x﹣2）， 去括号得，a+x＝﹣2x+4， 移项、合并得，3x＝4﹣a， 解得，x， ∵关于x的方程的解为非负整数，且，a＞﹣3， ∴a＝1或4， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，解分式方程，熟练掌握知识点是解题的关键． 【作业 7】（2026•龙海区一模）反比例函数的图象上有两点P（3，y1），Q（2，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是　　 ． 【分析】由反比例函数的性质，k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，得3m﹣4＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象上有两点P（3，y1），Q（2，y2），3＞2＞0、y1＜y2， ∴3m﹣4＞0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 【作业 8】（2020秋•献县期末）如图，线段AB是直线y＝x+1的一部分，其中点A在y轴上，点B横坐标为2，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，则点C的坐标 　（6，1）　 ；点P（2019，m）与Q（2025，n）均为在该波浪线上，则m+n＝　4　 ． 【分析】根据B的坐标求出反比例函数的解析式，即可求出C的坐标，A，C之间的水平距离为6，根据循环可知，点P和点Q的纵坐标与当x＝3时的纵坐标相等，即可得到m+n的值． 【解答】解：∵点B横坐标为2， ∴当x＝2时，y＝2+1＝3， ∴点B的坐标为（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴双曲线解析式为y， ∴当x＝6时，y1， ∴点C的坐标为（6，1）， 由图可得，A，C之间的水平距离为6，2019÷6＝336…3， ∴当x＝3时，y2， ∴m＝2， ∵2025﹣2019＝6， ∴点Q与点P的水平距离为6， ∴n＝2， ∴m+n＝2+2＝4． 故答案为：（6，1），4． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【作业 9】（2026•铁岭模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝　9　 ． 【分析】先求CD长度，再求点B坐标，进而得出函数解析式，可求得面积． 【解答】解：∵BD＝4，， ∴， 由条件可知， ∴， 把B坐标代入得k＝18， ∴该反比例函数的表达式为：， ∴． 故答案为：9． 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练运用反比例函数性质是解题的关键． 【作业 10】（2026春•同步）如图，点A（﹣1，﹣3）、B（2，a）在某个反比例函数的图象上．求这个反比例函数的表达式与a的值． 【分析】根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把B（2，a）代入即可求出a的值， 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，﹣3）在反比例函数y图象上， ∴k＝﹣1×（﹣3）＝3． ∴反比例函数的解析式是y， ∵B（a，2）在反比例函数y的图象上， ∴2， ∴a． 【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，充分利用反比例函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 【作业 11】（2025•高唐县一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 x … ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣4 4 2 a … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点P（4，1）是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ翻折，求翻折后的函数图象与x轴的交点坐标； （3）若经过点M（1，4），N（2，2）的直线分别交x轴、y轴于点B，C，求BC的长． 【分析】（1）根据表格信息计算得到规律，由表格信息绘图即可； （2）根据轴对称的性质作图可得交点与原图之间的距离为2，即y＝2，即可求解； （3）运用待定系数法得到直线MN的解析式为y＝﹣2x+6，则即OB＝3，OC＝6，由勾股定定理即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣2）×（﹣2）＝4，（﹣1）×（﹣4）＝4，1×4＝4，2×2＝4， ∴该函数是反比例函数，其解析式为， 当x＝3时，； 画出该函数的图象如解图： （2）根据对称性可知，当PQ上方的函数图象沿直线PQ翻折， ∴折叠后与x轴的交点关于PQ对称， ∴交点与原图之间的距离为2，即y＝2， ∴， 解得x＝2， ∴x轴的交点坐标为（2，0）； （3）设直线MN的解析式为y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），由条件可得： ， 解得， ∴直线MN的解析式为y＝﹣2x+6， 当x＝0时，y＝6，当y＝0时，x＝3，即OB＝3，OC＝6， ∴． 【点评】本题主要考查反比例函数，轴对称的性质，一次函数图象的性质，掌握反比例函数，一次函数，轴对称的性质，数形结合分析是关键． 【作业 12】（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有　4　 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【分析】（1）L2经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象； （2）根据图象求k的范围． 【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）， 如图，画出L2的图象， 由图可知：L2和L1之间（不含边界）有4个整数点， 故答案为：4． （2）如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10； 如果L2和L1之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣4，1）时，﹣4＜k≤﹣3； 故答案为：﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3． 【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键． 【作业 13】（2025秋•固始县期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　图象是中心对称图形　 ，②　当x＞﹣1时，y随着x的增大减小　 ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　左　 平移 　1　 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　﹣1＜x＜3　 时，y3＞3． 【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答两条不同的性质； （3）理解运用：结合图象即可得出结论 （4）灵活应用：结合图象可准确填空． 【解答】解：（1）如图： ； （2）观察图象， ①图象是中心对称图形； ②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小． 故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位． 故答案为：左；1． （4）灵活应用：函数的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x＜3时，y3＞3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出函数的性质是解题的关键． 【作业 14】（2025春•上蔡县月考）已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 【分析】（1）将数据代入两个解析式即可得到a、b的值； （2）先确定两个函数解析式，再列方程求出x值即可； （3）数形结合，直接写出不等式的解集即可． 【解答】解：（1）∵当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，， ∴1，即m＝﹣2， ∴4，即b， ∴a＝﹣2n，即n＝﹣1，a＝2， 故a＝2，b； （2）由（1）可知y1；y2＝﹣x， 当y1＝y2时，， x； （3）如图： 当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为x＜0或x． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质、正比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6讲 反比例函数及性质 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解反比例函数的概念，能判断一个函数是否为反比例函数 · · 掌握反比例函数y=的图像是双曲线及画法 · · 掌握k的符号对图像所在象限和增减性的影响 · · 理解k的几何意义（过双曲线上点作坐标轴垂线所得矩形面积） · · 能综合反比例函数与一次函数的图像解决交点与不等式问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数的定义 形如y=（k为常数，k≠0）的函数叫反比例函数 也可写成y=kx-1或xy=k，自变量x≠0 判断反比例函数：分母含x且系数k≠0，指数为-1 y是z的反比例函数、z是x的正比例函数，则y仍是x的反比例函数 概念辨析例题：函数y=(k+1)x|k|-2是反比例函数，求k 解析：需|k|-2=-1且k+1≠0，即|k|=1且k≠-1，故k=1 ☆ 2.反比例函数的图像 图像是双曲线，有两个分支，关于原点中心对称 k>0时两支在第一、三象限；k<0时两支在第二、四象限 图像无限接近坐标轴但永不与坐标轴相交 画法：列表→描点→连线，注意x≠0不能连成经过原点 概念辨析例题：反比例函数y=的图像在第二、四象限，求k范围 解析：在二、四象限则4-k<0，故k>4 ☆ 3.反比例函数的性质 k>0时，在每个象限内y随x增大而减小 k<0时，在每个象限内y随x增大而增大 注意：必须强调「在每个象限内」，不能跨象限比较 k的几何意义：过双曲线上任一点作x轴、y轴垂线，所得矩形面积=|k| 概念辨析例题：反比例函数y=，当-6≤x≤-2时y最大值为-1，求k 解析：x<0时y最大为-1，说明在第三象限k>0且x=-6时y=-1，k=(-6)(-1)=6 ☆ 4.反比例函数与一次函数综合 两个函数图像交点：联立方程求方程组的解 正比例函数与反比例函数交点关于原点对称 不等式y1>y2的解集看图像谁在上方，分区间写 双曲线左右平移遵循左加右减：y=由y=右移a 概念辨析例题：一次函数y=-kx+1与反比例函数y=的图像可能是 解析：直线截距恒为1过y轴正半轴；k>0时斜率-k<0过一二四象限 📋 知识总结表 核心概念 公式/结论 注意事项 反比例函数定义 y=(k≠0) x≠0 图像形状 双曲线 不与坐标轴相交 k>0 一、三象限，每个象限内y随x增大而减小 不能跨象限比较 k<0 二、四象限，每个象限内y随x增大而增大 不能跨象限比较 k的几何意义 矩形面积=|k| 三角形面积= 交点 联立方程求解 正比例与反比例交点关于原点对称 平移 左加右减 y=右移a ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数的定义（第1-7题） · · 指数必须为-1 · · 系数k≠0 · · 分母含x且为整式 · · 复合关系用代入法证明 1．（2026春•宝山区校级月考）如果函数y＝（k+1）x|k|﹣2是反比例函数，那么k的值为（　　） A．6 B．﹣1 C．1 D．2或3 2．（2025秋•伊犁州期末）下列数量关系中，成反比例关系的是（　　） A．人的身高和体重 B．等腰三角形的面积一定，则底边和底边上的高 C．看一本书，已经看的页数和没看的页数 D．买同一种练习本所需的费用与购买的本数 3．（2026•宝山区二模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•虹口区校级期中）下列函数关系式：（1）y；（2）；（3）y；（4）（5），其中表示y是x的反比例函数的是_______ （填入序号）． 5．（2025秋•梓潼县期末）若是反比例函数，则a的值为_______ ． 6．（2024春•惠山区校级期末）若函数是反比例函数，则m的值为 _____ ． 7．（2024•海淀区校级开学）已知y是z的反比例函数，z是x的正比例函数． （1）当时，y＝6．当x＝6时，z＝4．求y与x之间的函数关系式； （2）证明y是x的反比例函数． 【考点2】反比例函数的图像（第8-19题） · · 由k符号定象限 · · 两函数图像共存分情况讨论 · · 待定系数法求k · · 平移规律左加右减 8．（2026•科尔沁区校级二模）如图，是反比例函数的图象，则k的值可以是（　　） A．﹣2 B．5 C．2 D．0 9．（2026春•洛宁县期末）一次函数y＝﹣kx+1与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2024秋•梓潼县期末）反比例函数与一次函数y＝﹣kx+k在同一坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 11．（2026•周至县一模）在同一平面直角坐标系中，函数（k为常数，且k≠0）和y＝kx﹣4的图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．（2026•娄底一模）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数的图象位第二、四象限，则k的取值范围是___________ ． 13．（2026•硚口区一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电阻R＝6Ω时，则对应的电流是_____ A． 14．一次函数y＝k1x+b（k1≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的大致图象如图所示，则k1k2，b的取值范围分别是_______________ ． 15．（2025秋•藁城区期末）如图是反比例函数（k≠0）的图象，整数k的值是_____ ． 16．（2025秋•栾城区校级期中）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则a＝_______ ，此时不等式的解集为____________ ． 17．（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，分别画出函数与的图象． （1）填写表格： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y1 … _______ ﹣3 3 __________________ 1 … y2 … 1 _____ ﹣3 … （2）以表格中的对应值为点的坐标，在图中画出函数图象． 18．（2024春•泰兴市校级月考）已知反比例函数； （1）直接写出自变量x的取值范围． （2）在所给的直角坐标系中按照“列表、描点、连线”的步骤画出这个函数的图象； x … … y … … （3）观察图象，思考：在每一个象限y随x的变化是如何变化的？ 19．（2024秋•长春期末）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间是 _______ 小时． （2）当0≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式． （3）当棚内温度不低于16℃时，该蔬菜能够快速生长，则这天该蔬菜能够快速生长的时间是 _________ 小时． 【考点3】反比例函数的性质（第20-35题） · · 增减性必须说每个象限内 · · 区间最值代入端点比较 · · k几何意义面积=|k| · · 描点法探究新函数性质 20．（2026春•浦东新区校级期末）下列函数变量y随变量x的增大而减小的是（　　） A． B． C．y＝﹣3x D．y＝3x 21．（2025秋•通州区期末）已知反比例函数，下列判断正确的是（　　） A．函数图象分布在第二、四象限 B．图象经过点（﹣1，3） C．若x＞1，则y＞3 D．在各自象限内，y的值随x的增大而减小 22．（2026•拱墅区一模）设反比例函数y（k为常数，k≠0）．已知当﹣6≤x≤﹣2时，y的最大值为﹣1，则当2≤x≤3时，y的最大值为（　　） A．3 B．2 C．1 D． 23．（2025秋•海城市期末）已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　） A．图象必经过点（﹣1，﹣3） B．图象位于第一、第三象限 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．当x＞1时，y＞3 24．（2024秋•上海校级期末）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（　　） ①函数图象经过点（1，﹣1）；②图象经过第二象限；③当x＞0时，y随x的增大而增大． A．y＝﹣x B．y＝x﹣2 C．y＝﹣1 D． 25．（2025•济南模拟）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（　　） A．x＞0时，y的值随x的增大而减小 B．x＜0时，y的值随x的增大而增大 C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限 26．（2024秋•浦东新区校级期末）已知函数中，在每个象限内，y的值随x的值增大而减小，那么它和函数y＝﹣kx（k≠0）在同一直角坐标平面内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 27．（2022秋•宝鸡期末）若反比例函数的图象在每一象限内，y随x的增大而增大，请写出满足条件的一个反比例函数的解析式 ____________________ ． 28．（2026•郫都区模拟）若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则k的取值范围是 ________ ． 29．（2026秋•同步）已知反比例函数（k≠0），当1≤x≤3时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝_________ ． 30．（2026•古浪县校级模拟）若反比例函数的图象位于第一、三象限，则m的取值范围是________ ． 31．（2025秋•罗湖区期末）已知反比例函数（k为常数且k≠0），当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是6，则当1≤x≤3时，y的最小值为_______ ． 32．（2026春•长治期末）一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在某种函数关系，部分数据如下表： 脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 … 身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 … （1）在图（1）中描出表中数据对应的点（x，y）； （2）根据表中数据及坐标系中点的分布，身高y和脚长x之间是_____ 函数关系（填序号）； ①一次函数 ②反比例函数 ③正比例函数 （3）求出这个函数的解析式（不要求写出x的取值范围）； （4）如图（2），某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8cm，估计这个人的身高． 33．（2026•金凤区校级二模）屹泽在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动，在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，屹泽发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如表： 点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的大小F/N 300 200 150 a 100 （1）表格中a的值是________ ； （2）屹泽通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； （3）根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由． 34．（2025秋•太原校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4．动点P从点A出发，沿着折线 A→B→C方向运动，到达点C时停止运动．设点P运动的路程为x，连接CP，记△ACP的面积为y，请解答下列问题： （1）直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）画出函数的图象，结合你所画的函数图象，请直接估计当y1＝y时x的取值（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 35．（2025秋•南山区校级期中）在函数的学习，我们经历了“函数表达式﹣画函数图象﹣利用函数图象研究函数性质﹣利用图象和性质解决问题”的学习，我们可以借鉴这种方法探究函数的图象性质． （1）根据题意，列表如下： x … ﹣3 ﹣1 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … ﹣4 ﹣2 ﹣1 … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象； （2）观察图象，发现： ①当x＞__________ 时，y随x的增大而 _______ （填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 __________ ； （3）函数的图象可由函数的图象平移得到（不必画图），想象平移后得到的函数y图象，直接写出当y≥﹣2时，x的取值范围是 ____________ ． 【考点4】创新及压轴题（第36-39题） · · 数形结合求分式最值 · · 待定系数法选函数模型 · · 类比推理研究分式型函数 · · 利用反比例函数作图等分线段 36．（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：___________ ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 37．（2025•海珠区一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，进行了5天试销，试销情况如下： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 售价x（元/千克） 18 15 12 10 9 销售量y（千克） 50 60 75 90 100 （1）根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似地反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （2）若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？ 38．（2025•长治一模）阅读与思考下面是小李同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期日 利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点 今天，我在图书馆一本数学杂志上看到一段材料：将一条线段三等分是数学史上较为经典的问题之一，利用反比例函数也能作出一条线段的三等分点．我对此方法充满了好奇，便认真阅读了这段内容，并把它写 在今天的数学日记里，具体作法如下： 第一步：将给定的线段OA置于平面直角坐标系轴的正半轴上，使点O在原点处，过点A作PA⊥x轴于点A，交反比例函数的图象于点P． 第二步：在射线AP上连续截取PQ，QR，使PQ＝QR＝AP． 第三步：过点R作RB⊥y轴于点B，交反比例函数的图象于点C，则． 第四步：在射线OA上连续截取OD，DE，使OD＝DE＝BC，则D，E为OA的三等分点． 但是BC为什么等于呢？我写出以下证明过程： 设OA＝m，则点A的坐标为（m，0）． ∵PA⊥x轴于点A，交的图象于点P， ∴点P的坐标为． … 写完这段材料后我有如下思考：用上面方法也一定能作出线段OA的五等分点． 任务： （1）请将日记中小李剩余部分的证明过程补充完整； （2）请参照日记中的作法，在图2中作出线段OA的五等分点．（画出作图过程即可，不需要证明） 39．（2024春•夹江县期末）著名数学教育家波利亚曾说：“类比就是一种相似．”具体地说，类比是一种推理形式，当已经建立两个对象在某些性质上的类似之处以后，可能推出它们在其他某些性质上的类似．请阅读以下有关“分数”和“分式”相关材料后完成各小问． 【阅读材料】分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，类似的，对于一个分式，如果分子的次数小于分母的次数，这样的分式称为真分式，例如就是真分式；如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式，例如、就是假分式．假分式可化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：①；②；③． （1）把假分式化为带分式的形式为 ____________________ ； （2）我们可以类比反比例函数的性质研究函数的性质：当x＞0时，y随着x的增大而 _______ （填“增大”或“减小”）； （3）求函数的图象上横、纵坐标均为整数的点的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断反比例函数三要素：分母含x、指数-1、系数k≠0 · · k>0在一三象限递减，k<0在二四象限递增，必须说每个象限内 · · k的几何意义：过图像上点作坐标轴垂线，矩形面积恒为|k| · · 两函数交点问题联立方程，不等式看图像上下位置分区间写 · · 正比例与反比例交点关于原点对称，可少算一半 【作业 1】（2025秋•淄博期末）如图，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C在反比例函数的图象上，AC⊥AB，过点C作CD∥AB，交反比例函数于点D，若AB＝2CD，则k的值为____________________ ． 【作业 2】（2026春•同步）已知下列反比例函数：y，y，y，y．其中，图象位于第一、三象限的函数是____________________ ；在其图象所在的每个象限内，y随着x的增大而增大的函数是____________________ ． 【作业 3】（2026•鼓楼区模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝mx（m＜0）与反比例函数交于A、B两点，点C在x轴上，且AC＝AO，若S△ABC＝12，则k＝_______ ． 【作业 4】（2026春•奉贤区期末）小华用“描点法”绘制一个正比例函数图象和一个反比例函数图象，他列表取值的部分数据如表1和表2． 表1： x … a 1 2 … y1 … ﹣2 2 1 … 表2： x … a 1 2 … y2 … b 2 4 … （1）请判断表1和表2分别对应哪种函数，并分别写出它们的函数表达式； （2）求表格中a、b的值； （3）在平面直角坐标系中（如图），画出这两个函数的大致图象，并结合这两个函数的图象，直接写出当y1＜y2时，自变量x的取值范围． 六．课后巩固（共14小题） 【作业 1】（2026春•开州区期中）反比例函数的图象所在象限为（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【作业 2】（2026春•同步）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx与的大致图象可能是（　　） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【作业 3】（2026春•香坊区校级同步）若反比例函数的图象在第二、四象限，则一次函数y＝kx+2的图象大致是（　　） A．过一、二、三象限 B．过一、二、四象限 C．过一、三、四象限 D．过二、三、四象限 【作业 4】（2026春•同步）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k_____ 0；在图象的每一支上，y随着x的增大而_______ ． 【作业 5】（2026•酒泉模拟）已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是________ ． 【作业 6】（2026春•沙坪坝区校级同步）若关于x的方程的解为非负整数，且反比例函数的图象在第一、三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是_____ ． 【作业 7】（2026•龙海区一模）反比例函数的图象上有两点P（3，y1），Q（2，y2），且y1＜y2，则m的取值范围是____________________ ． 【作业 8】（2020秋•献县期末）如图，线段AB是直线y＝x+1的一部分，其中点A在y轴上，点B横坐标为2，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，则点C的坐标 __________ ；点P（2019，m）与Q（2025，n）均为在该波浪线上，则m+n＝_____ ． 【作业 9】（2026•铁岭模拟）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结OA，BC，若点C（2，0），BD＝4，S△BCD＝5，则S△AOC＝_____ ． 【作业 10】（2026春•同步）如图，点A（﹣1，﹣3）、B（2，a）在某个反比例函数的图象上．求这个反比例函数的表达式与a的值． 【作业 11】（2025•高唐县一模）某同学学习了“函数与变量之间的关系”相关知识后，参考教材设计出了如下数据 x … ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … ﹣2 ﹣4 4 2 a … （1）根据上表数据，求出其对应函数的解析式及a的值，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； （2）如果点P（4，1）是该函数图象在第一象限上的一点，过点P作x轴的平行线PQ，将PQ上方的函数图象沿着直线PQ翻折，求翻折后的函数图象与x轴的交点坐标； （3）若经过点M（1，4），N（2，2）的直线分别交x轴、y轴于点B，C，求BC的长． 【作业 12】（2026•拱墅区校级开学）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），C（0，6），反比例函数图象L1对应的函数表达式为，反比例函数图象L2对应的函数表达式为.把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为“整数点”． （1）若k＝﹣12，则L2和L1之间（不含边界）有_____ 个“整数点”； （2）若L2和L1之间（不含边界）有4个“整数点”，求k的取值范围． 【作业 13】（2025秋•固始县期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①______________ ，②____________________ ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 _____ 平移 _____ 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 ___________ 时，y3＞3． 【作业 14】（2025春•上蔡县月考）已知反比例函数，正比例函数y2＝nx（n≠0）当x＝﹣2时，y1＝1，y2＝a；当x＝b时，y1＝4，． （1）求a，b的值； （2）当y1＝y2时，求x的值； （3）当y1﹣y2＞0时，直接写出x的取值范围． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $