第3章 不等式（5大知识点+3大易错点+易错训练）（知识清单）数学苏教版必修第一册

第3章 不等式 知识点：01实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）做商法①或②③或 知识点：02不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 知识点：03基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点：04二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点：05分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 易错点1 忽略不等式性质 易错提醒 错误：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；； 注意：不等式左右两边同乘一个负数，不等号方向要改变 【对点训练】1．（2026·高一·青海西宁·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 易错点2 多次使用通项相加性质，扩大了取值范围 易错提醒 错误：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 注意：解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出，的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 【对点训练】2．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，其中为实数， 所以，故，解得， 所以， 因为，所以， 又，则， 所以，即. 易错点3 一元二次不等式首项系数含参讨论分类错误 易错提醒 错误：一元二次不等式求解时首项系数含参时，字母讨论遗漏 注意：解形如时，讨论时最高项系数含参，从0开始讨论，两根大小不确定从相等开始讨论 【对点训练】3．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 易错点4 分式不等式转化不等价 易错提醒 错误：解形如的分式不等式时，转化时错误转化为，忽略考虑了 注意：注意考虑分母不为0 【对点训练】4．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，即，解得：， 所以不等式的解集为：. 易错点5 使用基本不等式时忽略了“一正、二定、三相等” 易错提醒 错误：使用时，忽略了 注意：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立 【对点训练】5．（多选题）（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 【答案】ACD 【解析】由，得， 对于A，， 当且仅当，即时取等号，A正确； 对于B，取，则，，B错误； 对于C，， 则，当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，由，得，则， 当且仅当时取等号，D正确. 1．（2026·高一·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【解析】，，，， ，，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为9. 故选：A. 2．（2026·高一·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】不等式对一切实数都成立， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式对一切实数都成立， ，，， 综上可知，不等式对一切实数都成立，则； 则“”是“为真命题”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2026·高一·安徽六安·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】显然当时，不等式有无数个整数解，不符合题意； 当时，原不等式可化为； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当，即时，解不等式得， 则该不等式最多有2个整数解，不符合题意； 当，即时，解不等式得， 则满足题意的3个整数解为4，5，6，所以，所以. 故选：B. 4．（2026·高一·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ，， 是的充分不必要条件，，. 当，即时，，要满足是的充分不必要条件，则有或，解得； 当，即时，，显然不满足是的充分不必要条件. 综上可得实数a取值范围是. 故选：B. 5．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）设集合，，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，. 当时，，， ，不满足中恰含有3个整数，则不符合题意； 当时， ，， ，不满足中恰含有3个整数，则不符合题意； 当时， ，，要满足中恰含有3个整数，则这三个整数为，，故D选项正确. 故选：D. 6．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【解析】的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 故选：B. 7．（2026·高一·辽宁朝阳·阶段检测）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 【答案】C 【解析】由，得对任意的恒成立. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的最大值为10. 故选：C. 8．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 【答案】ACD 【解析】选项A，因为方程有两不等实根，所以，解得， 因为，所以，即取，A正确； 选项B，由韦达定理，则，由A选项可知，且，所以， ，当时，单调递增，因此，则，无法取到最小值4，B错误； C选项，令，代入原方程得，即若为原方程两根，则为的两根，又因为， 所以，已知，所以不等式解集为，C正确； D选项，将代入得，因为，因此， 即是不等式的一个解，D正确. 9．（多选题）（2026·高一·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 【答案】BCD 【解析】的不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD. 10．（多选题）（2026·高一·江苏南通·期中）已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】选项A，，， ，，，，，， ，，，，故选项A正确； 选项B，，，， ，，，当且仅当时取等号， 即，解得，的取值范围是，故选项B错误； 选项C，，，， ，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项C正确； 选项D，，，， ，，，，， ，当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 11．（2026·高一·上海·阶段检测）不等式的解为________ 【答案】 【解析】令，则变为，解得， 则求的解即可，解得. 12．（2026·高一·上海·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 _______. 【答案】或 【解析】不等式 的解集为 ， ，且方程的两个根为或， 根据根与系数的关系得，解得， ，不等式 转化为， ，转化为， ，，或， 不等式 的解集或. 故答案为：或. 13．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）已知，，则实数a的取值范围是______． 【答案】. 【解析】由题意知，解得． 故答案为：. 14．（专题05盘点均值不等式求最值的七种配凑方法-1）函数取得的最小值时，的值为___________． 【答案】4 【解析】.当且仅当，即时， 等号成立.故的最小值为6. 故答案为：4 15．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【解析】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 16．（2026·高一·天津和平·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【解析】（1）当，即时，，解集不为，不符合题意； 当，即时，的解集为， ，即， 解得， 综上，实数的取值范围为； （2）转化为， 即， 当，即时，不等式为，解得， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为或， 当，即时， 转化为， 而， 则转化为， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 17．（2026·高一·重庆开州·阶段检测）已知实数x、y、z满足． (1)若、均为正数，，求的最小值，并求出此时、的值； (2)证明：“”是“”的充要条件． 【解析】（1），，，，， 当且仅当时取等号，联立，解得， 的最小值为2，此时； （2）充分性证明：，，， ，，； 必要性证明： ，， ，，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 不等式 知识点：01实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）做商法①或②③或 知识点：02不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 知识点：03基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算术平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点：04二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 知识点：05分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 易错点1 忽略不等式性质 易错提醒 错误：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；； 注意：不等式左右两边同乘一个负数，不等号方向要改变 【对点训练】1．（2026·高一·青海西宁·期中）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 易错点2 多次使用通项相加性质，扩大了取值范围 易错提醒 错误：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 注意：解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出，的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 【对点训练】2．（2026·高一·河北石家庄·阶段检测）若，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错点3 一元二次不等式首项系数含参讨论分类错误 易错提醒 错误：一元二次不等式求解时首项系数含参时，字母讨论遗漏 注意：解形如时，讨论时最高项系数含参，从0开始讨论，两根大小不确定从相等开始讨论 【对点训练】3．解下列关于的不等式： (1)； (2)． 易错点4 分式不等式转化不等价 易错提醒 错误：解形如的分式不等式时，转化时错误转化为，忽略考虑了 注意：注意考虑分母不为0 【对点训练】4．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 易错点5 使用基本不等式时忽略了“一正、二定、三相等” 易错提醒 错误：使用时，忽略了 注意：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立 【对点训练】5．（多选题）（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）设，，，则（    ） A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为 1．（2026·高一·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 2．（2026·高一·江苏苏州·期中）设为实数，命题：不等式对一切实数都成立，则“”是“为真命题”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高一·安徽六安·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·高一·北京·阶段检测）若集合，，且是的充分不必要条件，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·广东佛山·阶段检测）设集合，，若中恰含有3个整数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·高一·湖北武汉·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 7．（2026·高一·辽宁朝阳·阶段检测）若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最大值为（    ） A．13 B．12 C．10 D．9 8．（多选题）（2026·河南开封·模拟预测）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，则的最小值为4 C．关于的不等式的解集为 D．是关于的不等式的一个解 9．（多选题）（2026·高一·湖南邵阳·期中）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 10．（多选题）（2026·高一·江苏南通·期中）已知正实数满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的最小值为6 D．的最小值为 11．（2026·高一·上海·阶段检测）不等式的解为________ 12．（2026·高一·上海·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 _______. 13．（2026·高一·陕西汉中·阶段检测）已知，，则实数a的取值范围是______． 14．（专题05盘点均值不等式求最值的七种配凑方法-1）函数取得的最小值时，的值为___________． 15．（2026·高一·安徽合肥·阶段检测）已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 16．（2026·高一·天津和平·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 17．（2026·高一·重庆开州·阶段检测）已知实数x、y、z满足． (1)若、均为正数，，求的最小值，并求出此时、的值； (2)证明：“”是“”的充要条件． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $