专题07 数列单调性、最值问题（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题07 数列单调性、最值问题 常考题型·精准突破 考点一 判断数列的单调性 题型1 等差数列中单调性判断问题（重） 题型2 等比数列中单调性判断问题（重） 题型3 通过作差（商），构造函数判断数列的单调性（高频） 考点二 根据数列的单调性求参数 题型4 根据等差数列的单调性求参数（重） 题型5 根据等比数列的单调性求参数（重） 题型6 根据数列的单调性求参数（高频） 考点三 分数数列的单调性问题 题型7 分段数列中的单调性问题（难） 考点四 数列中的最大（小）项问题 题型8 等差数列中的最大（小）项问题（高频） 题型9 等比数列中的最大（小）项问题（难） 题型10 数列中的最大（小）项问题（难） 考点五 等差数列前n项和最值问题 题型11 等差数列前n项和最值问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 判断数列的单调性 ◆题型1等差数列中单调性判断问题 1．（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）设为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A．为递减数列 B．数列为递减数列 C．为递增数列 D．数列为递增数列 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，所以. 所以，， 所以数列为递增数列，故A错，C正确； 又当时，所以当时，单调递减； 当时，，单调递增，故B，D错误. 3．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 4．（多选）（23-24高三上·黑龙江·阶段检测）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【分析】写出的通项公式，结合各项写出的通项公式，利用所得通项公式对应函数性质判断单调性、等差数列的通项公式判断等差数列. 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 5．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2) (3)递减数列 【分析】（1）设出公差，列出方程组，求出首项和公差，从而得到通项公式； （2）数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点，画出图象； （3）由公差得到数列的单调性. 【详解】（1）设数列的公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得 因此． （2）由（1）可知，数列的图象是均匀分布在直线上的一系列孤立的点， 其中且， 如图， （3）由（1）可知公差，所以等差数列为递减数列． ◆题型2等比数列中单调性判断问题 6．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及数列的单调性、等比数列的通项公式即可求解. 【详解】取，显然数列不是递增数列，即“”不是“是递增数列”的充分条件； 若是递增数列，则，即，由知，即“”是“是递增数列”的必要条件. 综上，“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 7．（25-26高一下·上海·期末）已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列通项公式先验证充分性成立，再通过反例说明必要性不成立，即可判断条件类型． 【详解】① 充分性证明：对任意，等比数列通项为， 若，，则， 由，，，可得，即， 严格单调递增，充分性成立； ② 必要性验证：若严格单调递增，存在反例：取，公比，此时数列通项公式为， 所以， 所以数列严格单调递增，但不满足且，故必要性不成立； 综上，“，”是“数列严格单调递增”的充分非必要条件． 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 9．（25-26高二下·全国·课后作业）在等比数列中，“”是“数列递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，设公比为q，则， 若，则，即，此时，显然数列是递减数列， 若，则，即，此时，数列也是递减数列， 反之，当数列是递减数列时，显然． 故“”是“等比数列递减”的充要条件． 故选：C． 10．（25-26高三上·四川成都·期末）已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，由数列的单调性即可求解. 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B ◆题型3 通过作差（商），构造函数判断数列的单调性 11．（24-25高二下·辽宁辽阳·阶段检测）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】ABD选项均可举反例说明；C选项证明对任意恒成立即可. 【详解】A，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故A错误； B，可得，，，则 ，故数列不是递增数列，故B错误； C，，则，即对任意恒成立，故数列是递增数列，故C正确； D，，则，，则 ，故数列不是递增数列，故D错误. 故选：C 12．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递增数列的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为， 所以数列为递增数列，故A正确； 对于B， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以数列为摆动数列，故B错误； 对于C，因为 ， 所以数列为递增数列，故C正确； 对于D，因为 ，所以， ，，， ，，所以数列为摆动数列，故D错误． 13．（多选）（25-26高二下·安徽·阶段检测）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，则有， 因此该数列是递增数列，故A正确； 对于B，，则有， 因此该数列是递减数列，故B错误； 对于C，，，， 因此该数列不是递增数列，故C错误； 对于D，，函数在上为增函数， 因此该数列是递增数列，故D正确； 14．（多选）（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可． 【详解】对于A，，数列为递减数列，故A错误； 对于B，，数列为递增数列，故B正确； 对于C，，数列为递增数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 15．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可. 【详解】时，比较与的大小， 对于A，， 所以数列是递增数列，A正确； 对于B，， 所以数列是递减数列，B错误； 对于C，， 所以数列是递减数列，C错误； 对于D，， 所以数列是递增数列，D正确. 故选：AD 考点二 根据数列的单调性求参数 ◆题型4根据等差数列的单调性求参数 16．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 17．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得，即数列从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列的通项公式，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由为等差数列，且，所以， 因为数列为递增数列，则，即从第二项开始，各项均为正数， 又因为恒成立，所以数列为常数数列或递增数列，所以， 则有，解可得， 综上可得，，所以实数的取值范围为． 故选：D． 18．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案. 【详解】因为为等差数列，设公差为， 因为数列单调递增，所以， 所以， 则，解得：， 故选：C 19．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是__________. 【答案】 【分析】由与的关系再结合等差数列通项公式的基本量计算即可； 【详解】若数列是严格增数列， 则恒成立， 即恒成立， 又， 所以， 所以的公差取值范围是， 故答案为：. ◆题型5根据等比数列的单调性求参数 20．在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有．则公比应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，建立条件，利用不等式的性质即可得到结论. 【详解】在等比数列中，首项， 若，即, 因为，所以，即. 因为数列对任意正整数都有，所以, 所以,解得. 故选：B. 21．已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定,由得,根据的单调性确定的取值范围. 【详解】是等比数列，故，当时， 各项正负项间隔,为摆动数列,故,显然， 由得，又是递增的等比数列，故为递减数列,由指数函数的单调性知. 故选:D 22．已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设等比数列的性质，结合等比数列通项公式确定公比的范围即可. 【详解】由题意，，又， ∴要使为递增数列，则， 当时，为递增数列，符合题设； 当时，为递减数列，符合题设； 故选：C. ◆题型6根据数列的单调性求参数 23．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得恒成立，进而求出的范围，进而得的范围. 【详解】数列为单调递增数列，且，， ，，即， 因为是关于n的单调递增函数，当时， 取得最小值．所以， 所以， 则． 24．（23-24高二上·陕西·阶段检测）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由单调递减数列的定义结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为，且为递减数列， 所以，即， 所以，故，因为，所以. 25．（25-26高二上·河南开封·期末）已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数列为单调递增数列得，从而得，再令，求出的最大值，从而可求解. 【详解】由题意可得，由于数列为单调递增数列， 即，， 整理得， 令，则，， 所以数列单调递减，故是数列的最大项， 所以，所以. 则的取值范围为. 故选：D． 26．（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递减数列定义可得，代入计算即可得解. 【详解】因为数列是单调递减数列， 所以恒成立， 则，即， 又，则，所以，则实数a的取值范围为. 故选：D 27．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由数列单调性得恒成立，作差化简得到对任意恒成立，接着利用函数性质求出即可得解. 【详解】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 28．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意结合数列单调性的定义分析可知对任意恒成立，再根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为递减数列，且， 则， 可得对任意恒成立， 可知当时，取到最小值9，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 29．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，且满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意知数列是单调递增数列，则，得对任意恒成立，分离参数得，即求即可. 【详解】由有，所以， 由题知数列是单调递增数列，所以， 即对任意恒成立，所以， 即，当时，的最大值为，即. 故答案为：. 30．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为_____. 【答案】 【分析】利用数列单调性定义列式求解得到答案. 【详解】由数列为严格增数列， 得，， 因此，，而数列为严格减数列， 所以，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 31．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）已知数列是严格增数列且（为正整数），则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由题意可知对任意的，，参变分离得出，结合数列的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】因为数列是严格增数列，则对任意的，， 即，可得， 显然数列为递减数列，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点三 分数数列的单调性问题 ◆题型7分段数列中的单调性问题 32．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知单调递增数列的通项公式为，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列单调性列出不等式求解即可. 【详解】解：根据题意可知，实数的取值需满足， 解得， 则实数的取值范围为. 33．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据数列满足单调递减，得到且，再比较端点值大小，求出，得到答案. 【详解】因为时，，而要满足， 故要单调递减，所以，解得， 时，，要满足，则， 从而， 还需满足，解得， 所以实数的取值范围是. 34．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数，若数列满足，且为递增数列，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据数列的单调性列不等关系式，求解即可. 【详解】因为为递增数列，故 所以，解得. 35．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据递增数列的定义，需满足对任意的恒成立，故需要同时满足①当时，②，③时，联立三者求出的取值范围. 【详解】当时，， 而， 若是递增数列，则恒成立， 得到的最小值是，解得； 当时，， 若是递增数列，则恒成立， 即，解得，且，解得， 综上，，即. 故答案为：. 36．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据数列的单调性列不等式组求解可得. 【详解】数列是递增数列，当时，有；当时，有，且， 即，解得. 故答案为： 37．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 38．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据数列的单调性列不等式组求解可得. 【详解】数列是递增数列，当时，有；当时，有，且， 即，解得. 故答案为： 39．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知数列满足，若，恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足，由题意可知，数列单调递减， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 考点四 数列中的最大（小）项问题 ◆题型8等差数列中的最大（小）项问题 40．（25-26高二上·天津·阶段检测）设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 【答案】D 【分析】由已知不等式推出公差，再结合得出且，从而判断出前项和的最小项为. 【详解】， 对于等差数列，，代入得：， 又因为，代入化简可得：， 对所有成立，故公差； 因为，数列递增，故，由，且； 因此：当时，，当时，； 前项和在由负转正时取得最小值，即是最小项. 故选：D 41．设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】B 【解析】结合前n项和公式: ，再利用等差数列的性质，，得到，分析即得解. 【详解】由等差数列，可得 即：，可得： ，可得等差数列为递减数列. 又 故：对任意正整数，都有，则的值为1010. 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 42．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由可分析数列，的符号，结合等差数列的性质，求出的最大值时n的值. 【详解】由可得： 即，， ， 等差数列是的递减数列， 又， 所以最大，故， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的增减性，判断数列项的符号，数列和的最值，属于中档题. 43．（多选）已知递减的等差数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．最大 C． D． 【答案】ABD 【分析】根据项的正负可判断AB，利用前项和与通项的关系可判断CD. 【详解】因为，故，所以， 因为等差数列为递减数列，故公差， 所以，故AB正确； 又，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 44．（多选）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． 【答案】ABD 【分析】根据题意得到，，，依次判断每个选项得到答案. 【详解】等差数列中，若且，则，，故. ，正确；，故，正确； ，故错误；，，故，正确； 故选：. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. ◆题型9等比数列中的最大（小）项问题 45．（山西长治市2026-2027学年高三上学期9月份学情调研数学试题）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等比数列前项积的最值，前项积的增减由每一项与1的大小关系决定：乘大于1的项，积变大；乘小于1的项，积变小，因此只需找到由大于1转为小于1的分界项即可. 【详解】已知数列为等比数列，，公比，则， 因为数列是首项为正、公比为正的等比数列，所有项均为正数，因此前项积的变化规律为： 当时，，即前项积递增；当时，；即前项积递减. 因此当从大于1过渡到小于1时，取得最大值. 令，得，化简得，解得，即， 当时，，； 当时，， 所以，取得最大值时的值为8. 46．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将数列的前项的乘积表示出来，观察到其中的指数方程分别决定了的大小和的正负，再求出指数部分的最值来分类讨论的最值即可. 【详解】由题得， 前项积， 易得决定的大小，而决定的正负， 因为，故离对称轴最近的或时最大，或时，仅小于， ①当时，，，所以为的最小值； ②当时，，，所以为的最小值，此时，有2个最小值，即. ③当时，，，所以为的最大值； ④当时，，，所以为的最大值，此时，有2个最大值，即. 综上，. 故选：A. 47．（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 【答案】3 【分析】由等比数列通项公式的基本量计算得到通项公式，再利用数列的单调性可求何时数列取最大值. 【详解】， 设数列公比为， 则，解得，即或（舍去） ∴，∴，∴， 设，则， 当时，，当时，， 故当时，取最大值， 故答案为：3 48．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的通项公式为，则当__________时，数列的前项和最小. 【答案】3 【分析】根据时，，时，求解即可. 【详解】令，得， 所以当时，，当时，， 所以数列的前项和最小当且仅当. 故答案为：3 ◆题型10数列中的最大（小）项问题 49．（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】设数列的通项为 ，，求数列最大项可通过作商法比较相邻项的大小. 相邻项的比值为， 令 ，整理不等式得， 解二次不等式得正根约为，则. 当 时，，数列递增；当 时，，数列递减， 从而，因此最大项为第项，即 . 50．（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】已知递推关系， 因此， 所以， 令，则， 是一个公差为1的等差数列，首项， 所以， 因此，原数列的通项公式为， 因此， 当，即时，，数列递增； 当，即时，，数列递减， 因此，数列在时取得最大值. 51．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】分析数列的单调性，确定数列中最小的项. 【详解】由； 由. 所以数列中，当时；当时， 所以数列中，最小. 即数列的最小项是第8项. 52．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则此数列中数值最小的项是（   ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 【答案】C 【分析】由数列通项公式的结构特征利用二次函数配方法结合二次函数性质即可分析求解. 【详解】因为， 因为，所以， 所以当时，取得最小值，即此数列中数值最小的项是第12项． 故选：C 53．（25-26高二上·吉林·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．8 D．1 【答案】A 【分析】解不等式得到项的正负，即可得答案； 【详解】令，解得或，所以当或时，， 即当时，，故当时递增，且， 当时，，故当时递减， 当时，，故当时递增， 又，故, 所以取得最小值时的值为9. 故选：A. 54．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列满足，，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用累加法结合等比数列前项和公式求出，再根据数列的单调性求最值即可． 【详解】解：由数列满足， 当时， ，而满足上式， 所以，设，, 当时，当时，， 则最大，则． 55．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的最小项为______． 【答案】 【分析】先由累加法求出的通项，再化简，利用函数单调性结合求最小值． 【详解】由得，当时， ， 当时：.(符合上式) 所以， 设函数， 易知在上单调递减，在上单调递增，结合，得 当时，数列是递减数列，当时，数列是递增数列， 当时，，当时，， 所以数列的最小项为． 故答案为：． 考点五 等差数列前n项和最值问题 ◆题型11等差数列前n项和最值问题 56．（25-26高二下·河南南阳·开学考试）已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列的前n项和的最大值，并求出对应n的值． 【答案】(1) (2)从第5项开始小于0 (3)76，4 【分析】（1）由首项和公差可求出通项公式为； （2）令，解不等式再由，可得第5项开始小于0； （3）由等差数列前n项和公式可得，再由二次函数性质可得最大值以及对应n的值. 【详解】（1）由题意数列的通项公式为 （2）由（1）可知， 令，解得， 因为，所以数列从第5项开始小于0． （3）由（1）可知， 所以其前项和为， 而二次函数的对称轴为，和它最接近的整数为4， 因此当时，数列的前n项和有最大值. 57．（23-24高一上·福建宁德·阶段检测）已知等差数列中， (1)求数列的通项公式 (2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质求出，进而可求出公差，再根据等差数列的通项即可得解； （2）根据等差数列的前项和公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）设的公差为， 因为， 则为方差的两根， 所以或， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，或； （2）若单调递增，则， 故， 所以， 所以当时，取得最小值. 58．（23-24高一下·上海·期末）设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. (1)求的值； (2)当为何值时最大，并求出此最大值. 【答案】(1) (2) 或者时，最大. ． 【分析】（1）运用等差数列的求和公式和性质求解即可； （2）求出，用二次函数知识来解题即可． 【详解】（1），则，， 故的值为. （2）由（1）知道，，， ， 由于开口向下，且对称轴为. 而，则或者时，最大. ． 59．（23-24高二下·河南·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式基本量运算即可； （2）先根据基本量运算得出前n项和，再根据二次函数求出最值即可. 【详解】（1）设的公差为， 则， 依题意，， 即， 整理得，， 解得，或（舍）， 所以； （2）， 因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 60．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，， (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出关于等差数列首项公差d的方程组，解之即可求得首项和公差d的值，进而得到的通项公式； （2）利用等差数列的单调性即可求得数列的前n项和的最小值． 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d， 则，解之得， 则的通项公式为 （2）由的通项公式为，可得数列为递增数列，且 则 故数列前n项和的最小值为． 61．（23-24高二上·山东青岛·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，并指出取何时取得最小值. 【答案】(1) (2)的最小值为，对应或 【分析】（1）根据已知条件求得等差数列的首项和公差，从而求得. （2）利用，求得取得最小值时对应的值，进而求得的最小值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，，解得， 所以. （2）由，解得， 所以当或时取得最小值， 且的最小值为. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是常数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是摆动数列 【答案】A 【分析】代入等比数列的通项公式，求公比，即可判断选项. 【详解】由得， 设数列的公比为，易知， 则，即，，则，从而， 所以数列是常数列． 2．（2026·福建福州·三模）记为数列的前项和，则最小时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据数列的通项可知，数列中先从负数变为正数，故前n项和先减后增，在最后一项负数处取最小值． 【详解】令，； 故时，，越来越小； 故时，，从第10项开始，各项为正，开始变大； 故最小． 3．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，取对数并构造函数，利用导数确定取最大值的条件，进而确定数列单调性求出最大项. 【详解】正项数列中，，令，显然， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此当时，数列递增，当时，数列递减， 而，且， 则，当最大时，的值为5. 5．（2026·福建莆田·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出公比和首项后得通项，再判断数列的单调性后可得最大值. 【详解】因为，故，而， 故，故，故，故， 故，故. 而， 故当时，；当时，； 当时，；故， 故. 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 【答案】C 【分析】通过递推公式计算前几项，当时借助函数的单调性即可得最大项. 【详解】当时，由题意得，又，故； 当时，由题意得，又，故； 当时，， 因为函数在上是减函数， 故时，达到最大，故第4项为最大项． 7．（2026·湖北·一模）已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】B 【分析】根据题意，得到，构造等比数列，求出，得出数列的通项公式，结合指数函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即，可得， 根据指数函数单调性可知，可得数列是单调递减数列. 8．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理构造等比数列，得到的通项公式，然后利用递增性，得到关于的不等式，通过讨论奇偶求出最值，限定的范围. 【详解】因为，整理得， 由于，可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则. 因为数列是递增数列，所以， 即对任意的正整数都成立. 当为偶数时，恒成立，所以， 由单调递减，可得，则； 当为奇数时，恒成立，所以， 由单调递增，可得， 则，则的取值范围是. 9．设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列前项和公式以及等差数列下标和性质分析出的单调性以及项的取值正负，从而确定出，由此可得选项. 【详解】因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以， 所以为递减数列，且前项为正值，从第项开始为负值， 所以， 故选：C. 10．（2026高三·全国·专题练习）若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质及二次函数的性质，结合数列的取值计算即可. 【详解】令，因为，所以，且随的增大而递减， 当时，；当时，；当时，； 则. 数列通项可化为. 当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 所以当，即时，，为最小项，即. 所以当，即时，，为最大项，即. 故. 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等比数列的概念和充分条件、必要条件的概念进行判断即可. 【详解】若是递增数列，则或， 所以“”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 12．（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 13．（多选）（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列的通项公式为.若该数列是递减数列，则实数的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】ABC 【分析】先通过得出的解析式，再得出的解析式，最后通过数列是递减数列得出实数的取值范围. 【详解】依题意，则， 所以恒成立， 即对任意的恒成立， 所以， 因为，所以的最小值是6， 因此，选项ABC满足题意. 14．（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先利用递推式作差求出数列的通项（注意验证），再写出的表达式，根据严格递增数列的定义，通过对所有恒成立，转化为关于的不等式，分别验证和的情况，取交集得到的取值范围． 【详解】当时，， 当时， ①， ②， ①②得 化简得， 因为不满足， 所以， 所以， 由数列是严格增数列，得且， 由，得，解得， 由，得，整理得， 所以对所有恒成立， 因为的最小值为， 所以，即， 综上，t的取值范围是． 15．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】利用赋值法及累加法求出数列通项，再利用单调性定义列式求解. 【详解】对任意，成立，且， 令，则，即当时，， 当时， ，而满足上式，因此， 由为单调递增数列，得对成立， 则，化简得， 于是，而当时，，则，解得， 所以的取值范围是. 16．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 【答案】27 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由，因为， 若，则所有项为正，与已知条件矛盾，所以，数列递减. 因为，所以，， 不等式移项得，即，所以， 因此，， 因为等差数列是递减数列，且，所以当时，的最小值为27． 17．（23-24高二下·湖南益阳·阶段检测）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为________. 【答案】 【分析】根据等差中项的定义列方程，求得，结合数列的单调性求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以，即， 也即，解得， 所以，所以. ， ， 当时，，当时，， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 18．已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 【答案】(1) 证明：因为数列满足，即， 可得， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公差为的等差数列. (2)；最小项为. 【分析】（1）根据题意化简得到，即，结合等差数列的定义，即可求解； （2）由（1）求得，根据，得到数列为递增数列，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：数列表示首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 由 ， 当时，可得，即，所以数列为递增数列， 所以当时，数列的最小项为，即数列的最小项为. 19．在各项均为正数的等比数列中，公比q∈(0，1)．若，，，数列的前n项和为Sn． (1)求和的通项公式； (2)求当取最大值时n的值． 【答案】(1)，； (2)或8. 【分析】（1）根据等比数列的性质及通项公式列方程求出公比得通项公式，即可求解； （2）由等差数列的求和公式可得，令，根据的正负变化即可求解. 【详解】（1）各项均为正数的等比数列中，若，， 所以，由于公比q∈(0，1)，解得， 所以，解得． 所以，． （2）由（1）可知：数列是以4为首项，以为公差的等差数列， 所以，则， 当，时，； 当时，； 当，时，， 故当或8时，数列取得最大值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列单调性、最值问题 常考题型·精准突破 考点一 判断数列的单调性 题型1 等差数列中单调性判断问题（重） 题型2 等比数列中单调性判断问题（重） 题型3 通过作差（商），构造函数判断数列的单调性（高频） 考点二 根据数列的单调性求参数 题型4 根据等差数列的单调性求参数（重） 题型5 根据等比数列的单调性求参数（重） 题型6 根据数列的单调性求参数（高频） 考点三 分数数列的单调性问题 题型7 分段数列中的单调性问题（难） 考点四 数列中的最大（小）项问题 题型8 等差数列中的最大（小）项问题（高频） 题型9 等比数列中的最大（小）项问题（难） 题型10 数列中的最大（小）项问题（难） 考点五 等差数列前n项和最值问题 题型11 等差数列前n项和最值问题（高频） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 判断数列的单调性 ◆题型1等差数列中单调性判断问题 1．（25-26高二下·北京·期中）已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）设为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A．为递减数列 B．数列为递减数列 C．为递增数列 D．数列为递增数列 3．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）（23-24高三上·黑龙江·阶段检测）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 5．已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． ◆题型2等比数列中单调性判断问题 6．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）已知正项等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一下·上海·期末）已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 8．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（25-26高二下·全国·课后作业）在等比数列中，“”是“数列递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（25-26高三上·四川成都·期末）已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ◆题型3 通过作差（商），构造函数判断数列的单调性 11．（24-25高二下·辽宁辽阳·阶段检测）数列的通项公式如下，则递增数列是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（25-26高二下·安徽·阶段检测）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 14．（多选）（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）下列通项公式中，数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 考点二 根据数列的单调性求参数 ◆题型4根据等差数列的单调性求参数 16．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知等差数列的前项和为，公差为，且单调递增，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·上海·开学考试）已知等差数列的首项表示的前项和，若数列是严格增数列，则的公差取值范围是__________. ◆题型5根据等比数列的单调性求参数 20．在等比数列中，首项，要使数列对任意正整数都有．则公比应满足（    ） A． B． C． D． 21．已知是递增的等比数列，且，则其公比满足（    ） A． B． C． D． 22．已知等比数列的公比为q．若为递增数列且，则（    ） A． B． C． D． ◆题型6根据数列的单调性求参数 23．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）若数列为单调递增数列，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．（23-24高二上·陕西·阶段检测）已知数列的通项公式为，且为递减数列，则实数的取值范围是______． 25．（25-26高二上·河南开封·期末）已知数列是单调递增数列，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·天津南开·期末）设数列的通项公式为，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·江苏南京·阶段检测）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·重庆·期中）已知的通项公式为，若数列为递减数列，则实数的取值范围是___________． 29．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，且满足，则实数的取值范围是______． 30．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知数列 为严格增数列，则实数 的取值范围为_____. 31．（24-25高一下·上海浦东新·阶段检测）已知数列是严格增数列且（为正整数），则实数的取值范围为_____. 考点三 分数数列的单调性问题 ◆题型7分段数列中的单调性问题 32．（25-26高二下·河南南阳·期中）已知单调递增数列的通项公式为，，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数，若数列满足，且为递增数列，则的取值范围为________． 35．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则实数的取值范围是__________. 36．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是________. 37．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 38．（2026高二上·浙江温州·专题练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是________. 39．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）已知数列满足，若，恒成立，则实数的取值范围是__________. 考点四 数列中的最大（小）项问题 ◆题型8等差数列中的最大（小）项问题 40．（25-26高二上·天津·阶段检测）设等差数列的前n项和为，且（），若，则（   ） A．的最大项是 B．的最小项是 C．的最大项是 D．的最小项是 41．设等差数列的前项和为，且满足，对任意正整数，都有，则的值为 A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 42．已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 43．（多选）已知递减的等差数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B．最大 C． D． 44．（多选）等差数列中，若且，则下面结论正确的是（    ） A． B． C．最大 D． ◆题型9等比数列中的最大（小）项问题 45．（山西长治市2026-2027学年高三上学期9月份学情调研数学试题）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 46．（25-26高三上·浙江金华·期末）已知数列为等比数列，是数列的前项的乘积.记取得最大值与最小值的项的个数分别为和，则（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高三上·河北·期中）已知递减数列为等比数列，其前项之和为，则当取得最大值时，__________． 48．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知数列的通项公式为，则当__________时，数列的前项和最小. ◆题型10数列中的最大（小）项问题 49．（25-26高二下·江西上饶·期末）若数列中的最大项是第项，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 50．（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 51．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，则数列的最小项是第（   ）项 A．5 B．6 C．7 D．8 52．（25-26高二下·全国·课后作业）已知数列的通项公式为，则此数列中数值最小的项是（   ） A．第10项 B．第11项 C．第12项 D．第13项 53．（25-26高二上·吉林·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．8 D．1 54．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列满足，，则的最大值为_______． 55．（2026高二·全国·专题练习）已知数列满足，，则数列的最小项为______． 考点五 等差数列前n项和最值问题 ◆题型11等差数列前n项和最值问题 56．（25-26高二下·河南南阳·开学考试）已知数列是等差数列，其中，． (1)求数列的通项公式． (2)数列从哪一项开始小于0． (3)求数列的前n项和的最大值，并求出对应n的值． 57．（23-24高一上·福建宁德·阶段检测）已知等差数列中， (1)求数列的通项公式 (2)若单调递增，，求数列前项和的最小值 58．（23-24高一下·上海·期末）设等差数列的公差为，其前项和为，且满足. (1)求的值； (2)当为何值时最大，并求出此最大值. 59．（23-24高二下·河南·期末）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设为的前项和，求的最小值． 60．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，， (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和的最小值． 61．（23-24高二上·山东青岛·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)求的最小值，并指出取何时取得最小值. 综合攻坚·知能拔高 1．（26-27高二上·全国·课后作业）在各项均为正数的等比数列中，若，则下列结论中正确的是（   ） A．数列是常数列 B．数列是递减数列 C．数列是递增数列 D．数列是摆动数列 2．（2026·福建福州·三模）记为数列的前项和，则最小时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知正项数列满足，当最大时，的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2026·福建莆田·模拟预测）已知等比数列的前项和为，则函数的最大值为（   ） A． B． C． D．1 6．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知数列满足，当时，，则数列的最大项为（    ） A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项 7．（2026·湖北·一模）已知数列的首项，且满足，则数列（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 8．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．设等差数列的前项和为，已知，，则以下选项中，最大的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）若数列的通项公式为．的最大项为第项，最小项为第项，则等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．（2025·陕西榆林·模拟预测）在等比数列中，“”是“是递增数列”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．（多选）（25-26高二下·江西九江·阶段检测）已知数列的通项公式为.若该数列是递减数列，则实数的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 14．（25-26高一下·上海·期中）已知数列满足，设，，若数列是严格增数列，则t的取值范围是_____． 15．（25-26高二下·江西九江·阶段检测）在正项数列中，对任意，，，若为单调递增数列，则的取值范围是________. 16．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 17．（23-24高二下·湖南益阳·阶段检测）等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为________. 18．已知首项为4的数列满足． (1)证明：数列是等差数列． (2)求数列的通项公式，并求数列的最小项． 19．在各项均为正数的等比数列中，公比q∈(0，1)．若，，，数列的前n项和为Sn． (1)求和的通项公式； (2)求当取最大值时n的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $