专题05 数列通项公式的常用求法（累加、累乘、构造、递推转化）（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题05 数列通项公式的常用求法 （累加、累乘、构造、递推转化） 常考题型·精准突破 考点一 累加法、累乘法 题型1 累加法求通项（高频） 题型2 累乘法求通项（高频） 考点二 构造法 题型3 形如： 求通项（高频） 题型4 形如：求通项（重） 题型5 形如：求通项（重） 题型6 形如： 求通项（高频） 题型7 形如： 求通项（重） 题型8 形如： 求通项（难） 题型9 形如： 求通项（难） 考点三 二阶线性递推关系 题型10 形如： 求通项（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 累加法、累乘法 ◆题型1 累加法求通项 1．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 4．已知数列满足，，求数列的通项公式. 5．（25-26高二下·四川内江·期中）在数列中，，． (1)求； ◆题型2 累乘法求通项 6．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； 7．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列中，，，写出数列的前5项，猜想并加以证明. 8．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）设数列满足，，. (1)求数列的通项公式； 9．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； 10．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； 考点二 构造法 ◆题型3形如： 求通项 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 11．（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 13．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 14．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足，且，则______. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． ◆题型4 形如：求通项 形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式 16．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 18．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 19．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）各项均正的数列满足，则等于_______ 20．已知数列满足，.求数列的通项公式. ◆题型5 形如：求通项 形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 21．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 22．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 23．数列满足，则数列的通项公式为______． 24．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； 25．已知数列满足，且，． （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； ◆题型6 形如： 求通项 形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 26．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 27．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 28．已知数列满足递推关系，，则（    ） A． B． C． D． 29．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 30．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； ◆题型7 形如： 求通项 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得 31．（23-24高二上·广东湛江·阶段检测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 32．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 34．已知数列满足，，，则_________. 35．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； ◆题型8形如： 求通项 形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：，再结合待定系数法求解 36．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和_________． 37．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 38．（高三数学综合原创基础小卷07）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 39．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； 40．已知数列满足，且，求数列的通项公式. ◆题型9形如： 求通项 满足的数列的通项公式的求法：设，通过待定系数法确定，的值，转化成以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项，整理可得． 41．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 42．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 43．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 44．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 45．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 考点三 二阶线性递推关系 ◆题型10形如： 求通项 满足的数列的通项公式的求法：可以将递推式化为，其中，是方程的两个根．若1是方程的根，则直接构造数列；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列． 46．已知数列满足，，，则通项公式______ 47．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 48．（25-26高三上·山东淄博·期中）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； 49．已知数列满足，，，求的通项公式． 50．已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列满足，求的前项和. 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 4．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 6．（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 7．（23-24高二下·广东佛山·阶段检测）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 8．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 13．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列满足，则数列的前2026项和为______. 14．已知数列满足（，），且，，则________． 15．已知在数列中，，，则通项______． 16．数列中，，，则__________． 17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 18．（2026·福建漳州·二模）已知数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 19．（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 20．已知数列满足，，求数列的通项公式. 21．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中，，，求数列的通项公式. 22．分别求下列数列的通项公式． (1)，； (2)，． 23．（24-25高二上·陕西榆林·阶段检测）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 24．（24-25高三上·河北·阶段检测）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 25．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足，求． 26．在数列中，已知，，求的通项公式． 27．（24-25高二上·上海·课前预习）已知数列满足，且（为正整数），通过计算、、，是否能猜想其通项公式？ 28．已知：，时，，求的通项公式． 29．在数列中，，．求数列的通项公式. 30．（25-26高三上·河北·阶段检测）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列通项公式的常用求法 （累加、累乘、构造、递推转化） 常考题型·精准突破 考点一 累加法、累乘法 题型1 累加法求通项（高频） 题型2 累乘法求通项（高频） 考点二 构造法 题型3 形如： 求通项（高频） 题型4 形如：求通项（重） 题型5 形如：求通项（重） 题型6 形如： 求通项（高频） 题型7 形如： 求通项（重） 题型8 形如： 求通项（难） 题型9 形如： 求通项（难） 考点三 二阶线性递推关系 题型10 形如： 求通项（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 累加法、累乘法 ◆题型1 累加法求通项 1．（25-26高二下·河南许昌·期中）已知数列满足，且，则（   ） A．223 B．233 C．243 D．253 【答案】D 【详解】由递推公式，可得. 则，，，. 将以上个式子累加得： . ，故. 2．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 3．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，则数列的前项的和为________. 【答案】 【分析】先由通过累加法求通项得，再通过裂项相消求和可得. 【详解】由题意可知，满足，， 当时，， ，以上各式累加得， ， 当时，，也满足上式，，则. ∴数列的前项和为， . 4．已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，所以， 当时， ， 当时，也满足上式，故数列的通项公式为． 5．（25-26高二下·四川内江·期中）在数列中，，． (1)求； 【答案】(1) 【分析】（1）根据已知的递推关系，用累加法求通项； 【详解】（1）因为，， 所以，，，， 所以， 又，所以， 当时也成立，所以． ◆题型2 累乘法求通项 6．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）根据累乘法得到时，，结合时，符合上式，得到答案； 【详解】（1）由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. 7．（25-26高二下·全国·课堂例题）设数列中，，，写出数列的前5项，猜想并加以证明. 【答案】，，，，，，证明如下： 当时，，显然，则， 则， 累乘得，所以，对也适合，则. 【分析】直接根据递推公式求前5项，再利用累乘法证明. 【详解】根据，， ，，， ，. 猜想：， 证明略. 8．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）设数列满足，，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）由已知得，应用累乘法求通项公式即可； 【详解】（1）因为，，所以， 所以 ， 所以时，，又也符合， 故数列的通项公式； 9．（25-26高二上·湖北十堰·期末）已知数列满足，且 (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用累乘法求解通项公式即可； 【详解】（1）因为，且， 所以当时， 又也满足，所以. 10．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）利用累乘法求数列的通项公式； 【详解】（1）由，可得， 当时，， 又因为，即对也成立，所以. 考点二 构造法 ◆题型3形如： 求通项 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 11．（25-26高二下·河南·期末）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 12．（25-26高二上·贵州黔南·期末）在数列中，，，则数列的通项公式为___________． 【答案】 【分析】由，构造等比数列，求得数列的通项公式，从而求得数列的通项公式. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以. 所以数列的通项公式为． 故答案为:． 13．（25-26高二下·江西景德镇·期中）已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 14．（24-25高三上·四川绵阳·阶段检测）已知数列满足，且，则______. 【答案】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】构造法得到为公比为4的等比数列，且，求出通项公式. 【详解】，设，故，所以， 解得，所以， 所以为公比为4的等比数列，且，所以， 故. ◆题型4 形如：求通项 形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式 16．（25-26高二上·江苏镇江·期中）已知数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件证明数列是等差数列并求出数列的通项公式，将代入即可得解. 【详解】已知，两边同时除以， 可得，即. 又当时，， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：A 17．（多选）（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 18．（24-25高三上·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】由得，构造等比数列即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 19．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）各项均正的数列满足，则等于_______ 【答案】 【解析】根据可得，即可构造出等差数列，由等差数列的性质可求出，即可求得． 【详解】将两边同除以，得，则是首项为2，公差为1的等差数列，∴，则． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用构造法求数列的通项公式以及等差数列的定义的应用，属于基础题． 20．已知数列满足，.求数列的通项公式. 【答案】 【分析】对变形可得，从而可得数列为等比数列，进而可求出. 【详解】因为，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 【点睛】本题主要考查构造新数列求数列的通项，属于中档题.对于型可构造等比数列，可设，注意当时，不能用此法构造. ◆题型5 形如：求通项 形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 21．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，且，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【详解】由，两边同除以，可得，即， 因为，可得，所以数列是首项为，公差为的等差数列， 可得，所以， 即数列的通项公式为． 22．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）已知数列满足，且，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 23．数列满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 24．（24-25高二下·辽宁大连·期中）已知数列满足， (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. 25．已知数列满足，且，． （1）设，证明：数列为等差数列； （2）求数列的通项公式； 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）根据题设递推式得，根据等差数列的定义，结论得证. （2）由（1）直接写出通项公式即可. 【详解】（1）由题设知：，且， ∴是首项、公差均为1的等差数列，又，则数列为等差数列，得证. （2）由（1）知：. ◆题型6 形如： 求通项 形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式 26．（24-25高二上·广东·阶段检测）已知数列满足,则（    ） A．2024 B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解. 【详解】因为，，则有， 故数列是以1为首项，公差的等差数列，故， 所以，则. 故选：C. 27．（23-24高二上·甘肃白银·期中）已知数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据等差数列的定义求出数列的通项，即可得解. 【详解】由，得， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以. 故选：B. 28．已知数列满足递推关系，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推式可得数列为等差数列，根据等差数列的通项公式即可得结果. 【详解】因为，所以，， 即数列是以2为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 故选：D. 29．（多选）（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 30．（2024·陕西咸阳·三模）数列满足，. (1)求数列通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列求出通项即得. 【详解】（1）数列中，，，显然，则， 数列是首项为1，公差为1的等差数列，， 所以数列通项公式是. ◆题型7 形如： 求通项 形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得 31．（23-24高二上·广东湛江·阶段检测）在数列中，，，则（    ） A． B． C． D．100 【答案】C 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项公式，即可得解. 【详解】因为，，所以， 即， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，则， 所以. 故选：C 32．（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】采用倒数法可证得数列为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到，得解. 【详解】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，， ， 故选：D． 33．（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 34．已知数列满足，，，则_________. 【答案】 【分析】将变形可得数列为等差数列，再借助等差数列求解即得. 【详解】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 35．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知数列满足，. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）将两边取倒数得到为等差数列，求出的通项公式，即可得解； 【详解】（1）因为，，所以， 所以， 故， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故. ◆题型8形如： 求通项 形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：，再结合待定系数法求解 36．（23-24高二上·重庆·期末）已知数列满足，则数列的前8项和_________． 【答案】502 【分析】根据取倒数构造等比数列，结合等比数列求和公式即可得到答案. 【详解】由，取倒数得， 所以， 因为，所以，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，则， 所以数列的前8项和. 故答案为：502 37．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知数列的首项，且满足．求数列的通项公式； 【答案】 【分析】由已知及构造法得，再由等比数列的定义可得答案. 【详解】因为，，易知， 取倒数得，，即， 因为，所以，所以为常数， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 所以，则， 所以，即数列的通项公式为. 38．（高三数学综合原创基础小卷07）已知数列满足，且． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）首先取倒数，然后构造等比数列，利用等比数列通项公式求解即可； 【详解】（1）因为，所以， 故，又，则， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，解得， 所以数列的通项公式为； 39．（24-25高三上·四川泸州·开学考试）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等比数列； 【答案】(1) 由题设易知，因为，所以， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 【分析】（1）将已知等式取倒，通过构造数列即可得证； 【详解】（1）略 40．已知数列满足，且，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】根据题意先证数列为等比数列，再结合等比数列的通项公式分析求解. 【详解】因为，且，可知， 则，可得， 且， 可知数列是首项为2，公比为4的等比数列， 可得，所以. ◆题型9形如： 求通项 满足的数列的通项公式的求法：设，通过待定系数法确定，的值，转化成以为首项，为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项，整理可得． 41．（25-26高二下·广西贺州·阶段检测）已知数列满足，且，则______． 【答案】 【详解】设，即， 和比较可得，则， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以． 42．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列中，，则数列的通项公式______． 【答案】 【分析】利用构造法判断为等比数列，然后利用等比数列通项公式即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，故. 故答案为： 43．已知数列的前n项和为，，且，则通项公式为______ 【答案】 【分析】由构造法可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得到结果. 【详解】 又 是以2为首项，2为公比的等比数列 ， . 故答案为：. 44．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 45．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【答案】 【详解】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 考点三 二阶线性递推关系 ◆题型10形如： 求通项 满足的数列的通项公式的求法：可以将递推式化为，其中，是方程的两个根．若1是方程的根，则直接构造数列；若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列． 46．已知数列满足，，，则通项公式______ 【答案】 【分析】根据题中递推关系构造两个等比数列，联立方程求解通项公式； 【详解】因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为3， 因此①， 又因为变形为 所以数列是等比数列，首项为，公比为2， 因此②， ① ②两式相减可得. 故答案为：. 47．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 48．（25-26高三上·山东淄博·期中）在数列中，，且对任意的，都有. (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式； 【答案】(1) 在数列中，由，得，而， 是以9为首项，3为公比的等比数列； 因此，即， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式是. 【分析】（1）变形给定的递推公式，利用等比数列的定义推理得证；再利用构造法求出通项公式. 【详解】（1）略 49．已知数列满足，，，求的通项公式． 【答案】 【分析】由题意可得，进一步可得数列是公比为的等比数列，从而有，利用累加法和等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以当时， ， 又当时，，符合上式， 所以对于任意正整数n都有． 50．已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)已知数列满足，求的前项和. 【答案】(1) 由，得， ，，， ，则是首项为4，公比为2的等比数列， 由是首项为4，公比为2的等比数列， 则， ，即数列是首项为2，公差为1的等差数列， ， 则； (2) 【分析】（1）根据结合等比数列的定义即可得证；再利用构造法求的通项即可； （2）利用分组求和法和裂项相消法计算即可. 【详解】（1）略 （2）， 则 . 综合攻坚·知能拔高 1．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知数列满足，，则的个位数字为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】由题设，则， 令，得，则， ， 显然也满足上式， ，则，显然个位数字为2. 3．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知数列满足，，则的前7项和为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据累乘法，可求得数列的通项公式，根据裂项相消求和法，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 则，即， 所以， 又，满足上式，所以， 所以的前7项和为. 故选：C 4．（2026·四川广元·三模）已知数列满足：，，，则（   ） A．127 B．128 C．255 D．256 【答案】C 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以. 5．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）若数列满足，，则（    ） A．466 B．1024 C．2044 D．4048 【答案】C 【详解】由题设，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以，则. 6．（23-24高二上·福建厦门·期中）若数列满足，，则（ ） A．1020 B．1024 C．2044 D．2048 【答案】C 【分析】整理可得，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为2，公比为2的等比数列， 则，即， 所以. 故选：C. 7．（23-24高二下·广东佛山·阶段检测）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【分析】将式子变形为,可得为常数列，即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得. 故选：B 8．（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒数法可得，结合等差数列的定义和通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，又，所以， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以. 故选：A 9．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）设数列满足，，则数列的通项公式等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后还原得到原数列通项． 【详解】因为，两边同时除以，得． 令，则，两边同时加上，得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以． 故选：D． 10．（25-26高二下·广东茂名·阶段检测）已知在数列中，，，则数列的通项公式（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将递推式两边同除以构造新数列，通过待定系数法转化为等比数列，求出新数列通项后得到原数列通项． 【详解】在递推公式的两边同时除以，得． 令，则，所以． 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，则，即， 所以． 故选：D． 11．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的各项为正数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形得出，结合题意得出，，可知数列为常数列，由此可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列的各项为正数，且，， 故当时，， 由题意可知，对任意的，，则，所以，， 则有，所以，数列为常数列， 故，所以. 故选：A. 12．（2026·河南开封·模拟预测）已知数列满足，，则数列的前5项的和为________． 【答案】 【分析】通过累加法得出数列的通项即可得数列通项，再利用裂项相消可得答案. 【详解】已知数列满足，， 所以， 累加可得， 即，所以，当时，，符合通项公式， 所以， 所以的前5项的和为. 13．（25-26高二下·安徽·阶段检测）已知数列满足，则数列的前2026项和为______. 【答案】 【分析】先利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意可得，且， 所以当时，，……，， 累加得， 所以， 验证当时，所以对成立， 所以， 所以数列的前项和， 将代入得. 14．已知数列满足（，），且，，则________． 【答案】4 【分析】将递推式变形为差的形式，构造等比数列，利用累加法结合已知条件求出． 【详解】由（，），可得，若， 则，与题中条件矛盾，故， 所以， 即数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以 ， 所以． 故答案为：4． 15．已知在数列中，，，则通项______． 【答案】 【分析】利用待定系数法构造新数列，得到，从而利用等比数列性质求出答案. 【详解】利用待定系数法构造新数列， ， 又，则， 所以． 令，是以为首项，公比的等比数列． ．即，． 当时成立，所以． 故答案为： 16．数列中，，，则__________． 【答案】 【分析】先两边取倒数，再构造等差数列即可求解． 【详解】由，，可得， 所以，即(定值)， 故数列以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，所以． 故答案为：． 17．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且，，则数列的通项公式为______. 【答案】 【分析】法一：设、，结合递推关系得到，再根据已知得，进一步有，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得，讨论的奇偶性写出通项公式即可. 【详解】法一：因为，所以. 设，则，所以. 设，则. 因为，，所以，， 所以，即，即，所以. 因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，. 法二：因为，所以， 由，，得，， 所以数列的奇数项是首项为2，公比为4的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4的等比数列， 当为奇数时，，即； 当为偶数时，，即. 综上，. 故答案为： 【点睛】方法点睛：由递推关系式求数列通项公式的方法， 18．（2026·福建漳州·二模）已知数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知 ，可通过累加法求出 的通项公式 （2）先对 进行裂项，再利用裂项相消法求数列的前n项和. 【详解】（1）已知 ，则当 时： . 将以上 个式子累加可得： ， 即 . 又因为 ，所以 ， 当 时， ，上式也成立. 因此，的通项公式为 . （2）由（1）知 ，则 ． 所以 ， 即 . 19．（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意， 则，，，，…，， 以上各项相加得.所以. 因为也适合上式，所以. （2）由 得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 20．已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由，得， 所以， 将以上各式相乘，可得， 因为，所以， 又因为满足上式，所以数列的通项公式为． 21．（25-26高三·全国·一轮复习）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由得，所以当时， ，满足上式，所以数列的通项公式为. 22．分别求下列数列的通项公式． (1)，； (2)，． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用累加法求数列通项公式； （2）利用累乘法求数列通项公式． 【详解】（1）因为，，，， 所有式子相加得， 所以，也满足上式， 所以； （2）因为，所以，，，， 所有式子相乘得， 所以，也满足上式， 所以. 23．（24-25高二上·陕西榆林·阶段检测）已知数列满足，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) 因为， 所以，即， 又，所以， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列. (2) 【分析】（1）由题意得，即可证明结论. （2）由（1）计算数列的通项公式，分组求和即可得到结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，， 所以， 所以 . 24．（24-25高三上·河北·阶段检测）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出数列的通项公式. （2）由（1）的结论求出，进而求出其前n项和. 【详解】（1）数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，所以数列的前n项和. 25．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的首项，且满足，求． 【答案】 【分析】根据递推关系得，结合等比数列定义写出的通项公式，即可得答案. 【详解】由，，得，， 所以，又 故数列是首项、公比均为的等比数列， 则，故． 26．在数列中，已知，，求的通项公式． 【答案】 【分析】通过凑配法证得是等比数列，进而求的通项公式. 【详解】由，得， 整理得， 所以是首项为，公比为的等比数列． 故，则． 27．（24-25高二上·上海·课前预习）已知数列满足，且（为正整数），通过计算、、，是否能猜想其通项公式？ 【答案】能，. 【分析】通过计算，能归纳猜想出的通项公式，再利用取倒数法证明猜想. 【详解】因为，， 所以，，， 所以能猜想出的通项公式为． 证明如下：因为， 所以， 所以， 又因为，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所以，得证. 28．已知：，时，，求的通项公式． 【答案】 【分析】构造等比数列，即可由等比数列的性质求解. 【详解】设，所以， ∴ ，解得：， 又 ，∴ 是以3为首项， 为公比的等比数列， ∴ ，∴ ． 29．在数列中，，．求数列的通项公式. 【答案】 【分析】递推公式推得，判断数列为等差数列，求出公差d，再写出通项公式. 【详解】因为，所以. 由可得，所以. 又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以. 30．（25-26高三上·河北·阶段检测）数列中，，满足. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变为，然后利用等差数列的定义求解通项公式即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）将两边同时除以得， 则是首项为，公差为的等差数列， 由，得. （2）由（1）可得①， 则②， ①-②得，， ， 即. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $