专题01 数列基础概念（通项、递推公式，an与Sn关系）（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第二册

专题01数列基础概念（通项、递推公式，an与Sn关系） 常考题型·精准突破 考点一 数列的基础概念 题型1 数列的概念及辨析 题型2 根据数列的前几项求通项（高频） 题型3 数列中具体某一项的求解与判断（高频） 题型4 数列的周期性（难） 考点二 数列的单调性 题型5 判断数列的增减性（难） 题型6 根据数列的单调性求参数（难） 题型7 确定数列中最大（小）项（难） 考点三 数列的递推关系 题型8 根据数列递推公式写出数列的项 题型9 求递推关系式 题型10 递推数列的实际应用（难） 考点四 已知求 题型11 根据数列的前n项和 求（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 数列的基础概念 ◆题型1数列的概念及辨析 1．（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】由数列的概念即可求解②③④，对于①，通过验证即可判断. 【详解】①，若，则，故①错误； ②，因为数列，所以数列的图象是一群孤立的点，故②正确； ③，数列的首项是，数列的首项是， 故不是同一个数列，故③错误； ④，易得逐渐变小，故该数列是递减数列，故④错误. 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 【答案】D 【分析】根据数列的定义逐项判断即可. 【详解】①错误，例如无穷个构成的常数列、、、的各项都是； ②错误，数列、、与数列、、各项的顺序不同，表示不同的数列；③正确． 故选：D. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 【答案】B 【分析】根据数列的相关概念，以及数列的结构特征逐一各选项判断即可. 【详解】对于A，根据数列的相关概念，数列的第1项即为首项4，故A正确； 对于B，若数列是一个首项为3的常数列，则各项均等于3，故B错误； 对于C，根据数列的相关概念可知C正确； 对于D，数列中的项必须是数，不能是其他形式，故D正确． 故选：B. 4．（多选）（24-25高二上·海南海口·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 5．（多选）（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 【答案】BC 【详解】对于A选项，数列是按一定顺序排成的一列数，即数列与是两个数列，故A正确； 对于B选项，数列的通项公式是，故B错误； 对于C选项，数列是摆动数列，故C错误； 对于D选项，数列是递增数列，也是无穷数列，故D正确. ◆题型2 根据数列的前几项求通项 6．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】C 【详解】观察可得，，， 所以，又， 所以． 8．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时代入各选项检验即可. 【详解】当时， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B可以是； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故ACD错误，B正确. 9．（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】注意到四项的分子均为，分母均为，可得通项公式. 10．（26-27高一上·河南平顶山·开学考试）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为_________. 【答案】 【分析】分别观察已知式子的数字系数与的指数，归纳各自的变化规律，再整合得到第个式子即可. 【详解】第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为. ◆题型3 数列中具体某一项的求解与判断 11．（25-26高二下·全国·课后作业）的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 【答案】B 【分析】由题意可知，代入计算即可求解. 【详解】由题意可知，故第9项为． 故选：B 12．（24-25高二下·重庆·阶段检测）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据数列各项的正负性、分母的特征写出数列的通项公式，再运用代入法进行求解即可. 【详解】因为， 数列的通项公式，则有，， 故选：D. 13．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给数列，写出数列的一个通项公式，再求解第8项. 【详解】记数列为，通过观察分子分母的特征，可得数列的一个通项公式为，. 故选：B 14．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知数列，，，，，，，则该数列的第16项是（   ） A．4 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合观察法求出数列的通项公式，进而求出指定项. 【详解】记该数列为， ， 则该数列的通项公式为，符合题意， 所以该数列的第16项是. 故选：C 15．（25-26高三·全国·一轮复习）将个连续自然数按规律排成下表： 根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图像找规律即可. 【详解】观察数表可知，位序相同的数字都是以4为公差的等差数列，故从2008至2010，其位序应与相同， 故选：A． ◆题型4 数列的周期性 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 17．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. 18．（2026高三·全国·专题练习）设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为________． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 【答案】1 【分析】根据所给关系式推理数列的周期，根据周期计算的值． 【详解】由可得；；；；；……； 故数列为周期为4的周期数列， 因为，故． 19．（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 【答案】 【分析】利用递推公式先求前几项，进而得周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. 20．（26-27高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，求． 【答案】 【详解】因为， 所以， ， ， ， 所以是周期为4的数列，所以． 考点二 数列的单调性 ◆题型5 判断数列的增减性 21．（25-26高二下·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】数列是单调递减数列，都是单调递增数列． 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列是递减数列，则其通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性判断数列的单调性即可. 【详解】因为函数是增函数，所以数列是递增数列； 因为函数是正实数集上的增函数，所以数列是递增数列； 因为函数是减函数，所以数列是递减数列； 因为函数是正实数集上的增函数，所以数列是递增数列； 故选：C 23．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】B 【分析】由直接判断其单调性即可得. 【详解】由，显然随的增加，逐渐变小并趋向于，所以为递减数列. 故选：B 24．（多选）（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据的符号判断数列的单调性即可. 【详解】对于A，， 由于时，，所以数列单调递增，A错误； 对于B，， 因为时，，即，所以数列单调递减，B正确； 对于C，由不等式得，可知数列单调递减，C正确； 对于D， 所以， ， 所以数列单调递减，D正确. 25．（多选）（25-26高二下·安徽·阶段检测）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，，则有， 因此该数列是递增数列，故A正确； 对于B，，则有， 因此该数列是递减数列，故B错误； 对于C，，，， 因此该数列不是递增数列，故C错误； 对于D，，函数在上为增函数， 因此该数列是递增数列，故D正确； ◆题型6 根据数列的单调性求参数 26．（25-26高二下·上海宝山·期末）设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，根据数列为递增数列，联立不等式组，即可求得答案. 【详解】由，得， 又数列为递增数列，得，解得.即：. 27．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 28．（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 29．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 30．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】分别依据分段函数在上单调递增、正整数集上离散数列单调递增的约束条件，列不等式组求解的取值范围。 【详解】(1)若为上的递增函数，则，化简得， 解得，即的取值范围为. (2)若数列（）为递增数列，则，化简得， 解得，即的取值范围为. ◆题型7 确定数列中最大（小）项 31．（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 【答案】B 【详解】已知递推关系， 因此， 所以， 令，则， 是一个公差为1的等差数列，首项， 所以， 因此，原数列的通项公式为， 因此， 当，即时，，数列递增； 当，即时，，数列递减， 因此，数列在时取得最大值. 32．（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据数列的通项公式，结合为最大项得到关于的不等式组并结合确定的值. 【详解】由题意得，，又因为， 所以， 解得，又因为，所以． 33．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将通项公式变形为，通过分析其在分母临界点两侧的单调性来求解最大值. 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 34．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，， ， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. 35．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 【答案】 【详解】因为， 所以可知当时，数列是递增数列且； 当时，数列也是递增数列且． 当时，数列取到最大值，最大值为； 当时，数列取到最小值，最小值为． 考点三 数列的递推关系 ◆题型8 根据数列递推公式写出数列的项 36．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 37．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断数列的周期性，结合周期性求解即可. 【详解】，， ，， 则数列是周期为4的数列， 所以. 38．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】，，，，， 39．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在数列中，，，则__________． 【答案】7 【详解】由题意得，． 40．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知数列满足，且对任意，则____________． 【答案】 【详解】已知，根据递推式可知 ， ， ， ， 因此是周期为4的周期数列，. 由于，故. ◆题型9 求递推关系式 41．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列中从第二项起，每一项与前一项的比是同一个常数（不为零）进行求解即可. 【详解】因为 所以， 故选：D 42．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果. 【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误； 观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的， 所以递推公式为，故C正确，D错误. 故选：C. 43．（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则__________，数列相邻三项的递推关系式为__________.    【答案】 【分析】先根据题意求出，进而得到相邻项的关系式. 【详解】解 …… 故 即 故答案为： 44．（23-24高二下·辽宁·阶段检测）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则______，与的关系为______． 【答案】 7 【分析】由超子集的定义，列举法求出；的超子集可以分为两类，第一类是超子集中不含，这类超子集有个，第二类是超子集中含，这类超子集个，从而求得的递推关系. 【详解】由题意知，，则超子集只有，所以； ，则超子集有，所以； ，则超子集有，所以. 由此可以分析，对于，的超子集可以分为两类： 第一类是超子集中不含，这类超子集有个； 第二类是超子集中含，这类超子集同样也包含两类， 一类在中取一个元素，个数为； 另一类在中取两个或两个以上个元素，任意两个元素之差的绝对值大于1，个数为， 所以． 故答案为：7；. 45．平面上有个圆，每两个圆都相交于两点，且任三个圆都不共点，若个圆将平面分成的部分为，则与的关系为__________． 【答案】 【分析】由题可知，一个圆将平面分为部分，两个圆相交将平面分为部分，三个圆相交于将平面分为部分，四个圆相交将平面分为部分，，依次递推，通过归纳推理，可得出结论. 【详解】一个圆将平面分为部分，即， 两个圆相交将平面分为部分，即， 三个圆相交将平面分为部分，即， 四个圆相交将平面分为部分，即， 平面内个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点， 则该个圆分平面区域分为部分， 故答案为：. ◆题型10 递推数列的实际应用 46．（25-26高二下·陕西·阶段检测）韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 【答案】A 【分析】根据题意写出从顶层起每层灯数构成的数列的递推式，求出各项再求和即可. 【详解】依题意，不妨取该灯塔的顶层灯数为， 因从顶层向下数，第二层起每层灯数是上一层的平方加1， 故从第二层起各层灯数构成的数列满足， 则第二层灯数为；第三层灯数为； 第四层灯数为. 故整座塔共悬挂的灯有（盏）. 47．（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 【答案】B 【分析】根据“三分损益法”的规律可得出数列中各项的关系，代入计算即可. 【详解】由损益规律可知， 解得. 故选：B 48．（23-24高二下·河南南阳·阶段检测）观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 【答案】B 【分析】设条直线相交，交点最多的个数设为，得到，，，从而得到，得到答案. 【详解】条直线相交，交点最多的个数设为， 则，，故，， 即，，，， 故7条直线相交，交点的个数最多是21个. 故选：B 49．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，将李白在第5家店饮酒后所剩酒量是（    ） A．37升 B．21升 C．26升 D．32升 【答案】A 【分析】先根据题意将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列，进一步根据题意列出关于数列的递推公式，进一步计算出首项的值，然后根据递推公式逐项代入即可得到 的值，即李白在第5家店饮酒后所剩酒量. 【详解】由题意，可将李白在每家店饮酒后所剩酒量构造成一个数列， 则李白在每家店饮酒后所剩酒量均为在前一家店饮酒后所剩酒量的2倍减去5， 即， ， ， . 故李白在第5家店饮酒后所剩酒量是37升. 故选：A. 50．（25-26高二上·安徽合肥·期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契（）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列可以用递归的方法定义：.这种递推方法可以解决生活中很多问题.比如：某中学食堂一楼到二楼楼梯有个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有________种上楼方法. 【答案】 【分析】根据题中所给的递推关系，分析题意满足斐波那契数列，列举即可求解. 【详解】由题意若只有一个台阶，则有种方法； 若只有两个台阶，则有种方法； 若只有三个台阶，则有种方法； 若只有四个台阶，则有种方法； 若只有五个台阶，则有种方法； 以此类推，要想到达第个台阶，前一步可能在第个台阶处向上迈一步到达，也可能在第个台阶处向上迈两步到达，所以满足，且该数列与题干中定义的斐波那契数列初始项不同，是以斐波那契数列的第二项为首项，符合斐波那契数列规律，所以列出前项： ， 所以有个台阶，上楼有种方法. 故答案为： 考点四 已知求 ◆题型11 根据数列的前n项和 求 51．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）设数列满足3．数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】由可得， 两式相减可得，即可得， 当时可得，所以满足， 因此可得， 即数列的通项公式为. 52．（25-26高二上·安徽六安·期末）数列的前项和记为，若，则_________. 【答案】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】当时，, 当时，不满足上式， 故 故答案为: 53．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【详解】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以. 故答案为：. 54．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 【答案】 【分析】通过已知条件求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，进而得到数列的通项公式. 【详解】已知 ①. 当时， ②. 用①式减去②式可得： ，解得. 当时，，将代入可得，满足上式. 数列的通项公式为. 故答案为：. 55．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，符合上式，所以． （2）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，不符合上式，所以． 56．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出的通项公式，然后利用二次函数的性质求出最小值即可. （2）利用求解的通项公式. 【详解】（1）由题意，这是开口向上的二次函数，对称轴为 因为，所以当或时，取得最小值. ，. 故的最小项为. （2）当时，. 当时，. 验证时，，故通项公式为： 57．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）解法1：利用与的关系，得到与之间的关系，再结合求出，再逐项，，的值. 解法2：根据的意义，利用及，依次逐项求得，，，的值. （2）解法1：由（1），得，相减得到，进而分别为奇数和偶数时的的通项. 解法2：根据（1）中得到的，，，，的值，猜想的通项公式，再进行证明. 【详解】（1）（解法1）（1）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴， ∴，，． （解法2）：∵，，， ∴，解得， 又∵，∴，解得， 同理，解得， ，解得， 故，，． （2）（解法1）由（1）（解法一）知，，， 则，故时，有，① ∴，② 由①，②得，，即， 当n为偶数时，， 当n为奇数时，． 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法2）由（1）（解法一）知，，，则， 故时，有， 当n为奇数时，由，，，…，， 由以上各式可得，，…，， 可得，故． 当n为偶数时，由，，，…，， 以上各式两两相减，可得，，…，， 可得， 又∵，∴， 综上所述，数列的通项公式为（或，）． （解法3）由（1）知，，且，，，，， 归纳上述结果，猜想． 当时，，猜想成立， 假设当时，， 那么， 即时，猜想成立． 综上所述，对任意，上述猜想都成立， 即． （解法4）当时，， 又∵，∴， 当时，∵，∴， ∵，∴，即，符合， ∴时，有． ∴，，，…，， 又由（1）知，，， 故当n为奇数时，；当n为偶数时，． 故数列的通项公式为（或，）． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项， 最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和. 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 2．（25-26高二下·江西九江·期末）对于数列，定义其“交错和”为，若，则（   ） A． B．1 C． D．2026 【答案】A 【分析】根据，得到通项公式，进而得到答案. 【详解】由和两式相减得， 故，因此. 3．数列满足，，则数列的公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算前两项再计算公比； 【详解】代入得，，， 数列公比为. 故选：B. 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B．[-1,1) C．[-2,1) D． 【答案】D 【分析】先化简两个数列通项，再根据不等式建立关系，最后对n进行奇偶讨论. 【详解】由题意可得，同理， 因为，所以， 当为偶数时，，令， 为任何正偶数时，都成立，则， 越大，就越小，单调递增 则，则； 当为奇数时，，即，令， 为任何正奇数时，都成立，越大，就越小，单调递增， 而，故，所以； 综上所述. 5．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知数列的前项和，第项满足，则正整数（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】利用与的关系求得即可求解. 【详解】当时,， 当时，， 当也满足，于是(), ,即，得，(),则. 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 【答案】D 【详解】因， 则 数列呈周期性：，最小正周期为4， 故的前2026项和为. 7．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原等式变形化简，利用累加法求出，进而求得结果. 【详解】因为，则， 当时， ， 显然满足上式，即有，所以． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推式，求出数列的前4项，从而可得数列是周期为4的数列，由此求解即可. 【详解】由题意知：，，，，，…， 易知数列是周期为4的数列， ． 9．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】推导出数列的周期为，结合数列的周期性逐项判断即可. 【详解】数列满足，， 可得，，，， 所以，数列的周期为，，A对B错； ，故， ，CD都对. 10．（多选）（2026·山西晋中·三模）已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（    ） A．11 B．22 C．33 D．44 【答案】AC 【详解】因为，所以或. 当时，，此时； 当时，或，此时或. AC选项正确. 11．（多选）（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的通项公式为，前项的和为，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为7，最小值为 B．中比1小的项有6项 C．使取得最小值的为5 D．满足的的值有3个 【答案】ABD 【分析】化简为，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 可得，当，时，数列的各项小于，且是单调递减数列， 当，时，数列的各项大于，且是单调递减数列， 所以数列的最小项为，最大项为，所以A正确，B正确； 当，时，，随着的增大而增大，且， 当时，满足，随着的增大而减小， 且， 当，时，，所以， 综上所述，使得取得最小值的为，所以C错误； 当时，满足； 当时，满足；当，时，， 所以满足时，，共有个值，所以D正确. 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【详解】由可得， 则数列为常数列，则， 故数列的通项公式为. 13．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知数列满足，，则________． 【答案】 【分析】先将递推公式变形得到的表达式，计算前几项确定数列周期，再利用周期性求解 【详解】由得， 因为， 所以 所以数列的周期为4， 故 14．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）注意验证首项是否满足通项 （2）代入得到数列的通项公式，从函数的角度观察数列的单调性，从而将几个特殊的值比较一下即可. 【详解】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)数列是递减数列，理由为： （方法一：作差法） ， 又，，， ，即.数列是递减数列. （方法二：作商法） ，，. 数列是递减数列. 【分析】（1）解一元二次方程可求数列的通项公式； （2）法一：利用作差法可得，即可得结论.法二：利用作商法可得，即可得结论. 【详解】（1），， ，即，解得， ，. （2）略 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）数列的通项公式是． (1)0和1是不是数列中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 【答案】(1)0是中的第21项，1不是中的项 (2)存在，第10项与第11项 【分析】（1）直接代入通项式计算即可判断； （2）假设存在，从而得到方程，解出即可. 【详解】（1）若0是中的第n项，则． 因为，所以．所以0是中的第21项． 若1是中的第n项，则， 所以，即． 因为方程不存在正整数解，所以1不是中的项． （2）假设中存在第m项与第项相等，即，解得． 所以数列中存在连续且相等的两项，即第10项与第11项． 17．已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 18．已知数列的前项和. (1)求的值； (2)求的通项公式. 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用即可求得的值； （2）利用数列前项和与通项间的关系即可求得数列的通项公式. 【详解】（1） （2）当时，， 当时，， 综上，的通项公式为 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01数列基础概念（通项、递推公式，an与Sn关系） 常考题型·精准突破 考点一 数列的基础概念 题型1 数列的概念及辨析 题型2 根据数列的前几项求通项（高频） 题型3 数列中具体某一项的求解与判断（高频） 题型4 数列的周期性（难） 考点二 数列的单调性 题型5 判断数列的增减性（难） 题型6 根据数列的单调性求参数（难） 题型7 确定数列中最大（小）项（难） 考点三 数列的递推关系 题型8 根据数列递推公式写出数列的项 题型9 求递推关系式 题型10 递推数列的实际应用（难） 考点四 已知求 题型11 根据数列的前n项和 求（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 数列的基础概念 ◆题型1数列的概念及辨析 1．（25-26高二下·全国·课后作业）有下列命题； ①数列的通项公式是； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列与数列是同一数列； ④数列是递增数列． 其中正确命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列有关数列的说法正确的是（   ） ①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列、、与数列、、是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关． A．①② B．①③ C．②③ D．③ 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）下列说法错误的是（   ） A．数列的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列就是数列 D．数列中的项不能是三角形 4．（多选）（24-25高二上·海南海口·阶段检测）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 5．（多选）（25-26高二下·江西上饶·阶段检测）下列叙述不正确的有（    ） A．数列1，3，5，7与7，5，3，1不是同一数列 B．数列0，1，2，3，…的通项公式是 C．，1，，1，…是常数列 D．，，，，…是递增数列，也是无穷数列 ◆题型2 根据数列的前几项求通项 6．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）数列1，3，6，，，…的一个通项公式为（    ） A．， B．， C． D． 8．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知数列的前4项为4，11，30，85，则的通项公式可以是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·广东佛山·期中）数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·河南平顶山·开学考试）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为_________. ◆题型3 数列中具体某一项的求解与判断 11．（25-26高二下·全国·课后作业）的第9项是（   ） A． B． C． D．以上均不对 12．（24-25高二下·重庆·阶段检测）观察数列（   ），，，，，（   ），…的特点，则括号中应填入的适当的数为（   ） A．， B．， C．， D．， 13．（25-26高二上·湖北孝感·期末）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·宁夏银川·期末）已知数列，，，，，，，则该数列的第16项是（   ） A．4 B． C．7 D． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）将个连续自然数按规律排成下表： 根据规律，从2008到2010的箭头方向依次为（   ） A． B． C． D． ◆题型4 数列的周期性 16．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 17．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 18．（2026高三·全国·专题练习）设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为________． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 19．（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 20．（26-27高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，求． 考点二 数列的单调性 ◆题型5 判断数列的增减性 21．（25-26高二下·四川达州·期中）下列数列是单调递减数列的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·全国·课堂例题）若数列是递减数列，则其通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·广东清远·期末）已知数列的通项公式为，则数列为（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 24．（多选）（26-27高三上·湖北黄石·开学考试）下列表达式中，满足数列是单调递减的有（    ）． A． B． C． D． 25．（多选）（25-26高二下·安徽·阶段检测）下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． ◆题型6 根据数列的单调性求参数 26．（25-26高二下·上海宝山·期末）设函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 27．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 28．（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 30．（25-26高一下·北京·期中）已知函数，若数列满足， （1）若为递增函数，则的取值范围为______； （2）若是递增数列，则的取值范围为______. ◆题型7 确定数列中最大（小）项 31．（2026·山东日照·模拟预测）已知数列满足，，则的最大项为（     ） A．第7项 B．第8项 C．第9项 D．第10项 32．（2026·安徽·模拟预测）已知数列的通项公式为，若是数列的最大项，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 33．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 35．（2026高三·全国·专题练习）在数列中，，则该数列的最大项为________；最小项为________． 考点三 数列的递推关系 ◆题型8 根据数列递推公式写出数列的项 36．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 37．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知数列满足，，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 39．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在数列中，，，则__________． 40．（25-26高二下·四川自贡·阶段检测）已知数列满足，且对任意，则____________． ◆题型9 求递推关系式 41．（24-25高二上·全国·课后作业）数列的第n项与第项的关系是（   ） A． B． C． D． 42．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）数列的递推公式可以是（    ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则__________，数列相邻三项的递推关系式为__________.    44．（23-24高二下·辽宁·阶段检测）若正整数集的非空子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素之差的绝对值大于1，则称为数集的超子集．对于集合，记的超子集的个数为，则______，与的关系为______． 45．平面上有个圆，每两个圆都相交于两点，且任三个圆都不共点，若个圆将平面分成的部分为，则与的关系为__________． ◆题型10 递推数列的实际应用 46．（25-26高二下·陕西·阶段检测）韩城司马迁祠内有一座4层仿古灯塔，顶层悬挂2盏宫灯，且每下一层灯数是上一层的平方加1，问整座塔共悬挂多少盏灯（    ） A．710 B．711 C．712 D．713 47．（25-26高二上·福建福州·期末）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所用的生律法．例如第一个基准音的乐器的长度为36，那么第二个基准音的乐器长度为，第三个基准音的乐器长度为，…，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一，以此类推．现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列用来研究数据的变化，已知，则（   ） A．324 B．243 C．256 D．168 48．（23-24高二下·河南南阳·阶段检测）观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是（    ） A．20 B．21 C．26 D．27 49．唐代大诗人李白喜好饮酒作诗，民间有“李白斗酒诗百篇”之说.《算法统宗》中记载了一个“李白沽酒”的故事.诗云：今携一壶酒，游春郊外走.逢朋加一倍，入店饮半斗.注：古代一斗是10升.大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再喝掉其中的5升酒.那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒6升，将李白在第5家店饮酒后所剩酒量是（    ） A．37升 B．21升 C．26升 D．32升 50．（25-26高二上·安徽合肥·期中）斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契（）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列可以用递归的方法定义：.这种递推方法可以解决生活中很多问题.比如：某中学食堂一楼到二楼楼梯有个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有________种上楼方法. 考点四 已知求 ◆题型11 根据数列的前n项和 求 51．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·阶段检测）设数列满足3．数列的通项公式为________． 52．（25-26高二上·安徽六安·期末）数列的前项和记为，若，则_________. 53．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知数列的前项和为，且，则___________． 54．（24-25高二下·四川南充·期中）已知数列满足，，则数列的通项公式为__________． 55．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 56．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知，数列的前项和为，点（，）均在函数的图象上． (1)求数列的最小项； (2)求数列的通项公式． 57．（24-25高二下·广东汕尾·期末）已知数列的前n项和为，且满足，，． (1)分别求出数列中的，，的值； (2)求数列的通项公式． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江西九江·期末）对于数列，定义其“交错和”为，若，则（   ） A． B．1 C． D．2026 3．数列满足，，则数列的公比为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若数列的通项公式分别为，且，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B．[-1,1) C．[-2,1) D． 5．（广东深圳市宝安区2026届高三5月数学考前自测卷）已知数列的前项和，第项满足，则正整数（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 6．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）数列中，，则数列的前2026项和为（    ） A．4052 B．4054 C．2026 D．2027 7．（25-26高三·全国·一轮复习）在数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三·全国·一轮复习）数列满足，且，则数列的前2027项的和（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（2026·山西晋中·三模）已知正整数数列满足，且，则的前4项和的值可以是（    ） A．11 B．22 C．33 D．44 11．（多选）（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的通项公式为，前项的和为，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为7，最小值为 B．中比1小的项有6项 C．使取得最小值的为5 D．满足的的值有3个 12．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则数列的通项公式为________. 13．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知数列满足，，则________． 14．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 15．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知函数，数列满足，且. (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是递增数列还是递减数列，并说明理由. 16．（25-26高二下·全国·课堂例题）数列的通项公式是． (1)0和1是不是数列中的项？如果是，那么是第几项？ (2)数列中是否存在连续且相等的两项？若存在，分别是第几项？ 17．已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 18．已知数列的前项和. (1)求的值； (2)求的通项公式. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $