第二十章 二次根式（单元分层测试·能力提升卷）数学新教材沪教版五四制八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十九章 实数·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 2．若，，，则的值为 （    ） A． B． C． D． 3．下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 5．设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 8．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 9．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______． 10．的有理化因式是____． 11．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为：__________ 12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 13．计算：_____． 14．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 15．已知，为实数，，则的平方根是______． 16．不等式的解集是_________． 17．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 18．若的最大值为，最小值为，则的值为________. 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）若为实数，求的值． 20．（本题6分） 21．（本题6分）先化简，再求值：已知，求的值． 22．（本题6分）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 23．（本题8分）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 24．（本题8分）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 25．（本题9分）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 26．（本题9分）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 题号 5 6 答案 B D B C A B 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7.1-a/-a+18.28 9.x<3 10.va-1 11.①②③ 12.±1 13 2V3x 14.78 15.6 16.t<-5v5-10 17.±v13 18.2 三、解答题（共8小题，共58分） 19.(本题6分)【答案】-1 【详解】解：根据题意得， -2x+120 2t20 1 x2-4x+4≥0 2x-1≥0 解得X=),3分 .2x++V2-R-4r+4+2x- =0+1_3+0 22 =-1.6分 116 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2/6aa 20.(本题6分)【答案】 3m2-3n2.3m+n 【详解】解：：6√2a ÷ 2Va2 -a Nm-n 有意义， a<0 2分 3m2-3n2.3m+n 6 2a2 2\a2 Vm-n V-a 3m2-3n2、2a2 =-6 a.a 2a23\m+nVm-n 3(m-n) -41 2 d.a Nm-n 4. =-2V6al.V-a =2V6ava 6分 21.(本题6分)【答案】x+1,25-5 【详解】解： 2-可 兴 =+小水-刂 -6-小 =X十13分 216 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45 x= 45(5-5_45-12-=25-6 √5+V3 5-3 =2W15-6+1=215-5 原式 .6分 5 22.(本题6分)【答案】(1)30 19-415 (2)11 avB+bla (3)a-b 22√2×10255 【详解】(1)解：3V406V10610×V106030.2分 35-2V5 35-232 57-1215_19-415 (2)解： 3√5+25 35+2W335-23】 33 11 4分 (3)解：a2b>0,ab2>0, ∴.a>0,b>0 ab ab ab(a/b+b/a ab(a/B+bva)aB+bya 故Vab-a而aNb-bNa(aB-bN@)(ab+b可 ab(a-b) a-b..6分 23.(本题8分)【答案】(1) .5 有“穿墙”现象的数为V24,验证如下： 5125 52×5 5 =5, V24=24=√24=24:2分 (2) 3/6 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 n n n n-n+n n =n, 证明：”--1=”√-一5分 (3)71 【详解】(1)略 (2)略 8 (3)解：Vb=“俗 a=8 .根据(2)规律可得： a2-1=b. a=8 解得： b=63, .a+b=71 故答案为：71.8分 24.(本题8分) 【答案】()a+ (2)25 (3)n=625 【详解】(d)解：根据题意，得a+1=v6 等式两边同时平方，得(Nā+=b -a=2Wa+1 整理得 故答案为： (a+,2分 m+11-m=2√m+1 (2)解：由题意可知， 416 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :Vm=5 即m=25 故答案为：25.5分 n+4=Vn+216 (3)解：根据题意，得 等式两边同时平方，得(n+4-(a+216. 整理得： （同+28m4+4=n+216 n+8Vn+16=n+216 Vh=25 .n=625.8分 25.(本题9分)【答案】(1)-1；(2)3<m<7,4;【拓展应用】x=2. 【详解】解：（凸）原式a--(2-a) ,a≤1（显性条件）， 由题意得2-a≥0（隐含条件）， a≤2， ∴a≤1， ∴原式=1-a-2+a, =-1；3分 (2):三角形的三边长分别为25m, .5-2<m<2+5, ∴.m的取值范围是3<m<7,(隐含条件) ∴原式=m-3+V(m-7列 =|m-3+m-7 =m-3+7-m, =4, 故答案为：3<m<7;6分 516 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展应用】由题意得x-2≥0， .x≥2（隐含条件）， ∴.原方程可化为：x-2+2x-3=1, 解得x=2,符合题意.9分 bcm2 26.(本题9分)【答案】(1) acm 3分 √a√b x/cm 2证明：r+1-2m=(a-旷，且n>1, 0-l>0,即+1-2m>0, .n2+1>2n,即0<2n<n2+1, :V2n<P+1 .6分 (3)证明：，n为正整数，且n≥2， S,=+2++n<n+n+...n=nvn=n n个√n 又：0<n3<n3+l, 二利用探究的结论可以得到V厅<厅+1 :S,=f+2+tn<m+ 。9分 616 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是() A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查二次根式的化简与性质，逐一判断各选项．A项忽略的符号可能为负；C项平方根结果应为非负数，不应有±；D项需、均非负才成立；B项因且，等式恒成立． 【详解】解：A．当时，，不成立； B．∵对于任意实数，， ．又，，故恒成立． C．，结果为非负数，而表示两个值，且当时，不成立； D．当且时，、无实数意义，等式不成立． ∴只有B正确． 故选：B． 2．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据平方和二次根式的性质，得到、的所有可能取值，再结合判断与的符号关系，分情况计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴与异号，分两种情况讨论： 当时，，； 当时，，． ∴，故选D． 3．下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题主要考查了二次根式的定义．根据二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、因为，4的指数不是1，故本选项不符合题意； B、被开方式的指数为1，故本选项符合题意； C、的指数为2，故本选项不符合题意； D、的指数为5，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 【答案】C 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 判断二次根式是否为同类，需将它们化为最简二次根式，比较被开方数是否相同，据此逐项判断即可． 【详解】解：同类二次根式需化简后被开方数相同， 选项A：与，被开方数分别为和7，不同，故不是同类二次根式； 选项B：与（其中），可化为，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 选项C：，，两者最简形式被开方数均为6，故是同类二次根式； 选项D：，，其中，，被开方数分别为和，不同，故不是同类二次根式； 故选：C． 5．设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算、实数的混合运算 【分析】本题考查了无理数整数部分的有关计算，无理数的大小估算,实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则及无理数的估算是解题的关键．先求无理数和的整数部分和小数部分，得出a，b，c，d的值，然后代入中计算，求得，再进行实数的估算得出答案． 【详解】解：的整数部分是a，小数部分是b， ，， 的整数部分是c，小数部分是d， ，， ， ，， ， ． 故选A． 6．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 【答案】B 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误． 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴、利用二次根式的性质化简 【分析】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 8．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 【答案】28 【知识点】同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 9．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得， 所以，， 解得， 故答案为：． 10．的有理化因式是____． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】此题考查了有理化因式，根据二次根式的性质，即可求得有理化因式，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】的有理化因式是， 故答案为：． 11．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为：__________ 【答案】①②③ 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，根据a，b，c不全为无理数，得到三个数至少有一个是有理数，分种情况进行讨论，判断即可． 【详解】解：∵a，b，c不全为无理数， ∴a，b，c至少一个有理数， 当a，b，c有1个有理数时，不妨设为有理数，则：均为无理数，可能为有理数（互为相反数时），也可能是无理数， 当a，b，c有2个有理数时，不妨设为无理数，则：为无理数，为有理数， 当a，b，c都是有理数时，三个数都是有理数， 故①②③说法正确，④说法错误． 故答案为：①②③． 12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式与最简二次根式的定义，掌握定义是解题的关键． 根据两个二次根式是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a的方程，进而可求出a的值，再判断是否是最简二次根式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， 当时，，，它们是最简二次根式． 因此,最简二次根式 与 是同类二次根式． 故答案为：． 13．计算：_____． 【答案】 【知识点】二次根式的乘法 【分析】根据二次根式的乘法法则计算解答即可． 本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 14．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解，解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解． 【详解】解：，且为整数， 最小为3， 是大于1的整数， 越小，越小，则越大， 当时，， ，即最大为75， 故的最小值与最大值的和是， 故答案为：． 15．已知，为实数，，则的平方根是______． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 16．不等式的解集是_________． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、求一元一次不等式的解集 【分析】根据一元一次不等式的解法步骤进行求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式与根式的化简，注意：当两边同除以一个小于0的数时，不等号的方向要改变，此乃解题的关键所在． 17．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算 【分析】本题主要考查了新定义，无理数的估算，求一个数的平方根，根据新定义可得，再估算出的取值范围，从而确定a、b的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵a和b为两个连续正整数， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 18．若的最大值为，最小值为，则的值为________. 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边平方得到，利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出的最大值和最小值，从而求出的最大值和最小值，即为，代入即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得：， 将等式两边平方，得， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， 又∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）若为实数，求的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、求不等式组的解集 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值，理解二次根式有意义的条件求出的值是解答关键． 根据二次根式的有意义的条件求出的值，再利用二次根式化简求值进行计算求解． 【详解】解：根据题意得， ， 解得，..................................3分 ∴ ．..................................6分 20．（本题6分） 【答案】 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】此题考查了二次根式的乘除运算，二次根式性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘除运算法则．根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的混合运算法则和二次根式性质化简求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，..................................2分 ．..................................6分 21．（本题6分）先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把分式的除法转化成乘法，再约分计算即可，利用分母有理化求出x的值，最后代入数值计算即可得出答案． 【详解】解： ..................................3分 ∴原式．..................................6分 22．（本题6分）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查二次根式化简，掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可； （2）分子分母直接乘以分母的有理化因式，化简即可； （3）先把分母化成最简二次根式，然后分子分母同乘以分母的有理化因式，化简即可． 【详解】（1）解：．..................................2分 （2）解：．..................................4分 （3）解：， ， 故．.....................6分 23．（本题8分）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 【答案】(1) 有“穿墙”现象的数为，验证如下： ；..................................2分 (2) ， 证明：；..................................5分 (3) 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：．..................................8分 24．（本题8分）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． ()根据证明过程补全即可； ()根据已知结论，得出，求出的值即可； ()根据题意，得，将等式两边同时平方，整理后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得， 故答案为：；..................................2分 （2）解：由题意可知，， ∴，即， 故答案为：....................................5分 （3）解：根据题意，得， 等式两边同时平方，得， 整理得： ∴， ∴， ∴．..................................8分 25．（本题9分）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【知识点】三角形三边关系的应用、利用二次根式的性质化简、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ；..................................3分 （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案为：；..................................6分 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意．.................................9分 26．（本题9分）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 【答案】(1)..................................3分 (2)证明：∵，且， ∴，即， ∴，即， ∴；..................................6分 (3)证明：∵为正整数，且， ∴， 又∵， ∴利用探究的结论可以得到， ∴．..................................9分 【知识点】二次根式的应用、运用完全平方公式进行运算、比较二次根式的大小 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据且可得，再利用探究的结论即可证明； （3）将与进行比较，再根据和已知结论即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第二十章 二次根式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．已知a，b为任意实数，则下列等式成立的是() A． B． C． D． 2．若，，，则的值为（） A． B． C． D． 3．下列二次根式，被开方数中各因式的指数都为1的是 （    ） A． B． C． D． 4．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（  ） A．与 B．与（其中） C．与 D．与（其中，） 5．设的整数部分是a，小数部分是b，的整数部分是c，小数部分是d，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（   ） A．第一个等号后 B．第二个等号后 C．第三个等号后 D．两位同学都没错 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 7．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 8．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于____________________． 9．如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______． 10．的有理化因式是____． 11．已知a，b，c不全为无理数，关于三个数，给出下列说法： （1）可能均为有理数 （2）可能均为无理数 （3）可能恰有一个为有理数 （4）可能恰有两个为有理数 正确序号为：__________ 12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 _____． 13．计算：_____． 14．【教材变式】已知为正整数，若是整数，则根据可知有最小值．设为正整数，若是大于1的整数，则的最小值与最大值的和是___________． 15．已知，为实数，，则的平方根是______． 16．不等式的解集是_________． 17．对于有理数a、b，定义的含义为：当时，，例：．已知，，且a和b为两个连续正整数，则的平方根是________． 18．若的最大值为，最小值为，则的值为________. 三、解答题（共8小题，共58分） 19．（本题6分）若为实数，求的值． 20．（本题6分） 21．（本题6分）先化简，再求值：已知，求的值． 22．（本题6分）二次根式的除法运算通常可以采用化去分母中的根号的方法来进行．例如，．数学上将这种把分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”，请你探索“分母有理化”的方法，并把下列各式分母有理化： (1)； (2)； (3)（）． 23．（本题8分）先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． (1)请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； (2)你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； (3)按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 24．（本题8分）阅读材料： 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，； 和为两个相邻的整数，；… 小海发现结论：若和为相邻的两个整数，其中，则有．并给出了证明： 根据题意，得，移项可得． 根据二次根式的性质，可以在等式两边同时平方，得． 整理得． 请根据以上材料，解决以下问题： (1)在横线上填入适当的代数式，补全小海的证明过程． (2)若和为两个相邻整数，则的值是． (3)若和为相差的两个整数，求的值． 25．（本题9分）【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 26．（本题9分）综合与实践 小若同学在学完《二次根式》后探究这样一个数学问题：“如果，那么”． 【直观感受】如图1，面积为，，，的正方形均放在数轴上，且所有正方形左下角顶点均与原点重合，数轴上标有它们的边长，，，．观察图形发现面积小的正方形，边长表示的数小；面积大的正方形，边长表示的数大，从而利用正方形面积大小判断算术平方根大小． (1)【画图探究】请你类比图1，在图2中画图探究“如果，那么”．（★注：这里画图探究过程无需严格尺规作图，只需要画出示意图） (2)【应用推理】当时，请你用探究得到的结论，求证：． (3)【拓展提升】记（为正整数，且），请你也用探究得到的结论，求证：． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $