专题08 锐角三角函数、相似三角形（5年汇编）（青海专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

专题08 锐角三角函数、相似三角形 5年真题1年模拟 考点分类 青海考情（2022-2026） 命题规律 考点01 锐角三角函数的有关计算 （2025·青海西宁·中考真题） （2024·青海西宁·中考真题） （2023·青海西宁·中考真题） （2022·青海西宁·中考真题） · 情境设置：以赵爽弦图、坐标系、直角三角形为背景，突出几何直观。 · 考查重点：锐角三角函数定义、特殊角计算、勾股定理结合。 · 命题趋势：趋向综合，与坐标系、弦图融合，强调计算与应用。 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 （2024·青海·中考真题） · 情境设置：以摄像头识别俯角为实际情境，贴近生活。 · 考查重点：仰俯角转化、解直角三角形求距离。 · 命题趋势：单一考点独立考查，注重建模与计算能力。 考点03 解直角三角形的其他综合应用 （2025·青海·中考真题） （2023·青海·中考真题） （2022·青海·中考真题） · 情境设置：农业豇豆架、湿地公园铺路、隐形战机模型，跨学科融合。 · 考查重点：解直角三角形综合应用，含坡度、方位角等。 · 命题趋势：情境创新，强调数学建模与实践应用。 考点04 相似三角形的判定与性质 （2025·青海·中考真题） （2024·青海·中考真题） （2024·青海西宁·中考真题） · 情境设置：平行线、垂直条件、开放添加条件，几何图形为主。 · 考查重点：相似判定与性质、比例线段、开放探究。 · 命题趋势：注重开放性与探究性，与全等、比例综合。 考点01 锐角三角函数的有关计算 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 3．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为_______．（结果精确到．参考数据：，，） 4．（2022·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________． 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 1．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面5m的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，）． 考点03 解直角三角形的其他综合应用 1．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 2．（2023·青海·中考真题）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中，两处分别向处铺设，现测得，，，求，两点间的距离．（结果取整数，参考数据：，，）    3．（2022·青海·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：，）                                  考点04 相似三角形的判定与性质 1．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是______． 2．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 3．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 1．（2026·青海海东·中考模拟）如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为_____ ． 2．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）如图，在△ABC中，D是AB的中点， DEBC．则_________． 3．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：________． 4．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）如图，在中，点D、E分别是边、上的点，连接，若，且，，则的值是__________． 5．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）若锐角，则．已知，则的值为______ ． 6．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 7．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）近几年，许多旅游景点推出“背经典免门票”活动，既提升游客参与感，又增强景区文化传播效果．市实验高中几位学生在江西研学期间，通过背诵《滕王阁序》免费参观了滕王阁（如图1），并通过相关数学知识测量了滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点处测得滕王阁最高点的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至处测得最高点的仰角，，滕王阁的高度__________．（结果精确到，参考数据：，，） 8．（2026·青海西宁·中考模拟）在综合实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门与东门之间的距离．如图，无人机从西门处垂直上升至处，在处测得东门的俯角，然后沿水平方向（）飞行60米到达处，在处测得西门的俯角为．则校园西门与东门之间的距离是________米．（结果保留根号；参考数据：，，） 9．（2026·青海西宁·中考模拟）如图，中，延长至，使得．若，则的长为_______． 10．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）已知在中，，则的面积等于_______． 11．（2026·青海西宁十一中·中考模拟）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 12．（2026·青海西宁光华中学·中考模拟）【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知是的角平分线，可证． 请将小慧的证明过程补充完整： 证明：过点作，交的延长线于点 ∴   又∵∠_____∠______（           ） ∴△__________△_________（    ） ∴（相似三角形的对应边成比例） ∵平分 ， ∴， 又∵  ， ∴∠________∠__________， ∴（等角对等边）， ∴； 【解决问题】如图2，在中，，点在边上，连结，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长． 13．（2026·青海海东·中考模拟）桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，） 14．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）计算、解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 15．（2026·青海西宁·中考模拟）如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08锐角三角函数、 相似三角形 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 自0考点01锐角三角函数的有关计算 1.A 25或65#65康25 2. 或 或 3.8.0 496 √3 0考点02解直角三角形的实际应用一仰俯角 1.【答案】最远点与最近点之间的距离AB约是11m 【分析】本题考查解直角三角形.根据题意，先在RtAACD中求AD,再在Rt△BCD中求BD,最后求差即 可 【详解】解：根据题意得：CE‖AD,CD=5 CEI AD,∠a=17°，∠B=45° ∴.∠A=∠a=17°，∠CBD=∠B=45° 在Rt△ACD中 .CD=5 CD ·AD =tan17°≈0.31 ,AD≈5÷0.31≈16.1(m) 117 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在RtABCD中，CD=5m, CD :.BD =tan45°=1 BD=5÷1=5(m) AB=AD-BD≈16.1-5=11.1≈11(m) ---E B D B 答：最远点与最近点之间的距离AB约是11m 0考点3解直角三角形的其他综合应用 1.OE≈0.7m,OA=0.8m 2.【答案】2083m 【分析】过点B作BD⊥AC,垂足为D,先利用三角形内角和定理求出∠C=14°，然后在RIAABD中， 利用含30度角的直角三角形的性质求出BD的长，再在Rt△BDC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的 长，即可解答， 【详解】解：过点B作BD⊥AC,垂足为D, B D :∠BAC=30°，∠ABC=136° .∠C=180°-∠BAC-∠ABC=14°， 在RtAABD中，AB=1000m, BD=2AB=500(m) &在REARDC中，BC=Ma≈S00≈2083(m) sin14°0.24 .B,C两点间的距离约为2083m。 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的己知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关 217 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 键. 3.【答案】24 【分析】过D作DE垂直AB的延长线于E,交BC于点F,构建等直角三角形：∠C=60°，则在直角三 角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，即可求出CF,勾股定理求出DF即可.在根据等腰直角三角形 的性质，得出△DAE的底和高即可求出面积. 【详解】解：过D作DE垂直AB的延长线于E,交BC于点F. AB//CD, .DE⊥CD ∴.∠FEB=∠FDC=90° 在RtACDF中，CD=2,∠C=60°， :∠CFD=30°，CF=4DF=2V5 BC=8, .BF=4, .BF=CF [∠FEB=∠FDC ∠CFD=∠BFE 在 和 中， AFEB△FDC BF=CF △FEB≌△FDC(AAS) BE=CD=2 DF-EF=2 .∠ADC=135°，∠FDC=90°， .∠ADE=45°， :1E=DE=4V5 .Swco-S.w-E-DE-x45x43=24 2 2 317 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D C 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的全等以及勾股定理，根据题意，构建直角三角形，根据 勾股定理求出三角形的各边是解题的关键 自8考点04相似三角形的判定与性质 3 1. 2.∠C=∠A.(答案不唯一) AC AP 3.(1)∠BPD:∠C:∠BPD:△BDP:BP：BD (2)成立，理由如下： .∠C+∠CAP+∠APC=∠APC+∠CPD+∠BPD=I80°，∠CAP=∠DBP=∠CPD, .∠C=∠BPD, .△APC∽aBDP, AC AP BPBD·即ACBD=AP.BP: 16 3)4,5 一年模拟练测园 1.2 2.1:4 3.2+V5 7 4.4 417 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24 5.25 3 6.5#4.8 7.58 8.805 9.4 10.12324V5 或 11.10 12.∠ADB=∠EDC:对顶角相等；△ABD∽△ECD;两角分别相等的两个三角形相似：∠CAD=∠E: 解决问题：3 13.【答案】0.34米 分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角形内角和算出C0,结合cosC=CF AC,得出 CF=AC.cos70°≈0.51（米），再得出CE=CD.cos70°≈0.85（米），然后根据线段的和差进行列式计算， 即可作答. 【详解】解：依题意，∠C=180°-68°-42°=70°， :在RIAAFC中，cosC=CE AC' .C℉=4C.cos70°≈1.5×0.34=0.51（米）. AD=1米，AC=1.5米， :.CD=AC+AD=2.5(米). CE 在Rt△DEC中，CosC= DC, .CE=CD.cos70°≈2.5×0.34=0.85（米）， .EF=CE-CF=0.85-0.51=0.34(米)， 答：线段EF的长为0.34米. 14.【答案】(1)2 2x=1+0x=1-V0 517 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(1)先分别计算每一项，再合并计算结果： (2)先展开方程整理为一元二次方程的一般形式，再用配方法求解. 【详解】(1)解： °-m60+5-8-动 =4-5+V5-1-1 =2; (2)解，(+x-3)=6 整理得x2-2x-9=0, x2-2x=9, .x2-2x+1=9+1, :x-=10 :x-l=±0 解得=1+V0 x2=1-10 ②y=-2)+2,抛物线上的最高点到水面的距离为2m 3 【分析】(1)作PE⊥O4于点E,根据题意，PE=2,利用三角函数计算出OE=3,从而得到p点的坐 标： (2)利用三角函数求出4E=1,从而得到点 A(4,0) 使用待定系数法求出抛物线的表达式，再化为顶点 式求出顶点坐标即可. 【详解】(1)解：如图，作PE⊥OA于点E, 617 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 】a ,PE⊥OA, 六∠PE0=PEA=90.PE 2 PE 在 中， 2 =3 tana 1 RtAOEP 2 点P的坐标为 2: 3 PE (2)解：在 中，AE= 23 =1 tan B RtAAEP ..OA=OE+AE=4. 点4的坐标为 4,0) 设抛物线的解析式为'=(x-4) 将点2)代入y=x(x-4),得， =-30,解得a=- 3 2 2 y= 2x(x-4)=-1 2x=0-2+2 顶点坐标为 2,2) ∴.抛物线的最高点到水面的距离为2m. 717 专题08 锐角三角函数、相似三角形 5年真题1年模拟 考点分类 青海考情（2022-2026） 命题规律 考点01 锐角三角函数的有关计算 （2025·青海西宁·中考真题） （2024·青海西宁·中考真题） （2023·青海西宁·中考真题） （2022·青海西宁·中考真题） · 情境设置：以赵爽弦图、坐标系、直角三角形为背景，突出几何直观。 · 考查重点：锐角三角函数定义、特殊角计算、勾股定理结合。 · 命题趋势：趋向综合，与坐标系、弦图融合，强调计算与应用。 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 （2024·青海·中考真题） · 情境设置：以摄像头识别俯角为实际情境，贴近生活。 · 考查重点：仰俯角转化、解直角三角形求距离。 · 命题趋势：单一考点独立考查，注重建模与计算能力。 考点03 解直角三角形的其他综合应用 （2025·青海·中考真题） （2023·青海·中考真题） （2022·青海·中考真题） · 情境设置：农业豇豆架、湿地公园铺路、隐形战机模型，跨学科融合。 · 考查重点：解直角三角形综合应用，含坡度、方位角等。 · 命题趋势：情境创新，强调数学建模与实践应用。 考点04 相似三角形的判定与性质 （2025·青海·中考真题） （2024·青海·中考真题） （2024·青海西宁·中考真题） · 情境设置：平行线、垂直条件、开放添加条件，几何图形为主。 · 考查重点：相似判定与性质、比例线段、开放探究。 · 命题趋势：注重开放性与探究性，与全等、比例综合。 考点01 锐角三角函数的有关计算 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，用四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到大正方形和小正方形，连接交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求角的正切值，相似三角形的判定和性质，三线合一，全等三角形的性质，根据题意，设，，则：，三线合一，得到，进而得到，证明，得到，进而求出的数量关系，再根据正切的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴设，，则：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得或（不合题意，舍去）； 在中，； 故选A． 2．（2024·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为______． 【答案】或##或 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算的长度． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ． ①当点在点下方时，， , ②当点在点上方时，， , 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 3．（2023·青海西宁·中考真题）在中，，，，则的长约为_______．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】 【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：在中，，，，    ∵, ∴， 则， 故选： 【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 4．（2022·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，则cosA=________． 【答案】## 【分析】根据勾股定理求出斜边AB的值，在利用余弦的定义直接计算即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=， ∴AB=， ∴cosA=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义． 考点02 解直角三角形的实际应用—仰俯角 1．（2024·青海·中考真题）如图，某种摄像头识别到最远点的俯角是，识别到最近点的俯角是，该摄像头安装在距地面5m的点处，求最远点与最近点之间的距离（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】最远点与最近点之间的距离约是11m 【分析】本题考查解直角三角形．根据题意，先在中求，再在中求，最后求差即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 在中 ∵ ∴ ∴ 在中,， ∴ ∴      ∴． 答：最远点与最近点之间的距离约是11m． 考点03 解直角三角形的其他综合应用 1．（2025·青海·中考真题）数学实践 【问题背景】 中国传统农业智慧遇上现代数学模型．“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷． 【问题呈现】 用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成夹角？ 【模型建立】 环节一：数据收集 两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为． 环节二：数学抽象 如图：已知线段与交于点，，与直线分别交于点，，，，，，求的长度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【模型求解】 【问题总结】 交叉点距顶端的长度即为______时，支架与地面形成夹角，这样更贴合作物的生长规律． 【答案】， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，根据等腰三角形的性质可得，结合可得答案；最后由即可得到答案. 【详解】解：数学抽象：如图，过作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 问题总结：∵，， ∴. 2．（2023·青海·中考真题）为了方便观测动物的活动情况，某湿地公园要铺设一段道路．计划从图中，两处分别向处铺设，现测得，，，求，两点间的距离．（结果取整数，参考数据：，，）    【答案】 【分析】过点作，垂足为，先利用三角形内角和定理求出，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解∶过点作，垂足为，    ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴，两点间的距离约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 3．（2022·青海·中考真题）随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实.如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一.图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，，，，，且，求出垂尾模型ABCD的面积.（结果保留整数，参考数据：，）                                  【答案】24 【分析】过作垂直的延长线于，交于点，构建等直角三角形；，则在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半，即可求出CF，勾股定理求出DF即可．在根据等腰直角三角形的性质，得出△DAE的底和高即可求出面积． 【详解】解：过作垂直的延长线于，交于点． ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴． ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的全等以及勾股定理，根据题意，构建直角三角形，根据勾股定理求出三角形的各边是解题的关键． 考点04 相似三角形的判定与性质 1．（2025·青海·中考真题）如图，在中，，且，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，可得，根据相似三角形性质得，然后把，代入即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：． 2．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 3．（2024·青海西宁·中考真题）【感知特例】 （1）如图1，点A，在直线上，，，垂足分别为A，，点在线段上，且，垂足为． 结论： （请将下列证明过程补充完整） 证明：，，， ， ， ， ，（同角的余角相等） ，（两角分别相等的两个三角形相似） ．（相似三角形的对应边成比例） 即 【建构模型】 （2）如图2，点A，在直线上，点在线段上，且．结论仍成立吗？请说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，在中，，，点和点分别是线段，上的动点，始终满足．设长为，当 时，有最大值是 ． 【答案】（1）；；；；；； （2）成立，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ．即． （3）4， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． （1）先根据余角性质证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明得出，进而即可证明结论； （2）先证明，再根据两角分别相等的两个三角形相似证明，得出，进而完成解答； （3）先根据等腰三角形性质得出，证明，得出，即，求出，然后根据二次函数性质求最大值即可． 【详解】（1）；；；；；； （2）略 （3）∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵设长为，则， ∴，解得： ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：4，． 1．（2026·青海海东·中考模拟）如图，在中，E为边的中点，连接，交对角线于点F，已知，则的值为_____ ． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得，，再证明，结合线段的中点得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ∴，， ∴， 则 ∵， ∴， 则， 故答案为：2． 2．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）如图，在△ABC中，D是AB的中点， DEBC．则_________． 【答案】 【分析】根据已知条件可得，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：是的中点， ， ， DEBC， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）三角函数有如下的公式：，利用公式可以计算一些不是特殊角的三角函数值．根据以上阅读材料，计算：________． 【答案】 【详解】解：根据特殊角的三角函数值知， 4．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）如图，在中，点D、E分别是边、上的点，连接，若，且，，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据题意求出，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）若锐角，则．已知，则的值为______ ． 【答案】 【分析】由，设，则，求出，所以，然后通过即可求解． 【详解】解：如图，，， 由， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 7．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）近几年，许多旅游景点推出“背经典免门票”活动，既提升游客参与感，又增强景区文化传播效果．市实验高中几位学生在江西研学期间，通过背诵《滕王阁序》免费参观了滕王阁（如图1），并通过相关数学知识测量了滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点处测得滕王阁最高点的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至处测得最高点的仰角，，滕王阁的高度__________．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】58 【分析】利用三角函数解和，用含的式子表示出，，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得． 8．（2026·青海西宁·中考模拟）在综合实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门与东门之间的距离．如图，无人机从西门处垂直上升至处，在处测得东门的俯角，然后沿水平方向（）飞行60米到达处，在处测得西门的俯角为．则校园西门与东门之间的距离是________米．（结果保留根号；参考数据：，，） 【答案】 【分析】由题意可得：，，，利用平行线的性质可得，然后在、中解直角三角形即可解答． 【详解】解：由题意可得：，，米， ∴， 在中，（米）， 在中，（米）． 9．（2026·青海西宁·中考模拟）如图，中，延长至，使得．若，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）已知在中，，则的面积等于_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理． 作交（或延长线）于点D，分位于异侧和同侧两种情况，先在中求得的值，再在中利用勾股定理求得的长，继而就两种情况分别求出的长，根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作交（或延长线）于点D， ①图1，当位于异侧时， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴ ∴， ∴； ②图2，当在的同侧时， 由①知，， 则， ∴ 综上，的面积是或， 故答案为：或． 11．（2026·青海西宁十一中·中考模拟）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 12．（2026·青海西宁光华中学·中考模拟）【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知是的角平分线，可证． 请将小慧的证明过程补充完整： 证明：过点作，交的延长线于点 ∴   又∵∠_____∠______（           ） ∴△__________△_________（    ） ∴（相似三角形的对应边成比例） ∵平分 ， ∴， 又∵  ， ∴∠________∠__________， ∴（等角对等边）， ∴； 【解决问题】如图2，在中，，点在边上，连结，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】；对顶角相等；；两角分别相等的两个三角形相似；；解决问题： 【分析】根据平行线的性质及对顶角相等得到，再利用相似三角形的性质及角平分线的定义，最后利用折叠的性质及勾股定理得到的长即可解答． 【详解】证明：过点作，交的延长线于点， ∴ ， ∵（对顶角相等） ∴（ 两角分别相等的两个三角形相似） ∴（相似三角形的对应边成比例） ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴（等角对等边）， ∴； 故答案为：；对顶角相等；；两角分别相等的两个三角形相似；； 【解决问题】∵折叠得到，   ∴， ∴  ， ， ∴平分   ， ∴， 在中 ， ，， ∴， 设， ∴  ， 解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，全等三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13．（2026·青海海东·中考模拟）桑梯是我国古代的一种采桑工具．如图1，这是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图2所示，已知点在线段上，米，米，，，，，垂足分别是，，求线段的长．（参考数据：，，） 【答案】0.34米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据三角形内角和算出，结合，得出（米），再得出（米），然后根据线段的和差进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 在中，， （米）． 米，米， （米）． 在中，， （米）， （米）， 答：线段的长为0.34米． 14．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）计算、解方程 (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先分别计算每一项，再合并计算结果； （2）先展开方程整理为一元二次方程的一般形式，再用配方法求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，． 15．（2026·青海西宁·中考模拟）如图是抛物线形拱桥，处有一照明灯，点到水面的距离为，从、两处观测处，仰角分别为，，且，，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的函数表达式及抛物线上的最高点到水面的距离． 【答案】(1) (2)，抛物线上的最高点到水面的距离为 【分析】（1）作于点，根据题意，，利用三角函数计算出，从而得到点的坐标； （2）利用三角函数求出，从而得到点，使用待定系数法求出抛物线的表达式，再化为顶点式求出顶点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵， ∴，， 在中，， ∴点的坐标为； （2）解：在中，， ∴， ∴点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ，解得， ∴， ∴顶点坐标为， ∴抛物线的最高点到水面的距离为． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $