专题22 相似三角形（3年汇编）（全国通用）2024-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 汇编2024-2026年中考相似三角形真题，覆盖7个核心考点，注重基础逻辑与综合应用，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|每题3-5分|平行线分线段成比例、相似证明与性质、位似图形|结合A字型/8字型模型，位似与坐标结合，侧重概念辨析| |解答题|7-10分|相似综合、实际应用|实际问题融入测量高度、小孔成像情境，综合题融合全等、勾股定理，梯度设问|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题22相似三角形 答案版 考点01平行线分线段成比例 1.D 2.D3.B 4.B5.A6.47.158.2 考点02相似三角形的简单证明 1.(I)证明：由作图可知，∠DAC=∠B 又，∠C=∠C, ∴.△ACD一△BCA.(2)解：：∠BAC=108°，AB=AC, .∠B=∠C=36°. 由(1)得∠DAC=∠B=36° ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAC=72 .∠ADB=180°-∠B-∠BAD=72°， .∠ADB=∠BAD, .BD=AB=AC. 由(1)知△ACD一△BCA, .CD=AC AC BC .BD=AC且CD=BC-BD, ..BC-BD_BD BD BC BC(BC-BD)=BD2 BD=AB=4设BC=x则x(x-4)=42,即X-4X-16=0 解得x=2+2V5或x=2-25(舍去). ∴.BC的长为2+2V5 2.(1) 证明：，CD=DB 1/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CAD=∠DAB, .DE=AD. .∠DAB=∠E, ∴.∠CAD=∠E, 又，∠C=∠C ∴.△CAD-△CEA, (2)连接BD,如下图： ,AB为直径， ∴.∠ADB=90°， 设∠CAD=∠DAB=a, .∠CAE=2a, 由(1)知：△CAD~△CEA ∴.∠ADC=∠CAE=2a, ,四边形ABDC是圆的内接四边形， .∠CAB+∠CDB=180°， 即2a+2a+90°=180°， 解得：a=22.5° ∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45° C D B 3.证明：.BE=3,EC=6, ∴BC=9, 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CB=9,∠B=∠C=90°， .AB_9_3BE3 EC 6 2'CF2' : AB BE 2/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又·∠B=∠C=90°， ∴.△ABE一△ECF. 4.(1) 证明：，AD=BD, ∴.∠ACD=∠BCE, 又∠ADC=∠ABC, △ACD一△ECB: (2)解：，AB是⊙O的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90°， .AC=3,BC=1, ·AB=VAC2+BC2=10 AD=BD. ∴.AD=BD, AD2+BD2=AB2=10, AD=5, ,∠ACD=∠BCE, ∴E到AC、BC的距离相等， 设E到AC的距离为h,C到AB的距离为m, S△ACE 1AC.h 1 AE.m SABCE 1BC.h o:m AE_AC=3, BEBC :BE=,1AB=/10, 1+3 4 .△ACD一△ECB, AC_AD 35 ∴ECEB即EcV10, :CE=32. 3/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点03利用相似三角形的性质求解 1.C 2.B 3.C 4.D 5.D6.B 考点04相似三角形的实际应用 1.B 2.C3.B 4.205.10 6.(1)证明：连接PN,如图1， 在△PQN和△NMP中， PQ=MN,QN=PM,PN=NP, ∴.△PQN≌△NMP SSS, ∴.∠QPN=∠MNP, ∴.PM‖QN(内错角相等，两直线平行). D B z27777J777777777777 图1 (2)解：由题意，墙面l⊥地面，AB⊥OD,PQ⊥l,DB⊥1， ∴.PQ‖DB,AB‖CD ∴.∠PQB=∠DBQ=∠QPD=90°， .四边形PQBD是矩形， ∴.PQ=BD=10, 又.'∠AOB=∠COD,∠CD0=∠ABO=90°， ∴.△OAB~△OCD, .AB=OB CD OD .AB=57,OB=OD-BD=190, :CD=57×200=60. 190 .∴.CD的长度为60cm. 7.(2)解：由题意，墙面l⊥地面，AB⊥OD,PQ⊥L,DB⊥l, 4/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PQ‖DB,AB‖CD ∴.∠PQB=∠DBQ=∠QPD=90, 四边形PQBD是矩形， .PQ=BD=10, 又.'∠AOB=∠COD,∠CDO=∠ABO=90°， ∴.△OAB~△OCD, AB OB ·CDOD .AB=57,OB=OD-BD=190, CD=57×20=60, 190 ∴.CD的长度为60cm. 8.(1) 证明：.SD⊥AC, .∠SDC=∠SDA=90°， ∠MDS=∠BDS, .∠SDC-∠BDS=∠SDA-∠MDS, ∴.∠MDA=∠BDC: (2)解：由题意得，BC⊥AC,MA⊥AC, ∴.∠BCD=∠MAD, .∠MDA=∠BDC, .△MDA~△BDC, BC CD MAAD .BC=1.5米，AC=12米，CD=2米， 培品2 .MA=7.5(米)， 同理可得，△BCE一△NAE, 恶 .DE=2米， 5/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点2 ∴.NA=3(米)， ∴.MN=MA-NA=7.5-3=4.5(米). 答：公益广告牌的高度MN为4.5米. 9.(1)解：由题意可得，EH=ED-HD=ED-FG=2-0.8=1.2m, ,EH‖AB,EH‖AB, ∴.图中两组相似三角形是△GHE一△GBA和△GHE一△GBA, 由题意可得，EH=EH=1.2m,GH=FD=2m,GH=FD=3m,GG=FF=13m,则 G B=GB+13. 第一次测量：△GHE一△GBA, EH_GH aB,即12=2 AB GB 第二次测量：△GHE一△GBA, :EH-GH,即12=3 ·AB GB AB GB+13 品0g 解得GB=26, 品 ,解得AB=15.6, .此树的高度为AB+BC=AB+FG=15.6+0.8=16.4m (2)解：由题意可得，FG=1.5m,∠AGB=26.7°，∠ADB=45°，GD=EF=16m, 在Rt△ABD中，∠ADB=45°， ∴.△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=90, ∴.AB=BD, 在Rt△ABG中，tan∠AGB=AB BG,即tan26.7=AB GD+BD .tan26.7°≈0.50， AB .16+AB 0.50,解得AB≈16， .∴.此树的高度为AB+BC=AB+FG=16+1.5=17.5m. (3)不一致. 6/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10.解：(1)如图，PH⊥MN于点H,交EF于点G, M, H (图1) 则四边形PQFG,PQNH均为矩形， .HN=GF=PQ=1.4m,GP=QF=2m,HP=NQ=NF+FQ=16+2=18m, .EG=EF-GF=2.8-1.4=1.4m, 由题意知EF‖MN ∴.∠M=∠E,∠MHP=∠EGP, .∴.△MHP一△EGP, MH=HP MH_18 EGGP,即 .42 解得MH=12.6, ∴.MN=MH+HN=12.6+1.4=14m, 即旗杆MN的高度为14m. (2)如图，PH⊥AB于点H,交EF于点M,交EF于点M, A E FO (图2) PQ=P Q=1.4m, .点P在线段PH上，四边形PQFM,PQBH,PQFM,PQBH均为矩形， .HP=BQ,MP=FQ=1.2m,M P=FQ=2.2m,HB=MF=M F=PQ=PQ=1.4m, ∴.EM=EM=2.8-1.4=1.4m, 由题意知EFAB, ∴.∠HAP=∠MEP,∠AHP=∠EMP, 7/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△HAP一△MEP, AH HP ME MP 同理可得AH-HP ME MP .EM=E M, HP HP MP MP HP=BQ,HP=BQ=BQ+QQ=BQ+30, BQ_BQ+30 2.2 解得BQ=36m, .∴.HP=36m, 代入提品，吾 解得AH=42m, .∴.AB=AH+BH=42+1.4=43.4m 即妙光塔AB的高度为43.4m. 11.(1)解：，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点 F处，AC=DE CD DF ,'标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，即DE=DF, ∴.CD=CA: (2)解：如图，令BN与DE的交点为H, E B FMD 则四边形BCDH和MNHD是矩形， 8/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m .CD=BH,BC=DH=MN=1.2m,NH=DM=1m, ∴.EH=DE-DH=0.9m, 设AB=x,则AC=AB+BC=1.2+xm, ∴.BH=CD=1.2+xm, ∴.NB=BH+NH=2.2+x, .EH‖AB, ∴.△NEH一△NAB, EH NH ·ABNB1 0.91 x2.2+X 解得：x=19.8, 答：纪念碑AB的高度为19.8m. (3)解：纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为 19.8m,则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计 算结果。 12.(1)解：由题意得：A6,2, 横坐标：小明走到灯下6m处，纵坐标：此时影长为2m,影长的顶端正好在P2处 (2)解：由题意得：28 1.5-X 解得：x=6, ∴.路灯L的高度是6m, 故答案为：6. (3)①解：A6,2,设直线AO的解析式为y=x, 把A6,2代入y=kx,得2=6k, .k0A=3 9/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P daP(C EF P2(B) G 为小明在坡上任意一点， 此时BF=X-8m.影长FC=ym:P,C=8 tanam, :EF‖LG, 器恶 1.5=y 6+8tana CG .'cosa= BG' ∴BG= 8 cOSQ CG=y+x-8+8 cosa 1.5 y .6+8tana y+x-8+8, coSa 整理得： y= 1.5x ~12+12 cosa, 4.5+8tana 4.5+8tana 1.5 ∴.kc= 4.5+8tana 1.5 1.51 4.5+8tana4.53' .kgc<KoA, ∴，线段OA的倾斜程度更大： ②如图， 10/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 6m P2 、G P Po P P2 H K ：小明走到灯下处，影子正好项端在 处，则P1P。=6, B:小明走到灯下8m处，到达P2,则P1P2=8, Po对应图2中曲线AB的起点A,PQo,PQ表示小明的高度， 设PoP=m,其中0≤m≤2，P2G=n,n-m表示小明在PP2间，影长y, 依题意，QQ‖P2K,则△LQQ~△LP2K :P2 K LP2 QQLQ。 又LP PoQo, LP2-PP2 LQo PP。 P2K_LP2=PP2=8=4, QoQ LQo PP。63 .P,K-Q.Q-PP-m. 3 3 同理可得Rt△GHK一Rt△LP,K ..GH LP HK PK 由(2)可得.IP=6,HK=P,K-P,H-专m-nmsa,P,K=P,P+P,K=8+n 11/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 nsing 6 即4 m-ncosa 3 8+ 3 8m n= 4 8+三msina+6cosa 3 1 ..n-m= -1m 1 1+ 3 cosa 4 &w=1t8sinc+3cosa'其中0≤m≤20<g<45寸 当c接近0°时，w<1,则n>m,则y随x的增大而增大 当c接近45°时，w<1,则n<m,则y随x的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现y随X的增大先减小后增大. 综上所述，当c取不同的值时，可能出现abc的情况， 故答案为：albc. I3.解：如图所示，过点E作EH⊥AB于H,设EH,CD交于G,则四边形EFBH,四边形EFDG都是 矩形， B. a 77777777 F D B .'DG=BH=EF=1m,EN=DF=1.7m, .ND=1m, .点N和点G重合， ∴.CG=CD-DG=1.6m; ,∠AGH=45°， ∴，△AGH是等腰直角三角形， .'AH=GH, 设AH=GH=xm,则EH=EG+GH=x+1.7m, 12/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠CGE=∠AHE=90°，∠CEG=∠AEH, .△CEG一△AEH .CG=EG 册器 即1.6-1.7 xx+1.7 解得X=27.2, 经检验，x=27.2是原方程的解， .AH=27.2m, ∴.AB=AH+BH=28.2m, 答：避雷针项端A的高度AB为28.2m 考点05位似图形的相关求解 1.B 2.C3.B4.A5.D6.17. 31:381:3 考点06坐标与位似图形 1.A2.B3.B4.D5.A 6. -10, 10,13.5 7.(1) 如图所示，点D即为边AB的中点， -2,-1 点D的坐标为 (2) 如图所示，△A1BC1即为所求作的三角形. 13/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点07相似三角形解答题综合 1.(1)解：，∠BDE=150°， .∠ADE=180°-∠BDE=30°， ,∠DEC=120°， .∠A=∠DEC-∠ADE=90°， 设AE=aa>0, 在R△ADE中，DE=2AE=2a,AD=AE -V3a, tan∠ADE ,DE是△ABC中∠A所对的“等截线”， .'BD=DE=CE=2a, AB=AD+BD=3+2a'AC=AE+CE=3a' 在Rt△ABC中，anC=AB-3+20_3+2 AC 3a 3 (2)解：如图，设DE是∠A所对的“等截线”，连接BE 设DE=BD=CE=XX>0, .AB=AC, .AB-BD=AC-CE,即AD=AE 14/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠A=36°， :∠ADE=∠AED=∠ABC=∠C=180°∠A=72, 2 又，DE=BD,∠ABE+∠DEB=∠ADE, .∠ABE=∠DEB=36, ∴.∠BEC=∠A+∠ABE=72°，∠A=∠ABE, .∠BEC=∠C=∠ABC,AE=BE, ∴BC=BE, BC=2, ∴.AD=AE=BE=2, .'.AB=AC=AE+CE=2+x, 在△CAB和△CBE中， ∠ABC=∠BEC 4C=4C ∴.△CAB~△CBE, C=CA即2=2 是市 解得x=V5-1(经检验，是所列方程的解)或x=-5-1<0(不符合题意，舍去)， ∴.∠A所对的“等截线”的长度是V5-1. (3)解：如图，作ND‖AC交AB于点D,过点D作DE‖CN交AC于点E, A D D G K M ∴四边形CEDN是平行四边形. .PK‖AC,ND‖AC, .PK‖DN ∴.△BPQ一△BDN, 照保 .CN‖QM 15/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△BQM一△BNC, ..BQ_QM BN CN 器器 .QM=PQ. ..CN=DN, ∴.平行四边形CEDN是菱形. ∴.CN=CE=DE=DN, 又.PK‖DN, ∴.∠PQB=∠DNB, PQ=PB. .∠PQB=∠PBQ, .∠DNB=∠PBQ, ∴.BD=DN, .BD=DE=CE, ∴.DE是∠A所对的“等截线”， ∴，CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度. 2.(1)解：.∠CAB=a,AC=AD :∠ACD=∠ADC=180°-a=90-1G :∠ABE,∠ACE为AE所对的圆周角， ·∠ABE=∠ACD=900-1 GF⊥CE, ·∠FGB=90°-∠ADC=90°- 00-a (2)证明：如图，连接OF,OE, 16/31 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 GD :∠CEB,∠CAB为GB所对的圆周角， .∠CEB=∠CAB=C, .AB为直径， ,∠ACB=90°， ∴.∠ABC=90°-a, :∠EBD=∠ACD=90-1。 , ∠CBE=∠ABC+∠EBD=90°-a+90- 3 2a=1800- , .CD=CF,BF=DE, ..CE=CB, ·∠CEB=∠CBE=180-3 a, 同理：∠CAB=∠CEB, a=1800-3 q, 解得：Q=72, .∠CAB=∠CEB=∠CBE=72, ∠BCD=180°-72-72=36°，∠FGB= 20=36, .∠BOE=2∠BCD=72, .OB=OE. ∴.∠OBE=∠OEB=54°， ∴.∠OED=∠OBF=72°-54°=18°， ∴.△OED≌△OBF SAS, 20FB=∠0DE=ADC=∠ACD-90-=54,∠D0R=/B0F 17/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DOE+∠BOE=180°， .∠BOF+∠BOE=180°， E,O,F三点共线， ∴.∠GOF=∠BOE=72°， ∴.∠GF0=180°-∠FG0-∠GOF=72°=∠G0F, ∴.GF=GO (3)解：如图，连接AE,OE, :∠ACB=90°，∠ACD=∠ADC=90-1& -0, ∠BCBa=∠rGB. 同理：∠DAE=∠BCE= ,∠FGB=∠DAE, 结合(1)可得：∠ACD=∠ADC=∠EDB=∠OBE=∠OEB, ,∠EBD=∠OBE, .△BDE一△BEO, BBO BD_BE 即BE=BD·BO, 同理可得：∠AED=∠FBG, .BF=DE, .∴△FGB≌△DAE AAS, ∴.AE=BG 设AC=AD=X, .A0=1, .AB=2,BD=2-X,OD=X-1, 18/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OD=2AG. ..AG=x-1 ·AE=BG=2-X-1=5-x 2-2 .BE2=BD·BO=2-X, ,AB为直径， ∠AEB=90, …2=2-x+ 5-x2 2 X-14x+17=0, 解得：x=7-4/2(x=7+4V2大于直径，舍去)， AC的长为7-4V2 3.(1)证明：，DG平分∠CDE, ∴.∠CDG=∠EDG, ,正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE, ∴AD=CD=DE, .DG=DG. ∴.△DCG≌△DEG SAS, ∴.CG=EG,∠DEG=∠DCG, .AD=CD=DE, .∠DAE=∠DEG, .∠DAE=∠DCG, ,∠AFD=∠CFG, ∴.∠CGF=∠ADF=90°， .∠CGE=90°， ∴△CGE是等腰直角三角形. (2)证明：由(1)证得△DCG≌△DEG,∠CGE=90°， ∠CGD=∠EGD360-90=135, ∴，∠AGD=180°-∠EGD=180°-135°=45°， 19/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠AGD=∠ADB=45°， 又，∠DAG=∠AD, .△ADH-△AGD, 船始 即AD=AH·AG①， 如图：过D作DM⊥AE于M,则∠AMD=∠ADF=90°， D HMF B .∠DAM=∠FAD, ∴，△ADM一△AFD, ,AD=AM AF AD 即AD2=AM·AF②， .AD=DE,DM⊥AE, AM=EM=号AE, AD'-AM-AF-IAE.AF 由@两式得，AHAG=号AD:AF,即AFAE=2AH:AG. 3》解列图：取D中点M,连接KM.即光分白D可得CG=EG, G 20/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AK-CG, AK=EG 瓷 AM_AK_1 ·ADEG2 .AD=DE, .∠KAM=∠GED, AM_AK_1 DE EG 2 .△AKM一△EGD, ∴.∠AKM=∠EGD=135°， 作AK与KM的垂直平分线交于点O,作⊙O,连接OA,OM,OC, .K点在以O圆心，OA为半径的圆上运动， 当K点运动到OC上时，即O、K、C三点共线时，CK取得最小值CKmn=OC-OK. 如图：过O作OH⊥BC于H,交AD于P,在圆O优弧AM上取一点N,连接AN,MN,则四 边形MKAN是圆O的内接四边形， .∠AKM+∠ANM=180°， .∠AKM=135°， ∴.∠ANM=180°-∠AKM=45°， ∴.∠AOM=2∠ANM=90, 又OA=OM, ∴，△OAM为等腰直角三角形，其中∠OAM=45°， 四边形ABCD为正方形， .∠DAB=∠B=90°， 又∠PHB=90°， ∴，四边形ABHP为矩形， .PH=AB=4,AP=BH,∠APH=90°， ∴.∠APO=90° ∴.△OAP为等腰直角三角形， ..AP=OP, 21/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AM=号AD=3AB=2, :AP=OP=号AM=1, OK=OA=RAP2+0P2=2'OH=OP+PH=1+4=5'CH=BC-BH=BC-AP=4-1=3' ·0C=52+32=34 CKmn=0C-0K=34-/2' .CK的最小值为V34-2. 4.(1)如图①，点P即为所求： B 图① (2)两点之间线段最短 (3)解：过点C作BD的对称点T,CT交BD于点S,连接PFT,ET,ET交BD于点Q, D B ∴.CS⊥BD,FT=FC, ∴.EF+CF=TF+EF≥TE, ∴，当点F与点Q重合时，EF+CF取得最小值，如图，连接ES, 22/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 T D A F B E :CS⊥BD,点E为BC中点，∠DBC=30°， BE=S=EC=BC=×23=83.∠BC5=90°-∠DBC=60, :.△ESC为等边三角形， ..SE=SC=ST, ∴.∠SEC=ㄥSCE=∠ESC=60°， C,T关于BD对称， .'.CS=TS ∴ST=ES, .∠T=∠SET, ,∠T+∠SET=∠ESC, ∴.∠SET=∠T=30°， ∴.∠TEC=∠SET+∠SEC=90°， .FE⊥BC, :BF=BE×an∠DBC=5×3=1, 3 (4)解：如图，过点D作DF⊥BC于点F,过点C作CM‖AB交AD的延长线于点M, A M D B .DB=DC, 23/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BF=CF,∠DBC=∠DCB, ∴DF垂直平分BC, 点P在直线DF上， 连接PE,PB,PC, ∴PB=PC, ∴.PE+PB=PE+PC2CE, ∴当点P在CE上时，PE+PB取得最小值即为CE, “C8即E=BE+PE+PB'B距不变， ∴.△BPE周长的最小值为BE+CE, .AD‖BC,CM‖AB, ∴.四边形ABCM是平行四边形， .CM=AB=3,∠A=∠BCM,BC=AM, :AD‖BC, ,∠ADB=∠DBC,∠MDC=∠DCB, ∴.∠ADB=∠DBC=∠MDC=∠DCB, 设∠ADB=∠DBC=∠MDC=∠DCB=C, .∠A=2∠ADB, .∠A=∠BCM=2a, :.∠DCM=∠BCM-∠DCB=a, .∠MDC=∠MCD=∠DCB=∠DBC, ∴.MD=MC=3,△MCD一△DCB, .BC=AM=AD+DM=1+3=4, MC DC ∴DCCB 3 CD 小CD4 解得CD=23(舍负)， BD=23, :BF=CF=BC=×4=2, 2 2 24/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DF-C D2-CF2=22 CE⊥BD, .∠DFB=∠CEB=90°， ,∠DBF=∠CBE, ∴.△DBF△CBE, 器器品 23_22_2_3 4 CE BE 2 22+2_3 CE+BE 2' :CE+BE=43+46 3 △BPE周长的最小值43+4R6 3 5.(1)解：：AC=25,AE=2,AE⊥CD, ÷CE=RAC2-AE=4 (2) 证明：：∠BAC=90°，AE⊥CD ∴.∠AED=∠CAD=90°，∠DAE=∠ACD=90°-∠ADC, .∠ADE=∠CDA, ∴.△ADE一△CDA, ·0恶 .AD=DE·DC .BD=3AD ..BD2=9AD2 .BD=9DE·DC: (3)解：由(2)知∠DAE=∠ACD, ,AE⊥CD ∴.∠AED=∠CEA=90°， 25/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△AED一△CEA, .AE=DE_AD CE AE AC 2_DE_AD …42 29V5 ..DE=1,AD=5 ..BD=3AD=35 .AB=AD+BD=45, .AD×AB=V5×4V5=20. “AC2=25=20 ∴.AC2=AD×AB, .AD=AC AC AB .∠DAC=∠CAB, ∴.△DAC~△CAB, ∴.∠ACD=∠ABC, ,∠DAE=∠ACD ,∠DAE=∠ABC, .FA=FB, .∠BAC=90°， .∠DAE+∠FAC=∠ABC+∠FCA=90°， ,∠FAC=∠FCA, .'FC=FA, .FB=FC, ,∠BAC=90°， :FA=1BC=1x√AC2+AB=1×2V5+45=5, .EF=AF-AE=3. 设SAADE=S, BD=3AD, .S△BDE=3S, 26/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.S△ABE=S△ADE+S△BDE=4S, .AE2 EF 3' ∴S△ABE=AE=2, SABEF EF 3 .SABEF=6S, :.S旺-6S-2 SABDE 3S 6.(1)解：过点D作DE⊥AB,DG⊥AC,垂足为点E,G, D 图① .AD是△ABC的角平分线， ∴DE=DG, S△ABD=」 ×AB×DE 2 3 SAACD xACxDG 2 能是 (2)解：，∠BAC=80°，AB=AC, :∠B=∠C=180°-∠BAC=509, 2 BE·CD=AB2, .BE·CD=AB·AC, 能侣 ∴.△ABE一△DCA, .∠BEA=∠CAD, ∴.∠BEA-∠EAC=∠CAD-∠EAC, 27/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠C=∠DAE=50 (3)解：AB⊥BC, ∴.∠ABC=90°， :AD‖BC, .∠BAD=180°-∠ABC=90°， S△ADP= AD*AP 400AP_25 ·SAN AB×BQ 480BQ36 2 AP5 BQ 6' :A0-400-5 AB48061 AP AD BQAB .∠DAP=∠ABQ=90°， .△DAP一△ABQ, ∴.∠ADP=∠BAQ, ∴.∠ADP+∠MAD=∠BAQ+∠MAD=∠BAD=90°， ∴.∠AMD=90°， 取AD的中点E,连接ME,BE,则AE=号AD=200m, ∴.点M的轨迹为以E为圆心，AD为直径的一段圆弧，EM=AE=200m, D PM 9 .BM+ME≥BE .BM≥BE-ME, ∴.当点B,M,E三点共线时(M在线段BE上)，BM取得最小值，如图： 28/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 过点M作MF⊥AD交AD,BC于点F,G, .∠BAD=90°， BE=AE2+AB=V2002+4802=520m/ ∴.此时BM=BE-EM=520-200=320m, :AD‖BC,MF⊥AD, .MG⊥BQ, ∴.四边形ABGF是矩形， ∴.FG=AB=480m, .AD‖BC .△AEM一△QBM, .AE-EM-MF QB MB MG' 200_200_MF ·QB320480-MF' QB=320,MF=2400 13, ∴.CQ=BC-QB=720-320=400m=AD, .AD‖BC, ∴.四边形AQCD是平行四边形， .S四边形OSBA0cD-S△AMD, =400×480-1×400×2400-2016000≈155077m21, 13 13 答：当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积为155077m2. 7(四BE=DF,理由如下： ,四边形ABCD是正方形， 29/31 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AD,∠BAD=90°， .AE=AF,∠EAF=90, ∴.由旋转可得，AE=AF,∠EAF=90°， .∠BAD=∠EAF=90°， ∴.∠BAE=∠DAF, 六△BAE≌△DAF(SAS) .:.BE=DF; (2)①证明：AE⊥BE, .∠AEB=90 由(1)可得，△BAE≌△DAF, .∠AEB=∠AFD=90, ∠EAF=90°， ∴.∠EAF+∠AFD=180°， ∴.AE‖DF, .NA NE, ND NF ∴.NA·NF=ND·NE: ②过点F作FH⊥AF交AE的延长线于点H, B 图3 由题意得，AB=15,AE=AE=9, ,∠AEB=90°， ÷BE-AB2-AE2=12 ,正方形ABCD中，∠BAD=90°， 30/31 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠1=∠3=90°-∠2， ,∠AFH=∠BEA=90°， ∴.△AFH一△BEA, FH AF AE BE' .FH_9 .912 附子 ,∠HFD=∠BAD=90°， .FH‖AE, ∴.△AEM~△HFM, EM AE94 ∴.FMFH273, 4 ∴S△AM=EM=4, S△AFM FM3 AAEM与△AFM面积的比值为 31/31 专题22相似三角形 考点分类 三年考情（20242026） 命题规律 考点01平行线分线段成比例 2026江苏南京卷、2026浙江杭州卷2025山东济南卷、2025湖北武汉卷2024福建福州卷 多以选择题、填空题形式考查，分值稳定在34分。常结合A字型、8字型几何模型命题，依托平行线直接得到线段比例关系；重点考查比例线段计算，整体难度中等，常作为相似三角形考题的基础铺垫。 考点02相似三角形的简单证明 2026广东广州卷、2026四川成都卷2025安徽合肥卷、2025湖南长沙卷2024河北石家庄卷 选择、填空、小问证明均有涉及，分值35分。核心围绕两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例判定相似；常结合公共角、对顶角、平行线找等角，侧重基础逻辑推理，设问偏向简单证明。 考点03利用相似三角形的性质求解 2026河南郑州卷、2026陕西西安卷2025江西南昌卷、2025云南昆明卷2024黑龙江哈尔滨卷 以选择、填空题为主，分值34分。利用相似对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方求解线段、角度、面积；常和四边形、勾股定理结合，属于高频中档考点。 考点04相似三角形的实际应用 2026山东青岛卷、2026广西南宁卷2025江苏苏州卷、2025贵州贵阳卷2024辽宁沈阳卷 选择题、填空题居多，部分地区作为简答小问，分值35分。命题采用情境化设计，测量高度、测量宽度、影子问题、小孔成像等素材频繁出现；将实际问题抽象为相似模型，侧重建模能力，贴近生活场景。 考点05位似图形的相关求解 2026宁夏银川卷、2026甘肃兰州卷2025内蒙古呼和浩特卷、2025海南海口卷2024山西太原卷 以选择题考查为主，分值23分。考查位似图形概念、位似中心、位似比，求对应线段长度；区分位似与相似，注意位似图形有两种位似方向，整体难度偏低，侧重概念辨析。 考点06坐标与位似图形 2026上海卷、2026吉林长春卷2025新疆乌鲁木齐卷、2025天津卷2024青海西宁卷 选择、填空题，分值34分。结合平面直角坐标系，已知位似中心与位似比求变换后点的坐标；注意在原点位似有正负两种坐标结果，常与网格背景结合，兼顾识图与代数计算。 考点07相似三角形解答题综合 2026湖北宜昌卷、2026广东深圳卷2025四川绵阳卷、2025辽宁大连卷2024河南洛阳卷 解答大题，分值710分。以三角形、四边形为载体，包含相似证明、线段计算、猜想探究；综合性强，常融合全等、勾股定理、特殊四边形，是本模块难点，部分试卷设置多小问梯度设问。 考点01 平行线分线段成比例 1．（2025·四川雅安·中考真题）（选择题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）（选择题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·四川乐山·中考真题）（选择题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2025·河南·中考真题）（选择题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 5．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）（选择题）如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（    ） A．6 B．3 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 6．（2026·吉林·中考真题）（填空题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 7．（2026·四川眉山·中考真题）（填空题）如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 8．（2025·西藏·中考真题）（填空题）如图，点D，E分别是边，上的点，且，若，则的值是_________． 【答案】2 【分析】本题考查了利用相似三角形求对应线段之间的比例关系，熟练掌握相似三角形的基本定理是解此题的关键．根据题意先证得和相似，进而列出对应线段的比例关系，再将与之间的数量关系进行转化后代入中即可求出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴, 即． 故答案为：2． 考点02 相似三角形的简单证明 1．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1) 证明：由作图可知，． 又∵， ∴． (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 2．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1) 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， (2) 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 3．（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 4．（2024·新疆·中考真题）如图，在中，是的直径，弦交于点E，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又， ∴； (2) 【分析】（1）利用圆周角定理可得出，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）利用勾股定理可求出，，利用等面积法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E到、的距离相等， 设E到的距离为，C到的距离为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，掌握这些性质是解题的关键． 考点03 利用相似三角形的性质求解 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 3．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可； 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故选C 4．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是， 故选：D． 5．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比为，则这两个三角形面积的比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴这两个三角形面积的比是， 故选：D． 6．（2024·四川内江·中考真题）已知与相似，且相似比为，则与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵与相似，且相似比为， ∴与的周长比为， 故选B． 考点04 相似三角形的实际应用 1．（2026·贵州·中考真题）（选择题）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 2．（2026·四川南充·中考真题）（选择题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（2025·四川内江·中考真题）（选择题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）（填空题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 5．（2025·四川绵阳·中考真题）（填空题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为__________m． 【答案】10 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键． 先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可． 【详解】解：如图，过点B作，交于点M，于点N， ∴， 由题意，得，，， ∴， ∴，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，，，， 由题意，得，，，， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：10． 6．（2026·浙江·中考真题）（解答题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：连接，如图1， 在和中， ，，， ， ， （内错角相等，两直线平行）．　 (2)的长度为． 【分析】（1）利用已知条件，，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，即可得出结论． （2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意，墙面 地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， 的长度为． 7．（2026·陕西·中考真题）（解答题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】这段河道的宽度为 【分析】方案一：过点作于点，解和求解即可；方案二：过点作于点，交于点，可得，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可． 【详解】解：方案一：过点作于点， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为； 方案二：过点作于点，交于点， ∵ ∴，， ∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． 8．（2026·广西·中考真题）（解答题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 9．（2026·四川自贡·中考真题）（解答题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度）和笔直的竹竿（长度）进行测量． (1)小刚建议这样测量：如图1，线段表示所要测量的大树，在操场上点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿（长度）顶部恰好看到树顶端，此时竖直竹竿与小刚的水平距离．小刚将观测点后移到处，采用同样方法，测得．小刚眼睛距离地面的高度，点，，，与树的底部在同一水平线上．据此可知点到的距离为_____，图中两组相似三角形是_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到）． (2)小明提出可以这样改进：如图2，在点处安置测角仪（高度）测得树顶端的仰角，前行到点处测得树顶端的仰角，点，与树的底部在同一水平线上，量得．请按此方案求树的高度（结果精确到）．（参考数据，，） (3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）． 【答案】(1)， 和 ， (2) m (3)不一致． 原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致． 【分析】（1）由题意，，和，利用两次相似对应边成比例，列方程，解得，代入求，进而求树高． （2）在中，得等腰直角三角形，故，在中，利用，代入解得，进而求出树高． （3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， 图中两组相似三角形是 和 ， 由题意可得，，，，，则． 第一次测量：， ，即， 第二次测量：， ，即， ，解得， ，解得， 此树的高度为． （2）解：由题意可得，，，，， 在中，， 为等腰直角三角形，, ， 在中，，即， ， ，解得， 此树的高度为． （3）略． 10．（2025·江苏无锡·中考真题）（解答题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 11．（2025·河南·中考真题）（解答题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； (2)纪念碑的高度为． (3)解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为，则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）略 12．（2024·江苏南京·中考真题）（解答题）如图（1），夜晚，小明从路灯的正下方处出发，先沿平路走到处，再上坡到达处．已知小明的身高为m，他在道路上的影长（单位：m）与行走的路程（单位：m）之间的函数关系如图（2）所示，其中，是线段，是曲线． (1)结合的位置，解释点的横坐标、纵坐标的实际意义． (2)路灯的高度是____________m． (3)设的坡角为． ①通过计算：比较线段与线段的倾斜程度． ②当取不同的值时，下列关于曲线的变化趋势的描述； 随的增大而增大；随的增大而减小；随的增大先增大后减小；随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是 （说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】(1)横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处 (2)6 (3)①线段的倾斜程度更大；② 【分析】（1）横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处； （2）根据题意列出方程，求得路灯的高度是； （3）①根据，得出，根据三角函数，得出，再进行比较即可； ②：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，：小明走到灯下处，到达，当取不同的值时，影长可能随的增大而增大或随的增大而减小或随的增大先增大后减小． 本题考查了解直角三角形的应用，函数的图象等，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：， 横坐标：小明走到灯下处，纵坐标：此时影长为，影长的顶端正好在处． （2）解：由题意得：， 解得：， ∴路灯的高度是， 故答案为：6． （3）①解：∵，设直线的解析式为， 把代入，得， ∴． 为小明在坡上任意一点， ∴此时m，影长m，m， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 整理得：， ∴， ∵， ∴， ∴线段的倾斜程度更大； ②如图， ：小明走到灯下处，影子正好顶端在处，则， ：小明走到灯下处，到达，则， 对应图2中曲线的起点，，表示小明的高度， 设，其中，，表示小明在间，影长， 依题意，，则 ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， 同理可得 ∴ 由（2）可得，， 即 ∴ ∴ 设，其中， 当接近时，，则，则随的增大而增大 当接近时，，则，则随的增大而减小， 当取不同的值时，可能出现随的增大先减小后增大． 综上所述，当取不同的值时，可能出现的情况， 故答案为：． 13．（2024·陕西·中考真题）（解答题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 考点05 位似图形的相关求解 1．（2026·甘肃天水·中考真题）（选择题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 2．（2025·浙江·中考真题）（选择题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（2025·四川眉山·中考真题）（选择题）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，正确得到以点O为位似中心放大2倍后得到是解题的关键； 根据题意可得以点O为位似中心放大2倍后得到，再根据位似图形的性质求解即可. 【详解】解：根据题意可得：以点O为位似中心放大2倍后得到， ∵， ∴与的周长之比是； 故选：B. 4．（2024·四川攀枝花·中考真题）（选择题）如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据题意得到，得出，得到与的相似比为，即可得到答案． 【详解】解： 与是位似图形，， ， ， 与的相似比为， 故选：A． 5．（2024·四川凉山·中考真题）（选择题）如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，， ∴， ∴位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为， ∵三角形硬纸板的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：D． 6．（2025·宁夏·中考真题）（填空题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 7．（2025·广东·中考真题）（填空题）如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 8．（2025·黑龙江绥化·中考真题）（填空题）在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，，则与的相似比为________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或是解答此题的关键． 根据坐标与图形的性质进行解答即可． 【详解】解：把以原点为位似中心缩小得到，点和它的对应点的坐标分别为，， 则与的相似比为， 故答案为：． 考点06 坐标与位似图形 1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）（选择题）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，将绕点顺时针旋转后，得到，点，的对应点分别是点，，以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到，顶点在第一象限对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等腰直角三角形得到，，即可判断旋转后点在x轴上，轴，，，通过解直角三角形得到，，得到点的坐标，再根据位似图形的坐标变化求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形，，， ∴，， ∴与x轴的夹角为， ∵绕点顺时针旋转后，得到， ∴点在x轴上，轴，，， ∴， ， ∴， ∵以原点为位似中心，将放大为原来的3倍后，得到， ∴顶点在第一象限对应点的坐标是，即． 2．（2025·甘肃兰州·中考真题）（选择题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O， ∴位似比为， ∵， ∴，即， 故选：B． 3．（2025·内蒙古·中考真题）（选择题）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在第三象限画与位似，若与的相似比为，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．利用相似比为，，直接利用相似比可得出坐标． 【详解】解：∵与位似，相似比为， ∴， ∵，位似中心为原点， ∴， 故选：B． 4．（2024·黑龙江绥化·中考真题）（选择题）如图，矩形各顶点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意横纵的坐标乘以，即可求解． 【详解】解：依题意，，以原点为位似中心，将这个矩形按相似比缩小，则顶点在第一象限对应点的坐标是 故选：D． 5．（2024·浙江·中考真题）（选择题）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 6．（2025·山东烟台·中考真题）（填空题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，的顶点的坐标为．以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2，且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了位似的性质，根据位似比等于变换后与变换前的图形的对应线段的比，根据两点距离得出进而得出，求得直线的解析式，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 设 ∴ 解得：（舍去） ∴ 故答案为：． 7．（2025·安徽·中考真题）（解答题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1) 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． (2) 如图所示，即为所求作的三角形． 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 考点07 相似三角形解答题综合 1．（2026·江苏无锡·中考真题）在中，点，分别在，上．若，则称线段是中所对的“等截线”． (1)如图1，已知是中所对的“等截线”，，，求的值（请直接写出答案）． 【概念应用】 (2)如图2，在等腰中，，，，求所对的“等截线”的长度． 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在．如何画出“等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以为例，画出所对的“等截线”的部分步骤如下． 画法 图形 ①在上适当的位置取点，作直线，交于点 ②在上截取，连接并延长，交于点 ③在上取点，使得 ④作，交于点 … 请你根据以上信息，说明步骤④中的的长度即为所对的“等截线”的长度． 【答案】(1) (2) (3)解：如图，作交于点，过点作交于点， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是所对的“等截线”， ∴的长度即为所对的“等截线”的长度． 【分析】（1）先得出，，再设，求出，的长，进而可得，的长，然后根据正切的定义求解即可； （2）设是所对的“等截线”，连接，设，先得出，则，再证出，根据相似三角形的性质建立方程，解方程即可； （3）作交于点，作交于点，得出四边形是菱形，根据得出，根据菱形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，，， ∵是中所对的“等截线”， ∴， ∴，， ∴在中，． （2）解：如图，设是所对的“等截线”，连接． 设， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 解得（经检验，是所列方程的解）或（不符合题意，舍去）， ∴所对的“等截线”的长度是． （3）略． 2．（2026·浙江·中考真题）如图1，内接于，是直径上的一点，满足，连接并延长交于点，连接，点在弦上，且．过点作，交于点，交于点．设． (1)用含的代数式表示和的大小； (2)如图1，若，求证：； (3)如图3，若的半径为1，点在上，且，求的长． 【答案】(1)；； (2)证明：如图，连接， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理：， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合圆周角定理与直角三角形的两锐角互余可得答案． （2）如图，连接，表示，证明，可得，求解，证明，再进一步证明即可． （3）如图，连接，证明，，可得，证明，可得，设，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，， ∴， 同理：， ∴， 结合（1）可得：， ∵， ∴， ∴，即， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， 解得：（大于直径，舍去）， ∴的长为． 3．（2026·湖北武汉·中考真题）将正方形的边绕点逆时针旋转得到，连接交边于点，平分交于点，连接、． (1)如图1，求证：是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明）． (2)如图2，连接交于点，求证：． (3)如图3，点在线段上，，连接．若，直接写出的最小值． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∵正方形的边绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． (2)证明：由（1）证得， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即① ， 如图：过 作 于 ， 则， ∵， ∴， ∴，即② ， ∵，， ∴， ∴ 由①②两式得， ，即． (3) 【分析】（1）先利用正方形的性质证明可得，，再证明，即可证明结论； （2）由（1）证得， ，证明可得，即① ；如图：过 作 于 ， 则，证明可得，即② ；利用等腰三角形的性质可得，即，最后结合①②即可证明结论； （3）如图：取 中点 ， 连接 ． 即，可证得；再说明 点在以 为 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图：取 中点 ， 连接 ． 即，由（1）可得， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作与的垂直平分线交于点，作，连接，， ∴ 点在以 圆心， 为半径的圆上运动， 当 点运动到 上时， 即 、、 三点共线时， 取得最小值． 如图：过 作 于 ， 交 于 ，在圆O优弧上取一点N，连接，则四边形是圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，其中， ∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 的最小值为． 4．（2026·贵州·中考真题）小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1)请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2)解决该问题的依据是________； 【问题探究】 (3)如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4)如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 【答案】(1)如图①，点即为所求； (2)两点之间线段最短 (3)1 (4) 【分析】（1）连接与直线的交点即为点； （2）依据为两点之间线段最短； （3）过点作的对称点，交于点，连接，交于点，则，故当点与点重合时，取得最小值，如图，连接，然后证明，再解即可； （4）过点作于点，过点作交的延长线于点，先判断点在直线上，连接，确定周长的最小值为，先证明，再利用求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作的对称点，交于点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值，如图，连接， ∵，点为中点，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上， 连接， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值即为， ∵，不变， ∴周长的最小值为， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值． 5．（2026·广东·中考真题）如图，在中，，，点在上，且，连接．过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的值． 【答案】(1)4 (2) 证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (3)2 【分析】（1）直接由勾股定理求解即可； （2）证明，得到，再由代入求证即可； （3）先证明点为的中点，然后求出，，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·陕西·中考真题）问题探究 (1)如图①，是的角平分线，若，则的值为_________； (2)如图②，在中，，，点，在边上．若，求的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物；为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道． 如图③所示，四边形区域为农田，，为小路，小路的出口，分别在农田边界，上，与相交于点，点为蓄水池，点为水源接入口，为地下输水管道．根据种植需求，区域与区域的面积之比为，为了节约成本，还需使地下输水管道最短． 已知，，，，，请你帮助该村计算在满足种植需求的情况下，当地下输水管道最短时，四边形区域的面积．（结果精确到．小路的宽，蓄水池的大小均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，垂足为点，根据角平分线性质定理得到，再由三角形面积公式求解即可； （2）证明，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （3）先证明，得到，取的中点，连接，则，则点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，，故当点三点共线时，取得最小值，过点作交于点，然后由，求出，，再证明四边形是平行四边形，最后由求解． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则， ∴点的轨迹为以为圆心，为直径的一段圆弧，， ∵， ∴， ∴当点三点共线时（在线段上），取得最小值，如图： 过点作交于点， ∵， ∴， ∴此时， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 答：当地下输水管道最短时，四边形区域的面积为． 7．（2026·内蒙古·中考真题）综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为．顶点E，F分别在正方形的，边上，如图1．现将绕点A按逆时针方向旋转角，其中，得到，连接，，如图2． (1)初步探究：猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)深入探究：在绕点A按逆时针方向旋转过程中，当与互相垂直时，交边于点M，交边于点N，如图3． ①求证； ②求与面积的比值． 【答案】(1)，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴由旋转可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2)①证明：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）证明即可； （2）①证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可； ②过点作交的延长线于点，先求出，然后证明，求出，再由，得到，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②过点作交的延长线于点， 由题意得，， ∵， ∴， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即与面积的比值为． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题22相似三角形 3年考情·探规律 考点分类 三年考情(2024-2026) 命题规律 2026江苏南京卷、2026浙江 多以选择题、填空题形式考查，分值稳定在3-4分。 考点01平行 杭州卷2025山东济南卷、 常结合A字型、8字型几何模型命题，依托平行线直 线分线段成比 2025湖北武汉卷2024福建福 接得到线段比例关系；重点考查比例线段计算，整 例 州卷 体难度中等，常作为相似三角形考题的基础铺垫。 2026广东广州卷、2026四川 选择、填空、小问证明均有涉及，分值3-5分。核心 考点02相似 成都卷2025安徽合肥卷、 围绕两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边 三角形的简单 2025湖南长沙卷2024河北石 成比例判定相似：常结合公共角、对顶角、平行线 证明 家庄卷 找等角，侧重基础逻辑推理，设问偏向简单证明。 2026河南郑州卷、2026陕西 以选择、填空题为主，分值3-4分。利用相似对应边 考点03利用 西安卷2025江西南昌卷、 成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比 相似三角形的 2025云南昆明卷2024黑龙江 等于相似比的平方求解线段、角度、面积；常和四 性质求解 哈尔滨卷 边形、勾股定理结合，属于高频中档考点。 选择题、填空题居多，部分地区作为简答小问，分 2026山东青岛卷、2026广西 考点04相似 值3-5分。命题采用情境化设计，测量高度、测量宽 南宁卷2025江苏苏州卷、 三角形的实际 度、影子问题、小孔成像等素材频繁出现；将实际 2025贵州贵阳卷2024辽宁沈 应用 问题抽象为相似模型，侧重建模能力，贴近生活场 阳卷 景。 2026宁夏银川卷、2026甘肃 以选择题考查为主，分值2-3分。考查位似图形概 考点05位似 兰州卷2025内蒙古呼和浩特 念、位似中心、位似比，求对应线段长度；区分位 图形的相关求 卷、2025海南海口卷2024山 似与相似，注意位似图形有两种位似方向，整体难 解 西太原卷 度偏低，侧重概念辨析。 2026上海卷、2026吉林长春 选择、填空题，分值3-4分。结合平面直角坐标系， 考点06坐标 卷2025新疆乌鲁木齐卷、 已知位似中心与位似比求变换后点的坐标；注意在 与位似图形 2025天津卷2024青海西宁卷 原点位似有正负两种坐标结果，常与网格背景结 1/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 考点分类 三年考情（2024-2026) 命题规律 合，兼顾识图与代数计算。 2026湖北宜昌卷、2026广东 解答大题，分值7-10分。以三角形、四边形为载 考点07相似 深圳卷2025四川绵阳卷、 体，包含相似证明、线段计算、猜想探究；综合性 三角形解答题 2025辽宁大连卷2024河南洛 强，常融合全等、勾股定理、特殊四边形，是本模 综合 阳卷 块难点，部分试卷设置多小问梯度设问。 二3年真题·精准练 品 考点01平行线分线段成比例 1.(2025四川雅安.中考真题)（选择题）如图，直线l11213分别交直线4，l5于点A,B,C,D,E, F,已知AB=2,BC=4,DE=3,则EF的长是() E A.3 B.4 c.4.5 D.6 2.(2025黑龙江哈尔滨中考真题)（选择题）如图，AB|CDER,若BC=5,CE=8,则A2 DE () D.5 3.(2025四川乐山中考真题) (选择题)如图，1l2‖l3,AB=2,DE=3,BC=4,则EF的长为 () 2/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.6 C.8 D.10 4.(2025河南中考真题)（选择题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个项 点均在网格线的交点上，点D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连接DE,则DE的长为() D B B.1 c.V2 D.3 5.(2024黑龙江哈尔滨中考真题)（选择题）如图，在四边形ABCD中，ADBC,点E在AB上， EF‖AD交CD于点F,若AE:BE=1:2,DF=3,则FC的长为() A.6 B.3 C.5 D.9 6.(2026吉林.中考真题)（填空题）如图，在△ABC中，AC>AB,点D为边AB上一点，AD=2, BD=1.以点C为圆心，AD长为半径画弧，交AC于点E,连接DE.若DE‖BC,则AE= A 7.(2026四川眉山中考真题)（填空题）如图，111213，AB=3,DE=5,BC=6,则DF的长度是 3/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B E -13 8.(2025西藏中考真题)（填空题）如图，点D,E分别是△ABC边AB,AC上的点，且DE‖BC, 股-号州 AE 的值是 D 考点02相似三角形的简单证明 1.(2025山东滨州中考真题)如图，△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC.以点B为圆心，适当长 为半径画弧，分别交BA,BC于点E,F;以点A为圆心，BE的长为半径画弧，交AC于点H,以点H为圆 心，EF的长为半径画弧，两弧交于点G;连接AG并延长交BC于点D. E I)求证：△ACD一△BCA: (2)当AB=4时，求BC的长， 2.(2024江苏无锡·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O,CD=DB,AB,CD的 延长线相交于点E,且DE=AD C D B 4/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：△CAD一△CEA: (2)求∠ADC的度数. 3.(2024广东广州中考真题)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6, CF=2.求证：△ABE一△ECF. D B E 4.(2024新疆.中考真题)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,AD=BD (1)求证：△ACD~△ECB: (②)若AC=3,BC=1,求CE的长. 考点03利用相似三角形的性质求解 1.(2025贵州中考真题)如图，已知△ABC一△，AB:DE=2:1,若DF=2,则AC的长为() A.1 B.2 C.4 D.8 2.(2025黑龙江绥化中考真题)两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm,并且它们的周长之和为 48cm,那么较小三角形的周长是() A.14cm B.18cm C.30cm D.34cm 3.(2024四川巴中.中考真题)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若0A=1,则OG= 5/22 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () ED 125V5 125 C.7 D. 32V3 B. 64 64 27 4.(2024重庆中考真题)若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是（) A.1:3 B.1:4 c.1:6 D.1:9 5.(2024重庆·中考真题)若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是() A.1:2 B.1:4 c.1:8 D.1:16 6.(2024四川内江·中考真题)已知△ABC与△A1B,C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与 △A,B,C的周长比为() A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 考点04相似三角形的实际应用 1.(2026贵州·中考真题)（选择题）如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m, 测得AE=6m,BE=18m,则旗杆BC的高度是() C D 3m A6mE 18m B A.9m B.12m c.18m D.24m 2.(2026四川南充中考真题)（选择题)中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1 是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P,物体AB在幕布上形成倒立的实像AB(点 A,B的对应点分别是A,B),且AB⊥AB,AB⊥AB,若AB=10cm,P到AB的距离 6/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PQ=6cm则AB长为(） B (图1) (图2) A.12cm B.13.5cm C.15cm D.18cm 3.(2025四川内江中考真题)（选择题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这 句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中 随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示， 动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是() B 甲 乙 A.80cm B.60cm C.50cm D.40cm 4.(2024江苏扬州中考真题)（填空题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特 性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB. 设AB=36cm,AB=24cm.小孔O到AB的距离为30cm,则小孔O到AB的距离为cm. B' ←-30cm→米？cm 5.(2025四川绵阳中考真题)（填空题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量.他 准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直 线由C点后退2至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D,测得小明的眼睛距地面的高度AB 为1.6m,竹竿CD长3m,则大树的高度EF为 1m, 7/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E 6.(2026浙江中考真题)（解答题）如图所示，是墙面l与一个显示屏AB的侧视图，墙面与地面垂直， 用两根等长的支架PQ和MN连接墙面与显示屏，测得PM=QN. M A)证明：PM‖QN: (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架PQ=10cm,AB=57cm,PQ⊥1，锦凌同学的眼睛O与显示屏底 部B等高，眼睛到墙面l的距离OD=200Cm,锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区CD.求CD 的长度 7.(2026陕西·中考真题)（解答题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km.某数学兴趣 小组开展测量渭河河道宽度的实践活动.他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动， 记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 B D E 1.在河道一侧的岸边选取两个 1.在河道一侧的岸边选取两个观 观测点B,C: 测点B,C,分别在AB,AC的 测量过程 2.测量∠ABC,∠ACB的度 延长线上选取点D,E,使得 数 DE‖BC: 8/22 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.测量B,C两点之间的距离， 3.测量B,C两点之间的距离 D,E两点之间的距离，BC与 DE之间的距离h, ∠ABC=45°， BC=120m,DE=150m, 测量数据 ∠ACB=63.4°，BC=120m」 h=20m. 1.点A是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照 点： 备注 2.图中所有点均在同一平面内； 3.参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A到BC的距离）· 8.(2026广西·中考真题)（解答题)图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测 量公益广告牌的高度MN, 如图2，MN所在直线垂直地面于点A,甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C,点A,C在同一水 平线上，乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B发 出的光线反射到点N处.经测量：BC=1.5米，AC=12米，CD=2米，DE=2米，记点D,E处的法线 分别为SD,TE,即SD⊥AC,TE⊥AC,根据光的反射定律，∠MDS=∠BDS,∠NET=∠BET. M M 传承家风家利 香粉传统美德名 CDE 图1 图2 (I)求证：∠MDA=∠BDC: (2)求此公益广告牌的高度MN, 9.(2026四川自贡·中考真题)（解答题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵 9/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 大树的高度.要求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m)和笔直的竹竿（长度2m)进行测量. GEG月a FD FD 围墙 E 围墙 图1 图2 (1)小刚建议这样测量：如图1，线段AC表示所要测量的大树，在操场上F点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿 DE(长度2m)顶部E恰好看到树顶端A,此时竖直竹竿DE与小刚FG的水平距离DF=2m.小刚将观 测点F后移13m到F处，采用同样方法，测得DF=3m.小刚眼睛距离地面的高度FG=FG=0.8m, 点F,D,F,D与树的底部C在同一水平线上.据此可知点E到BG的距离EH为m,图中两组相 似三角形是，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m). (2)小明提出可以这样改进：如图2，在点F处安置测角仪（高度1.5m)测得树顶端A的仰角 ∠AGB=26.7°，前行到点E处测得树顶端A的仰角∠ADB=45°，点E,F与树的底部C在同一水平线 上，量得EF=16m.请按此方案求树的高度（结果精确到0.1m).(参考数据sin26.7°≈0.45， cos26.7°≈0.89，tan26.7°≈0.50) 3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）· 10.(2025江苏无锡中考真题)（解答题)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综 合与实践活动。 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）.在点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从点 P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF=2.8m, PQ=1.4m,QF=2m,FN=16m. 10/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E E 77777777元 FO (图2) P (图1) (1)求旗杆MN的高度， 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面 了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度.他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均 无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2），在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆 EF,直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿FQ的方向走到点Q处， 此时标杆EF竖立于F处，从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.已知AB、EF、 PQ、EF和PQ在同一平面内，点B、F、Q、F、Q在同一条直线上， EF=E F=2.8m,PQ=PQ=1.4m,FQ=1.2m,F Q=2.2m,QQ=30m. (2)求妙光塔AB的高度， 11. （2025·河南·中考真题)（解答题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈 士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下. 活动 测量纪念碑的高度 主题 实物 A 图和 测量 E N 示意 B 图 F MD 测量 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点 11/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的 说明 观测者眼晴所在位置为点N,点N,E,A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测 者的水平视线上。 测量 DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m 数据 备注 点F,M,D,C在同一水平线上 根据以上信息，解决下列问题， (I)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说明理由. (2)求纪念碑AB的高度， 3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际 高度为19.64m.请判断小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一 条即可)· 12.(2024江苏南京中考真题)（解答题）如图(1)，夜晚，小明从路灯L的正下方P1处出发，先沿平 路走到P2处，再上坡到达P3处.已知小明的身高为1.5m,他在道路上的影长y(单位：m)与行走的路程 X(单位：m)之间的函数关系如图(2)所示，其中，OA,BC是线段，AB是曲线. y/m本 B P A 68 14 x/m (1) (2) (1)结合P2的位置，解释点A的横坐标、纵坐标的实际意义. (2)路灯L的高度是 m. 3)设P2P3的坡角为a0°<a<45. ①通过计算：比较线段OA与线段BC的倾斜程度： ②当Q取不同的值时，下列关于曲线AB的变化趋势的描述；ay随x的增大而增大；by随x的增大而减 小；y随x的增大先增大后减小；dy随x的增大先减小后增大.其中，所有可能出现的序号是_（说明： 全部填对的得满分，有填错的不得分) 13.(2024陕西·中考真题)（解答题)如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB.小 明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF, 使点E,C,A在同一直线上，并测得ND=1m,FD=1.7m.已知CD=2.6m,EF=1m,F,D,B三 12/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点在同一水平直线上，AB,CD,EF均垂直于FB,求避雷针顶端A的高度AB. A L)a 考点05位似图形的相关求解 1.(2026甘肃天水中考真题)（选择题）如图，四边形ABCD与四边形ABC'D是以原点O为位似中 心的位似图形.若B2,0'B14,0?AB=5则AB=（） B A.3 B.2/5 c.4 D.3V5 2.(2025浙江·中考真题)（选择题）如图，五边形ABCDE,ABCDE是以坐标原点O为位似中心 的位似图形，已知点A,A的坐标分别为2,0,3,0若DE的长为3，则DE的长为（） 13/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B O B.4 c D.5 3.(2025四川眉山中考真题)（选择题）如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将 △OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是() A.2:1 B.1:2 c.4:1 D.1:4 4.(2024四川攀枝花中考真题)（选择题）如图，△ABC与△就是位似图形，点O为位似中心.已知 OA:AD=2:1,则△ABC与△就的相似比为() E A.2:3 B.1:3 C.2:1 D.3:2 5.(2024四川凉山中考真题)（选择题）如图，一块面积为60cm的三角形硬纸板（记为△ABC)平 行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B,C1,若OB:BB1=2:3,则△A1BC1的面积是 () 14/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B A.90 cm2 B.135cm2 C.150cm2 D.375cm2 6.(2025:宁夏中考真题)（填空题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三 角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均 相等，则y=一 7.(2025广东·中考真题)（填空题）如图，把△AOB放大后得到△COD,则△AOB与△COD的相似 比是 D 6 8.(2025黑龙江绥化中考真题)（填空题）在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大， 得到△ABC.若点A和它的对应点A的坐标分别为3,7，-9，-21，则△ABC与△ABC的相似比 为 考点06坐标与位似图形 1.(2026黑龙江绥化中考真题)（选择题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是等腰直角三角形， ∠A=90°，OB=2V2,将△OAB绕点O顺时针旋转45°后，得到△OAB,点A,B的对应点分别是 15/22 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点A,B,以原点为位似中心，将△OAB放大为原来的3倍后，得到△OAB,顶点B在第一象限对 应点B的坐标是（） B A.6,6 B.6,2 C.6,62 D.62,6 2.(2025甘肃兰州中考真题)（选择题）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ABC位似， 位似中心是原点O,已知BC:BC=1:2,则B2,0的对应点B的坐标是() B A.3,0 B.4,0 c.6,0 D.8,0 3.(2025内蒙古中考真题)（选择题）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是00,0， A2,1,B1,2,以原点O为位似中心，在第三象限画△OAB与△OAB位似，若△OAB与△OAB的 相似比为2：1'则点A的对应点A的坐标为（） A.-2,-1B.-4,-2 C.-1,-2 D.-2,-4 4.(2024黑龙江绥化中考真题)（选择题）如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O0,0,A3,0, 16/22 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B3,2,C0,2,以原点O为位似中心，将这个矩形按相似比亏缩小，则顶点B在第一象限对应点的坐标是 () 2 B 1 A 0123x A.9,4 B.4,9 5.(2024浙江·中考真题)（选择题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ABC是位似图形，位 似中心为点0若点A(-3,1)的对应点为A(-6.2》则点B(-2,4)的对应点B的坐标为（） A.(-4,8)B.(8,-4 c.（-8,4 D.（4,-8 6.(2025山东烟台中考真题)（填空题）如图，在平面直角坐标系中，点p的坐标 6,△ABc 顶点A的坐标为4,3.以点P为位似中心作△A1BC1与△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P 同侧；以点P为位似中心作△A2B2C2与△A1BC1位似，相似比为2，且与△A1BC1位于点P同侧 按照以上规律作图，点A3的坐标为 3 2 P 1 B∠ 0123456x 7.(2025安徽中考真题)（解答题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面 17/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 直角坐标系Oy,△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）.已知点A和A1的坐标分别为-1，-3 和2,6. YA (I)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标： (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A:BC1,使得点A的对应点为A1,请在所给的网格图中画 出△A1B1C1. 品 考点07相似三角形解答题综合 1.(2026江苏无锡·中考真题)在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上.若BD=DE=EC,则称线段 DE是△ABC中∠A所对的“等截线”， 图1 图2 (1)如图1，已知DE是△ABC中∠A所对的“等截线”，∠BDE=150°，∠DEC=120°，求tanC的值 (请直接写出答案)· 【概念应用】 (2)如图2，在等腰△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BC=2,求∠A所对的“等截线”的长度， 【深入探究】 (3)小明探究发现：任意三角形都存在某个角所对的“等截线”，且这条“等截线”唯一存在.如何画出 18/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 “等截线”？他从阅读著名数学家波利亚的名著中受到启发：以△ABC为例AB<AC<2AB,画出 ∠A所对的“等截线”的部分步骤如下. 画法 图形 ①在AB上适当的位置取点P,作直线PK‖AC, PK交BC于点K ②在PK上截取PQ=PB,连接BQ并延长，交AC 于点G ③在KC上取点M,使得QM=PQ K M ④作CN‖QM,CN交BG于点N 请你根据以上信息，说明步骤④中的CN的长度即为∠A所对的“等截线”的长度， 2.(2026浙江·中考真题)如图1，△ABC内接于⊙O,D是直径AB上的一点，满足AC=AD,连接 CD并延长交⊙O于点E,连接BE,点F在弦BC上，且BF=DE.过点F作FG⊥CE,交AB于点G,交 CD于点H.设∠CAB=a. GD A GD B 图1 图2 图3 (1)用含Q的代数式表示∠ABE和∠FGB的大小： (②)如图1，若CF=CD,求证：GF=GO: 3)如图3，若⊙O的半径为1，点D在OB上，且OD=2AG,求AC的长. 3.(2026湖北武汉·中考真题)将正方形ABCD的边CD绕点D逆时针旋转得到DE,连接AE交边CD于 点F,DG平分∠CDE交AE于点G,连接CG、CE. 19/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A F B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△CGE是等腰直角三角形（温馨提示：若思考有困难，可尝试证明 ∠DAE=∠DEG=∠DCG). (2)如图2，连接BD交AE于点H,求证：AF·AE=2AH·AG. B)如图3，点K在线段AE上，AK=CG,连接CK.若AB=4,直接写出CK的最小值. 4.(2026贵州中考真题)小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： A B 图① 图② 图③ 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点A,B,小红要在直线l上确定一点P,使AP+BP最短. (1)请帮小红确定点P的位置，并画出图形： (2)解决该问题的依据是 【问题探究】 B)如图②，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是对角线BD上一个动点，连接EF,CF, ∠DBC=30°，BC=2V3,当EF+CF的值最小时，求线段EF的长： 【拓展延伸】 (④)如图③，在四边形ABCD中，AD‖BC,BD=CD,CE⊥BD,垂足为E,∠A=2∠ADB, AD=1,AB=3,若点P是线段BC垂直平分线上的一个动点，连接BP,EP.确定点P的位置使△BPE 周长最小，并求出该周长的最小值 5.(2026广东·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=25,点D在AB上，且 BD=3AD,连接CD.过点A作CD的垂线交CD于点E,交BC于点F,连接BE,AE=2, 20/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求CE的长： (2)求证：BD=9DE·DC: B)求S△BEF的值. S△BDE 6.(2026陕西·中考真题)问题探究 C B 图① 图② 图③ (I)如图①，AD是△ABC的角平分线，若S△ABD:S△AcD=3:2,则AB:AC的值为 (②)如图②，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=80°，点D,E在边BC上.若BE·CD=AB,求 ∠DAE的度数； 问题解决 (3)为优化种植结构及水资源配置，某村计划在一块平整的农田内修建两条笔直的田间小路，使得两条小路 将该农田分割为四个区域，以种植不同种类的农作物：为方便灌溉，还需在两条小路的交汇处修建一个蓄 水池，在蓄水池和水源接入口之间铺设一段地下输水管道. 如图③所示，四边形ABCD区域为农田，AQ,DP为小路，小路的出口P,Q分别在农田边界AB,BC上， AQ与DP相交于点M,点M为蓄水池，点B为水源接入口，BM为地下输水管道.根据种植需求， △ADP区域与△ABQ区域的面积之比为25：36，为了节约成本，还需使地下输水管道BM最短. 已知ADBC,AB⊥BC,AD=400m,AB=480m,BC=720m,请你帮助该村计算在满足种植需 求的情况下，当地下输水管道BM最短时，四边形MQCD区域的面积.（结果精确到1m2.小路的宽， 蓄水池的大小均忽略不计) 7.（2026内蒙古·中考真题)综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD,将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与 顶点A重合放置，记该三角形为△AEF.顶点E,F分别在正方形的AB,AD边上，如图1.现将△AEF 绕点A按逆时针方向旋转C角，其中0°<a<90°，得到△AEF,连接BE,DF,如图2， 21/22 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F F E E E B 图1 图2 图3 (I)初步探究：猜想线段BE与线段DF的数量关系，并说明理由： (2)深入探究：在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE与BE互相垂直时，AE交EF边于点 M,EF交AD边于点N,如图3. ①求证NA·NF=ND·NE: ②求△AEM与△AFM面积的比值. 22/22