专题06 二次函数的图象、性质与应用（5年汇编）（青海专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

专题06 二次函数的图象、性质与应用 5年真题1年模拟 考点分类 青海考情（2022-2026） 命题规律 考点01 二次函数的图象与性质 （2024·青海西宁·中考真题） （2023·青海西宁·中考真题） （2025·青海·中考真题） （2024·青海·中考真题） （2023·青海·中考真题） （2022·青海西宁·中考真题） （2022·青海·中考真题） · 情境设置：以坐标系中抛物线与直线、反比例函数、菱形、斜坡等综合图形为载体。 · 考查重点：开口方向、顶点、对称轴、与坐标轴交点及增减性。 · 命题趋势：趋向多函数交汇与几何图形结合，突出数形结合与综合应用。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2024·青海西宁·中考真题）点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； ，是抛物线上的两个点，， 、两点关于对称轴对称， ， ， 而抛物线与轴的交点是， ， 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故选：C． 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，反比例函数系数的几何意义，掌握菱形的性质，理解反比例函数系数的几何意义是正确计算的前提．根据菱形的性质以及反比例函数系数的几何意义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是菱形，在轴上， ∴，则， ∵， ∴， 故选：B． 3．（2023·青海西宁·中考真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ②抛物线与x轴一定有两个交点 ③关于x的方程有两个根， ④若，当或时， 其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】①可得，从而可求，即可求解；②可得，由，可得，即可求解；③可判断抛物线也过，从而可得方程的一个根为，可求抛物线的对称轴为直线，从而可得抛物线与轴的另一个交点为，即可求解；④当，当时，，即可求解． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 抛物线的对称轴为直线， 故①正确； ②， 由①得， ， ， ， 抛物线与x轴一定有两个交点， 故②正确； ③当时， ， 抛物线也过， 由得 方程， 方程的一个根为， 抛物线， ， 抛物线的对称轴为直线， 与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线与轴的另一个交点为， 关于x的方程有两个根，， 故③正确； ④当，当时，， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的基本性质，二次函数与一次函数交点，二次函数与不等式等，理解性质，掌握解法是解题的关键． 4．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 5．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在，点P的坐标是， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）略 （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 6．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 【答案】(1) (2) (3)这棵树的高为2 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 8．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 9．（2022·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点． (1)求反比例函数解析式； (2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A 把代入得 ∴ ∴ 把代入反比例函数得 ∴ ∴反比例函数的解析式是； （2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为， ∵，B在反比例函数图象上， ∴B(2，2), 令D(m,n)， 以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当AB为一条对角线时，则， 解得m=1，n=6， ∴D(1,6) 当AC为一条对角线时，则， 解得m=1，n=2， ∴D(1,2) 当AD为一条对角线时，则， 解得m=3，n=-2， ∴D(3,-2)（舍去） 综上所述，点D的坐标是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标． 10．（2022·青海·中考真题）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.           图1                     图2 (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 【答案】(1) (2)2 (3)当点的坐标分别为，，，时， 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； （3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，解得． ∴所求抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴． 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴， 即． （3）解：设点，由题意，得， ∴，∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点的坐标分别为，，，时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键． 1．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，、正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线经过可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由时y取最大值可判断③，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断④． 【详解】解：∵抛物线经过，代入， 得：，故①正确， ∵， ∴抛物线开口向下， 点，，均在该二次函数图象上，且点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故②错误， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵抛物线的最大值为， ∴若m为任意实数，则 ， ∴，故③正确； ∵方程有两实数根为，， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为，， 由抛物线对称性可得抛物线x轴另一交点坐标为， ∴抛物线与x轴交点坐标为，， ∵抛物线开口向下， ∴，，故④正确． 综上①③④正确， 故选：B． 2．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数的图象与系数的综合应用，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数，再与二次函数的图象的开口方向和对称轴的位置相比较看是否一致，最终得到答案． 【详解】解：∵函数的图象经过二、四象限， ∴， 由图知当时，， ∴， ∴抛物线开口向下， 对称轴为，， ∴对称轴在与0之间， 故选：D． 3．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查图象与二次函数系数之间的关系；由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与y轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行一一分析判断． 【详解】解：①由抛物线开口向上，，抛物线与轴交点在轴下方，， 对称轴为：直线， ， ，故①正确； ②由对称轴可知：， ， 时，， ， ，故②正确； ③关于直线的对称点为， 时，，故③正确； ④当时，的最小值为， 时，， ， 即，故④错误； ⑤抛物线与轴有两个交点， ， 即， ，故⑤正确； 错误的个数只有个， 故选：A． 4．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A．a＞0 B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根 C．a+b+c=0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】试题分析：A、因为抛物线开口向下，因此a＜0，故此选项错误； B、根据对称轴为x=1，一个交点坐标为（﹣1，0）可得另一个与x轴的交点坐标为（3，0），因此3是方程ax2+bx+c=0的一个根，故此选项正确； C、把x=1代入二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由图象可得，y＞0，故此选项错误； D、当x＜1时，y随x的增大而增大，故此选项错误． 故选B． 5．（2026·青海西宁第十二中学·中考模拟）表中所列x，y的6对值是二次函数（）图象上的点所对应的坐标，其中，． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则；其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①由二次函数的对称性可得对称轴为直线，可直接判断；②由对称轴的位置及且，可知在对称轴右侧，y随x的增大而增大，由此可判断a的符号，进而可判断b和c的符号；③由上述判断可知，当时，，结合可判断；④根据题中给出的数据，可求得函数解析式，进而可判断时，y的取值范围，进而可判断．， 【详解】解：①由表格可知，当和时，函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴，即，故①正确，符合题意； ②由表格可知，，且， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴， ∴， 由表格可知，当和时，函数值相等， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ③由上分析可知，当时，， 又∵， ∴，故③正确； ④当，时，可知函数过点， ∵对称轴为直线， ∴抛物线跟x轴的另一个交点， ∴函数的解析式可设为， ∵， ∴，解得， ∴函数解析式为：，画出函数图象如图所示：    当时，，当时，， 又抛物线的顶点坐标为， ∴当时，直线y=k与该二次函数图象有一个公共点； ∴若直线与该二次函数图象有一个公共点，则或；故④不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 6．（2026·青海西宁第十二中学·中考模拟）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】C 【分析】此题考查了正方形性质、反比例函数的图象和性质等知识，设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为，把两点的坐标代入得到，解方程即可得到答案 【详解】解：∵正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3， ∴可设点B的坐标为，其中，则点C的坐标为， ∵反比例函数的图像经过B，C两点， ∴， 则 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 故选：C 7．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）将抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为________． 【答案】． 【分析】本题考查二次函数图象的平移，掌握抛物线平移变化的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 根据二次函数图象平移变化的规律求解即可． 【详解】将抛物线图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位， 所得图象的解析式为： 故答案为：． 8．（2026·青海西宁光华中学·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为______．    【答案】1 【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为， 当点在抛物线的顶点时，最小，最小值为， 四边形是矩形， ， 对角线的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 9．（2026·青海西宁十一中·中考模拟）抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 【答案】 【分析】本题考查抛物线的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据抛物线解析式，分别将点B、点C和点A的横坐标代入解析式，得出纵坐标的值，比较大小即可． 【详解】解：由抛物线解析式可得， 当时，； 当时，； 当时，． 由于为常数，故，即． 故答案为． 10．（2026·青海西宁光华中学·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)在直线的下方的抛物线上是否存在一点P．使得面积最大，若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)即直线的下方的抛物线上存在一点P，使得面积最大，点P的坐标为，面积的最大值为 【分析】（1）将，代入抛物线中，进行计算即可得； （2）在中，令，则，即可得，在中，令，则进行计算得，设直线的解析式为：，将点，点代入，进行计算即可得； （3）根据点P是直线的下方的抛物线上的一点设，过点P作轴，交x轴于点D，交于点E，则点，即可得，进行计算得，根据，图像开口向下得有最大值，当时，有最大值，最大值为，把代入抛物线解析式中，进行计算即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得 ①×5，得 ②+③，得， ， 把代入①，得， ∴这个方程组的解集为：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则， 则， 在中，令，则， 解得，，， ∵点B在x轴的正半轴上， ∴， 设直线的解析式为：，将点，点代入，得 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：∵点P是直线的下方的抛物线上的一点， ∴设， 如图所示，过点P作轴，交x轴于点D，交于点E， ∴点， ∴， ∴ = = = = ∵，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，有最大值，最大值为， 把代入抛物线解析式，得， ∴点， 即直线的下方的抛物线上存在一点P，使得面积最大，点P的坐标为，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数的图象、性质与应用 5年真题1年模拟·答案版 考点01 二次函数的图象与性质 1．C 2．B 3．B 4．(1) (2)①，② (3)存在，， 5．【答案】(1) (2) 解：是直角三角形，理由如下： 抛物线与y轴的交点， 当时，， ∴， 如图1，过点C作轴于点D， ∴， 过点A作于点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (3)存在，点P的坐标是， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，勾股定理的逆定理等知识． （1）设二次函数解析式为，将顶点代入解析式得y＝，再将代入求解即可； （2）过点C作轴于点D，过点A作于点E，，然后根据勾股定理的逆定理即可解决问题； （3）设点P的坐标为，过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，得点Q的坐标为，得，得，，进而解决问题． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 将顶点代入解析式得， ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为； （2）略 （3）解：存在，理由如下： ， 设点P的坐标为， 过点P作，垂足为H，过点P作轴交直线于点Q， 设直线的解析式为，将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵轴， ∴， 在中， ∵ ∴ ∴， 解得，， 当时， ∴， 当时，， ∴， ∴所有符合条件的点P的坐标是，． 6．【答案】(1) (2) (3)这棵树的高为2 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 7．【答案】(1) (2) (3)的最大值是，此时的P点坐标是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可设抛物线的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （3）由题意易证为等腰直角三角形，即得出．设点P的坐标为，则，从而可求出．再结合二次函数的性质可知：当时，有最大值是，此时最大，进而即可求解． 【详解】（1）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， ∴直线l的解析式为； （2）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． 把A，B两点坐标代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （3）解：∵  ，   ∴． ∵在中， ∴． ∵轴，， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 设点P的坐标为，则， ∴． ∵， ∴当时，有最大值是，此时最大， ∴， 当时，，   ∴， ∴的最大值是，此时的P点坐标是． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和利用数形结合的思想是解题关键． 8．【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）将，两点坐标代入抛物线的解析式，进一步求解得出结果； （2）连接，将二次函数的解析式配方求得顶点的坐标，邻求得的坐标，从而求得，，的长，再根据求得结果； （3）设，，表示出和，根据列出方程求得的值，进而求得结果． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，    ∵， ∴， ∴，， 由得，， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵， ∴， 由得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 9．【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先将代入求出，再将代入反比例函数即可求出k； （2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，需分类讨论：当AB为一条对角线时，当AC为一条对角线时，当AD为一条对角线时，根据中点坐标公式分别求出D点坐标，另还需考虑D在第一象限． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A 把代入得 ∴ ∴ 把代入反比例函数得 ∴ ∴反比例函数的解析式是； （2）由（1）知A(1,4)，C(2,0)，反比例函数解析式为， ∵，B在反比例函数图象上， ∴B(2，2), 令D(m,n)， 以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形， 当AB为一条对角线时，则， 解得m=1，n=6， ∴D(1,6) 当AC为一条对角线时，则， 解得m=1，n=2， ∴D(1,2) 当AD为一条对角线时，则， 解得m=3，n=-2， ∴D(3,-2)（舍去） 综上所述，点D的坐标是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数相交问题以及平行四边形存在性问题，解题关键是由题中的条件分别求出A，B，C的坐标，再分类讨论求出平行四边形的第四个顶点坐标． 10．【答案】(1) (2)2 (3)当点的坐标分别为，，，时， 【分析】（1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （2）结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图像上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可； （3）根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=8，从而求出P点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴的两个交点分别为，， ∴，解得． ∴所求抛物线的解析式为． （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，则， 又， ∴． 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得，则该直线的解析式为． 故当时，，即， ∴， 即． （3）解：设点，由题意，得， ∴，∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， ∴当点的坐标分别为，，，时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图像上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键． 1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．C 7．． 8．1 9． 10．【答案】(1) (2) (3)即直线的下方的抛物线上存在一点P，使得面积最大，点P的坐标为，面积的最大值为 【分析】（1）将，代入抛物线中，进行计算即可得； （2）在中，令，则，即可得，在中，令，则进行计算得，设直线的解析式为：，将点，点代入，进行计算即可得； （3）根据点P是直线的下方的抛物线上的一点设，过点P作轴，交x轴于点D，交于点E，则点，即可得，进行计算得，根据，图像开口向下得有最大值，当时，有最大值，最大值为，把代入抛物线解析式中，进行计算即可得点P的坐标． 【详解】（1）解：将，代入抛物线中，得 ①×5，得 ②+③，得， ， 把代入①，得， ∴这个方程组的解集为：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则， 则， 在中，令，则， 解得，，， ∵点B在x轴的正半轴上， ∴， 设直线的解析式为：，将点，点代入，得 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：∵点P是直线的下方的抛物线上的一点， ∴设， 如图所示，过点P作轴，交x轴于点D，交于点E， ∴点， ∴， ∴ = = = = ∵，图像开口向下， ∴有最大值， 当时，有最大值，最大值为， 把代入抛物线解析式，得， ∴点， 即直线的下方的抛物线上存在一点P，使得面积最大，点P的坐标为，面积的最大值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数，解题的关键是理解题意，掌握待定系数法． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次函数的图象、性质与应用 5年真题1年模拟 考点分类 青海考情（2022-2026） 命题规律 考点01 二次函数的图象与性质 （2024·青海西宁·中考真题） （2023·青海西宁·中考真题） （2025·青海·中考真题） （2024·青海·中考真题） （2023·青海·中考真题） （2022·青海西宁·中考真题） （2022·青海·中考真题） · 情境设置：以坐标系中抛物线与直线、反比例函数、菱形、斜坡等综合图形为载体。 · 考查重点：开口方向、顶点、对称轴、与坐标轴交点及增减性。 · 命题趋势：趋向多函数交汇与几何图形结合，突出数形结合与综合应用。 考点01 二次函数的图象与性质 1．（2024·青海西宁·中考真题）点，是抛物线是常数，且上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O是坐标原点，顶点A在反比例函数的图象上，对角线在轴上．若菱形的面积是，则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2023·青海西宁·中考真题）直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点．下列结论： ①抛物线的对称轴是直线 ②抛物线与x轴一定有两个交点 ③关于x的方程有两个根， ④若，当或时， 其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④ 4．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2024·青海西宁·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，顶点C的坐标为． (1)求二次函数的解析式． (2)判断的形状，并说明理由． (3)在直线上方的抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 7．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线．    (1)求直线l的解析式； (2)求抛物线的解析式； (3)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M．求的最大值及此时P点的坐标． 8．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．    (1)求此二次函数的解析式； (2)设二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点，求四边形的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）． 9．（2022·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点． (1)求反比例函数解析式； (2)点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标． 10．（2022·青海·中考真题）如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C.           图1                     图2 (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长； (3)设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.（请在图2中探讨） 1．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．下列结论中：①；②若点，，均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，，且，则，、正确结论的序号为（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 2．（2026·青海西宁虎台中学·中考模拟）已知反比例函数y＝的图象如图，则二次函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·青海西宁第二中学·中考模拟）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，现给出以下结论：①；②③；④（为实数）；⑤．其中错误的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是 A．a＞0 B．3是方程ax2+bx+c=0的一个根 C．a+b+c=0 D．当x＜1时，y随x的增大而减小 5．（2026·青海西宁第十二中学·中考模拟）表中所列x，y的6对值是二次函数（）图象上的点所对应的坐标，其中，． x … 1 … y … m 0 c 0 n m … 根据表中信息，下列4个结论：①；②；③；④如果，，那么当时，直线与该二次函数图象有一个公共点，则；其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·青海西宁第十二中学·中考模拟）公元前三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出“赵爽弦图”，如图，数学课上数学老师把该图放置在在平面直角坐标系中，如图，此时正方形的顶点A的坐标为，顶点B的横坐标为3，若反比例函数的图像经过B，C两点，则的值为（   ） A．12 B．15 C．18 D．21 7．（2026·青海西宁第一中学·中考模拟）将抛物线图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为________． 8．（2026·青海西宁光华中学·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连接，则对角线的最小值为______．    9．（2026·青海西宁十一中·中考模拟）抛物线上三点分别为，则的大小关系为________（用“>”号连接）． 10．（2026·青海西宁光华中学·中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)在直线的下方的抛物线上是否存在一点P．使得面积最大，若存在，请求出点P的坐标及面积的最大值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $