专题03 三角形中的倒角模型之燕尾(飞镖)型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理燕尾型、风筝模型、翻角模型构建三角形倒角知识体系，以推导逻辑框架图呈现模型结论与拓展，结合外角性质、内角和定理等知识储备，突出凹/凸四边形倒角、折叠问题等重难点及内在联系。 讲义亮点是“模型识别-推导-应用”递进练习设计，如飞镖模型通过辅助线拆分推导角度关系，翻角模型结合折叠性质解决计算，培养推理意识与几何直观。典例含填空压轴题，易错总结助学生规避错误，教师可分层教学，基础生掌握结论，优秀生深化逻辑。

专题03三角形中的倒角模型之燕尾(飞镖)型、风筝模型、翻角模型 多边形倒角是三角形内角和的拓展应用，其中燕尾型、风筝模型、翻角模型是三类最经典的多边形倒角模型，广泛应用于复杂图形的角度快速计算。燕尾型也称飞镖模型，是凹四边形的核心结论；风筝模型是凸四边形的经典倒角工具；翻角模型则是折叠问题的角度基础。本专题就三类倒角模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化逐角硬算，强化模型识别，多以“复杂图形嵌套燕尾/风筝、三角形折叠翻角”形式出题，常与内角和、外角性质结合考查填空选择压轴。 推导逻辑：依托三角形外角性质、内角和定理，通过作辅助线拆分多边形为三角形，推导角度定值关系，拒绝硬算乱凑。 核心素养目标： 1.掌握燕尾型、风筝模型、翻角模型的结论与推导； 2.能从复杂图形中快速提取模型，秒算角度； 3.培养辅助线构造、转化化归的几何思维。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 6 模型3.角内（外）翻模型 10 模型拓展 12 【易错总结】 12 【模型运用】 12 基于三角形外角等于不相邻两内角和、折叠前后对应角相等，通过连接辅助线将四边形拆分为三角形，衍生出固定角度结论，是三角形内角和与外角性质的高阶应用。其中燕尾模型因形似燕尾/飞镖得名，是凹多边形倒角的标准范式；风筝模型因凸四边形形似风筝得名，是双垂直四边形角度关系的典型；翻角模型源于轴对称变换的保角性，是几何折叠问题的角度基础。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： · 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； · 四边形内角和定理：任意四边形内角和为360°； · 轴对称的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等； · 平角定义：平角为180°； · 辅助线基本规则：连接两点、延长线段为常用辅助线作法。 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 【模型提炼与证明】 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1： 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P； 在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B； 在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP； ∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P； 在△ABQ中，； 在△CDQ中，。 即：，故。 图2： 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； ∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型： ∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A； ∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 图3： 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++， ∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD， ∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO， ∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【典例2】(25-26七下·四川达州外国语学校·期末)如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【典例3】(25-26七·甘肃白银第十中学·期中)如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【典例4】(25-26七·吉林长春双阳区·期末)按要求解答下列问题： 【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若，，求的度数． 思路一：延长交于点，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． (1)请选择其中的一种思路求的度数． 【应用拓展】 (2)如图2，若，则________； (3)如图3，若，则________． 【典例5】【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 模型2.风筝（鹰爪）模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型： 结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角， ∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA =∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA =∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）： 结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角， ∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA） =（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】(七下·四川达州大竹县周家中学·期末)如图，中，分别为上两点，将沿直线折叠，使得点A落在右侧的点处，则、、之间满足的关系式是（  ）    A． B． C． D． 【典例2】(25-26七下·吉林长春二道区·期末)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动中遇到如下几何问题：如图①，在中，，点、、分别是边、、上的点（点、、均不与的顶点重合），连结和．试探究、、之间的数量关系． 【探究过程】 (1)小明阅读题目后，未直接发现三个角之间的数量关系，于是采用代入数值的方法初步探究： ①当，时，________度； ②当，时，________度； ③据此猜想、、之间的数量关系为________． (2)以下是小明证明猜想的部分过程： 证明：如图②，连结． 是的外角， ． 即． 同理：． 证明过程缺失 请补全缺失的证明过程． 【类比思考】 (3)如图③，在中，，点、分别是边、上的点，点是延长线上一点（点、、均不与的顶点重合），连结、．当，时，度数为________°． 【典例3】(25-26七下·吉林长春长春净月高新技术产业开发区·期末)【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 模型3.角内（外）翻模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时， 结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时， 结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】(七下·河南南阳多校·月考)如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【典例2】(山东日照·八下开学)如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【典例3】(25-26八下·宁夏银川金凤区银川阅海中学·期末)如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【典例4】如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【典例5】(25-26七·甘肃天水麦积区·期末)综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，试猜想与，之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： (2)如图②，若点落在四边形的边CD下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 【典例6】(25-26七下·吉林长春力旺实验初级中学·期末)在直角三角形中，，，点是边上一个定点（），点是边上的一个动点，将沿翻折，得到，其中． (1)若，则_____，_____； (2)当时，求证； (3)当与其中一边平行时，直接写出的值． 模型拓展 1.燕尾型可拓展为多角燕尾，本质是外角性质的多次应用； 2.翻角模型可拓展到四边形折叠、多边形折叠，核心都是对应角相等； 3.三类模型均是快速倒角的工具，可大幅减少推导步骤。 模型常见易错点 1. 燕尾型漏加其中一个角，结论记成两个角的和； 2. 翻角外折型符号搞反，和差混淆； 3. 风筝模型角度对应关系不清，乱加乱减。 模型小结 1. 燕尾外角拆，风筝八字推，翻角找对应； 2. 所有多边形倒角，核心都是拆分为三角形，用内角和与外角解决； 3. 折叠问题先标对应等角，再利用平角、内角和列等式。 1．(24-25七·河北遵化苏家洼镇大刘庄中学·期末)如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 2．(25-26七下·山东聊城东昌·期末)如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．(25-26七下·山东菏泽定陶区·期末)如图，四边形中，点、分别在、上，将沿翻折，得，若 ， ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．(23-24八上·北京昌平区·期末)如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 5．(七下·湖北宜昌长阳·期末)如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在同一平面的A′处，且落在四边形BCED的外部时，A与1和2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A．A 1 22 B．A 1 2 C．3A 21 2 D．2A 1 2 6．(八上·湖北武汉洪山区·期中)如图，三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α＋∠β之间的关系是（    ） A．∠γ＝∠α＋∠β B．2∠γ＝∠α＋∠β C．3∠γ＝2∠α＋∠β D．3∠γ＝2（α∠＋∠β） 7．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 8．(23-24七下·四川遂宁射洪四川射洪中学校·月考)如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 9．(25-26·湖南长沙立信中学·)如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 10．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 11．(24-25八·第05讲轴对称的性质) 如图：已知点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，则的比值可能为（　　） A． B． C． D． 12．(25-26七下·山东菏泽菏泽经济技术开发区·期末)如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 13．(25-26七下·山西运城东康一中·期末)2026年5月问世的宇树载人变形机甲，可灵活切换形态，攀爬陡坡，穿越复杂地形，其在斜坡测试时，车身支撑结构可抽象为，如图所示，，点为支撑点，将沿翻折后得到，已知，则的度数为______． 14．(七下·河南南阳第四完全学校·)如图，将沿折叠，使点落在点处，试探究，与的关系． 15．(25-26七·吉林长春九台区·期末)在中，，，，将绕着边的中点顺时针旋转得到，点是边上的一点，，如图①动点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)__________；__________度； (2)当点不与点重合时，求的长；（用含的代数式表示） (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值； (4)如图②，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结、，当与的边平行时，请直接写出的度数． 16．(25-26七下·吉林第二实验学校·期末)【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 17．(八上·云南昭通/昭阳区正道高级完全中学·)在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 18．(七下·江苏盐城阜宁县实验初中中学·)解答以下问题 (1)如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系．并说明理由． (2)如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； (3)如图3，在锐角中，于点F，于点G，交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并说明理由． 19．(25-26七下·河南洛阳伊川县·期末)【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 20．(八上·安徽安庆外国语学校·期中)如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 21．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 22．(七下·吉林长春解放大路学校·期中)如图①，点是的边上一点，连结把沿折叠，使点落在处，令． （1）如图②，当点落在四边形内部时，若，则的度数为 ； （2）事实上，当点落在四边形内部时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出与之间的数量关系，并利用图②进行证明； （3）如图③，当点落在四边形外部时，直接写出与之间的数量关系为 ． 23．在中，，点D，E分别在边上，将沿翻折． (1)如图1，点A的对应点为，若，求的度数． (2)如图2，点B，C的对应点分别为，，若，求的度数（用含的式子表示）． 24．(25-26七下·河南南阳·期末)如图，在四边形中．，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G． (1)请直接写出图中一对相等的角：____________________；（写出一对即可，不再添加其它字母和线条） (2)若中有两个内角相等，请求出的度数． 25．(25-26八上·浙江海宁宏达实验学校·月考)如图，在中，，，将沿直线m翻折，点B落在D点位置，若，求的度数． 26．(22-23七下·辽宁大连甘井子区大连汇文中学·月考)【原题再现】 课本有这样一道题： 如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．    【变式探究】 如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．    【结论运用】 将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数．    27．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03三角形中的倒角模型之燕尾(飞镖)型、风筝模型、翻角模型 多边形倒角是三角形内角和的拓展应用，其中燕尾型、风筝模型、翻角模型是三类最经典的多边形倒角模型，广泛应用于复杂图形的角度快速计算。燕尾型也称飞镖模型，是凹四边形的核心结论；风筝模型是凸四边形的经典倒角工具；翻角模型则是折叠问题的角度基础。本专题就三类倒角模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化逐角硬算，强化模型识别，多以“复杂图形嵌套燕尾/风筝、三角形折叠翻角”形式出题，常与内角和、外角性质结合考查填空选择压轴。 推导逻辑：依托三角形外角性质、内角和定理，通过作辅助线拆分多边形为三角形，推导角度定值关系，拒绝硬算乱凑。 核心素养目标： 1.掌握燕尾型、风筝模型、翻角模型的结论与推导； 2.能从复杂图形中快速提取模型，秒算角度； 3.培养辅助线构造、转化化归的几何思维。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 2 模型2.风筝（鹰爪）模型 11 模型3.角内（外）翻模型 17 模型拓展 24 【易错总结】 24 【模型运用】 24 基于三角形外角等于不相邻两内角和、折叠前后对应角相等，通过连接辅助线将四边形拆分为三角形，衍生出固定角度结论，是三角形内角和与外角性质的高阶应用。其中燕尾模型因形似燕尾/飞镖得名，是凹多边形倒角的标准范式；风筝模型因凸四边形形似风筝得名，是双垂直四边形角度关系的典型；翻角模型源于轴对称变换的保角性，是几何折叠问题的角度基础。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： · 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； · 四边形内角和定理：任意四边形内角和为360°； · 轴对称的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等； · 平角定义：平角为180°； · 辅助线基本规则：连接两点、延长线段为常用辅助线作法。 模型1.飞镖模型（燕尾）模型 【模型提炼与证明】 飞镖（燕尾）模型看起来特别简单，在复杂几何图形倒角时往往有巧妙的作用。因为模型像飞镖（回旋镖）或燕尾，所以我们称为飞镖（燕尾）模型。 图1： 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P； 在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B； 在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP； ∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P； 在△ABQ中，； 在△CDQ中，。 即：，故。 图2： 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； ∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型： ∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A； ∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 图3： 拓展模型2：条件：如图3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++， ∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD， ∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO， ∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 【模型运用】 【典例1】如图1，已知，要求出的度数，现有图2中的甲、乙、丙三种添加辅助线的方案，其中能求出度数的方案是（     ） A．只有甲、乙能求出 B．只有甲、丙能求出 C．只有乙、丙能求出 D．甲、乙、丙都能求出 【答案】D 【分析】甲利用三角形外角定理，乙利用平行线的性质和三角形内角和定理，丙利用三角形内角和定理分别求证即可解答． 【详解】解：甲：是的外角， ， 是的外角， ， ； 乙：， ， ，， ，， ； 丙：在中，， 在中，， ． 综上所述，甲、乙、丙都能求出． 【典例2】(25-26七下·四川达州外国语学校·期末)如图，在中，是的平分线，F是延长线上一点，且于点D，，，则（     ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出，根据对顶角相等得到，再利用三角形外角性质求出，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， 平分， ． 【典例3】(25-26七·甘肃白银第十中学·期中)如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 【典例4】(25-26七·吉林长春双阳区·期末)按要求解答下列问题： 【基本模型】如图1，我们称之为“飞镖模型”．若，，求的度数． 思路一：延长交于点，利用三角形外角性质可求． 思路二：作射线，利用三角形外角性质可求． 思路三：连接，利用三角形内角和性质可求． 【解决问题】． (1)请选择其中的一种思路求的度数． 【应用拓展】 (2)如图2，若，则________； (3)如图3，若，则________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）任选一种进行即可； （2）由三角形内角和定理及对顶角相等可知，而由（1）知，所以，则题目可求； （3）由四边形内角和及对顶角相等可知，，再由（1）的结论则题目可解． 【详解】（1）解：思路一：由三角形外角性质可得： ； 思路二： ； 思路三： ； （2）解：如图，设和交点为点， ， 由（1）知， ∴， ∴； （3）解：如图，设和交点为点， ， 由（1）得． 【典例5】【模型认识】 如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 如图1，已知，，，求的度数． 方法借鉴：不妨延长交于点E，将飞镖分解成和 请你根据方法借鉴求的度数．（可标注、等） 【归纳结论】 、、和的数量关系是　　　． 【深入探究】 如图2，若，，且，求的度数． 【拓展延伸】 如图3，若改变飞镖形状，使得、、都小于，，原结论是否发生变化？若变化，写出变化后的结论并证明；若不变，请说明理由． 【答案】初步探索：； 归纳结论：； 深入探究：； 拓展延伸： 解：不变；理由如下： ∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，四边形内角和，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 初步探索：根据三角形外角的性质得出，，即可得出结论； 归纳结论：根据初步探究过程可得答案； 深入探究：根据归纳结论得出，即可得出，从而得出答案； 拓展延伸：根据四边形内角和进行求解即可． 【详解】解：初步探索： ∵为的一个外角， ∴， ∵为的外角， ∴， ∴； 归纳结论：根据初步探索可知： 深入探究：根据归纳结论可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴； 拓展延伸：略 模型2.风筝（鹰爪）模型 【模型提炼与证明】 1）鹰爪模型： 结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角， ∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA =∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA =∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 2）鹰爪模型（变形）： 结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角， ∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA） =（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 【模型运用】 【典例1】(七下·四川达州大竹县周家中学·期末)如图，中，分别为上两点，将沿直线折叠，使得点A落在右侧的点处，则、、之间满足的关系式是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图中由于折叠与是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论． 【详解】解：设交于点，如图所示：    ，， ， ， 是由沿直线折叠而得， ， ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及翻折变换的性质，遇到折叠的问题，一定要找准相等的量，结合题目所给出的条件在图形上找出之间的联系则可． 【典例2】(25-26七下·吉林长春二道区·期末)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动中遇到如下几何问题：如图①，在中，，点、、分别是边、、上的点（点、、均不与的顶点重合），连结和．试探究、、之间的数量关系． 【探究过程】 (1)小明阅读题目后，未直接发现三个角之间的数量关系，于是采用代入数值的方法初步探究： ①当，时，________度； ②当，时，________度； ③据此猜想、、之间的数量关系为________． (2)以下是小明证明猜想的部分过程： 证明：如图②，连结． 是的外角， ． 即． 同理：． 证明过程缺失 请补全缺失的证明过程． 【类比思考】 (3)如图③，在中，，点、分别是边、上的点，点是延长线上一点（点、、均不与的顶点重合），连结、．当，时，度数为________°． 【答案】(1)①30；②10；③； (2)． 即． ， (3)20 【分析】（1）连接．根据三角形内角和为180度，推出四边形内角和为360度，根据已知角度可求①②，根据①②结果猜想、、之间的数量关系； （2）连接．利用三角形外角的性质可得，进而得出，同理推出，通过导角可得，结合可得结论； （3）连接．仿照（2）可得，，进而可得，代入角度计算即可． 【详解】（1）解：①连接． ，的内角和均为， 四边形的内角和为， ，， ，， 又， ； ②，当，时， 同理可得； ③据此猜想、、之间的数量关系为； （2）略 （3）解：连接． 是的外角， ． 即． 同理：． ． 即． ，，， ． 【典例3】(25-26七下·吉林长春长春净月高新技术产业开发区·期末)【模型探究】如图①，已知点D、E分别在的边上，点F在的内部，连接，在的内部形成凸四边形．求证：． 甲、乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：∵在四边形中， ∴（① ） ∵，， ∴． ∴． 乙同学证明：如图②，连接． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴（② ）． ∴ ∴． (1)补全甲同学证明过程：①； 补全乙同学证明过程：②． 【模型应用】如图③，已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，使点A落在内部位置． (2)若则的度数为；（用含的式子表示） (3)若，求的度数； 【模型拓展】 (4)已知点D、E分别在的边上，连接，将沿直线翻折，点A落在位置，连接．当时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】（1）根据四边形的内角和为360度，三角形的外角的性质，进行作答即可； （2）根据折叠的性质，得到，根据（1）中结论，即可得出结果； （3）根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据（1）中结论，即可得出结果； （4）根据三角形的内角和定理，求出与的关系，再根据（1）中结论，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴； （4）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， 又∵， ∴. 模型3.角内（外）翻模型 【模型提炼与证明】 条件：如图3，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时， 结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时， 结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 【模型运用】 【典例1】(七下·河南南阳多校·月考)如图，点，分别在的边，上，将沿折叠，使点恰好落在边上处，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可以求出，根据折叠的性质可以求出，利用三角形的内角和定理即可求出． 【详解】解：， ， 由折叠可知，， ， 在中， ． 【典例2】(山东日照·八下开学)如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间有一种数量关系始终保持不变，请你试着找一找这个规律，你发现的规律是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠性质可知折叠前后的对应角相等，结合平角定义可得，，再结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质可知，折叠前后的对应角相等， ，， ，， 在中，， ， ， ． 【典例3】(25-26八下·宁夏银川金凤区银川阅海中学·期末)如图，在中，M，N分别是边，上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义及角的和差关系计算即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B落在点处， ， ∵点A，M，B在同一直线上， ． 【典例4】如图，在三角形纸片中，，，点在上且．若在上找一点，将纸片沿折叠，点落在点处，恰好与三角形的一边平行，则满足所有平行条件的度数为（     ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】分时和时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，列式计算即可． 【详解】解：当时，如图，则， 由折叠性质得：， ， 则 当时，如图，则， 由折叠性质得：，， ∴ ∵ ∴ 当时，如图，则， ， ∴ 综上，的度数为或或 【典例5】(25-26七·甘肃天水麦积区·期末)综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考： (1)如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，试猜想与，之间的数量关系，并说明理由； 深入探究： (2)如图②，若点落在四边形的边CD下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)解：，理由如下： 如图①，连接， ∵将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置， ∴． ∵， ，即． (2)，理由如下： 如图②，设与交于点F， ∵， ， ∴． 【分析】（1）如图：连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，进而得到结论． 【详解】（1）解：，理由略． （2）解：，理由略． 【典例6】(25-26七下·吉林长春力旺实验初级中学·期末)在直角三角形中，，，点是边上一个定点（），点是边上的一个动点，将沿翻折，得到，其中． (1)若，则_____，_____； (2)当时，求证； (3)当与其中一边平行时，直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， ∴； (3)或或． 【分析】（1）根据三角形内角和定理及折叠的性质作答即可； （2）根据等边对等角得到，根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质得到，可知，即可证明； （3）分三种情况根据折叠的性质、三角形内角和定理及平行线的性质作答即可． 【详解】（1）解： 由折叠的性质可知； （2）略； （3）解：如图，当且P在M左侧时， 由得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∵， ∴，即； 如图，当且P在M右侧时， 由得， ∴， ∴， 根据折叠的性质可知， ∵， ∴，即； 如图，当时， ∴， 根据折叠的性质可知， ∴， 解得； 综上所述，的值为或或． 模型拓展 1.燕尾型可拓展为多角燕尾，本质是外角性质的多次应用； 2.翻角模型可拓展到四边形折叠、多边形折叠，核心都是对应角相等； 3.三类模型均是快速倒角的工具，可大幅减少推导步骤。 模型常见易错点 1. 燕尾型漏加其中一个角，结论记成两个角的和； 2. 翻角外折型符号搞反，和差混淆； 3. 风筝模型角度对应关系不清，乱加乱减。 模型小结 1. 燕尾外角拆，风筝八字推，翻角找对应； 2. 所有多边形倒角，核心都是拆分为三角形，用内角和与外角解决； 3. 折叠问题先标对应等角，再利用平角、内角和列等式。 1．(24-25七·河北遵化苏家洼镇大刘庄中学·期末)如图，中，、分别是、的平分线，，则等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴． 2．(25-26七下·山东聊城东昌·期末)如图，在中，，，分别为，上一点，将沿直线翻折至同一平面内，点落在点处，，分别交边于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据平角定义可得，然后利用折叠的性质可得：，，从而利用三角形的内角和可得，进而可得，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．(25-26七下·山东菏泽定陶区·期末)如图，四边形中，点、分别在、上，将沿翻折，得，若 ， ，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折变换的性质、平行线的性质以及多边形的内角和进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知， 由翻折变换可知， ， ， ， ， 在四边形中，， ． 4．(23-24八上·北京昌平区·期末)如图，把沿折叠后，点的对应点为，且点落在四边形内部，则，，之间满足的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题和三角形外角的性质，据此得到角之间的关系，即可得到结果，解题的关键是根据三角形外角的性质得到角度之间的关系． 【详解】解：连接，如图所示： ∵沿折叠后，点的对应点为， ∴，，， 在中，， 在中，， ∴， 即， 故选：B． 5．(七下·湖北宜昌长阳·期末)如图，把ABC纸片沿DE折叠，当点A落在同一平面的A′处，且落在四边形BCED的外部时，A与1和2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A．A 1 22 B．A 1 2 C．3A 21 2 D．2A 1 2 【答案】D 【分析】根据翻折的性质可得，再利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质分别表示出和，然后整理即可得解． 【详解】如图，由翻折的性质得 ∴ 在△ADE中， ∴ ∴ 整理得 ∴ ∴ 故答案为：D． 【点睛】本题考查了三角形的翻折问题，掌握翻折的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键． 6．(八上·湖北武汉洪山区·期中)如图，三角形的顶点落在折叠后的四边形内部，则∠γ与∠α＋∠β之间的关系是（    ） A．∠γ＝∠α＋∠β B．2∠γ＝∠α＋∠β C．3∠γ＝2∠α＋∠β D．3∠γ＝2（α∠＋∠β） 【答案】B 【分析】根据三角形的内角和定理表示出∠1+∠2，再根据折叠前后的两个图形能够完全重合，然后利用平角等于180°列式进行计算即可得解． 【详解】 如图,∠1+∠2=180°−∠γ， ∵三角形的顶点落在折叠后的四边形内部， ∴∠α+2∠1+∠β+2∠2=180°×2， 即∠α+∠β+2(∠1+∠2)=360°， ∴∠α+∠β+360°−2∠γ=360°， ∴2∠γ=∠α+∠β. 故答案选B. 【点睛】本题考查了翻折变换与三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握翻折变换与三角形内角和定理. 7．如图，把纸片沿着DE折叠，当点A落在四边形内部时，则与之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠与三角形的内角和定理，折叠得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 8．(23-24七下·四川遂宁射洪四川射洪中学校·月考)如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，则与之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，多边形内角和等知识．熟练掌握对顶角相等，三角形内角和定理，多边形内角和是解题的关键． 如图，记的交点为，则，由，可得，整理作答即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∴， ∵， ∴， 整理得，， 故选：D． 9．(25-26·湖南长沙立信中学·)如图，在中，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴． 10．按如图的方法折纸，下列说法不正确的是（   ） A． B．与互余 C． D．与互补 【答案】C 【分析】本题考查了图形的翻折变换，余角，补角的定义，掌握图形的翻折变换的特征是解决问题的关键．利用折叠的性质及余角和补角的定义进行分析即可判断． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，， ∴，结论正确，故A不符合题意； ∵， ∴，即，结论正确，故B不符合题意； ∴，和不一定相等，结论错误，故C符合题意； ∵，结论正确，故D不符合题意． 故选：C． 11．(24-25八·第05讲轴对称的性质) 如图：已知点、分别在、边上，将沿折叠，点落在外部的点处，则的比值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何的折叠问题，三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质和平角定义是解题的关键．由折叠性质可得，，再用和列出和，组成等式得出，再进行逐个判断即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，即， 若，设， 则， 满足，故A符合题意； 若 则不满足，故B不符合题意； 若 则不满足，故C不符合题意； 若 则不满足，故D不符合题意； 故选：A． 12．(25-26七下·山东菏泽菏泽经济技术开发区·期末)如图，将直角三角形纸片的直角沿折叠，点落到纸片内部的点处．如果，那么____________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得对应角相等，利用三角形内角和定理求出 的度数，再结合平角的定义计算即可． 【详解】解： 由 翻折得到，， ，， ， ． 13．(25-26七下·山西运城东康一中·期末)2026年5月问世的宇树载人变形机甲，可灵活切换形态，攀爬陡坡，穿越复杂地形，其在斜坡测试时，车身支撑结构可抽象为，如图所示，，点为支撑点，将沿翻折后得到，已知，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，得；，，根据平行线的性质，得，求解即可； 【详解】解：， ， 根据折叠的性质，得；， ， ， ， ， ． 14．(七下·河南南阳第四完全学校·)如图，将沿折叠，使点落在点处，试探究，与的关系． 【答案】 ； 由折叠可得， ∵， ∴，， ∴ ． 【分析】先由折叠可得，则，，然后再利用三角形内角和定理求解即可． 15．(25-26七·吉林长春九台区·期末)在中，，，，将绕着边的中点顺时针旋转得到，点是边上的一点，，如图①动点从点出发沿折线的方向以每秒的速度向终点运动，连结，设点的运动时间为秒． (1)__________；__________度； (2)当点不与点重合时，求的长；（用含的代数式表示） (3)当将四边形的周长分成两部分时，求的值； (4)如图②，在点从点到点的运动过程中，作点关于直线的对称点，连结、，当与的边平行时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)当点在边上运动（不与点重合）时，；当点在边上运动（不与点重合）时， (3)9或15 (4)或 【分析】（1）根据旋转的性质得到，； （2）根据题意分类，当点在边上运动（不与点重合）时，当点在边上运动（不与点重合）时，列代数式即可； （3）根据题意得到四边形的周长，分类讨论当时，当时，列方程即可得到结论； （4）当时，如图，当时，如图，根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】（1）解：将绕着边的中点顺时针旋转得到△， ，； （2）解：当点在边上运动（不与点重合）时， 当点在边上运动（不与点重合）时， （3）解：由题意得：四边形的周长， ，， ∴当将四边形的周长分成两部分时，在上， 当时， 则， 解得， 当时， 则， 解得 综上所述，或； （4）解：点与点关于直线成轴对称， 点、点都在对称轴上， △与△关于直线成轴对称， ， 如图2，交于点，且点在上， ， ∵， ， ， 如图3，，且点在上， ， ； 综上所述，的度数为或． 16．(25-26七下·吉林第二实验学校·期末)【问题】 (1)如图1，在中，平分，平分． ①若，则______________； ②若，则______________． 【探究】 (2)如图2，在中，，三等分，，三等分．若．则________________； (3)如图3，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； 【应用】 (4)如图4，在四边形中，平分，平分外角，连接．若，，则___________度． 【答案】(1)①；②； (2) (3)解：．理由如下： 由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； (4) 【分析】（1）①利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； ②将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）延长和交于M，延长和交于N，由三角形的外角性质求出，由（3）的结论即可求出，由三角形的外角性质即可求出． 【详解】（1）解：①， ， 平分，平分， ，， ， ； ②由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； （3）略； （4）解：如图，延长和交于M，延长和交于N， ∵平分，平分外角， ∴由（3）的结论可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 17．(八上·云南昭通/昭阳区正道高级完全中学·)在中，与的平分线相交于点． (1)如图①，若，则______________；（用的代数式表示，请直接写出结论） (2)如图②，作外角、的角平分线交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下， ∵外角，的角平分线交于点， ， ， 由（1）可知，， ． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可得出答案． （2）根据角平分线的定义，平角的定义，结合三角形内角和定理即可得出，继而得到，继而结合（1）中结论得到． 【详解】（1）解：∵与的平分线相交于点， ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）略． 18．(七下·江苏盐城阜宁县实验初中中学·)解答以下问题 (1)如图1，把沿折叠，使点A落在点处，试探索与的关系．并说明理由． (2)如图2，平分，平分，把折叠，使点A与点I重合，若，求的度数； (3)如图3，在锐角中，于点F，于点G，交于点H，把折叠使点A和点H重合，试探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1) ，理由如下， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 解：，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴． 【分析】（1）根据四边形内角和，平角等于，列式求解即可； （2）根据题意，结合（1）得到，由角平分线的定义，三角形内角和定理得到，，由此即可求解； （3）根据垂直，四边形内角和定理得到，由对顶角相等得到，结合（1）的计算即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：由（1），得， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴ ； （3）略． 19．(25-26七下·河南洛阳伊川县·期末)【模型认识】如图，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 (1)如图，已知，，，求的度数． 【归纳结论】 (2)、、和的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图，若，，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接并延长到点E，由三角形外角的性质可得，，则可推出，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得，，求出的度数，则可得到的度数，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1所示，连接并延长到点E， ∴，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解；由（1）可得； （3）解：由（1）得， ， ∵，， ∴， ∵且， ∴， ∴． 20．(八上·安徽安庆外国语学校·期中)如图①，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”， (1)如图①，在规形中，若，，，则______°； (2)如图②，将沿，翻折，使其顶点A，B均落在点O处，若，则______°； (3)如图③，在规形中，、的角平分线、交于点E，且，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)54 (3)解：；理由如下： 如图3， 由（1）知， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴ 即． 【分析】（1）连接，并延长到点E，根据三角形外角的性质得出、，即可得出，根据，，，即可得出答案； （2）根据翻折得出，，根据三角形内角和得出，在根据，列出关于的方程，解方程即可得出答案； （3）根据角平分线的定义结合解析（1）得出，，根据，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，连接，并延长到点E， 则、， ∴，即， ∵，，， ∴， 故答案为：20； （2）解：∵将沿，翻折，顶点A，B均落在点O处， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）略 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 21．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【详解】（1）略 （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知： ． 22．(七下·吉林长春解放大路学校·期中)如图①，点是的边上一点，连结把沿折叠，使点落在处，令． （1）如图②，当点落在四边形内部时，若，则的度数为 ； （2）事实上，当点落在四边形内部时，与之间的数量关系始终保持不变，请写出与之间的数量关系，并利用图②进行证明； （3）如图③，当点落在四边形外部时，直接写出与之间的数量关系为 ． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解； （2）设，分别用含α和β的式子表示出、和，求出即可得解； （3）设，分别用含α和β的式子表示出、和，分别对式子变形整理可得答案． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：，， ， ∴∠ADE＝（180°−∠1），∠AED＝（180°−∠2）， 在△ADE中，∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°， ∴30°＋（180°−∠1）＋（180°−∠2）＝180°， 整理得：∠1＋∠2＝60°； （2）设，则，， ∴， 由和得：， 即； （3）设，则， ∴，， ∵， 即． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 23．在中，，点D，E分别在边上，将沿翻折． (1)如图1，点A的对应点为，若，求的度数． (2)如图2，点B，C的对应点分别为，，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由翻折得，，由，则，由三角形内角和定理求得，则，故； （2）由翻折得：，可求，在四边形中，由四边形内角和等于可求，由圆周角等于，可求． 【详解】（1）解：如图， 由翻折得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由翻折得：， ∵， ∴， 在四边形中，由，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，平角的定义，圆周角的定义，四边形内角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 24．(25-26七下·河南南阳·期末)如图，在四边形中．，E、F分别是、上的点，将四边形沿直线翻折，得到四边形，交于点G． (1)请直接写出图中一对相等的角：____________________；（写出一对即可，不再添加其它字母和线条） (2)若中有两个内角相等，请求出的度数． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)的度数是或 【分析】（1）根据折叠的性质，进行作答即可； （2）分，和三种情况，进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵折叠， ∴； （2）解：设，则由翻折知， ①当时，由三角形内角和定理得 ， 在四边形中，由内角和为得： ， ， ， 解得：； ②当时，由翻折知， ， ， ， 这与题意“”不符， ； ③当时，同理有：， ， ，解得：． 综上，的度数是或． 25．(25-26八上·浙江海宁宏达实验学校·月考)如图，在中，，，将沿直线m翻折，点B落在D点位置，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，外角性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，得，求解即可． 【详解】解：如图所示： 因为，， 所以在中，， 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， 因为， 所以， ∴． 26．(22-23七下·辽宁大连甘井子区大连汇文中学·月考)【原题再现】 课本有这样一道题： 如图1，将纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 小明提出一种正确的解题思路：连接，则、分别为、的外角，…… 请你按照小明的思路解决上述问题．    【变式探究】 如图2，若将原题中“点A落在四边形内点的位置”变为“点A落在四边形外点的位置”，试猜想此时与、之间的数量关系，并说明理由．    【结论运用】 将四边形纸片（，与不平行）沿折叠成图3的形状，若，，求的度数．    【答案】[原题再现] ，理由见解析；[变式探究] ，理由见解析；[结论运用] 【分析】[原题再现] 结论：．利用三角形的外角的性质证明即可． [变式探究] 结论：．利用三角形的外角的性质解决问题即可． [结论运用] 延长交的延长线于．利用图2中的结论求出即可解决问题． 【详解】解：[原题再现]图1中，结论：， 理由是：连接．   沿折叠和重合， ， ， ， [变式探究]如图2，结论：．    理由：设交于． ，， ， ． [结论运用]如图3中，延长交的延长线于．    由上面结论可知：， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力． 27．在中，已知，，现把沿进行不同的折叠得，对折叠后产生的夹角进行探究： (1)如图（1）把沿折叠在四边形内，则求的和； (2)如图（2）把沿折叠覆盖，则求的和； (3)如图（3）把沿斜向上折叠，探求、、的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查折叠性质，三角形内角和定理，解答此题时要充分利用折叠部分折叠前后形成的图形为全等形的性质，并且解答该题时要充分利用三角形的性质． （1）根据折叠前后的图象全等可知，，，再根据三角形内角和定理比可求出答案； （2）连接，将作为一个整体，根据三角形内角和定理来求； （3）将看作，看作，再根据三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】（1）解：由折叠性质可知：，， ， ； （2）解：连接， 由折叠性质可知：， ， ； （3）解： ， 所以：． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $