第1讲 平面直角坐标系优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册

第1讲 平面直角坐标系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解平面直角坐标系的概念，能根据坐标描点、由点写坐标，掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征 · · 掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，会用中点坐标公式解决问题 · · 能建立适当的平面直角坐标系表示物体位置，根据已知点坐标反推坐标系 · · 熟练运用两点间距离公式（勾股定理），掌握点的平移与轴对称坐标变化规律 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系；水平为x轴（横轴），竖直为y轴（纵轴） 各象限点的坐标符号：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-) x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；原点(0,0) 点P(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x| 概念辨析例题：点M到x轴距离为3，到y轴距离为1，且M在第四象限，求M的坐标 解析：第四象限x>0,y<0。到x轴距离|y|=3→y=-3，到y轴距离|x|=1→x=1，故M(1,-3) ☆ 2.平行坐标轴的直线与中点坐标 平行于x轴的直线上所有点纵坐标相同；平行于y轴的直线上所有点横坐标相同 线段AB中点M坐标为(,) 两点在平行于x轴直线上时，距离AB=|x1-x2|；平行于y轴时AB=|y1-y2| 点到坐标轴的最短距离：点(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|（垂线段最短） 概念辨析例题：A(m+2,-1)、B(m-1,-1)，判断直线AB与y轴的位置关系 解析：A、B纵坐标都是-1，纵坐标相同，故AB∥x轴，因此AB⊥y轴 ☆ 3.用坐标表示物体位置 建立坐标系三要素：原点、x轴正方向、单位长度；根据已知两点坐标反推原点位置 坐标平面内的点与有序实数对(x,y)一一对应 方格纸中根据两个已知点坐标确定坐标系后，可读出其他点坐标 象棋、棋盘、地图等实际问题本质都是建立坐标系后用有序数对表示位置 概念辨析例题：棋子「帅」在(0,-3)，「仕」在(-1,-3)，判断「马」的位置确定方法 解析：帅(0,-3)在y轴上，仕(-1,-3)在帅左侧1个单位，由此确定x轴方向和单位长度，再数马的横纵坐标即可 ☆ 4.两点间距离公式、平移与轴对称 两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间距离AB=（勾股定理） 点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)；关于y轴对称点为(-x,y)；关于原点对称点为(-x,-y) 平移规律：向右/左平移a个单位，x±a；向上/下平移b个单位，y±b；整体平移横纵坐标变化量相同 最短路径问题：x轴上点到两定点距离和最小，作其中一点关于x轴的对称点，连线与x轴交点即为所求 概念辨析例题：点A(-3,-1)关于x轴的对称点坐标是？ 解析：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数。A(-3,-1)→(-3,1) 📋 知识总结表 核心概念 坐标特征/公式 注意事项 象限符号 一(+,+) 二(-,+) 三(-,-) 四(+,-) 坐标轴上的点不属于任何象限 坐标轴上点 x轴(x,0)；y轴(0,y)；原点(0,0) y轴上横坐标必为0 点到轴距离 到x轴=|y|，到y轴=|x| 距离取非负值 中点坐标 (,) 横纵坐标分别取平均 两点距离 本质是勾股定理 对称点 x轴(x,-y)；y轴(-x,y) 关于谁对称谁不变 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系的引入（第1-7题） · · 象限判断：看横纵坐标符号，两条件同时定象限 · · 坐标轴上点：y轴上横坐标=0，x轴上纵坐标=0，负半轴再加不等号 · · 点到轴距离转化为绝对值：|x|对应到y轴距离，|y|对应到x轴距离 · · 含字母坐标：先判断符号（如-a2-1恒负），再定象限 1．（2025秋•乳山市期末）点A（a2﹣9，a﹣1）在y轴的负半轴上，则a＝（　　） A．1 B．±3 C．﹣3 D．3 2．（2026春•郸城县期中）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣1，2） 3．（2025春•内江期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点M的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3） 4．（2026•灞桥区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点P（，﹣a2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025秋•安达市期末）已知点M（2﹣a，5）在y轴上，则a的值为 _____ ． 6．已知点M（x+5，x﹣4），满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与y轴垂直的直线上，则x的值为 _____ ． 7．（2025秋•菏泽月考）点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为___________ ． 【考点2】简单图形的坐标表达（第8-19题） · · AB∥x轴⇔纵坐标相同；AB∥y轴⇔横坐标相同 · · 中点坐标公式横纵分别平均，结合坐标轴条件列方程 · · 等腰直角三角形在坐标系中：构造全等三角形求坐标（AAS） · · 新定义题（吉星点、t型平移）：严格按定义翻译为坐标等式 8．（2026春•中山市期中）在平面直角坐标系中，A（m+2，﹣1），B（m﹣1，﹣1），则直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与m的取值有关） 9．（2025春•海淀区校级期中）平面直角坐标系中A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 10．（2025秋•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．（2025秋•薛城区期末）定义：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为，例如：点A（1，2）、点B（3，﹣6），则线段AB的中点M的坐标为，即M（2，﹣2）．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣2，﹣1），F（b，a﹣b﹣1），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a﹣b的值等于 ________ ． 12．（2026•常州）如图，小慧将2块相同的含45°角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系xOy中，其中三角尺OAB的斜边OA落在x轴上，三角尺OBC的顶点C的纵坐标为3，则点A的坐标为__________ ． 13．（2026春•鄂州期中）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，则Q的坐标为 ____________ ． 14．（2025春•娄底期末）我们规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标之和等于8的点称为“吉星点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉星点”；②第三象限内不存在“吉星点”；③已知点A（﹣2，5），B（﹣2，0），若点P是“吉星点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为2；④已知点O为坐标原点，若点Q是第一象限内的“吉星点”，则OQ的最小值为．其中正确的是________ （填序号）． 15．（2025秋•未央区校级期中）如图，在数轴上点B表示的数为1，点C表示的数为3，∠BCD＝90°，CD＝1，以点B为圆心，BD为半径画弧交x轴于点A．则点A表示的数为_________________ ． 16．（2025秋•榆中县期末）在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣4，2﹣3a）． （1）若点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，求点P的坐标． （2）若点P到x轴的距离为3，求a的值． 17．（2026•渝中区校级自主招生）闵可夫斯基距离，O为坐标原点．记．在坐标系中有一个点P（x，y），满足d（P，O）＝1． （1）若p＝1，则符合要求的P围成的面积； （2）若p＝2，符合要求的P围成的面积为S1；若p＝4，符合要求的P围成的面积为S2，比较S1，S2的大小． 18．（2025秋•金水区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 ___________ ． （3）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，求点Q的坐标． 19．（2025秋•城关区校级期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【考点3】物体位置的坐标表示（第20-24题） · · 已知两点坐标先反推原点和坐标轴方向 · · 象棋/棋盘/地图问题本质是建立坐标系后读数 · · 注意单位长度：相邻格点距离为1 · · 坐标看反象限问题：交换横纵坐标后重新判断 20．（2026春•赫山区期末）如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 21．（2025秋•铜川期末）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，5） C．（﹣1，3） D．（4，﹣1） 22．（2025秋•宿迁期末）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（0，1），（2，1），则“技”的坐标为__________ ． 23．（2026春•海淀区校级期末）五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋A的坐标为（2，1），黑棋B的坐标为（﹣1，﹣1），为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是___________ ． 24．（2025秋•市中区期末）中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类．近几年在山东多地发现它们年年来“小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为（3，﹣1），表示地点B的坐标为（﹣1，2），则地点C的坐标为__________ ． 【考点4】两点间的距离公式（第25-30题） · · 距离公式d=，平方后消根号解方程 · · y轴上点设(0,y)，x轴上点设(x,0)，用距离相等列方程 · · 代数式最小值模型：+几何意义是折线距离，对称后变直线 · · PA2+PB2类问题展开后用OP2=x2+y2转化 25．（2025春•西宁期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴，则a+b的算术平方根为________ ． 26．（2026春•徐汇区校级月考）点C在y轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为 ____________________ ． 27．（2026•罗庄区一模）在平面直角坐标系中，若点M（m﹣1，m﹣1）与点C（2m+3，m﹣1）之间的距离是5，则m＝_________ ． 28．（2026春•上海校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 _________________ ． 29．（2023秋•东西湖区期末）“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 _______________ （用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 _______ ． 30．（2025秋•揭东区月考）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是重要的思想方法，阅读材料，解答问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【解题格式】解：如图，设BC＝x，CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，则AB，， 当A，B，D三点共线时，AB+DB最短，此时AB+BD＝AD． ． 故代数式的最小值为13． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为_______ ； （2）变式：利用图3，参考解题格式，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）借助图4，已知正数x满足，求x的值． 【考点5】平移与轴对称（第31-41题） · · 对称规律：关于x轴对称横不变纵相反，关于y轴对称纵不变横相反 · · 平移规律：右加左减（x），上加下减（y），整体平移变化量一致 · · 最短周长问题：作对称点将折线段拉直，连线与对称轴交点即所求 · · 新定义平移（t型平移）：按(x+t,y-t)逐点计算 31．（2026春•武冈市期末）平面直角坐标系中．点A（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1） 32．（2025秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4） 33．（2025秋•思明区校级期末）大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是（x，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，2），则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 34．（2026春•东河区期末）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 35．（2025秋•思明区校级期末）若平面直角坐标系中，O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为____________ ． 36．（2025秋•平安区期末）如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是（﹣4，2），则对应虚像顶部点Q的坐标是__________ ． 37．（2025秋•大兴安岭期末）已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（m+n）2025的值为_______ ． 38．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣5），将线段AB向右平移3个单位得到线段CD，交y轴于点E，若图中阴影部分面积是10，则点E的坐标为____________________ ． 39．（2025秋•太和县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 __________ ，A、B两点间的坐标距离为 _____ ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 40．（2026春•颍东区期末）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（a，b），如果把点P平移，得到点Q（a+t，b﹣t），那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当t＝﹣5时，点M（2，4）的“﹣5型平移”点的坐标就是N（﹣3，9）． 【问题解决】 （1）点A（3，2）的“3型平移”点的坐标为___________ ； 若点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（6，m），则t＝_____ ，m＝_____ ； （2）已知线段AB的两个端点分别是A（1，1），B（3，1）． ①端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1，请在图中画出线段AB及线段AB1； ②若线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 41．（2025秋•临颍县期中）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称，求m﹣n的值． （2）在△ABC中，∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°，求∠B的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · · 记牢象限符号口诀：一全正、二纵正、三全负、四横正 · · 看到AB∥x轴就写纵坐标相等，看到AB∥y轴就写横坐标相等 · · 距离公式先平方再开方，解方程时用平方消根号 · · 对称点规律：关于谁对称谁不变，另一个变号 · · 最短路径问题一律作对称点，把折线拉直成直线 【作业 1】（2025秋•福田区校级期末）2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点O（0，0），无人机从巡检起点A（﹣3，1）出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点B（﹣3，﹣5）．当无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（　　） A．﹣5＜y≤﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5≤y＜﹣1 【作业 2】（2024秋•田阳区期末）如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【作业 3】（2024秋•青羊区校级期中）平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）与y轴上的点的最短距离为（　　） A． B．1 C．2 D． 【作业 4】（2025•山东模拟）已知直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣5，0），C（﹣5，4），连接原点O与顶点A，则下列线段中长度最长的是（　　） A．OA B．AB C．BC D．AC 【作业 5】（2022秋•岱岳区期末）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣1）到原点的距离是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【作业 6】（2025秋•五华县期末）平面直角坐标系中，有点P（2x﹣1，2x）与点Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为__________ ． 【作业 7】（2025秋•松北区期末）平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2），则点A关于y轴的对称点坐标____________ ． 【作业 8】（2025秋•大连校级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为____________ ． 【作业 9】（2025•东莞市校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 _____ ． 【作业 10】（2025秋•安徽期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 _____ ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【作业 11】（2025秋•朝阳区校级期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（_______ ，_______ ）， ∴AC＝____________ ， BC＝____________ ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝_____ ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为________________ ． 【作业 12】（2025秋•兴庆区校级期末）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【作业 13】（2026春•闵行区期末）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有_______ ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【作业 14】（2025春•离石区期中）戏曲小组成员利用周末时间去剧团进行实践学习活动，出发前欣欣将各个剧团的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中，其中点A表示“对子戏剧团”的位置，坐标为（﹣1.3），点B表示“咳咳腔剧团”的位置，坐标为（2，2）． （1）根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系． （2）若“弦子腔剧团”的坐标为（0，﹣2），请在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，并标注点D． （3）若欣欣在标点C（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点C应在第_____ 象限． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 平面直角坐标系 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年沪科版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解平面直角坐标系的概念，能根据坐标描点、由点写坐标，掌握各象限及坐标轴上点的坐标特征 · · 掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，会用中点坐标公式解决问题 · · 能建立适当的平面直角坐标系表示物体位置，根据已知点坐标反推坐标系 · · 熟练运用两点间距离公式（勾股定理），掌握点的平移与轴对称坐标变化规律 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系；水平为x轴（横轴），竖直为y轴（纵轴） 各象限点的坐标符号：第一象限(+,+)、第二象限(-,+)、第三象限(-,-)、第四象限(+,-) x轴上点纵坐标为0，y轴上点横坐标为0；原点(0,0) 点P(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x| 概念辨析例题：点M到x轴距离为3，到y轴距离为1，且M在第四象限，求M的坐标 解析：第四象限x>0,y<0。到x轴距离|y|=3→y=-3，到y轴距离|x|=1→x=1，故M(1,-3) ☆ 2.平行坐标轴的直线与中点坐标 平行于x轴的直线上所有点纵坐标相同；平行于y轴的直线上所有点横坐标相同 线段AB中点M坐标为(,) 两点在平行于x轴直线上时，距离AB=|x1-x2|；平行于y轴时AB=|y1-y2| 点到坐标轴的最短距离：点(x,y)到x轴距离为|y|，到y轴距离为|x|（垂线段最短） 概念辨析例题：A(m+2,-1)、B(m-1,-1)，判断直线AB与y轴的位置关系 解析：A、B纵坐标都是-1，纵坐标相同，故AB∥x轴，因此AB⊥y轴 ☆ 3.用坐标表示物体位置 建立坐标系三要素：原点、x轴正方向、单位长度；根据已知两点坐标反推原点位置 坐标平面内的点与有序实数对(x,y)一一对应 方格纸中根据两个已知点坐标确定坐标系后，可读出其他点坐标 象棋、棋盘、地图等实际问题本质都是建立坐标系后用有序数对表示位置 概念辨析例题：棋子「帅」在(0,-3)，「仕」在(-1,-3)，判断「马」的位置确定方法 解析：帅(0,-3)在y轴上，仕(-1,-3)在帅左侧1个单位，由此确定x轴方向和单位长度，再数马的横纵坐标即可 ☆ 4.两点间距离公式、平移与轴对称 两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间距离AB=（勾股定理） 点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)；关于y轴对称点为(-x,y)；关于原点对称点为(-x,-y) 平移规律：向右/左平移a个单位，x±a；向上/下平移b个单位，y±b；整体平移横纵坐标变化量相同 最短路径问题：x轴上点到两定点距离和最小，作其中一点关于x轴的对称点，连线与x轴交点即为所求 概念辨析例题：点A(-3,-1)关于x轴的对称点坐标是？ 解析：关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标取相反数。A(-3,-1)→(-3,1) 📋 知识总结表 核心概念 坐标特征/公式 注意事项 象限符号 一(+,+) 二(-,+) 三(-,-) 四(+,-) 坐标轴上的点不属于任何象限 坐标轴上点 x轴(x,0)；y轴(0,y)；原点(0,0) y轴上横坐标必为0 点到轴距离 到x轴=|y|，到y轴=|x| 距离取非负值 中点坐标 (,) 横纵坐标分别取平均 两点距离 本质是勾股定理 对称点 x轴(x,-y)；y轴(-x,y) 关于谁对称谁不变 ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系的引入（第1-7题） · · 象限判断：看横纵坐标符号，两条件同时定象限 · · 坐标轴上点：y轴上横坐标=0，x轴上纵坐标=0，负半轴再加不等号 · · 点到轴距离转化为绝对值：|x|对应到y轴距离，|y|对应到x轴距离 · · 含字母坐标：先判断符号（如-a2-1恒负），再定象限 1．（2025秋•乳山市期末）点A（a2﹣9，a﹣1）在y轴的负半轴上，则a＝（　　） A．1 B．±3 C．﹣3 D．3 【分析】根据y轴上点横坐标为0、负半轴上点纵坐标小于0这两个条件列方程和不等式求解． 【解答】解：由条件可知a2﹣9＝0且a﹣1＜0， 解a2﹣9＝0得a＝3或a＝﹣3， 解a﹣1＜0得a＜1， ∴a＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2026春•郸城县期中）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣1，2） 【分析】由图知，书本遮住了坐标系中的第一、二、三象限的部分，只有第四象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 【解答】解：由图知，第四象限内的点一定不被书本遮盖， ∵（2，﹣3）在第四象限， ∴此点一定不被书本遮住，故选B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 3．（2025春•内江期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点M的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3） 【分析】利用直角坐标中点的坐标解答． 【解答】解：根据题意可知点M的坐标是（1，﹣3），只有选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的意义． 4．（2026•灞桥区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点P（，﹣a2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】只需判断点P横纵坐标的正负性，结合象限坐标特征即可求解． 【解答】解：∵点P的横坐标为，， ∴﹣a2﹣1＝﹣（a2+1）＜0， 即点P横坐标为正，纵坐标为负， 根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限， ∴点P在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 5．（2025秋•安达市期末）已知点M（2﹣a，5）在y轴上，则a的值为 　2　 ． 【分析】根据y轴上点的坐标的横坐标为0，可得出a的值． 【解答】解：∵y轴上点的坐标的横坐标为0，点M（2﹣a，5）在y轴上， ∴2﹣a＝0， ∴a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是坐标轴上的点的坐标的特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．已知点M（x+5，x﹣4），满足点M在过点N（﹣1，﹣2）且与y轴垂直的直线上，则x的值为 　2　 ． 【分析】根据与y轴垂直的直线上的点的纵坐标相同，可列方程x﹣4＝﹣2，求解即可． 【解答】解：∵点M（x+5，x﹣4）在过点N（﹣1，﹣2）且与y轴垂直的直线上， ∴x﹣4＝﹣2， 解得：x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是点的坐标，与y轴垂直的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键． 7．（2025秋•菏泽月考）点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为　（0，﹣2）　 ． 【分析】根据y轴上的点横坐标为0求出m的值，进而求出纵坐标． 【解答】解：由题意得，m+3＝0， ∴m＝﹣3， ∴2m+4＝2×（﹣3）+4＝﹣2， ∴点A的坐标为（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 【考点2】简单图形的坐标表达（第8-19题） · · AB∥x轴⇔纵坐标相同；AB∥y轴⇔横坐标相同 · · 中点坐标公式横纵分别平均，结合坐标轴条件列方程 · · 等腰直角三角形在坐标系中：构造全等三角形求坐标（AAS） · · 新定义题（吉星点、t型平移）：严格按定义翻译为坐标等式 8．（2026春•中山市期中）在平面直角坐标系中，A（m+2，﹣1），B（m﹣1，﹣1），则直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与m的取值有关） 【分析】根据点的坐标与图形的关系求解． 【解答】解：∵A、B两个点的纵坐标相等， ∴直线AB⊥y轴， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图象的性质，掌握点的坐标的特征是解题的关键． 9．（2025春•海淀区校级期中）平面直角坐标系中A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 【分析】根据直线AB∥x轴，得出A、B两点的纵坐标相等，进而得出a的值，再根据点B位于第三象限，AB＝4，得出b的值，代入即可得出答案． 【解答】解：由条件可知A、B两点的纵坐标相等， ∴a＝﹣2， ∵AB＝4， ∴b＝﹣7或1， ∴b＝﹣7， ∴2a﹣b＝3． 故选：A． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2025秋•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据已知条件，分三种情况讨论：①过点B作CB⊥AB，使BC＝AB，过点C作CD⊥x轴于点D，根据已知点的坐标，求出OA，OB，证明△AOB≌△BDC，然后根据全等三角形的性质求出OD和CD，即可求出点C的坐标；②过点A作CA⊥AB，使AC＝AB，过点C作CE⊥y轴于点E，利用全等三角形的性质求出EC和OE，从而求出点C的坐标；③在①中的图形中，过点B作BC″⊥AC′，过点C″作C″M⊥OD，C″N⊥OA，根据等腰三角形的性质，求出点C的坐标即可． 【解答】解：根据已知条件，分三种情况讨论如下： ①如图所示：过点B作CB⊥AB，使BC＝AB，过点C作CD⊥x轴于点D， 由条件可知∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠OAB＝∠CBD， 由条件可知OA＝3，OB＝1， 在△AOB和△BDC中， ， ∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴OB＝CD＝1，OA＝BD＝3， ∴OD＝1+3＝4， ∴点C（4，1）； ②如图所示：过点A作CA⊥AB，使AC＝AB，过点C作CE⊥y轴于点E， ∴∠CEA＝∠BAC＝90°， 由条件可知OA＝3，OB＝1， ∵∠AOB＝∠CEA＝90°， ∴∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠CAE＝90°， ∴∠ABO＝∠CAE， 在△AOB和△CEA中， ， ∴△AOB≌△CEA（AAS）， ∴OB＝AE＝1，OA＝EC＝3， ∴OE＝OA+AE＝3+1＝4， ∴点C（3，4）； ③如图所示：过点B作BC″⊥AC′，过点C″作C″M⊥OD，C″N⊥OA， 由条件可知OA＝3，OB＝1， ∴， ∵△ABC′是等腰直角三角形， ∴，C″是AC′的中点， ∴， ∴，， ∵BC″⊥AC′，C″M⊥OD，C″N⊥OA， ∴∠C″MO＝∠C″NO＝∠AOB＝90°， ∴四边形OMC″N是矩形， ∴NC″＝OM＝2， ∴， ∴ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2， ∴C″的坐标为（2，2）， 综上可知：满足条件的点C的个数为3， 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键，并注意分类思想的运用． 11．（2025秋•薛城区期末）定义：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为，例如：点A（1，2）、点B（3，﹣6），则线段AB的中点M的坐标为，即M（2，﹣2）．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣2，﹣1），F（b，a﹣b﹣1），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a﹣b的值等于 　2或6　 ． 【分析】根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点G在x轴的负半轴上时和当点G在x轴的负正轴上时，利用中点坐标列方程即可求解，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键． 【解答】解：依题意得：点G的横坐标为：，纵坐标为：， 由点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2， 则当点G在x轴的负半轴上时： ， 解得：， ∴2a﹣b＝2×0﹣（﹣2）＝2， 当点G在x轴的正半轴上时： ， 解得：， ∴2a﹣b＝2×4﹣2＝6， 综上所述，2a﹣b的值等于2或6， 故答案为：2或6． 【点评】本题主要考查了坐标轴上点坐标的特征，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键． 12．（2026•常州）如图，小慧将2块相同的含45°角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系xOy中，其中三角尺OAB的斜边OA落在x轴上，三角尺OBC的顶点C的纵坐标为3，则点A的坐标为　（6，0）　 ． 【分析】过点B作BD⊥OA于点D，设BC与y轴交于点E，利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质求得BD＝OD，BD＝OD＝OE＝3，即可求得OA＝6，即可求得点A的坐标为（6，0）． 【解答】解：如图，过点B作BD⊥OA于点D，设BC与y轴交于点E，则∠BDO＝90°． 由题意可知，∠BOC＝∠ABO＝90°，∠CBO＝∠BOA＝45°，AB＝OB， ∴BC∥OA，∠OBD＝45°＝∠BOA， ∴BD＝OD． ∵OA落在x轴上， ∴BC⊥y轴， ∴∠BEO＝90°， ∵点C的纵坐标为3， ∴OE＝3， ∴BD＝OD＝3， ∵AB＝OB，BD⊥OA， ∴OD＝AD＝3， ∴OA＝6， ∴点A的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． 13．（2026春•鄂州期中）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴，则Q的坐标为 　（10，﹣3）　 ． 【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：因为点P（﹣1，﹣3）和Q（3a+1，3﹣2a），且PQ∥x轴， 所以3﹣2a＝﹣3， 解得a＝3， 所以3a+1＝10， 所以点Q的坐标为（10，﹣3）． 故答案为：（10，﹣3）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 14．（2025春•娄底期末）我们规定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标之和等于8的点称为“吉星点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉星点”；②第三象限内不存在“吉星点”；③已知点A（﹣2，5），B（﹣2，0），若点P是“吉星点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为2；④已知点O为坐标原点，若点Q是第一象限内的“吉星点”，则OQ的最小值为．其中正确的是　①②④　 （填序号）． 【分析】根据第一、三象限点坐标的特征，可判断①②的正误；由点P是“吉星点”且在坐标轴上，可得P（0，8）或P（8，0），由点A，B坐标，可知直线AB∥y轴，则点P到直线AB的距离为10或2，可判断③的正误；由题意知，Q是第一象限中直线y＝﹣x+8图象上的一点，当OQ⊥AB时，OQ最短，再根据面积法求解，即可判断④的正误． 【解答】解：由题意知，第一象限内有无数个“吉星点”，①正确，故符合题意； 由条件可知第三象限内不存在“吉星点”，②正确，故符合题意； ∵点P是“吉星点”且在坐标轴上， ∴P（0，8）或P（8，0）， ∵点A（﹣2，5），B（﹣2，0）， ∴直线AB∥y轴， ∴点P到直线AB的距离为8+2＝10或2，③错误，故不符合题意； 如图，由题意知，Q是第一象限中直线y＝﹣x+8图象上的一点， ∴当OQ⊥AB时，OQ最短， 由条件可知B（8，0），A（0，8）， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意， 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，勾股定理，点到直线的距离等知识．熟练掌握坐标与图形，点到直线的距离是解题的关键． 15．（2025秋•未央区校级期中）如图，在数轴上点B表示的数为1，点C表示的数为3，∠BCD＝90°，CD＝1，以点B为圆心，BD为半径画弧交x轴于点A．则点A表示的数为　　 ． 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，根据勾股定理，结合数轴即可得出结论． 【解答】解：由题知， 在Rt△BCD中， ， 所以， 则点A表示的数为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 16．（2025秋•榆中县期末）在平面直角坐标系中，已知点P（2a﹣4，2﹣3a）． （1）若点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，求点P的坐标． （2）若点P到x轴的距离为3，求a的值． 【分析】（1）根据平行于y轴的直线上点横坐标相同列方程求解a，即可求出坐标； （2）点到x轴的距离是纵坐标的绝对值列方程求解即可． 【解答】解：（1）∵点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，点P的坐标是（2a﹣4，2﹣3a）， ∴2a﹣4＝2， 解得a＝3， ∴2﹣3a＝2﹣9＝﹣7， ∴若点Q的坐标为（2，7），且PQ∥y轴，点P的坐标是（2，﹣7）； （2）∵点P到x轴的距离为3， ∴|2﹣3a|＝3， 2﹣3a＝3或2﹣3a＝﹣3， ∴或， ∴若点P到x轴的距离为3，或． 【点评】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离等知识点，解题的关键是熟练掌握平行于y轴的直线上点横坐标相同和点到x轴的距离是纵坐标的绝对值． 17．（2026•渝中区校级自主招生）闵可夫斯基距离，O为坐标原点．记．在坐标系中有一个点P（x，y），满足d（P，O）＝1． （1）若p＝1，则符合要求的P围成的面积； （2）若p＝2，符合要求的P围成的面积为S1；若p＝4，符合要求的P围成的面积为S2，比较S1，S2的大小． 【分析】（1）由定义得|x|+|y|＝1，分象限去绝对值得四条线段，拼成菱形，对角线长均为2，面积＝2×2÷2＝2． （2）p＝2 是单位圆，S1＝π，p＝4 得x4+y4＝1，利用x2≤1时，x4≤x2，得圆上任意点满足x4+y4≤1等号仅在（±1，0）、（0，±1）四点， 故圆在四次曲线内部，S2＞S1． 【解答】解：（1）p＝1， 此时 d（P，O）＝1， 即， 亦即|x|+|y|＝1， 分象限讨论： 第一象限（x≥0，y≥0）：x+y＝1，线段：从（1，0）到（0，1）， 第二象限（x≤0，y≥0）：﹣x+y＝1，线段：从（0，1）到（﹣1，0）， 第三象限（x≤0，y≤0）：﹣x﹣y＝1，线段：从（﹣1，0）到（0，﹣1）， 第四象限（x≥0，y≤0）：x﹣y＝1，线段：从（0，﹣1）到（1，0）， 四条线段首尾相连，围成一个以原点为中心、四个顶点分别为（±1，0）和（0，±1）的菱形， 对角线沿坐标轴方向，长度分别为2（水平）和2（竖直）， 菱形面积＝对角线乘积， 答：面积为2； （2）p＝2时，， 所以， 所以x2+y2＝1， 这是圆心在原点、半径为1的单位圆， 面积S1＝π， p＝4时，d（P，O）＝1， 同理可得：x4+y4＝1， 取单位圆x2+y2＝1上任一点（x，y）， 因为x2+y2＝1， 所以x2≤1，y2≤1， 由于0≤x2≤1，两边同乘x2（正数）， 得x4≤x2， 同理y4≤y2， 两式相加：x4+y4≤x2+y2＝1， 等号成立当且仅当： x4＝x2且y4＝y2， 即x2（x2﹣1）＝0，且y2（y2﹣1）＝0， 结合x2+y2＝1， 解得四组解：（±1，0）和（0，±1）， 所以圆上的点（除四个点外）满足x4+y4＜1， 即圆上的点全部落在曲线x4+y4＝1的内部（四个交点为边界公共点）， 这说明曲线x4+y4＝1所围区域完全包含了单位圆，且严格更大， 因此：S2＞S1＝π， 答：S1＜S2． 【点评】本意主要考查了距离定义的迁移理解与不等式放缩推理能力，利用0≤x2≤1时，x4≤x2，这一基本不等式性质比较两曲线的包含关系是解题的关键．本题的价值在于仅凭”同乘正数保序”这一初中代数基本功就能判定两条曲线的位置关系，体现了从定义出发、步步为营的数学思维，p＝1是菱形，p＝2是圆，p＝4时，利用不等式性质x4≤x2判断，干净利落． 18．（2025秋•金水区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　（﹣2，0）　 ． （3）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据题意画出△A1B1C1即可． （2）由PA＝PC得出点P在AC的垂直平分线上，再结合图形即可解决问题． （3）连接点A和点C1，根据轴对称的性质得出AC1与y轴的交点即为△QAC的周长最小时点Q的位置，据此求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示， △A1B1C1即为所求作的三角形． （2）因为PA＝PC， 所以点P在AC的垂直平分线上． 如图所示， 点P的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （3）由题知， AC为定值， 则当QA+QC最小时，△QAC的周长最小． 连接AC1， 根据轴对称的性质可知， 当点Q在AC1与y轴的交点处时，QA+QC最小． 令直线AC1的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线AC1的函数解析式为y． 令x＝0得，y， 所以点Q的坐标为（0，）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． 19．（2025秋•城关区校级期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得横坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，则点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴横纵坐标互为相反数， ∴2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，则a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝1+2024＝2025． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 【考点3】物体位置的坐标表示（第20-24题） · · 已知两点坐标先反推原点和坐标轴方向 · · 象棋/棋盘/地图问题本质是建立坐标系后读数 · · 注意单位长度：相邻格点距离为1 · · 坐标看反象限问题：交换横纵坐标后重新判断 20．（2026春•赫山区期末）如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“马”所在点的坐标是（﹣3，0）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 21．（2025秋•铜川期末）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，5） C．（﹣1，3） D．（4，﹣1） 【分析】先理解题意，结合表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【解答】解：∵表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0）， ∴如图所示： ∴表示乾清门的点的坐标是（﹣1，5）， 故选：B． 【点评】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 22．（2025秋•宿迁期末）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（0，1），（2，1），则“技”的坐标为　（3，2）　 ． 【分析】根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的坐标即可． 【解答】解：直角坐标系如下所示， 由上可得，“技”的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． 【点评】本题考查坐标确定位置，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系是解题关键． 23．（2026春•海淀区校级期末）五子棋起源于中国，是全国智力运动会竞技项目之一，其游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图．若白棋A的坐标为（2，1），黑棋B的坐标为（﹣1，﹣1），为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置的坐标是　（1，﹣2）　 ． 【分析】先根据白棋A的位置记为（2，1），黑棋B的位置记为（﹣1，﹣1），建立平面直角坐标系，再结合图象即可得解． 【解答】解：根据已知点的坐标，建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】本题考查了用有序数对表示点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 24．（2025秋•市中区期末）中华秋沙鸭是我国特有的珍稀鸟类．近几年在山东多地发现它们年年来“小住”，如图所示是它们在山东境内出现地的示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示地点A的坐标为（3，﹣1），表示地点B的坐标为（﹣1，2），则地点C的坐标为　（1，3）　 ． 【分析】根据点A、点B的坐标，建立直角坐标系即可解答． 【解答】解：建立直角坐标系： ， 则是点C的坐标为：（1，3）， 故答案为：（1，3）． 【点评】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据直角坐标系来解答． 【考点4】两点间的距离公式（第25-30题） · · 距离公式d=，平方后消根号解方程 · · y轴上点设(0,y)，x轴上点设(x,0)，用距离相等列方程 · · 代数式最小值模型：+几何意义是折线距离，对称后变直线 · · PA2+PB2类问题展开后用OP2=x2+y2转化 25．（2025春•西宁期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴，则a+b的算术平方根为　3或1　 ． 【分析】先理解点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线ABx轴，得a＝4或﹣4，b＝5，再求出a+b的算术平方根，即可作答． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴， 依题意得：， 解得：a＝4或﹣4，b＝5， 当a＝4时，a+b＝4+5＝9， ∴a+b的算术平方根为3， 当a＝﹣4时，a+b＝5+（﹣4）＝1， ∴a+b的算术平方根为1． 故答案为：3或1． 【点评】本题考查两点间的距离公式，求出b＝5，a＝±4是解答本题的关键． 26．（2026春•徐汇区校级月考）点C在y轴上，点C到点A（﹣1，4）与点B（2，﹣5）的距离相等，则点C的坐标为 　（0，）　 ． 【分析】设点C的坐标为（0，y），根据两点间的距离公式列式求解即可，两点间的距离公式：． 【解答】解：设点C坐标为（0，y）． 利用两点间的距离公式，得，BC， 根据题意，得AC＝BC， ∴AC2＝BC2． 即1+（4﹣y）2＝4+（5+y）2． 解得y． 所以，点C的坐标是（0，）， 故答案为：（0，）． 【点评】本题考查了两点间的距离公式，熟记公式与熟练解方程是解答本题的关键． 27．（2026•罗庄区一模）在平面直角坐标系中，若点M（m﹣1，m﹣1）与点C（2m+3，m﹣1）之间的距离是5，则m＝　1或﹣9　 ． 【分析】根据坐标系中两点之间的距离，列方程求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，若点M（m﹣1，m﹣1）与点C（2m+3，m﹣1）之间的距离是5， 由题意，得， 解得m1＝1，m2＝﹣9． 故答案为：1或﹣9． 【点评】本题考查两点间的距离公式，正确进行计算是解题关键． 28．（2026春•上海校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　2　 ． 【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：∵A（3，﹣2），B（5，4）， ∴AB2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 29．（2023秋•东西湖区期末）“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 　2（m2+n2）+2　 （用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 　34　 ． 【分析】由两点的距离公式即可求出PA2+PB2＝2（m2+n2）+2，PA2+PB2＝2OP2+2，当P在OC延长线上时，PO最大，此时PA2+PB2最大，求出PO的长，即可求出PA2+PB2最大值． 【解答】解：∵PA2＝m2+（n﹣1）2，PB2＝m2+（n+1）2， ∴PA2+PB2＝2（m2+n2）+2； ∵PO2＝m2+n2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， ∴当OP最大时，PA2+PB2最大，当P在OC延长线上时，PO最大， ∵C的坐标是（2，1）， ∴OC3， ∴PO＝3+1＝4， ∴PA2+PB2＝2×42+2＝34， ∴PA2+PB2最大值是34． 故答案为：2（m2+n2）+2，34． 【点评】本题考查两点的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式． 30．（2025秋•揭东区月考）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是重要的思想方法，阅读材料，解答问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【解题格式】解：如图，设BC＝x，CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，则AB，， 当A，B，D三点共线时，AB+DB最短，此时AB+BD＝AD． ． 故代数式的最小值为13． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式：利用图3，参考解题格式，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）借助图4，已知正数x满足，求x的值． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴AD13， ∴代数式的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴AD， ∴代数式的最小值是； （3）如图4，CD⊥BC于点D，AC＝8，BC＝15，设CD＝x， 则AD，BD， ∴AB＝AD+BD17， ∵82+152＝172， ∴∠ACB＝90°， ∴AC•BCAB•CD， ∴8×1517×x， ∴x． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． 【考点5】平移与轴对称（第31-41题） · · 对称规律：关于x轴对称横不变纵相反，关于y轴对称纵不变横相反 · · 平移规律：右加左减（x），上加下减（y），整体平移变化量一致 · · 最短周长问题：作对称点将折线段拉直，连线与对称轴交点即所求 · · 新定义平移（t型平移）：按(x+t,y-t)逐点计算 31．（2026春•武冈市期末）平面直角坐标系中．点A（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1） 【分析】关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，根据规律计算即可求解． 【解答】解：根据题意可知，点A（﹣3，﹣1）关于x轴的对称点坐标是（﹣3，1）． 故选：D． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称点的坐标特点是关键． 32．（2025秋•鄞州区期末）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P′的坐标为（　　） A．（﹣3，﹣4） B．（﹣3，4） C．（3，﹣4） D．（3，4） 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（3，﹣4）关于x轴的对称点P′的坐标为（3，4）． 故选：D． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 33．（2025秋•思明区校级期末）大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是（x，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，2），则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】根据平面镜成像原理，点S与S'关于y轴对称，根据对称的性质可得x的值． 【解答】解：关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 由图和题意，得：x＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 34．（2026春•东河区期末）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后的对应点为A′（5，2）， 则5﹣2＝3，2﹣（﹣1）＝3． 因为点B坐标为（﹣3，4）， 则﹣3+3＝0，4+3＝7， 所以点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标为（0，7）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及坐标确定位置，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 35．（2025秋•思明区校级期末）若平面直角坐标系中，O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】根据题意，得出点A和点B关于y轴对称，再结合点A的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称， 所以点A和点B关于y轴对称． 又因为点A坐标为（1，﹣2）， 所以点B的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 36．（2025秋•平安区期末）如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是（﹣4，2），则对应虚像顶部点Q的坐标是　（4，2）　 ． 【分析】根据题意得出P点与Q点关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可． 【解答】解：由题意得对应虚像顶部Q点的坐标是（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 37．（2025秋•大兴安岭期末）已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（m+n）2025的值为　﹣1　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m，n的值，即可． 【解答】解：∵点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称， ∴m＝3，n＝﹣4， ∴（m+n）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握对称点的坐标特点是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数． 38．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣5），将线段AB向右平移3个单位得到线段CD，交y轴于点E，若图中阴影部分面积是10，则点E的坐标为　　 ． 【分析】过点D作DF⊥x轴，根据平移可得S△AOB＝S△CDF，进而得到梯形OFDE的面积等于阴影部分的面积，利用面积公式求出EO的长，即可得出结果． 【解答】解：过点D作DF⊥x轴， ∵线段AB向右平移3个单位得到线段CD，B（0，﹣5）， ∴AC＝3，AB＝CD，D（3，﹣5）， ∴OB＝DF＝5， ∵S△AOB＝S△CDF，AO＝CF， ∴OA﹣OC＝CF﹣OC，S△AOB﹣S△COE＝S△CDF﹣S△COE， ∴梯形OFDE的面积等于阴影部分的面积，OF＝AC＝3， ∴， ∴； ∴点E的坐标为， 故答案为：， 【点评】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 39．（2025秋•太和县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 　（6，4）　 ，A、B两点间的坐标距离为 　3　 ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 【分析】（1）根据平移坐标的变化规律得出点B的坐标，再求出|x1﹣x2|与|y1﹣y2|的值，即可得出点A、点B的坐标距离； （2）①根据两点间的坐标距离的定义，由点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4，可求出m＝7，进而得出点M的坐标； ②根据两点间的坐标距离的定义，可确定n的取值范围，再根据两点间的坐标距离的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）将点A（3，2）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B（6，4）， A（3，2），B（6，4）， ∵|3﹣6|＝3，|2﹣4|＝2， ∴|3﹣6|＞|2﹣4|， ∴A、B两点间的坐标距离为3， 故答案为：（6，4），3； （2）设点M（m，0），N（0，n）， ①∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4， ∴|m﹣3|＝4， 解得m＝7或m＝﹣1＜0舍去， ∴点M（7，0）； ②∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|m﹣3|＝3， 解得m＝6或m＝0（舍去）， ∴点M（6，0）， 又∵点N（0，n）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|n﹣2|≤3， ∴﹣1≤n≤5， 又∵n＞0， ∴0＜n≤5， ∵点M（6，0），点N（0，n），而0＜n≤5， ∴|6﹣0|＞|0﹣n|， ∴M、N两点间的坐标距离是6． 【点评】本题考查平移坐标的变化以及新定义运算，理解“两点间的坐标距离”的定义，掌握平移坐标的变化规律是正确解答的关键． 40．（2026春•颍东区期末）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（a，b），如果把点P平移，得到点Q（a+t，b﹣t），那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当t＝﹣5时，点M（2，4）的“﹣5型平移”点的坐标就是N（﹣3，9）． 【问题解决】 （1）点A（3，2）的“3型平移”点的坐标为　（6，﹣1）　 ； 若点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（6，m），则t＝　2　 ，m＝　2　 ； （2）已知线段AB的两个端点分别是A（1，1），B（3，1）． ①端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1，请在图中画出线段AB及线段AB1； ②若线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 【分析】（1）直接根据“t型平移”定义求解即可； （2）①直接根据“t型平移”定义求解得A1、B1坐标，进而根据坐标画图即可； ②根据“t型平移”定义结合图形，求得t的最大值和最小值即可得到结论． 【解答】解：（1）将点A（3，2）进行“3型平移”的对应点坐标为（3+3，2﹣3），即（6，﹣1）， 点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（4+t，4﹣t）， 则4﹣t＝m，4+t＝6， 解得m＝2，t＝2， 故答案为：（6，﹣1）；2；2； （2）①∵端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1， ∴B1（3﹣1，1+1），A1（1﹣1，1+1）， 即A1（0，2），B1（2，2）， 如图，线段AB、线段A1B1即为所求， ； ②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或1﹣t＝0， 解得﹣3≤t≤﹣1或t＝1， 即线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，﹣3≤t≤﹣1或t＝1． 【点评】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型． 41．（2025秋•临颍县期中）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称，求m﹣n的值． （2）在△ABC中，∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°，求∠B的度数． 【分析】（1）先根据点坐标关于x轴对称的变换规律求出m，n的值，再代入计算即可得； （2）先用∠B表示出∠A和∠C，再利用三角形内角和定理计算即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m﹣n＝﹣2﹣（﹣3）＝1； （2）∴∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°， ∴∠C＝∠B﹣40°+50°＝∠B+10°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B﹣40°+∠B+∠B+10°＝180°， 解得∠B＝70°． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标和三角形内角和定理，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征和三角形内角和定理是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 记牢象限符号口诀：一全正、二纵正、三全负、四横正 · · 看到AB∥x轴就写纵坐标相等，看到AB∥y轴就写横坐标相等 · · 距离公式先平方再开方，解方程时用平方消根号 · · 对称点规律：关于谁对称谁不变，另一个变号 · · 最短路径问题一律作对称点，把折线拉直成直线 【作业 1】（2025秋•福田区校级期末）2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点O（0，0），无人机从巡检起点A（﹣3，1）出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点B（﹣3，﹣5）．当无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（　　） A．﹣5＜y≤﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5≤y＜﹣1 【分析】根据题意，求出点A关于x轴的对称点的坐标，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（﹣3，1）， 则点A关于x轴的对称点D的坐标为（﹣3，﹣1）． 由轴对称的性质可知，OA＝OD． 因为无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定， 所以当点C在线段BD上时（不包含端点），无人机处于“信号增强模式”， 则﹣5≤y＜﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点A关于x轴对称点的坐标并据此求出y的取值范围是解题的关键． 【作业 2】（2024秋•田阳区期末）如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【分析】根据平面直角坐标系中坐标的特征判断即可． 【解答】解：∵这个点在第二象限， ∴这个点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴这个点的坐标可能是（﹣2，5）． 故选：B． 【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•青羊区校级期中）平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）与y轴上的点的最短距离为（　　） A． B．1 C．2 D． 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【解答】解：平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）与y轴上的点的最短距离为2． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，关键是掌握坐标的定义和垂线段最短的性质． 【作业 4】（2025•山东模拟）已知直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣5，0），C（﹣5，4），连接原点O与顶点A，则下列线段中长度最长的是（　　） A．OA B．AB C．BC D．AC 【分析】根据勾股定理即可求解． 【解答】解：由条件可知OA＝2，AB＝﹣2﹣（﹣5）＝3，BC＝4， ∴， ∴最长的线段是AC， 故选：D． 【点评】本题考查了坐标系中求两点距离，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 5】（2022秋•岱岳区期末）在平面直角坐标系中，点（﹣2，﹣1）到原点的距离是（　　） A．5 B．﹣5 C． D． 【分析】直接利用勾股定理求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中， 点（﹣2，﹣1）到原点的距离是． 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“由两点的坐标求解两点之间的距离”是解本题的关键． 【作业 6】（2025秋•五华县期末）平面直角坐标系中，有点P（2x﹣1，2x）与点Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为　（5，6）　 ． 【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相同建立方程求解，即可解题． 【解答】解：∵PQ∥y轴，点Q（5，8），点P（2x﹣1，2x）， ∴2x﹣1＝5， 解得x＝3， 则2x＝2×3＝6， ∴点P的坐标为（5，6）； 故答案为：（5，6）． 【点评】本题考查了平行于y轴的直线上点的坐标特点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2025秋•松北区期末）平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2），则点A关于y轴的对称点坐标　（﹣3，﹣2）　 ． 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2），则点A关于y轴的对称点坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 【作业 8】（2025秋•大连校级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】根据点关于y轴对称的规律：原坐标为（x，y），对称后的坐标为（﹣x，y），据此回答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形变换，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题的关键． 【作业 9】（2025•东莞市校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 　3　 ． 【分析】以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，先证出△ABE≌△ACO，根据全等三角形的性质可得BE＝OC，再根据垂线段最短可得当BE⊥x轴，BE的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE， ∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB， 在△ABE和△ACO中， ， ∴△ABE≌△ACO（SAS）， ∴BE＝OC， 由垂线段最短可知，当BE⊥x轴，BE的值最小， ∵点A的坐标是（0，6）， ∴OA＝6， ∴OE＝6， 又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝30°， 则在Rt△BOE中，， 所以在运动过程中，OC的最小值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【作业 10】（2025秋•安徽期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　2　 ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得|2a﹣3|＝|﹣5|，求出答案； （3）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）， ∴点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是1， ∴点A（﹣1，2）的“长距”为2； 故答案为：2； （2）∵点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”， ∴|2a﹣3|＝|﹣5|， ∴2a﹣3＝5或2a﹣3＝﹣5， 解得a＝4或a＝﹣1； （3）∵点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4且点C在第四象限内， ∴3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝9﹣4＝5， ∴点D的坐标为（﹣5，5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键． 【作业 11】（2025秋•朝阳区校级期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（x1 ，y2 ）， ∴AC＝　|y1﹣y2|　 ， BC＝　|x2﹣x1|　 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝　5　 ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为　　 ． 【分析】（1）直接应用平面直角坐标系中两点间距离公式求出AB； （2）先确定平移的水平变化量，结合AA′＝10，用两点间距离公式列方程，求出纵坐标的变化量，再根据“线段上所有点平移的横、纵坐标变化量一致”，将B（6，﹣3）按对应变化量平移，得到B′的坐标； （3）因P在x轴上，故y＝0，式子表示“P到（0，3）和（4，1）的距离和”，作（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3），连接对称点与（4，1），用两点间距离公式计算该线段长度，即为距离和的最小值． 【解答】解：根据题意，可知C（x1，y2）， 则AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x2﹣x1|． 故答案为：x1，y2；|y1﹣y2|；|x2﹣x1|； （1）根据， 可知， 故答案为：5； （2）由题可知，横坐标变化为﹣8﹣（﹣2）＝﹣6，纵坐标变化为|a﹣4|，A（﹣2，4）到A′（﹣8，a）， 由AA′＝10，则， 解得a1＝12，a2＝﹣4， 当a＝﹣4，可知点B′由点B向左平移6个单位，向下平移8个单位，即B′的坐标为（0，﹣11）； 当a＝12，可知点B′由点B向左平移6个单位，向上平移8个单位，即B′的坐标为（0，5）； 故点B′的坐标为（0，5）或（0，﹣11）． （3）点P（x，y）在x轴上，则y＝0，令B（4，1），A（0，3）， 根据题意，可知表示PA+PB， 如图，作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣3），连接A′B，交x轴于点P， 根据对称的性质可知，PA＝PA′， 则PA+PB＝PA′+PB， 此时A′B即为PA+PB取得的最小值，， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面直角坐标系两点间距离公式，坐标的平移变换，最短路径问题，勾股定理的几何应用，将x轴上点到两定点的折线距离转化为直线距离是解题关键． 【作业 12】（2025秋•兴庆区校级期末）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【分析】（1）通过表示四边形ACED的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设AP长度为未知数，利用PC＝PD结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【解答】解：（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．如图： ． 又∵， ∴， 展开得， 化简得a2+b2＝c2． （2）设AP＝x千米，则BP＝（30﹣x）千米． ∵PC＝PD，AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD2+AP2＝BC2+BP2， 即182+x2＝122+（30﹣x）2， ∴x＝12，即AP＝12千米． （3）设AB＝12，点P在AB上，AP＝x，PB＝12﹣x，作AD⊥AB且AD＝2，BC⊥AB且BC＝3，则代数式． 作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，过F作FE⊥AD于点E，则PC＝PF， ∴PD+PC＝PD+PF≤DF， ∴DF的长为PD+PC的最小值． 在Rt△DEF中，DE＝AD+AE＝5，EF＝AB＝12， ∴， ∴代数式的最小值为13． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 【作业 13】（2026春•闵行区期末）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　①④　 ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【分析】（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出a，b，c的关系，进而可求出m，n的值． 【解答】解：（1）①2×1+1×1＝3， ∴（1，1）被（2，1，3）“关联”； ②2×（﹣4）+1×6＝﹣2≠3 ∴（﹣4，6）未被（2，1，3）“关联”； ③2×（﹣1）+1×3＝1≠3 ∴（﹣1，3）未被（2，1，3）“关联”； ④2×5+1×（﹣7）＝3 ∴（5，﹣7）被（2，1，3）“关联”； 故答案为：①④； （2）由条件可得： ， 解得； （3）由条件可得： ， ②﹣①得a+b＝0，即b＝﹣a， 将b＝﹣a代入①得c＝﹣a， 将b＝﹣a和c＝﹣a代入③得， m﹣n＝﹣1， 由条件可知2027m﹣2026n＝﹣1， 2027（m﹣n）+n＝﹣1， ∴m﹣2026＝﹣1， 解得m＝2025， ∴数对（m，n）为（2025，2026）． 【点评】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． 【作业 14】（2025春•离石区期中）戏曲小组成员利用周末时间去剧团进行实践学习活动，出发前欣欣将各个剧团的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中，其中点A表示“对子戏剧团”的位置，坐标为（﹣1.3），点B表示“咳咳腔剧团”的位置，坐标为（2，2）． （1）根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系． （2）若“弦子腔剧团”的坐标为（0，﹣2），请在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，并标注点D． （3）若欣欣在标点C（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点C应在第　四　 象限． 【分析】（1）先根据A，B两点的坐标建立平面直角坐标系； （2）建立平面直角坐标系，即可确定点D的坐标； （3）建立平面直角坐标系后，可确定正确的点C的坐标，即可判断该点在第几象限． 【解答】解：（1）根据以上信息，建立的平面直角坐标系，如图所示： （2）“弦子腔剧团”的坐标为（0，﹣2），在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，标注点D，如图所示： （3）欣欣在标点C（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点C表示在平面直角坐标系中，如图所示： ∴正确的点C在第四象， 故答案为：四． 【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $