专题3.1 椭圆（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆核心知识点，系统梳理椭圆的定义、标准方程及几何性质，构建从基础概念到直线与椭圆位置关系、焦点三角形、离心率等应用题型的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 本资料以问题驱动设计典例与变式，通过轨迹问题、离心率计算等实例，引导学生用数学思维分析问题，用数学语言表达解题过程。课中助力教师分层教学，课后通过多样化练习帮助学生查漏补缺，提升数学探究能力与应用意识。

专题3.1 椭圆 教学目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． 3.掌握椭圆的简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）椭圆的定义及轨迹方程； （2）椭圆的图像及几何性质； （3）直线与椭圆的位置关系。 2.难点 （1）与椭圆有关的定点与定值问题； （2）与椭圆有关的最值与范围问题。 知识点01 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点02 椭圆方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点03 与椭圆有关的一些结论 （1）、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）、椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 题型01 椭圆的定义及轨迹问题 【典例1】．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【变式4】．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 题型02 椭圆方程的充要条件 【典例2】．“1<m<3”是“方程表示椭圆”的_______(填“充要”“既不充分也不必要”“充分不必要”“必要不充分”)条件． 【变式1】．若圆锥曲线的焦距与实数无关，则它的焦点坐标为__________． 【变式2】．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 题型03 求椭圆的标准方程 【典例3】．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【变式3】．（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 【变式4】．（24-25高二上·河南驻马店·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上； (2)过点，离心率； (3)过点，且与椭圆有相同离心率. 题型04 直线与椭圆的位置关系 【典例4】．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知椭圆的焦距为，且 (1)求的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围． 【变式1】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【变式2】．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【变式3】．（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【变式4】．（24-25高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，的周长为6，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程． 题型05 中点弦问题 【典例5】．（2026·天津河西·三模）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)求直线的斜率； (3)设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程 【变式1】．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 【变式4】．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 题型06 求椭圆的离心率 【典例6】．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·北京·阶段检测）设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上且，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为__________. 【变式3】．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为___________ 【变式4】．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 题型07 椭圆中焦点三角形的面积与周长问题 【典例7】．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【变式1】．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且，则的周长为____. 【变式2】．设点在椭圆上，，为的两个焦点，线段交椭圆于点.若的周长为8，则线段的长度为_____. 【变式3】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式4】．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 题型08 椭圆中的最值问题 【典例8】．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【变式1】．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【变式3】．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【变式4】．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 题型09 椭圆中的定点与定值问题 【典例9】．（26-27高三上·重庆巴南·开学考试）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 【变式1】．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 【变式2】．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【变式3】．已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 题型10 椭圆中的开放性与探索性问题 【典例10】．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1)求C的方程． (2)设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值． （ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【变式2】．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【变式3】．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【变式4】．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆过，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 一、单选题 1．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 4．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 5．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 8．（重庆市南开中学校2026届高三年级5月质量检测数学试题）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 10．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件． 12．方程表示椭圆的充要条件是__________． 13．已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 14．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 15．已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为______. 16．已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 三、解答题 17．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点和. 18．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 19．（25-26高三上·山东德州·期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________．    20．（2026高三上·全国·专题练习）如图，已知点，过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，延长分别交椭圆于两点，直线CD的斜率为． 求证： (1)直线CD恒过轴上的定点； (2)． 21．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 椭圆 教学目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程． 2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）． 3.掌握椭圆的简单应用． 教学重难点 1.重点 （1）椭圆的定义及轨迹方程； （2）椭圆的图像及几何性质； （3）直线与椭圆的位置关系。 2.难点 （1）与椭圆有关的定点与定值问题； （2）与椭圆有关的最值与范围问题。 知识点01 椭圆的定义 平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为： 注意：当时，点的轨迹是线段； 当时，点的轨迹不存在． 知识点02 椭圆方程、图形与性质 椭圆的方程、图形与性质所示． 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 统一方程 参数方程 第一定义 到两定点的距离之和等于常数2，即（） 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 长轴长，短轴长 长轴长，短轴长 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 、 、 焦距 离心率 准线方程 点和椭圆 的关系 切线方程 （为切点） （为切点） 对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得 切点弦所在的直线方程 焦点三角形面积 ①，（为短轴的端点） ② ③ 焦点三角形中一般要用到的关系是 焦半径 左焦半径： 又焦半径： 上焦半径： 下焦半径： 焦半径最大值，最小值 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦） 弦长公式 设直线与椭圆的两个交点为，，， 则弦长 （其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式） 知识点03 与椭圆有关的一些结论 （1）、过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为． ①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点． ②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为． （2）、椭圆的切线 ①椭圆上一点处的切线方程是； ②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是； ③椭圆 与直线 相切的条件是． 题型01 椭圆的定义及轨迹问题 【典例1】．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）若动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围、轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、求平面轨迹方程 【分析】先将圆化为标准方程，再利用动圆与两圆的外切、内切关系，得到动圆圆心到两定圆心的距离和，结合椭圆定义求轨迹方程. 【详解】依题意得，圆，圆心，半径为； 圆，化为标准方程为，圆心，半径为； 设，动圆的半径为，因为动圆与圆外切，与圆内切， 因此，， 由此可得； 因此圆心的轨迹是以为焦点，长轴长，焦距的椭圆； 所以，椭圆的短半轴长， 因此动圆圆心的轨迹方程为. 故选：A. 【变式1】．（25-26高二上·广东广州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、求平面轨迹方程 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式2】．（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆 【分析】由椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 【变式3】．（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程、求平面轨迹方程 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 【变式4】．已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 题型02 椭圆方程的充要条件 【典例2】．“1<m<3”是“方程表示椭圆”的_______(填“充要”“既不充分也不必要”“充分不必要”“必要不充分”)条件． 【答案】必要不充分 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】由方程表示椭圆求出参数的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 因为或， 因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 【变式1】．若圆锥曲线的焦距与实数无关，则它的焦点坐标为__________． 【答案】和 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据题意，通过观察的大小与差值，确定该圆锥曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，从而求得，由此得解. 【详解】若表示双曲线，焦距为变量不合题意，所以表示椭圆， 因为，且， 所以圆锥曲线表示的是焦点在轴上的椭圆， 则，故，即， 所以该圆锥曲线的焦点坐标是和. 故答案为：和. 【变式2】．已知条件：，条件：表示一个椭圆，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】必要条件、由方程研究曲线的性质、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据曲线方程，结合充分、必要性的定义判断题设条件间的关系. 【详解】由，若，则表示一个圆，充分性不成立； 而表示一个椭圆，则成立，必要性成立. 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【变式3】．已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】判断命题的必要不充分条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据已知曲线的方程和椭圆的方程特点，结合充分条件和必要条件的判定即可 【详解】若曲线是椭圆，则有： 解得：，且 故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件 故选：C 【变式4】．以下方程表示椭圆的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断方程是否表示椭圆 【分析】根据椭圆方程的知识求得正确答案. 【详解】A选项，方程，即，表示圆，不是椭圆，A选项错误. B选项，方程，即，方程中间是减号，不是椭圆，B选项错误. C选项，方程，即， 表示焦点在轴上的椭圆，C选项正确. D选项，方程右边不是，不是椭圆，D选项错误. 故选：C 题型03 求椭圆的标准方程 【典例3】．（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 【变式1】．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【难度】0.8 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 【变式2】．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.68 【知识点】利用椭圆定义求方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 【变式3】．（25-26高二上·陕西西安·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的倍； (2)焦点在轴上，且经过两点、. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的方程为，将点、的坐标代入椭圆的方程，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为， 所以由题设有，解得，故椭圆的标准方程为. （2）根据题意可设椭圆的方程为， 将点、的坐标代入椭圆方程得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【变式4】．（24-25高二上·河南驻马店·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上； (2)过点，离心率； (3)过点，且与椭圆有相同离心率. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据长轴及焦点在轴上，求出，，即可写出椭圆方程； （2）分焦点在轴，轴两种情形，结合几何性质列式求解； （3）利用离心率设，，再分焦点在轴，轴两种情形求解. 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，，则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在轴上，设方程为. 则， ，，，方程为. 若椭圆的焦点在轴上，设方程为， 则， 解得，故方程为. 所以椭圆的标准方程为或 （3）离心率为.设，，则. 若焦点在轴上，方程为，代入(1,2)，得，所以方程为 若焦点在轴上，方程为，代入(1,2)，得，所以方程为. 所以椭圆的标准方程为或 题型04 直线与椭圆的位置关系 【典例4】．（25-26高二上·新疆喀什·期末）已知椭圆的焦距为，且 (1)求的方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆有交点，求在y轴上的截距的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据条件，确定的值，可得椭圆标准方程. （2）设直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据可求的取值范围. 【详解】（1）∵椭圆的焦距为，故， 又，联立解得， ∴椭圆的方程为：． （2）设在y轴上的截距为，则的方程为，    由，消去得. 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得， 所以的取值范围为． 【变式1】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知椭圆：的焦距为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与椭圆有交点，求在轴上的截距的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）设在轴上的截距为，的方程为，结合条件，利用直线与椭圆位置关系，联立方程即可求解. 【详解】（1）由题意知，解得，， 所以的标准方程为． （2）设在轴上的截距为，则的方程为，    由，消去得 因为直线与椭圆有交点，所以，解得， 所以的取值范围为． 【变式2】．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知椭圆：的离心率为，为椭圆上一点 (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆有且只有一个公共点，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）利用椭圆上的点和离心率，列方程求解即可. （2）联立直线与椭圆的方程，利用方程有唯一解的条件，即可求解. 【详解】（1）由题意可得，  则， 得椭圆方程为. （2）根据题意，联立，消去得， ， 得， 即. 【变式3】．（25-26高三上·广西·开学考试）已知椭圆的离心率，且椭圆的长轴长为4. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】根据弦长求参数、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）由长轴长可得，再根据离心率可得，再求，即可得到方程； （2）方法一、根据题意，直线斜率为0时，得到不符合题意，当直线斜率不为0时，设，联立曲线得到，再根据求解即可；方法二、直线斜率不存在时，，不符合题意，当直线斜率存在时，设，联立曲线得到，再根据求解即可. 【详解】（1）由题可知，，， 又，且，解得，， 则椭圆的方程为. （2）法一：①当直线斜率为0时，， 不符合题意. ②当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立，得，， 设，则. 由题意，， 即，解得. 故直线的方程为：或. 法二：①当直线斜率不存在时，，不符合题意. ②设直线方程为， 联立，得，， 设，则， 由，得， 即，解得. 故直线的方程为或. 【变式4】．（24-25高二下·四川成都·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆C上一点，的周长为6，离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由离心率及的周长求得，再根据即可求解； （2）分类讨论，当直线l为x轴时，与题意不符，当直线l不与x轴重合时，设，联立方程，由韦达定理，平面向量数量积的坐标运算公式即可求解． 【详解】（1）由已知可得， ， ， ． （2），当直线l为x轴时，与题意不符， ∴可设， 由， 得， ， ， 又 ， ， ∴直线l的方程为． 题型05 中点弦问题 【典例5】．（2026·天津河西·三模）已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，半焦距为，已知点在椭圆上，过点且斜率为整数的直线交椭圆的另一点为，线段的垂直平分线与轴交于点． (1)求椭圆的离心率； (2)求直线的斜率； (3)设关于轴的对称点为，直线交轴交于点，若的面积为，求椭圆的标准方程 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.42 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合和离心率定义将方程转化为关于离心率的方程，求解即可； （2）设直线的斜率为，写出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出的中点坐标，再根据中点坐标写出的垂直平分线方程，结合垂直平分线与轴交点的条件，建立关于的方程，求解； （3）根据（2）的结果得到点的坐标，再写出其关于轴的对称点坐标，求出直线，并得到与轴的交点坐标，利用三角形的面积公式，结合已知面积，建立方程，再结合（1）中的离心率求出的值，进而得到椭圆方程. 【详解】（1）将点直接代入椭圆方程： 由于，且，转化为离心率的方程：， 整理得：， ，因为椭圆的离心率满足，故舍去，． 解得离心率． （2）由（Ⅰ）知，．椭圆方程为． 设直线的斜率为，过定点． 直线的方程为：． 代入椭圆方程：，        化简得， ， ，             计算线段的中点的坐标： ， ， 中垂线的斜率为．令其方程中，得轴截距： ，         题目已知： 解得或．因为直线的斜率为整数． 故舍去，所以． （3）将代回点得：， 此时点坐标为．对称点． 直线的斜率： 直线的方程为：． 令，解得交点．             ，，，      ，，． 椭圆的方程为： 【变式1】．（25-26高二上·重庆江北·阶段检测）若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据“对称”求出直线斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立、的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直， 所以. 所以直线的方程为. 设的中点为，则在直线与直线上，则 ，解得，，即. 设，，则，，， 两式相减得，，又， 所以，即，所以. 因为，所以. 故选：D. 【变式2】．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为，过的直线与椭圆交于A、B两点.若的中点为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】结合点差法化简即可求解. 【详解】设椭圆的方程为，， 则， 由直线过与的中点，则， 由，相减得， 即， ∴， 又，∴，解得， 故椭圆的方程为. 故选：B 【变式3】．（2026·山东聊城·模拟预测）已知椭圆的下顶点为，右焦点为，直线的斜率存在，且与交于，两点.若，则的斜率的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.35 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据韦达定理求参数、椭圆中向量共线比例问题 【分析】首先根据向量关系得到两点的坐标和，利用点差法求直线的斜率表达式，然后利用中点在椭圆内推导参数关系，进而得到斜率的取值范围. 【详解】 设点，， 点，， ，， ， 的中点为， ，相减得， ， 的中点在椭圆内，所以， 化简得，则，令， 因为，函数单调递增， 所以，. 【变式4】．（25-26高二下·云南楚雄·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴长为2，离心率为. (1)求的标准方程； (2)过点的直线与相交于两点，若线段的中点的纵坐标为，求的面积. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.6 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】（1）根据已知及离心率求椭圆参数，即可得； （2）由（1）及已知，设直线的方程为，，，联立椭圆并应用韦达定理，结合中点坐标求参数m，再由面积公式求面积. 【详解】（1）由题意知：椭圆短轴长为，即，所以， 离心率，且， 代入得 ， 所以，从而， 因此，椭圆的标准方程为； （2）由题意，直线过右焦点， 当直线斜率不存在时，，此时中点纵坐标为，不合题意，    设直线的方程为， 代入椭圆方程中，得， 整理得关于的一元二次方程， 设，，由韦达定理得，， 已知线段的中点的纵坐标为，即，所以， 因此， 整理得， 因式分解得，解得或， 由， 其中， 当时，，面积， 当时，，面积， 综上所述，的面积为或. 题型06 求椭圆的离心率 【典例6】．（2026·云南曲靖·二模）经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、已知两点求斜率 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 【变式1】．（25-26高二上·山西晋城·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】先求证四边形是平行四边形，再利用椭圆的定义和离心率的定义可求. 【详解】由直线经过原点，且椭圆关于原点对称可知，四边形是平行四边形， 所以， 由椭圆定义得：，所以， 又因为，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·北京·阶段检测）设椭圆的两个焦点分别为，点在椭圆上且，若为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用勾股定理求出，结合椭圆的定义构造齐次式可得. 【详解】因为，且为等腰直角三角形， 所以，所以， 由椭圆的定义可知，，整理得， 即该椭圆的离心率为. 故答案为： 【变式3】．（25-26高二上·湖北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若上存在点使得，且，则椭圆的离心率为___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的相关概念，结合离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，， 则，且， 所以. 故答案为：. 【变式4】．（2025高三上·江苏无锡·专题练习）已知椭圆，点在直线上，直线交椭圆于点，且为线段的中点，则椭圆的离心率的取值范围是__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设出点的坐标，利用中点公式及点位置可得答案. 【详解】设，则，因为为线段的中点， 所以在轴右侧，且，即， 因为，所以，即，所以离心率的取值范围是. 故答案为：    题型07 椭圆中焦点三角形的面积与周长问题 【典例7】．（25-26高二上·江苏淮安·期末）已知椭圆的左右焦点分别为为椭圆上一点，若，则的面积为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题、三角形面积公式及其应用 【分析】先利用已知条件和椭圆定义求出，与，然后利用余弦定理求出，再求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】椭圆的方程为，. ，，. 又，得. 在中，由余弦定理得：，. . 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为A，经过的直线与该椭圆相交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且，则的周长为____. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据方程，求出值，根据椭圆定义，可得的周长，根据条件，可得，根据相似比，即可求出答案. 【详解】由题意，则，， 由椭圆的定义可得，的周长为， 因为，所以， 又， 所以，则， 所以的周长与的周长之比为， 所以的周长为. 故答案为： 【变式2】．设点在椭圆上，，为的两个焦点，线段交椭圆于点.若的周长为8，则线段的长度为_____. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】由题可得是与的公共焦点，由椭圆定义可得，，两式相加结合可得答案. 【详解】由于，故是与的公共焦点， 由椭圆的定义知， 即， ， 两式相加可得：， 即线段的长为. 故答案为：. 【变式3】．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 ． 故选：A 【变式4】．（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 题型08 椭圆中的最值问题 【典例8】．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值 【分析】利用椭圆的定义得到，将所求的最大值转化为求的最大值，利用三角形的两边之差小于第三边，三点共线时取等号，从而得到所求. 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 【变式1】．（24-25高二上·江苏南京·期中）已知A，B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆在第一象限内一点．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】设动点坐标得出两直线斜率公式，结合椭圆方程得到两直线斜率乘积为定值，由条件求出两直线斜率之间的等量关系，结合两个方程求出的值，通过求出的值，通过由正弦定理得到先与角之间的关系求得线段的比值. 【详解】由题意知，，设， 直线，的斜率分别为，，则， 又∵，即，∴，即， 由正弦定理得， 又，则， 联立解得，即， 所以，即. 故选：C 【变式2】．（2024·陕西西安·三模）已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】设出点的坐标，再利用数量积的运算律及坐标表示，列出函数关系并求出最小值. 【详解】设椭圆上的点，而， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【变式3】．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为____. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆中的最值问题 【详解】由圆，可知圆心，半径， 设椭圆的左焦点为，且， 则. 【变式4】．（25-26高二上·广东汕头·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为上一点，则的最大值为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆上点到焦点的距离及最值、基本不等式求积的最大值 【分析】由椭圆的定义可得，再根据基本不等式即可求解. 【详解】由椭圆的定义可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 题型09 椭圆中的定点与定值问题 【典例9】．（26-27高三上·重庆巴南·开学考试）已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 所以， 即， 又由可得， 化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 因此点在定直线上. （ii） 【难度】0.35 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【详解】（1）由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. （2）（i）略 （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 【变式1】．已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点连接构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以为半径的圆相切. (1)求椭圆C的方程； (2)若过椭圆C右焦点F作直线L交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，且，.求证：为定值. 【答案】(1)； (2)由题意得直线的斜率存在，， 所以设直线方程为，令得，则， 将直线方程代入椭圆方程得：， 因为在椭圆内部，则直线与椭圆必有两个交点， 设 则， 由， 即， ， . 【难度】0.54 【知识点】椭圆中向量共线比例问题、椭圆中的定值问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据相切得到，再分析得，联立即可得到方程； （2）设直线方程为，将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再求出，再通分代入韦达定理式即可. 【详解】（1）由题意：以椭圆的右焦点为圆心， 以为半径的圆的方程为， 所以圆心到直线的距离①， 因为椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，所以，联立①得，， 故所求椭圆方程为. （2）略. 【变式2】．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于，两点（异于点）． (1)求椭圆的方程； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)记直线与的斜率分别为，，直线，的斜率分别为，，证明：． 【答案】(1) (2)或或或 (3)由题意得，， 若存在，则的横坐标不为2， 代入，得， 因为 ， 因为，则， 则 ，所以，得证. 【难度】0.57 【知识点】椭圆中的定值问题、根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用长轴与短轴的倍数关系设出，代入已知点坐标解出，进而得到椭圆方程; （2）设直线方程并与椭圆联立，用韦达定理、弦长公式和点到直线距离表示面积，建立关于截距的方程求解; （3）将与分别用坐标表示，通过韦达定理和直线方程消去，验证两者相等. 【详解】（1）由题知，解得，， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为（）， 点，的坐标分别为，， 联立得，则， 由，得． 所以 ． 原点到直线的距离为， 所以的面积为， 由，解得或， 故直线的方程为或或或． （3）略 【变式3】．已知椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，且右焦点为． (1)求椭圆的方程； (2)设、分别为椭圆的左右顶点，点为椭圆上异于、的动点，直线、分别与直线交于点、．求证：以为直径的圆交轴于两定点． 【答案】(1) (2)如图所示，可知，设， 则，所以， 所以， 设以为直径的圆交轴于点， 可得， 因为为直径，所以，即，化简得， 而，所以，所以，所以， 解得或，即以为直径的圆交轴于点，即以为直径的圆交轴于两定点. 【难度】0.57 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中的定值问题、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的概念，求出参数值，写出标准方程即可； （2）根据直线与椭圆的位置关系，和圆的基本性质，设出点的坐标，联立方程组，求出圆与轴交点的横坐标即可. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以椭圆的方程为. （2）略 题型10 椭圆中的开放性与探索性问题 【典例10】．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知椭圆：的长轴长为4，焦距为． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，求线段中点的轨迹方程； (3)直线：，：，过上一点作，的垂线，垂足分别为，，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在最大值，最大值为 【难度】0.51 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求平面轨迹方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题设条件可得值，再利用关系可求得值，进而可得到椭圆的方程； （2）设，两点的坐标并代入椭圆方程，利用点差法，结合中点坐标公式、斜率公式即可求解； （3）设点，根据点到直线的距离公式求出；取，的法向量，，利用向量的数量积公式求出，进而可以得到的值；然后根据三角形的面积公式写出的面积，最后结合的取值范围判断面积的最大值. 【详解】（1）依题意，因为长轴长为4，即，解得； 设焦距为，因为焦距为，即，解得； 所以； 所以的方程为． （2）设，，线段的中点为，则，； 因为，两点在上，所以，， 两式作差得，即， 又，所以，即； 由（1）可知点为的右顶点，所以点或点与点重合，可得； 故线段中点的轨迹方程为． （3）设，则，点到，的距离分别为，，所以， 分别取，的法向量，， 则，所以， 所以的面积， 由，得，， 所以，，当或1时，取得最大值， 所以的面积存在最大值，最大值为． 【变式1】．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且C过点． (1)求C的方程． (2)设C的右焦点为F，过点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点． （ⅰ）若l不与x轴重合且斜率存在，线段AB的中点为M，证明：直线OM与AB的斜率之积为定值． （ⅱ）是否存在这样的l，使得以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB为矩形？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）得的右焦点为，由题知的斜率存在且不为0，设的方程为，，． 联立方程得消去，可得， 则，． 设的中点为，则， 因为， 所以． 因为，， 所以， 即直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）不存在. 【难度】0.55 【知识点】椭圆中存在定点满足某条件问题、椭圆中的定值问题、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由的离心率可得，设的方程为，将点代入的方程，求出，即可得出答案. （2）（ⅰ）设的方程为，联立直线与椭圆的方程，表示出的中点为，用表示出，由此计算即可证明； （ⅱ）以，为邻边的平行四边形为矩形的一个必要条件是，由，可知不存在以OA，OB为邻边的平行四边形为矩形. 【详解】（1）设的半焦距为． 由的离心率，得， 又，得， 因此的方程为， 由点在上，可得，解得． 因此，，故的方程为． （2）（ⅰ）略    （ⅱ）因为以，为邻边的平行四边形为矩形的一个必要条件是， 所以，即． 又，， 所以， ， 所以， 令，得，该方程无实数解，不满足题意． 当的斜率不存在时，的方程为， 此时或与重合，构不成四边形，也不满足题意． 综上，不存在满足条件的． 【变式2】．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【难度】0.57 【知识点】根据韦达定理求参数、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）由右焦点得出，再根据离心率求出关系式得出，可得椭圆方程. （2）将角度相等转化为斜率之和为0，联立直线与椭圆方程，用韦达定理化简条件等式，求出关系，可得定点. 【详解】（1）由得，而， 则， 因此椭圆的方程为：. （2）设，，联立 ， 得， 则， 由韦达定理得， 由，得，即：， 代入，，整理得：， 即， 所以， 化简得：， 所以， 故直线恒过定点，且时满足，符合题意. 【变式3】．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知椭圆的离心率为且经过点.试求： (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在过点与（1）中曲线C相交所得弦长的直线，若存在，求直线的方程；若不存在，试说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或. 【难度】0.62 【知识点】根据弦长求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程 【分析】（1）由题设可得，，结合即可求出，进而求解即可； （2）分直线的斜率不存在、存在，两种情况结合弦长公式讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，椭圆的离心率为，则①， 又因为椭圆过点，则②，又③， 由①②③联立解得，，所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线：，与曲线的交点为，， 联立，得，则， 且，， 则， 整理得，所以或（舍）. 经检验，符合题意， 所以直线的方程为，即或.    【变式4】．（25-26高二下·广东深圳·期中）已知椭圆过，两点. (1)求椭圆的方程及离心率； (2)设为第三象限内一点且在椭圆上. （i）若，为椭圆的右焦点，直线与椭圆相交于另一点，求线段的长度； （ii）直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值. 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率 (2)（i）； （ii）设，，，，， 直线，令，得，即 直线，令，得，即， ，， 所以四边形的面积为， 所以四边形的面积为定值. 【难度】0.55 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据条件求，再得椭圆方程和离心率； （2）（i）首先求直线的方程，再根据直线与椭圆方程联立，求点的坐标，最后代入两点间距离公式求解；（ii）利用点的坐标求解直线的直线方程，再求解点的坐标，最后表示四边形的面积，即可证明. 【详解】（1）由条件可知，，， 所以椭圆的方程为，， 所以椭圆的离心率； （2）（i），， 直线的斜率为，所以直线的方程为， 与椭圆方程联立，得， ，即，，所以，即且， 所以 （ii）略 一、单选题 1．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——椭圆、利用椭圆定义求方程 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 2．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知，点，以为直径的圆与相切，则动点的轨迹是（   ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆 【分析】根据圆与圆相切的条件及椭圆的定义判断可得. 【详解】如图：设M为的中点，则圆M与圆O只能内切，且圆O的半径为3， 所以，即，设，则， 故. 所以Q点在以为焦点，以长轴为6的椭圆上，故Q点的轨迹是一个椭圆. 故选：B 3．（25-26高二上·山东滨州·期末）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．线段 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、轨迹问题——椭圆、求平面轨迹方程 【分析】由的意义及椭圆的定义即可求解. 【详解】由点满足可知， 动点到定点的距离之和为， 即，且， 根据椭圆的定义可知动点的轨迹是椭圆， 故选：A. 4．椭圆的焦距为4，则的值为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断方程是否表示椭圆 【分析】先把椭圆化为标准形式，分焦点在，轴上两种情况进行分类讨论，能求出的值． 【详解】由椭圆化为标准形式得： ， 且椭圆的焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，， 则由，所以， 此时方程为：不是椭圆，所以不满足题意， 当椭圆焦点在轴上时，，， ，解得， 此时方程为：，满足题意 综上所述，的值为． 故选：D． 5．（2026·河北张家口·三模）已知椭圆的离心率为，则C的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【详解】设椭圆的焦距为. 由题意得，则， 所以，即， 结合选项依次判断，只有A选项满足. 6．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：， 以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为， 将的坐标代入直线方程可得， 化简得：， 因为椭圆离心率，且， 所以，解得. 7．（25-26高二上·河北唐山·期末）椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，若的周长为，则该椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据椭圆的定义求出，即可求出，从而求出离心率. 【详解】由题意及椭圆的定义可知，即， 又，， 则离心率为. 故选：D. 8．（重庆市南开中学校2026届高三年级5月质量检测数学试题）已知为椭圆的左焦点，抛物线与椭圆交于两点，当变化时， 周长的最大值为（    ） A．8 B．6 C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题 【分析】根据三角形三边的关系可得，当且仅当共线时等号成立，然后根据椭圆的定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】 如图所示，已知椭圆方程，则， 由于点在椭圆上，根据椭圆的定义有，， 又因为在中，有，当且仅当共线时等号成立， 所以的周长，当且仅当共线时等号成立， 即的周长的最大值为，故A正确. 9．（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则的面积为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题 【分析】根据椭圆的定义及勾股定理求出，代入面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，. 因为，所以. 又，即， 所以. 所以. 10．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）记，点在椭圆上，点在圆上，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.35 【知识点】椭圆上点到焦点的距离及最值、求椭圆中的最值问题 【详解】记，由椭圆第一定义得， 在中，有（当且仅当，，共线且在线段上时取等号）， 圆的圆心，半径，则, . 二、填空题 11.“”是“方程表示的曲线为椭圆”的______条件． 【答案】必要不充分 【难度】0.85 【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、既不充分也不必要条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案. 【详解】当时表示圆，当且时表示椭圆，充分性不成立； 当为椭圆，则，可得且，必要性成立； 综上，“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 12．方程表示椭圆的充要条件是__________． 【答案】答案不唯一 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、判断方程是否表示椭圆 【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆. 【详解】方程表示椭圆, 则必有解之得或 故答案为：,（答案不唯一，其他等价情况也对） 13．已知椭圆经过点、，则其标准方程为______． 【答案】 【难度】0.72 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程 【详解】设椭圆的一般方程为， 把点、的坐标分别代入椭圆方程， 得，解得，故椭圆标准方程为. 14．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是、，为椭圆上的一点，且，，则该椭圆的离心率为________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】因为在焦点三角形中，，则，又因为，由即可求解. 【详解】 ， 因为。所以， 所以， 所以 故答案为： 15．已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、轨迹问题——圆 【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值. 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    故答案为： 16．已知椭圆，点P是椭圆上的动点，定点A的坐标为，则的最小值为____________ 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 【分析】令且，应用两点距离公式及点在椭圆上得到关于的函数，即可求最值. 【详解】令且，则， 而，故， 所以，当时，. 故答案为： 三、解答题 17．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴在x轴上，长轴的长为12，离心率为； (2)经过点和. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.94 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由长轴长及离心率求椭圆参数a、c，进而求参数b，即可写出椭圆方程. （2）由题设知P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，即可得a、b，结合顶点坐标特征写出椭圆方程. 【详解】（1）由已知,，，得：，，从而. 所以椭圆的标准方程为. （2）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点， 所以点P，Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点，于是有，. 又短轴、长轴分别在x轴和y轴上，所以椭圆的标准方程为. 18．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 19．（25-26高三上·山东德州·期末）已知圆，从圆上任意一点向轴作垂线，为垂足，点满足，此时的轨迹为椭圆，则椭圆的标准方程为________；若椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则的面积为________． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的面积问题、利用椭圆定义求方程、求平面轨迹方程 【分析】设点，点，根据向量的坐标运算，结合，可得，利用点在圆上，代入化简，即可求得第一空答案；设，利用正弦定理可表示出，再结合，即可求出，从而求出，利用三角形面积公式即可求得第二空答案. 【详解】设点，点，因为是P向x轴作垂线的垂足，所以， 已知，， 可得，即， 因为点在圆上，所以将代入圆的方程可得：， 化简得，即椭圆的标准方程为；    由椭圆，可得，则， 所以椭圆的左右焦点，那么， 设，则， 在中，根据三角形内角和为π，可得， 由正弦定理得， 所以， 又，故，即， 而 ， 则，由于， 故，即， 得，结合，解得， 则，故， ， 故， 故的面积为， 故答案为：； 20．（2026高三上·全国·专题练习）如图，已知点，过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，延长分别交椭圆于两点，直线CD的斜率为． 求证： (1)直线CD恒过轴上的定点； (2)． 【答案】(1)设，，，， 因为三点共线，，故， 即， 即， 即， 故， 即， 整理得， 因此， 同理由共线，共线，得，， 因此，， 设与轴交点为，则由共线可得， 故 解得，该值与无关， 所以恒过轴上定点． (2)由于， 同理可得，所以， 记，则，。 故 因此． 【难度】0.15 【知识点】椭圆中的定值问题、椭圆中的直线过定点问题 【分析】（1）设，，，，利用三点共线的条件结合三角恒等变换可得到一系列三角等式，最后得出直线CD与轴交点的横坐标只与有关，即证结论； （2）写出的表达式，利用三角恒等变换和（1）中得到的等式化简即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 21．（25-26高二下·福建泉州·期中）已知椭圆的离心率，且过点， (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1) (2) （i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得，整理得， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）9 【难度】0.51 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由题意可得，进而代入点的坐标，可求得椭圆的方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，设，利用根与系数的关系可得，利用向量的坐标运算可得，进而可证结论；（ii）根据，结合换元法与函数的单调性可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； （2）（i）略 （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $