4.1 数列（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第四章 数列 4.1 数列 课标要点 1.通过实例认识数列，理解数列概念，知道数列是定义域为正整数集（或其子集）的特殊函数，了解数列的项、序号等基本概念。 2.理解数列通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的指定项，也能由简单数列前几项归纳猜想通项公式。 3.了解递推公式的含义，能依据简单递推关系写出数列前几项，体会数列中序号与项的对应函数思想。 学习重难点 重点： 1.数列的概念，认识数列作为特殊函数的本质，分清项与项数。 2.通项公式的理解，已知通项求项，根据前几项归纳简单数列通项。 3.数列的表示方法：通项公式、列表、图像，看懂简单递推公式并写前几项。 难点： 1.理解数列是离散型函数，区分数列与普通连续函数，认识项数 n 只能取正整数。 2.根据数列前几项归纳通项，部分数列通项形式不唯一，容易忽略符号规律。 3.读懂递推公式，理清相邻项之间的关系，区分通项公式和递推公式，概念容易混淆 知识点 数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 特别提醒 数列中的项有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 随学随练 1．（26-27高二上·全国·课后作业）以自然数1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：，，，，，…．请分别用列表法和图象法表示这列数． 【答案】列表法可表示为 1 2 3 … … 1 … … 图象法可表示为 【详解】用列表法可表示为 1 2 3 … … 1 … … 图象法可表示为以项的序号为横坐标，相应的项为纵坐标，作出它的图象，如图．    2．（24-25高二上·海南海口·阶段检测）（多选）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 【答案】AD 【详解】对于A，数列与是不同的数列，故A正确； 对于B，数列是摆动数列，故B错误； 对于C，数列的通项公式为，故C错误； 对于D，数列是递增数列，故D正确． 3．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数列的定义与性质来判断即可 【详解】数列的定义:按照确定的顺序排列的一列数称为数列，当知道首项和递推公式时，不一定可以写出这个数列的任何一项， 例如,若只知道首项是写不出后续项的，故①错，②中的,当时，故②错， 因为数列中的的取值为正整数，所以数列的图像是一个个孤立的点，故③对， 数列与数列排列顺序不一样，所以不是同一数列，故④错.所以正确的个数为1个. 知识点 数列的分类（重点） 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 特别提醒 数列分类可按项数、项的增减性、项的取值规律划分。按项数分为有穷数列与无穷数列，做题注意题干限定项数范围。按增减分为递增、递减、常数列、摆动数列，判断时要注意 n 从正整数开始，不可套用连续函数单调性。判断数列增减常用作差法，慎用函数导数，因为 n 只能取正整数。注意常数列各项恒定，摆动数列正负交替。审题看清数列类型，不要混淆分类标准，同一数列可归属不同类别，判断单调性时，不能只看函数解析式，必须检验 n 取正整数对应的项，避免直接照搬函数结论而出错。 随学随练 1．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）已知，是无穷数列，是常数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过分别验证充分性与必要性，结合反例即可判断逻辑关系． 【详解】充分性验证： 若成立，取，，，显然满足对任意恒成立； 但当时，，不存在固定常数满足对所有成立，因此充分性不成立； 必要性验证： 若存在常数使得成立，根据不等式的传递性，对任意，都有，即可推出，因此必要性成立； 综上，“”是“”的必要不充分条件． 2．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，，，…，，…；③1，，，…，，…；④1，0，，…，，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥，，，.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________（填序号）. 【答案】 ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 【详解】①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷数列、摆动数列； ④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列； ⑥为有穷数列，也是常数列. 知识点 数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故 特别提醒 已知前 n 项和求通项，牢记分段形式，n=1单独求首项，n≥2 利用an=Sn−Sn−1计算，最后检验两段表达式能否合并。通项公式体现项与项数 n 的对应关系，n 只取正整数，不可取 0 或小数。要区分通项公式和前 n 项和公式，看清题目求an还是Sn。部分数列不存在通项公式，不要误以为所有数列都能写出通项。计算时注意下标，防止下标写错，合并分段式子时，验证 n=1 是否满足 n≥2 得到的式子，不满足就保留分段写法，这是考试高频失分点。 随学随练 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 【答案】B 【详解】由，， 得． 2．（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意，， 则，，，…，， 以上各项相加得，所以. 因为也适合上式，所以. （2）由，得，得， 所以当时，,, ， 满足上式，所以数列的通项公式为. 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 【答案】 【详解】，， 当时，，，，，. ，即； ； 当时，，符合题意； 数列的通项公式. . ； . 知识点 数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 特别提醒 数列有三种常用表示方法：通项公式、递推公式、列表与图像。通项直接写出项和项数 n 的关系；递推公式给出相邻项的关系式，需要结合初始项才能确定数列。数列图像是离散的点，不是连续曲线，n 只能取正整数。做题时分清两种公式，通项可直接求任意项，递推只能依次写出前几项。由递推求通项，要留意初始条件。归纳通项时，注意符号交替、项数变化规律。不要把数列图像画成连续函数，审题看清要求写通项还是递推式，避免概念混淆丢分。 随学随练 1．（2027高二·全国·专题练习）（多选）伽利略说：大自然是一本用数学语言写成的书. 人们在自然界中发现了斐波那契数列 ，其中 ，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用. 下列关于斐波那契数列 的正确结论是（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据斐波那契数列的递推公式可得到累加后即可判断A选项；取特殊值代入即可排除B选项；根据斐波那契数列的递推公式可得到，累加后即可得到C选项；将看成，然后再利用递推公式即可判断D选项. 【详解】因为，，则，且, 所以，，，…，，， 累加得，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为，，…，， 将以上各式相加，得，故C正确； 因为，所以 ，故D正确. 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】由题意，对任意，有，因此， 所以，所以数列是周期为4的周期数列， 代入初始值计算得：， 因为，所以； ，因此，因此． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在数列中，，，则__________． 【答案】7 【详解】由题意得，． 拓展 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 活学活用 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据递增数列的性质知，可得到对恒成立，再根据二次函数性质求出的取值范围． 【详解】因为，， 所以，． 又因为数列为递增数列， 所以对恒成立， 即对恒成立， 化简整理得，对恒成立． 由二次函数性质知，当时，有最小值4， 所以， 故实数的取值范围是． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用数列的单调性即可求解. 【详解】因为数列为递增数列， ， 所以对恒成立， 化简整理得，对恒成立， 由二次函数性质知当时，有最小值，即， 所以，故实数的取值范围是. 3．（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，数列单调递减，， 所以，即，解得. 拓展 求数列最大（小）项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项． 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 活学活用 1．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 【答案】AD 【分析】根据数列的首项与项的符号易判断A，B两项；再由赋值与作差法判断函数的单调性即可判断C，D两项. 【详解】由题意得， 当时，，∴， 则的最大项为，故A正确，B错误； 因， ， ， 即， 由 ， 可知当时，，即； 当时，，即； 即的最小项为．即C错误，D正确. 2．（26-27高三上·广东广州·开学考试）已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 【答案】3 【分析】由求得，进而求得的表达式，利用数列单调性定义判断的单调性，进而得解. 【详解】由，得当时，， 两式相除得， 当时，，符合上式，故， 又，所以， 所以， 令， 令，得， 因为，所以，故， 则，所以当时，，即； 当时，， 所以，即当时，取得最小值. 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 【答案】ABD 【分析】利用，判断正负，比较大小，判断选项A；推导恒等式，倒序相加求​，判断选项B；代入相邻两项对比，判断数列单调性，判断选项C；解不等式，区分正负项，前项和在最后一个负项处取最小值，判断选项D． 【详解】因为，， 所以，即，故A正确； 由，得．①，同时②，①＋②得：，所以，故B正确； ，，故，随着的增大，不是单调递减，故C错误； 令，解得，即当时，为负数，， 当时，，所以当取得最小值时，n的值为7，故D正确． 题型 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 解题贴士 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等． （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号． （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． ▌例1（26-27高三上·湖南·开学考试）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】数列的前项积，所以， 因为，，所以. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项计算前4项判断即可. 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. ▌对点练1-1．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 【答案】D 【分析】根据通项，列出等式解方程即可． 【详解】根据数列通项可知：，令， 解得，故7是这个数列的第25项． ▌对点练1-2．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 【答案】B 【详解】归纳可得数列的通项为， 令，即，故为偶数且， 解得． ▌对点练1-3．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为偶数，则，故B不符合题意，D符合题意； 若为奇数，则，故AC均不符合题意. 题型 递推公式的应用 解题贴士 处理递推公式问题，先看清递推关系式与初始项，没有首项无法确定整个数列。基础题型可依次代入，逐项写出数列前几项，观察规律猜想通项。若要推导通项，先识别递推类型，区分累加、累乘、构造等模型。注意下标范围，使用an=Sn−Sn−1时要求n≥2。递推式变形后，求出通项务必带回原式检验，验证首项是否符合表达式。审题注意项之间的间隔，分清相邻项或隔项递推，避免下标写错，不要盲目套用固定模型，防止生搬硬套出现错误。 ▌例1（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（    ） A．11 B．18 C．29 D．47 【答案】B 【分析】先由根和系数的关系得到，，再结合变形得到，代入计算出结果. 【详解】由根与系数的关系得，， 则， 又，， 所以，，， 即. ▌例2（26-27高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，求． 【答案】 【详解】因为，， 所以， ， ， ， 所以是周期为4的数列，所以． ▌对点练1-1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，推出数列的周期为，由此求解即可. 【详解】因为， 所以，， ，， ……， 所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. ▌对点练1-2．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】C 【分析】由递推关系式，先写出数列若干项，找出数列的周期；分开计算前非周期部分、周期部分，再求和. 【详解】由，，，得，， ，，， ，，， 从第5项开始，是周期为3的周期数列，数列值分别为，，所以. ▌对点练1-3．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，, ，，， . 题型 前项和公式与通项的关系 解题贴士 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． ▌例1（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前n项和，则__________． 【答案】/ 【分析】利用数列前n项和与数列通项之间的关系求解即可. 【详解】 ▌例2（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，符合上式，所以． （2）因为，所以当时，． 当时，． 经检验，当时，不符合上式，所以． ▌对点练1-1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】当时，， 当且时， ，将代入得，与不符， 故不满足上式. 综上，. ▌对点练1-2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)1 【详解】（1）∵， ∴当时，， 两式相减得， ∴当时，， 当时，，满足上式， ∴． （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵，∴， 又因对，恒成立，故，得， ∴实数的最小值为1． ▌对点练1-3．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．则数列的通项公式为________ 【答案】 【分析】先对原关于的递推公式移项变形，利用转化为的二阶线性递推关系，再通过求特征根、结合已知初项求出数列通项. 【详解】解法一：因为 ， 移项变形： ， 利用 ，左边为 ， 右边化简为： ， 因此得到 的递推： 即 ，令 ， 则 是公比为2的等比数列，首项 ， 因此： ,即得： , 两边同除以 ，得： 令 ， 则 是公差为1的等差数列，首项 ， 因此： , 由 ，得 ，验证初始项均符合条件. 解法二：已知当时，， 移项整理得： ， 则， 代入已知验证得，与题目给的一致，因此该递推对所有成立. 特征方程为，解得二重根，因此设通项形式为 代入得： ，解得， 因此，验证满足所有条件，即为数列通项. 题型 数列单调性的判断 解题贴士 判断数列单调性优先用作差法，计算an+1−an，根据结果正负判定增减；也可作商法，适用于各项恒正或恒负的数列。注意数列自变量 n 是正整数，不能直接套用函数导数判断单调性，函数极值点不一定对应数列项。递增数列满足an+1>an，递减数列满足an+1<an，摆动数列项正负交替。求数列最值时，可利用(an≥an−1​an≥an+1)求解。最后检验 n 取值范围，防止忽略 n 为正整数，出现增根失分。 ▌例1（2027高三·全国·专题练习）已知函数，设，则是________数列（填“递增”或“递减”）． 【答案】递增 【分析】利用函数的单调性研究数列的单调性即可. 【详解】因为在上是增函数， 故是增函数， 所以是递增数列． ▌例2（2026高二·全国·专题练习）数列满足，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则递减 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】利用数列的性质和递推公式，通过给定的数列的递推公式和不同初始值，分析数列的递增、递减性质以及数列和的大小关系即可. 【详解】作出与的图象， 由蛛网图可知，选项A，B正确； 若，由蛛网图可知，时，， 则，故，选项C正确； 若2，则， 比较与的大小， 因为， 则，选项D错误． ▌对点练1-1．（2026高二·全国·专题练习）（多选）已知数列满足，则（   ） A．是递减数列 B． C． D． 【答案】BD 【分析】通过观察数列的递推关系可知，即可判断数列的单调性，进而判断A；令，再根据即可判断B；令，再根据即可判断C；令，得到即可判断D. 【详解】对于A，易知，否则与矛盾，由，得，所以，所以数列是递增数列，故A错误； 对于B，由选项A的判断知，所以，由，得， 所以，即，故B正确； 对于C，由，得， 则，所以，故C错误； 对于D，由，得，即， 所以，故D正确． ▌对点练1-2．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. ▌对点练1-3．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“数列”定义逐项判断可得答案. 【详解】在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且， 则称数列为“数列”，“数列”不是递增或递减数列． 对于A，因为，所以是递增数列，A错误； 对于B，因为，所以是递增数列，B错误； 对于C，，满足且，故是“数列”，C正确； 对于D，因为， 所以是递减数列，D错误． 题型 求数列的最大项与最小项 解题贴士 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． ▌例1（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）数列的通项公式为，前项的和为，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为7，最小值为 B．中比1小的项有6项 C．使取得最小值的为5 D．满足的的值有3个 【答案】ABD 【分析】化简为，利用数列的单调性，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由， 可得，当，时，数列的各项小于，且是单调递减数列， 当，时，数列的各项大于，且是单调递减数列， 所以数列的最小项为，最大项为，所以A正确，B正确； 当，时，，随着的增大而增大，且， 当时，满足，随着的增大而减小， 且， 当，时，，所以， 综上所述，使得取得最小值的为，所以C错误； 当时，满足； 当时，满足；当，时，， 所以满足时，，共有个值，所以D正确. ▌例2（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将题目所给递推式变形为，利用累加法和裂项相消法求出，进而求出，最后利用不等式组法求出数列的最大项. 【详解】由可得， 当时， ， 当时，，，也满足，所以，， ， 由， 即， 解得， 又因为，所以，则数列的最大项为第8项. ▌对点练1-1．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）注意验证首项是否满足通项 （2）代入得到数列的通项公式，从函数的角度观察数列的单调性，从而将几个特殊的值比较一下即可. 【详解】（1）当时，， 当时， 所以 （2）①当时， 当时，，所以 ②设，所以， 所以 当时，单调递增;当时，单调递减. 因为，，经比较可知，， 所以数列的最大项为，. ▌对点练1-2．（25-26高二下·江西·阶段检测）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A．使的项共有项 B．数列是递减数列 C．数列有最小项，且有最大项 D．满足的的值共有2个 【答案】AC 【分析】利用9的约数求解判断A；确定数列单调性判断BC；利用相邻3项中负数项的个数判断D. 【详解】对于A，由，则是9的约数，又，因此或或或或， 使的项共有项，A正确； 对于BC，，由，得， 解得，又，则当时，，当或时，， 令，解得，因此，， 即数列有最小项，且有最大项，B错误，C正确； 对于D，要使，又，则中恰有个负数或恰有个负数， 因此或或，即满足的的值共有个，D错误. ▌对点练1-3．（25-26高三下·北京·阶段检测）数列前项和为，且满足：，，，，给出下列四个命题： ①； ②数列有最大值，无最小值； ③，； ④，使得； 其中所有真命题的序号是______. 【答案】①②③ 【详解】对于①，中，令得，即 ，因为，所以解得；令得，解得，因为，所以.故①正确； 对于②,当时，，即，即， 因为，故， 因为，所以， 所以，故，则数列单调递减，即数列有最大值，无最小值.故②正确； 对于③，当时，，此时等号成立；当时，，所以 ，故 ，综上，，成立，故③正确； 对于④，， 由③可知，，故 ， 所以恒成立，即恒成立，故不存在，使得，故④错误. 题型 周期数列 解题贴士 求解周期数列问题，先根据递推式推导an+T=an，找到最小正周期 T。算出周期后，用项数 n 除以周期 T，依靠余数确定该项对应周期内位置，余数为 0 时取周期最后一项。做题多写出前几项观察规律，快速判断周期。注意区分周期数列与周期函数，数列 n 只取正整数。遇到分段递推，仔细验证相邻项，防止周期判断出错。最后看清所求项的下标，准确计算余数，避免项数错位，这是填空高频丢分点。 ▌例1（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，，，， 以此类推，可知. ▌例2（2026高三·全国·专题练习）设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为________． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 【答案】1 【分析】根据所给关系式推理数列的周期，根据周期计算的值． 【详解】由可得；；；；；……； 故数列为周期为4的周期数列， 因为，故． ▌对点练1-1．（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． 【答案】 【分析】利用递推公式先求前几项，进而得周期，利用周期即可求解. 【详解】由题意得：，，， ，， 所以，所以数列是以为周期的周期数列， 所以. ▌对点练1-2．（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以， 故是周期为3的周期数列，且， 所以. ▌对点练1-3．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断数列的周期性，结合周期性求解即可. 【详解】，， ，， 则数列是周期为4的数列， 所以. 基础通关 1．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据递增数列的定义逐项判断可得答案. 【详解】对于A，因为， 所以数列为递增数列，故A正确； 对于B， ， 当为奇数时，，当为偶数时，， 所以数列为摆动数列，故B错误； 对于C，因为 ， 所以数列为递增数列，故C正确； 对于D，因为 ，所以， ，，， ，，所以数列为摆动数列，故D错误． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知正整数数列：，，…，各项互不相等，且满足（，3，4），则的最小值为（     ） A．30 B．31 C．32 D．34 【答案】B 【分析】由题意得，，，.依次分析取得最小值时对应的取值情况，即可得到的最小值. 【详解】由（）， 得，，， 所以，，. 所以 . 因为正整数数列：，，…，各项互不相等， 所以，，，，即最大. 当且仅当，或时， 取得最小值，此时的最小值为， ； 若取得最小值， 则的最小值为，的最小值为， 此时，； 若取得最小值，则的值为，或，或. 当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以的最小值为， 此时； 当时，，所以取得最小值， 此时. 综上所述，的最小值为. 3．（25-26高二下·北京·期末）无穷数列满足（），则下列结论正确的是__________． ①若，，则为单调递增数列； ②记，若，则为单调递增数列； ③若，则对任意，存在正整数，当时，； ④存在正数，使得对任意均成立． 【答案】①②③ 【分析】①令, 证明即可；②证明即可；③当 时 ,因此对任意 ，总存在正整数 ，当 时 ;④通过构造指数增长的反例，证明二次上界不成立. 【详解】条件 等价于, 令，则 是严格递增数列, ①由 ，得 ，因为 是严格递增数列， 故对所有 有 ，即 ，因此为单调递增数列，①正确； ②，则 ， 分子， 因为 ，所以分子恒正，故 ，则为单调递增数列，②正确； ③由 得 ，结合 是严格递增数列，有 对所有 成立, 累加得 ， 当 时 , 因此对任意 ，总存在正整数 ，当 时 ，③正确； ④可构造反例：取 ，验证得 ，满足题设条件, 但指数函数 增长速度远快于二次函数 ，不存在正数 使得 对任意 恒成立. 4．（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 【答案】C 【分析】根据递推法则推导计算即可. 【详解】根据法则可得，因为，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为不是正整数，所以； 因为为正整数且未写出过，所以； 因为为正整数但写出过，所以. 5．（2026高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中最大值，则________，数列的通项公式________． 【答案】 /. 【分析】结合数列的定义，解不等式求解即可；结合数列的定义，解不等式并分情况讨论求解即可. 【详解】当时，，解得，又，所以. 由数列定义可知，. 由题意得，解得. 当为奇数时，设，则，因为， 所以. 当为偶数时，设，则，因为， 所以. 综上，. 6．（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由递推式得到相邻项比值，累乘法推出数列通项， 最后用裂项相消法求和，中间项全部抵消，快速算出前2026项和. 【详解】由，得，当时，，…，， 以上各式相乘，得， 又＝1，所以（）， 因为＝1满足上式，所以， 因为， 所以. 7．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】A 【分析】先对通项公式裂项，再用裂项相消法求出前项和表达式，最后列方程求解项数. 【详解】对任意，将通项公式裂项得： ，则数列前n项和， 代入裂项结果可得： 中间项全部抵消，化简得： . 由题意，列方程： 交叉相乘解得，即. 8．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列中，，，，且，则________. 【答案】4051 【分析】计算出，可得数列是周期为的循环数列，由可计算的值. 【详解】因为，，， 所以当时，得，即，所以； 当时，得，即，所以； 当时，得，即，所以. 所以数列是周期为的循环数列，且. 所以. 9．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，则． 10．（25-26高二下·北京房山·期末）已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 【答案】②④ 【分析】利用对勾函数单调性，求出最小值判断①②；举例并结合复合函数单调性判断③；变形等式判断④. 【详解】对勾函数在上单调递增，在上单调递减， 对于①，，则当时，，数列有最小值，①错误； 对于②，，则当时，，数列有最小值，②正确； 对于③，取，数列是递增数列，， 令，函数在上单调递减，因此数列是递减数列，③错误； 对于④，由，得，且，则， 而，因此，④正确. 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，观察下列与方格中的数字规律，如果在的方格上，仿照规则填入数字，则所填入的100个数字的总和为________．    【答案】385 【分析】根据规律找出的方格中数字的分布特征，然后求解即可. 【详解】因为在表格中，有5个1，3个2，1个3； 在表格中，有7个1，5个2，3个3，1个4； …… 所以在表格中，共19个1，17个2，15个3，个9，1个10， 此100个数的和为． 2．（25-26高二下·四川雅安·期末）“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列前项和的定义将待求式转化为对应项的和，再结合斐波那契数列的递推公式化简即可得到结果. 【详解】根据数列前项和的性质，对任意，有， 因此：， 结合斐波那契数列的递推关系，可得，， 代入上式得： 已知，故原式的值为. 3．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列满足，，则______． 【答案】 【分析】将递推式配成完全平方后换，再取对数将非线性递推转化为等比数列，求出通项后代入求得. 【详解】由题意，对等式整理可得，所以. 设，则，故，等式两边取对数可得. 令，则，故数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，故，则，则． 4．（25-26高二下·江西九江·期末）对于数列，定义其“交错和”为，若，则（   ） A． B．1 C． D．2026 【答案】A 【分析】根据，得到通项公式，进而得到答案. 【详解】由和两式相减得， 故，因此. 5．（25-26高二下·四川南充·期末）定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用倒序相加法求数列的通项公式，再将存在性不等式转化为大于等于关于的分式的最小值，结合基本不等式求最值即可得. 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 迁移创新 1．（26-27高三上·北京·期中）已知无穷数列满足：，是正整数，，． (1)若，，求； (2)证明：“存在，使得是“对任意，”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或3或5 (2)记， 必要性：若是周期为3的周期数列，或， 当时，数列前5项为：，由得，该式当且仅当或时成立，与为正整数矛盾； 当时，数列前5项为，由得，则或（舍，此时）， 因此，此时数列：，存在，使得， 另一方面：取数列其中当时，，此时数列不是周期数列， 综上，“存在，使得”是“对任意，”的必要不充分条件． (3) 略不存在，理由如下： 等价于或， 首先说明不存在，使得，否则由得记为， 所以， 依此类推得前项为（第项）， 则要么相等，要么有一项为0，矛盾，因此对任意成立， 其次，不存在，使得以及同时成立， 否则两式相加得，矛盾． （ⅰ）若（*）式只对有限个正整数才成立， 不妨设当且仅当时（*）式成立，其中， 则当时，（**）式恒成立，此时恒成立， 由此易知当，因此数列是无界数列， （ⅱ）若存在无限个正整数使得（*）式成立， 不妨设当且仅当时（*）式成立， 其中，考虑与， 为方便书写记且， 则， 若，则， 若，则， 则， 此时， 可得， 无论哪种情况总有成立，即恒成立， 记，则恒成立，由此易得数列是无界数列， 所以，存在使得，故不存在符合题意的． 【分析】（1）分别令，代入，求出，再根据对进行取舍. （2）证明必要性是以是周期为3的周期数列当条件，推出存在，使得这个结论成立；不充分性只需举出符合存在，使得的特殊数列，推出不是周期数列即可. （3）对，要考虑和两种情况，求解时注意考虑这种特殊情况. 【详解】（1）因为对任意成立； 令，得，所以，则或3， 若，由，则，则或3， 若，由，则，则或5， 因为，综上所述：或3或5． （2）略 （3）略 2．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 【答案】144 【分析】先明确交替子集的定义，将问题转化为满足“第i个元素与i奇偶性相同”的递增序列计数问题，空集单独计入总数然后找递推关系：考虑第个元素是否在交替子集中，如果为奇数，那么它只能作为序列的奇数位置元素，以此建立和、的关联，最后确定初始条件：计算、的数值，再根据递推式逐步计算到. 【详解】设为集合的交替子集总数， 所有的交替子集，本身也属于的交替子集，这部分共个. 若要把元素追加到某个的交替子集末尾， 若是奇数，追加后它是新子集的最后一位，要求它的奇偶性和它的位置序号相同， 即追加前的子集最后一位是偶数位（空集也满足，空集追加奇数后得到单元素奇子集，符合要求）， 这类子集的总数恰好是. 得到递推公式：，这是斐波那契型递推， 初值：，， 依次递推： . 3．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式，并证明． (2)对于实数，令．若对任意，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)①数列的通项公式为； ② 因为,所以，所以，即， 所以， 即， 两边对从到累加求和： ， 等式得证. (2) 【分析】（1）先求首项，利用与相减得到相邻项比值，累乘求出表达式，结合阶乘、组合数化简得到通项，验证成立；先利用数列递推关系推导出裂项恒等式，再用裂项相消求和，代入首项完成等式证明；（2）由列出不等式，代入数列关系式，分离参数，借助数列单调性求最值，解决恒成立. 【详解】（1）① ， 当时，，即，解得, 当时，由，得, 两式相减得：,整理得递推关系：, 由累乘法求通项： ， 时上式也成立，故数列的通项公式为； ② 略 （2）由题意，对任意，恒成立，即， 因为，所以， 因为，两边约去，得 整理得，即， 所以， 所以，即对任意恒成立， 令，因为 ，故是单调递减数列，最大值为， 要使对任意恒成立，则， 即的取值范围为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.1 数列 课标要点 1.通过实例认识数列，理解数列概念，知道数列是定义域为正整数集（或其子集）的特殊函数，了解数列的项、序号等基本概念。 2.理解数列通项公式的意义，能根据通项公式写出数列的指定项，也能由简单数列前几项归纳猜想通项公式。 3.了解递推公式的含义，能依据简单递推关系写出数列前几项，体会数列中序号与项的对应函数思想。 学习重难点 重点： 1.数列的概念，认识数列作为特殊函数的本质，分清项与项数。 2.通项公式的理解，已知通项求项，根据前几项归纳简单数列通项。 3.数列的表示方法：通项公式、列表、图像，看懂简单递推公式并写前几项。 难点： 1.理解数列是离散型函数，区分数列与普通连续函数，认识项数 n 只能取正整数。 2.根据数列前几项归纳通项，部分数列通项形式不唯一，容易忽略符号规律。 3.读懂递推公式，理清相邻项之间的关系，区分通项公式和递推公式，概念容易混淆 知识点 数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列． 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第位的数称为这个数列的第项．其中数列的第1项也叫作首项． 特别提醒 数列中的项有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的． 随学随练 1．（26-27高二上·全国·课后作业）以自然数1，2，3，4，5，…的倒数排成一列数：，，，，，…．请分别用列表法和图象法表示这列数． 2．（24-25高二上·海南海口·阶段检测）（多选）下列叙述正确的是（     ） A．与是不同的数列 B．是常数列 C．数列的通项公式为 D．数列是递增数列 3．（2026高三·全国·专题练习）下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列，，，，…通项公式是；③数列的图象是一群孤立的点；④数列与数列是同一数列．其中正确命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点 数列的分类（重点） 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列．递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列．常数数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 特别提醒 数列分类可按项数、项的增减性、项的取值规律划分。按项数分为有穷数列与无穷数列，做题注意题干限定项数范围。按增减分为递增、递减、常数列、摆动数列，判断时要注意 n 从正整数开始，不可套用连续函数单调性。判断数列增减常用作差法，慎用函数导数，因为 n 只能取正整数。注意常数列各项恒定，摆动数列正负交替。审题看清数列类型，不要混淆分类标准，同一数列可归属不同类别，判断单调性时，不能只看函数解析式，必须检验 n 取正整数对应的项，避免直接照搬函数结论而出错。 随学随练 1．（26-27高三上·北京延庆·开学考试）已知，是无穷数列，是常数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知下列数列：①2016，2017，2018，2019，2020，2021；②1，，，…，，…；③1，，，…，，…；④1，0，，…，，…；⑤2，4，8，16，32，…；⑥，，，.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________（填序号）. 知识点 数列的通项公式与前n项和 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式． 数列的前n项和 数列的前项和：指数列的前项逐个相加之和，通常用表示，即； 与的关系 当时； 当时， 故 特别提醒 已知前 n 项和求通项，牢记分段形式，n=1单独求首项，n≥2 利用an=Sn−Sn−1计算，最后检验两段表达式能否合并。通项公式体现项与项数 n 的对应关系，n 只取正整数，不可取 0 或小数。要区分通项公式和前 n 项和公式，看清题目求an还是Sn。部分数列不存在通项公式，不要误以为所有数列都能写出通项。计算时注意下标，防止下标写错，合并分段式子时，验证 n=1 是否满足 n≥2 得到的式子，不满足就保留分段写法，这是考试高频失分点。 随学随练 1．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）数列中，，，则（   ）． A． B．28 C． D．14 2．（26-27高二上·全国·课堂例题）（1）在数列中，，，求. （2）已知数列中，，，求数列的通项公式. 3．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知数列满足，，设数列的前项和为，则__ ． 知识点 数列的表示方法 通项公式法（解析式法）： 数列通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系．给了数列的通项公式，代入项数就可求出数列的每一项．反之，根据通项公式，可以判定一个数是否为数列中的项． 列表法 相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用表示第一项，用表示第二项，……，用表示第项，……，依次写出得数列． 1 2 … … … … 图象法： 数列是一种特殊的函数，可以用函数图象的画法画数列的图形． 具体方法：以项数为横坐标，相应的项为纵坐标，即以为坐标在平面直角坐标系中做出点．所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 递推公式法 递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 特别提醒 数列有三种常用表示方法：通项公式、递推公式、列表与图像。通项直接写出项和项数 n 的关系；递推公式给出相邻项的关系式，需要结合初始项才能确定数列。数列图像是离散的点，不是连续曲线，n 只能取正整数。做题时分清两种公式，通项可直接求任意项，递推只能依次写出前几项。由递推求通项，要留意初始条件。归纳通项时，注意符号交替、项数变化规律。不要把数列图像画成连续函数，审题看清要求写通项还是递推式，避免概念混淆丢分。 随学随练 1．（2027高二·全国·专题练习）（多选）伽利略说：大自然是一本用数学语言写成的书. 人们在自然界中发现了斐波那契数列 ，其中 ，斐波那契数列在动植物生长、艺术设计和金融市场都有广泛应用. 下列关于斐波那契数列 的正确结论是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·福建厦门·阶段检测）在数列中，，，，则（     ） A． B． C． D．5 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）在数列中，，，则__________． 拓展 判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ．当时，则 ⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ．当时，则 ⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 活学活用 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列的通项公式为，，若是递增数列，则的取值范围是______． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知数列 的通项公式为 ，，若 是递增数列，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川内江·期中）已知数列满足，若，数列单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 拓展 求数列最大（小）项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项；利用，求数列中的最小项． 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 活学活用 1．（2027高三·全国·专题练习）（多选）已知数列的通项为，则下列表述正确的有（   ） A．最大项为0 B．最大项不存在 C．最小项为 D．最小项为 2．（26-27高三上·广东广州·开学考试）已知数列，设，，.当取得最小值时，_________. 3．（25-26高二下·江西南昌·期末）（多选）已知数列的通项公式为，前项和为，则（    ） A． B． C．随着的增大，逐渐变小 D．当取得最小值时，的值为7 题型 由数列的前几项写出数列的一个通项公式 解题贴士 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 （1）先统一项的结构，如都化成分数、根式等． （2）分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式． （3）对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用或处理符号． （4）对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． ▌例1（26-27高三上·湖南·开学考试）已知数列的前项积，则（    ） A． B． C． D． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1．（25-26高二下·陕西渭南·期末）已知数列1，，，，3，…，，…，则7是这个数列的（     ） A．第12项 B．第13项 C．第24项 D．第25项 ▌对点练1-2．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知数列则是该数列的（    ） A．第99项 B．第100项 C．第101项 D．第102项 ▌对点练1-3．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的通项公式为，则下列各数是数列中的项的是（    ） A． B． C． D． 题型 递推公式的应用 解题贴士 处理递推公式问题，先看清递推关系式与初始项，没有首项无法确定整个数列。基础题型可依次代入，逐项写出数列前几项，观察规律猜想通项。若要推导通项，先识别递推类型，区分累加、累乘、构造等模型。注意下标范围，使用an=Sn−Sn−1时要求n≥2。递推式变形后，求出通项务必带回原式检验，验证首项是否符合表达式。审题注意项之间的间隔，分清相邻项或隔项递推，避免下标写错，不要盲目套用固定模型，防止生搬硬套出现错误。 ▌例1（26-27高三上·湖北孝感·开学考试）已知一元二次方程的两个根为和，若数列满足（），则（    ） A．11 B．18 C．29 D．47 ▌例2（26-27高二上·全国·课堂例题）若数列满足，，求． ▌对点练1-1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．（26-27高三上·湖南长沙·开学考试）已知数列满足，，且，，记为的前项和，则（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 ▌对点练1-3．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知数列满足：，，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 题型 前项和公式与通项的关系 解题贴士 已知求出依据的是的定义：，分段求解，然后检验结果能否统一形式，能就写成一个，否则只能写成分段函数的形式． ▌例1（2026·云南昆明·模拟预测）已知数列的前n项和，则__________． ▌例2（26-27高二上·全国·课后作业）已知数列的前项和为，求数列的通项公式． (1)； (2)． ▌对点练1-1．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知为数列的前项和，若，则__________． ▌对点练1-2．（25-26高二下·辽宁朝阳·期末）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若对，恒成立，求实数的最小值． ▌对点练1-3．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．则数列的通项公式为________ 题型 数列单调性的判断 解题贴士 判断数列单调性优先用作差法，计算an+1−an，根据结果正负判定增减；也可作商法，适用于各项恒正或恒负的数列。注意数列自变量 n 是正整数，不能直接套用函数导数判断单调性，函数极值点不一定对应数列项。递增数列满足an+1>an，递减数列满足an+1<an，摆动数列项正负交替。求数列最值时，可利用(an≥an−1​an≥an+1)求解。最后检验 n 取值范围，防止忽略 n 为正整数，出现增根失分。 ▌例1（2027高三·全国·专题练习）已知函数，设，则是________数列（填“递增”或“递减”）． ▌例2（2026高二·全国·专题练习）数列满足，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（   ） A．若，则 B．若，则递减 C．若，则 D．若，则 由蛛网图可知，选项A，B正确； 若，由蛛网图可知，时，， 则，故，选项C正确； 若2，则， 比较与的大小， 因为， 则，选项D错误． ▌对点练1-1．（2026高二·全国·专题练习）（多选）已知数列满足，则（   ） A．是递减数列 B． C． D． ▌对点练1-2．（25-26高二下·山东东营·期末）已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ▌对点练1-3．（26-27高三·全国·一轮复习）在数列中，若存在不小于2的正整数，使得且，则称数列为“－数列”．下列数列中为“－数列”的是（    ） A． B． C． D． 题型 求数列的最大项与最小项 解题贴士 可以利用不等式组，找到数列的最大项；利用不等式组，找到数列的最小项． ▌例1（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）数列的通项公式为，前项的和为，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为7，最小值为 B．中比1小的项有6项 C．使取得最小值的为5 D．满足的的值有3个 ▌例2（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）已知数列满足：，，若，则数列的最大项为第（   ）项. A．5 B．6 C．7 D．8 ▌对点练1-1．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式. (2)设. ①求数列的通项公式; ②求数列的最大项. ▌对点练1-2．（25-26高二下·江西·阶段检测）（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（ ） A．使的项共有项 B．数列是递减数列 C．数列有最小项，且有最大项 D．满足的的值共有2个 ▌对点练1-3．（25-26高三下·北京·阶段检测）数列前项和为，且满足：，，，，给出下列四个命题： ①； ②数列有最大值，无最小值； ③，； ④，使得； 其中所有真命题的序号是______. 题型 周期数列 解题贴士 求解周期数列问题，先根据递推式推导an+T=an，找到最小正周期 T。算出周期后，用项数 n 除以周期 T，依靠余数确定该项对应周期内位置，余数为 0 时取周期最后一项。做题多写出前几项观察规律，快速判断周期。注意区分周期数列与周期函数，数列 n 只取正整数。遇到分段递推，仔细验证相邻项，防止周期判断出错。最后看清所求项的下标，准确计算余数，避免项数错位，这是填空高频丢分点。 ▌例1（25-26高二下·四川南充·阶段检测）若数列满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． ▌例2（2026高三·全国·专题练习）设函数定义如下表，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为________． 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 ▌对点练1-1．（24-25高二上·上海·期末）若数列中，，则________． ▌对点练1-2．（25-26高二下·广东中山·期末）已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（    ） A． B．2 C． D． ▌对点练1-3．（25-26高二下·贵州遵义·期末）已知数列满足，若，则（    ） A． B． C． D． 基础通关 1．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）下列数列是递增数列的有（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·北京·期末）已知正整数数列：，，…，各项互不相等，且满足（，3，4），则的最小值为（     ） A．30 B．31 C．32 D．34 3．（25-26高二下·北京·期末）无穷数列满足（），则下列结论正确的是__________． ①若，，则为单调递增数列； ②记，若，则为单调递增数列； ③若，则对任意，存在正整数，当时，； ④存在正数，使得对任意均成立． 4．（2026高三·全国·专题练习）依次写出数法则如下：如果为正整数且未写出过，则写，否则就写，那么等于（   ） A．2 B．4 C．6 D．5 5．（2026高三·全国·专题练习）设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中最大值，则________，数列的通项公式________． 6．（25-26高二下·辽宁营口·期末）已知数列满足，，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）已知数列的通项公式，前项和为，则项数为（    ） A．2026 B．2025 C．2024 D．2023 8．（25-26高二下·辽宁沈阳·期末）已知数列中，，，，且，则________. 9．（25-26高二下·辽宁抚顺·期末）在数列中，若（为常数），且，则（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·北京房山·期末）已知数列，满足：．给出下列四个结论： ①若，则数列有最小值； ②若，则数列有最小值； ③若数列是单调递增数列，则数列也是单调递增数列； ④若，且，则有． 其中正确结论的序号是______． 素养提升 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，观察下列与方格中的数字规律，如果在的方格上，仿照规则填入数字，则所填入的100个数字的总和为________．    2．（25-26高二下·四川雅安·期末）“斐波那契数列”由意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列满足：，，，记其前项和为，设(为常数)，则（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知数列满足，，则______． 4．（25-26高二下·江西九江·期末）对于数列，定义其“交错和”为，若，则（   ） A． B．1 C． D．2026 5．（25-26高二下·四川南充·期末）定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 迁移创新 1．（26-27高三上·北京·期中）已知无穷数列满足：，是正整数，，． (1)若，，求； (2)证明：“存在，使得是“对任意，”的必要不充分条件； (3)若，是否存在数列，使得恒成立？若存在，求出一组，的值；若不存在，请说明理由． 2．（26-27高三上·浙江杭州·开学考试）对于集合的子集，将中的元素按从小到大排列为．若对所有的，的奇偶性与相同，则称为的交替子集．约定空集为交替子集．例如、、均为交替子集．记为的交替子集的个数，则_______． 3．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）设正项数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式，并证明． (2)对于实数，令．若对任意，恒有，求的取值范围． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $