4.3 等比数列（讲义）数学苏教版高二选择性必修第一册

第四章 数列 4.3 等比数列 课标要点 1. 理解等比数列的概念，识别等比数列，掌握等比数列通项公式，能在具体情境中发现数列的等比关系。 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式，能运用公式解决简单的求和问题。 3.体会等比数列与指数函数的联系，会利用等比数列性质进行求值、化简与简单的实际应用。 学习重难点 重点： 1.等比数列通项公式的理解与应用。 2.等比数列前 n 项和公式推导与计算。 3.等比数列核心性质，利用下标关系快速求值 难点： 1. 等比数列前 n 项和公式需要对公比是否等于 1 分类讨论，容易遗漏公比为 1 的情况。 2.等比数列性质灵活运用，区分等差、等比性质，避免公式混用。 3.等比数列与函数、不等式综合问题，处理多解取舍、正负项判断。 知识点 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 特别提醒 ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； 随学随练 1．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东广州·期末）（多选）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的通项公式为 B．数列是递增数列 C．数列的前项和 D．若，则数列一定是等比数列 3．（2026·山东潍坊·三模）（多选）已知数列满足，，则数列中的项可能为（     ） A．1027 B．2026 C．80 D．93 知识点 等比数列的通项公式（重点） 等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵，∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 特别提醒 ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 随学随练 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则的最小值为4053 3．（2027高三·全国·专题练习）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 知识点 等比数列的性质（重点） 设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 特别提醒 等比数列核心性质：若两项下标之和等于另两项下标之和，则对应两项乘积相等；下标成等差，对应项成等比。特别注意，等比数列每一项都不能为零，公比也不能为零。公比可以是正数或负数，公比为负时，数列项正负交替，求值容易漏解。使用性质时，注意区分等差与等比结论，等差用加法，等比用乘法。同号项才能取平方根，开方时要留意正负取舍。两个等比数列相乘、相除仍为等比数列，但相加相减一般不构成等比。解题算出结果后，一定要带回原数列检验，排除不符合条件的增根。 随学随练 1．（2026·湖南邵阳·三模）在正项等比数列中，若，则___________． 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．18 B．36 C．54 D．60 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 知识点 等比数列的前项和公式及性质（重点） 等比数列的前项和公式 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且．特别提醒 直线与抛物线联立解题，一定要注意二次项系数有可能等于零，此时直线平行于抛物线对称轴，只会产生一个交点，但并不是相切，这是高频易错点。当二次项不为零时，再利用判别式 Δ 判断位置，Δ 大于 0 有两个交点，Δ 等于 0 代表相切，Δ 小于 0 无交点。运用韦达定理时，必须保证方程是一元二次方程。遇到焦点弦题型，优先借助抛物线定义转化焦半径，熟记通径结论，减少运算。答题需要考虑直线斜率不存在的特殊情况，避免漏解。抛物线图像单向延伸，联立算出结果后，要检验横坐标或者纵坐标取值范围。 (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 2．（26-27高三上·北京·期中）已知是公比为的无穷等比数列，前项和为，且，则“”是“有最大值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三上·湖北随州·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前n项和. 拓展 等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 活学活用 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 2．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 拓展 等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 活学活用 1．（2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段检测）已知等比数列的前项和（是常数），则__________. 3．（24-25高二上·安徽六安·期末）（多选）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 题型 等比数列的通项公式及其应用 解题贴士 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． ▌例1（2027高三·全国·专题练习）在正项等比数列中，已知，则________． ▌例2（2027高三·全国·专题练习）正项等比数列的公比恰好等于函数的零点，且，则________． ▌对点练1-1．（26-27高三上·广东·阶段检测）记为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求数列的通项公式． ▌对点练1-2．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 ▌对点练1-3．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（    ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为4的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 题型 等比中项及应用 解题贴士 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． ▌例1（2027高三·全国·专题练习）已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 ▌例2（26-27高三上·北京·期中）已知是公差不为0的等差数列，．若，，成等比数列，则的公差_____，_____． ▌对点练1-1（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）已知为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．和的等比中项为4 C．取最大值时，n的值为2或3 D．若，则n的最大值为4 ▌对点练1-2（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列的公差，前项和为，若，且，，成等比数列，则_________． ▌对点练1-3（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 题型 等比数列性质的应用 解题贴士 运用等比数列性质解题，优先观察下标之间的数量关系，下标和相等则对应项乘积相等，下标成等差数列则对应项成等比数列，以此简化计算，减少联立方程。遇到连续片段和，可利用等比数列分段和性质快速求解。解题时先判断公比正负，留意项的符号，开方不要直接只取正值。分清等差、等比结论，不要混用。求出答案后代入原题检验，舍去不符合条件的增根，遇到多解情况，结合题干条件取舍。 ▌例1（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． ▌例2（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． ▌对点练1-1（专题01等差数列与等比数列（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. ▌对点练1-2（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 ▌对点练1-3（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列，，则的值为______. 题型 等比数列前项和的有关计算 解题贴士 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． ▌例1（2027高三·全国·专题练习）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． ▌例2（26-27高三上·广西河池·阶段检测）（多选）记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则数列的前7项和 C．从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 ▌对点练1-2（26-27高三上·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． ▌对点练1-3（26-27高三上·湖南·开学考试）已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 题型 等比数列前项和的性质 解题贴士 使用等比数列前 n 项和性质解题，首先记住连续等长片段和仍成等比数列，但要注意片段和不能为零。处理奇偶项求和，单独分析项的符号与公比正负。遇到含参数求和，务必优先讨论公比等于 1 的特殊情况，这是高频易错点。优先选用性质简化运算，减少复杂列式。利用前 n 项和与通项的关系求值时，记得验证首项。得到结果后结合题干条件检验，舍去不符合题意的解，警惕多解问题中出现的增根。 ▌例1（25-26高二下·广东江门·阶段检测）（多选）已知数列是正项等比数列，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列中，仍成等比数列 D．数列是等差数列 ▌例2（22-23高二上·山东济南·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． ▌对点练1-1（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2（23-24高二下·四川绵阳·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 ▌对点练1-3（24-25高三上·湖北随州·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 题型 等比数列片段和的性质 解题贴士 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ▌例1（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，则公比 D．若(t为常数)，则 ▌例2（25-26高二下·江西·期中）（多选）若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则是等比数列 B．若是等比数列，则 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等比数列 ▌对点练1-1．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 ▌对点练1-2．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）（多选）下列说法错误的有（   ） A．若数列的前n项和，则数列为等比数列 B．若等差数列的公差，则数列是递减数列 C．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 D．若数列的前n项和（t为常数），则数列一定为等差数列 ▌对点练1-3．（23-24高二上·陕西·阶段检测）（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列选项中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型7 等比数列的奇数项与偶数项和 解题贴士 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ▌例1（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 ▌例2（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. ▌对点练1-1．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 ▌对点练1-2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. ▌对点练1-3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 基础通关 1．（五省（豫陕冀晋青）联考2027届高考适应性考试数学试题（河南版本））为数列的前项和，满足，则________；________． 2．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 3．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 4．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知数列的各项是或，，且在第个和第个之间有 个，即，，，，，，，，，，，，，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 6．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 8．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 9．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 10．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）数列满足，，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设为的前项和，令，求数列的最大项． 素养提升 1．（2027高三·全国·专题练习）定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 2．（2027高三·全国·专题练习）在①；②，且成等差数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中． 设数列的前项和为，已知________，是数列的前项和，问是否存在，使得成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 3．（2027高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 4．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 5．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去. (1)设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； (2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值. 迁移创新 1．（26-27高三上·北京·期中）若无穷数列满足：，当，时，（其中，表示，，…，中的最大项）．给出以下结论： ①若数列是常数列，则，； ②若数列是公差不为0的等差数列，则； ③若数列是公比为的等比数列，则； ④若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项． 其中正确结论的序号是_____． 2．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）记，则下列不等式正确的有（    ） A．当时， B．当时， C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 4.3 等比数列 课标要点 1. 理解等比数列的概念，识别等比数列，掌握等比数列通项公式，能在具体情境中发现数列的等比关系。 2.探索并掌握等比数列前 n 项和公式，能运用公式解决简单的求和问题。 3.体会等比数列与指数函数的联系，会利用等比数列性质进行求值、化简与简单的实际应用。 学习重难点 重点： 1.等比数列通项公式的理解与应用。 2.等比数列前 n 项和公式推导与计算。 3.等比数列核心性质，利用下标关系快速求值 难点： 1. 等比数列前 n 项和公式需要对公比是否等于 1 分类讨论，容易遗漏公比为 1 的情况。 2.等比数列性质灵活运用，区分等差、等比性质，避免公式混用。 3.等比数列与函数、不等式综合问题，处理多解取舍、正负项判断。 知识点 等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 特别提醒 ①由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q可不能是0； ②“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个； ③隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件； ④常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为0的常数列是公比为1的等比数列； 随学随练 1．（25-26高二下·湖南岳阳·期末）已知数列是公差为的等差数列，若，，依次构成公比为的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比中项结合是公差为的等差数列，列出方程即可求解． 【详解】由题得，，， 所以， 整理得， 所以，则， 所以． 2．（25-26高二下·广东广州·期末）（多选）已知等差数列的首项，且，下列说法正确的有（    ） A．数列的通项公式为 B．数列是递增数列 C．数列的前项和 D．若，则数列一定是等比数列 【答案】BD 【分析】由条件求得等差数列公差，写出其通项公式，求和公式，结合等比数列定义逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，且， 所以，解得：， 则，显然数列是递增数列，故A错误，B正确； 因，故C错误； 令，，所以数列是公比为的等比数列，故D正确. 3．（2026·山东潍坊·三模）（多选）已知数列满足，，则数列中的项可能为（     ） A．1027 B．2026 C．80 D．93 【答案】ABC 【分析】根据递推关系可知数列每一步要么加3要么乘2，得到的结果不是3的倍数，排除不可能选项，再构造路径验证剩余选项即可. 【详解】由递推式， 得：对任意，或，首项， 从第2项起，每一项不论是在前一项的基础上加3还是乘以2， 即数列的项为或， 也即数列每一项都不是3的整数倍， 选项A：，路径：前10次均选乘2得， 第11次选加3得，成立； 选项B：，路径：前10次均选乘2得， 后续334次均选加3，得，成立； 选项C：，路径：前5次均选乘2得， 后续16次均选加3，得，成立； 选项D：93是3的倍数，被3整除，故排除D. 知识点 等比数列的通项公式（重点） 等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 等比数列的通项公式的推广 已知等比数列中，第项为，公比为，则： 证明：∵，∴∴ 由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一项与公比来表示，通项公式可以看成是时的特殊情况． 特别提醒 ①通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了． ②通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量． 随学随练 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）正项等差数列的公差为，已知，且，，三项成等比数列，则（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】利用等比中项性质可知，，再应用等差数列的性质即可求解. 【详解】因为，，三项成等比数列，所以， 故，结合可得 ， 解得 或（负值舍去）. 2．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知等比数列的公比为，其前项积为，且满足，，，则（    ） A． B． C．是数列中的最小项 D．若，则的最小值为4053 【答案】D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误． 【详解】已知等比数列，，， 说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号，则，故A错误； 结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， ，故B错误； 是数列中的最大项，故C错误； ，， 又，则， 所以若，则的最小值为4053，故D正确． 3．（2027高三·全国·专题练习）已知正项等比数列中，，且成等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由成等差数列及等比数列的性质可得，再由等比数列的通项公式可得. 【详解】因为成等差数列，所以， 因为是正项等比数列，设公比为，且， 所以，因为， 所以，解得：或（舍去）， 因此. 知识点 等比数列的性质（重点） 设等比数列的公比为 ①若，且，则，特别地，当时． ②下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． ③若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； ④连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 特别提醒 等比数列核心性质：若两项下标之和等于另两项下标之和，则对应两项乘积相等；下标成等差，对应项成等比。特别注意，等比数列每一项都不能为零，公比也不能为零。公比可以是正数或负数，公比为负时，数列项正负交替，求值容易漏解。使用性质时，注意区分等差与等比结论，等差用加法，等比用乘法。同号项才能取平方根，开方时要留意正负取舍。两个等比数列相乘、相除仍为等比数列，但相加相减一般不构成等比。解题算出结果后，一定要带回原数列检验，排除不符合条件的增根。 随学随练 1．（2026·湖南邵阳·三模）在正项等比数列中，若，则___________． 【答案】3 【分析】利用正项等比数列的通项性质，将已知两个等式用和公比q表示，消去公比相关的公共因式即可求得. 【详解】设正项等比数列的公比为，则， 由等比数列通项的性质， 可得，，，， 则，（1） ，（2） （1）（2）得， 因为数列为正项等比数列，故，解得 2．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在等比数列中，若，则（    ） A．18 B．36 C．54 D．60 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】设等比数列的公比为，因为， 所以. 故选：C. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在等比数列中，，，则（    ） A．48 B．72 C．96 D．192 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 知识点 等比数列的前项和公式及性质（重点） 等比数列的前项和公式 等比数列前项和的性质 1、等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． 2、若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 3、若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列． 1．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且．特别提醒 直线与抛物线联立解题，一定要注意二次项系数有可能等于零，此时直线平行于抛物线对称轴，只会产生一个交点，但并不是相切，这是高频易错点。当二次项不为零时，再利用判别式 Δ 判断位置，Δ 大于 0 有两个交点，Δ 等于 0 代表相切，Δ 小于 0 无交点。运用韦达定理时，必须保证方程是一元二次方程。遇到焦点弦题型，优先借助抛物线定义转化焦半径，熟记通径结论，减少运算。答题需要考虑直线斜率不存在的特殊情况，避免漏解。抛物线图像单向延伸，联立算出结果后，要检验横坐标或者纵坐标取值范围。 (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以． 2．（26-27高三上·北京·期中）已知是公比为的无穷等比数列，前项和为，且，则“”是“有最大值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的意义，结合等比数列前项和分析判断得解. 【详解】当时，，，， 则，当为偶数时，，而，则； 当为奇数时，，而，则. 因此对任意的正整数均有，即有最大值； 而当时，，此时也有最大值. 所以“”是“有最大值”的充分不必要条件. 3．（26-27高三上·湖北随州·阶段检测）已知数列的前n项和为，且满足，，，数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式. (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，数列的前n项和为，且， 即，也就是， 所以数列为首项为1，公差为2的等差数列，则， （2）由（1）可得：，所以， 可得， 两式相减得 所以； 拓展 等比数列中的函数关系 等比数列中，，若设，则： （1）当时，，等比数列是非零常数列．它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，等比数列的通项公式是关于的指数型函数；它的图象是分布在曲线（）上的一些孤立的点． ①当且时，等比数列是递增数列； ②当且时，等比数列是递减数列； ③当且时，等比数列是递减数列； ④当且时，等比数列是递增数列． （3）当时，等比数列是摆动数列． 活学活用 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知数列的通项公式为，则数列的公比是（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案. 【详解】已知，则数列的公比为，故C正确. 2．（2025高三·全国·专题练习）数列中，，，若是数列的前项积，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求出和，再证明数列是等比数列，进而求出其通项公式，从而得到的表达式，再通过求二次函数的最值，即可得到的最大值. 【详解】因为，①，所以可得. 令，可得，解得（舍去负值），所以. 在①中，用代换，可得②. ②除以①可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 所以， 令， 可知当或11时，取得最大值55， 又由，可得的最大值． 故选：D 3．（25-26高二上·江苏泰州·阶段检测）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出的通项公式，再根据当时，最大求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以当时，最大. 故选：C. 拓展 等比数列前项和的函数特征 1、与的关系 （1）当公比时，等比数列的前项和公式是， 它可以变形为，设，则上式可以写成的形式， 由此可见，数列的图象是函数图象上的一群孤立的点； （2）当公比时，等比数列的前项和公式是，则数列的图象是函数图象上的一群孤立的点． 2、与的关系 当公比时，等比数列的前项和公式是，它可以变形为 设，，则上式可写成的形式，则是的一次函数． 活学活用 1．（2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知等比数列的前项和，，的前n项积为，则（    ） A． B． C． D．数列是等比数列 【答案】ABD 【分析】利用前项和和通项公式可知判断B，求解建立方程求出判断A，利用指数运算和等差数列求和公式求得判断C，再利用等比数列定义判断D即可. 【详解】对于B，当时，． 又为等比数列，则，故B正确， 对于A，则，所以，解得，故A正确， 对于C，而 ，故C错误， 对于D，又， 且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故D正确. 故选：ABD 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段检测）已知等比数列的前项和（是常数），则__________. 【答案】 【分析】由求出数列的通项公式，根据该数列为等比数列求出的值，即可得出的值. 【详解】因为等比数列的前项和（是常数）， 当时，， 当且时，， 因为数列是等比数列，则也满足， 即，解得，故， 且对任意的，，即数列为等比数列，故， 故答案为：. 3．（24-25高二上·安徽六安·期末）（多选）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 题型 等比数列的通项公式及其应用 解题贴士 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． ▌例1（2027高三·全国·专题练习）在正项等比数列中，已知，则________． 【答案】 【分析】利用等比数列通项将各组连续三项的乘积转化为公比幂的形式，先由前两组乘积求出，再代入第三组乘积的表达式，通过指数相等列方程解得n． 【详解】设数列的公比为， 由与， 可得， 因此，即，解得． ▌例2（2027高三·全国·专题练习）正项等比数列的公比恰好等于函数的零点，且，则________． 【答案】 【详解】令，得，解得， 所以函数的零点为，因此等比数列的公比. 因为，所以或（舍去，因为）， 又因为，所以. ▌对点练1-1．（26-27高三上·广东·阶段检测）记为数列的前项和，已知． (1)证明：数列是等比数列； (2)若数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求数列的通项公式． 【答案】(1)证明：由数列的前项和为， 当时，； 当时，， 因为适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 【分析】（1）根据题意，利用和的关系式，求得数列的通项公式为，结合等比数列的定义，即可得证； （2）设数列的公比为，根据题意，分别令和，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：由数列是各项均为正数的等比数列，设数列的公比为，且， 因为且， 令和，可得，即， 两式相除，可得，所以， 则，解得， 所以数列的通项公式为. ▌对点练1-2．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，若，，则（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【详解】因为，所以， 作差可得，即， 又，代入可得， 所以数列从第二项起为公比是2的等比数列， 所以. ▌对点练1-3．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）记为数列的前项和，已知，则下列选项正确的是（    ） A．2026是数列中的项 B．数列是公比为4的等比数列 C． D．若，则数列的前项和小于 【答案】ABD 【分析】利用数列的通项公式，验证判断A；求出奇数项数列的公比判断B；求出前5项和判断C；利用裂项相消求和判断D. 【详解】 对于A，当为奇数时，由，得，无解；当为偶数时，由，得，符合题意，A正确； 对于B，，，则公比，是公比为4的等比数列，B正确； 对于C，，，，，，则，C错误； 对于D，，则， 前项和，D正确. 题型 等比中项及应用 解题贴士 （1）由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． （2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． （3）a，G，b成等比数列等价于． ▌例1（2027高三·全国·专题练习）已知正数，的等比中项是2，且，，则的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由已知正数，的等比中项是2，可得， 又，， ， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为5． ▌例2（26-27高三上·北京·期中）已知是公差不为0的等差数列，．若，，成等比数列，则的公差_____，_____． 【答案】 2 16 【分析】根据给定条件，利用等比数列列出方程求出公差，再结合等差数列通项求出. 【详解】由，，成等比数列，得，则， 而，则，. ▌对点练1-1（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）已知为等差数列的前n项和，若，，则（    ） A． B．和的等比中项为4 C．取最大值时，n的值为2或3 D．若，则n的最大值为4 【答案】ACD 【分析】先根据已知条件求出等差数列的首项与公差，得到通项公式与前项和公式，再逐一验证四个选项的正误. 【详解】设等差数列的公差为，由，且，得，因此公差， 所以通项公式，前项和. 对于A：由上述推导得，A正确； 对于B：计算得，，二者的等比中项满足， 解得，即等比中项为，并非只有4，B错误； 对于C：是开口向下的二次函数，对称轴为，由于为正整数， 因此或时取得最大值6，C正确； 对于D：令，解得，又，所以的最大值为，D正确. ▌对点练1-2（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列的公差，前项和为，若，且，，成等比数列，则_________． 【答案】 【详解】依题意得，化简得， 因为成等比数列，由等比中项性质得， 因为，，所以 ，展开并整理得：， 因为，得，又，解得，则， 所以. ▌对点练1-3（26-27高三上·浙江·开学考试）（多选）已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列的前项和公式及性质，再结合片段和性质，及等差数列等比数列的判定逐一分析即可． 【详解】对于A，由是等差数列，则， 若，则，即， 所以，即当，且时，，即不恒成立，故A错误； 对于B，由是等差数列，则对任意的整数，都有，，成等差数列， 令，则，，成等差数列， 所以，故B正确； 设等差数列的公差为，则，，， 对于C，若成等差数列，则，即，解得， 则，，，即，，所以， 即当时，，，成等差数列，故C正确； 对于D，若成等比数列，则，即，解得， 将看成是关于的一元二次方程， 则，只有当时，方程有解，且解为， 此时，则，，不可能成等比数列，故D错误． 题型 等比数列性质的应用 解题贴士 运用等比数列性质解题，优先观察下标之间的数量关系，下标和相等则对应项乘积相等，下标成等差数列则对应项成等比数列，以此简化计算，减少联立方程。遇到连续片段和，可利用等比数列分段和性质快速求解。解题时先判断公比正负，留意项的符号，开方不要直接只取正值。分清等差、等比结论，不要混用。求出答案后代入原题检验，舍去不符合条件的增根，遇到多解情况，结合题干条件取舍。 ▌例1（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知数列{}为等比数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列中下角标成等差数列的对应项成等比数列的性质，代入已知值计算即可求得. 【详解】 在等比数列中，若（），则满足. 由于，因此， 将，代入得：，解得. ▌例2（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则值是________． 【答案】/ 【分析】利用等差中项以及等比中项的性质进行化简求值即可. 【详解】因为是等比数列，所以，所以，解得. 又因为是等差数列，所以，所以，解得， 所以 ▌对点练1-1（专题01等差数列与等比数列（知识清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测）已知等比数列的各项都为正数，且，则的值为______. 【答案】4 【分析】利用等比数列下标和性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q，由数列各项都为正数得. 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. ▌对点练1-2（福建省泉州市惠安县2027届高中毕业班7月质量检测数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 又因为，即， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. ▌对点练1-3（2026·福建泉州·模拟预测）已知等比数列，，则的值为______. 【答案】 4 【分析】利用等比数列下标和相等则对应项乘积相等的性质，将前四项倒数和整理为与前四项和相关的形式，求出两项乘积后即可得到四项总乘积. 【详解】设等比数列的公比为q， 根据等比数列性质：若，则，可得， 记，则， 所以，所以. 题型 等比数列前项和的有关计算 解题贴士 等比数列前n项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：、、、、，其中首项和公比为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如，都可看作一个整体． （3）在解决与前项和有关的问题时，首先要对公比或进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． ▌例1（2027高三·全国·专题练习）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，若，则________，________． 【答案】 8 【详解】由题知数列为等比数列，公比且，由，得， 解得，故． ▌例2（26-27高三上·广西河池·阶段检测）（多选）记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公比，再逐项验证各选项即可 【详解】选项A：由等比数列通项得，即， 前3项和，整理得，解得或， 因为，所以，，A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项错误； 对于D，，， 所以，故D选项正确. ▌对点练1-1（2026·广东佛山·模拟预测）（多选）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有几盏灯．现将该塔各层的灯数按从上到下的顺序依次记为数列，则下列说法正确的是（   ） A． B．设，则数列的前7项和 C．从数列中任意取出不同的三项，这三项可能构成等差数列 D．从该塔中随机抽取两层，使得这两层灯数之积大于1000的取法有9种 【答案】ABD 【详解】由题意得，是等比数列，公比，项数，前7项和， 等比数列求和公式：， 解得，故A正确； ，是等差数列， ，，， 即，故B正确； 是等比递增数列，公比， 假设存在三项，，成等差数列，则， ，化简：， 右边是奇数加偶数，结果为奇数；左边是2的整数次幂，大于1必为偶数，矛盾， 故C错误； 求两层灯数乘积的组合， 数列；，各项：3，6，12，24，48，96，192， 若两项中有一个为：，，， ，，，有5种； 两项中有一个为：：，，，，有3种； 两项中有一个为：：，有1种； 合计9种，故D正确. ▌对点练1-2（26-27高三上·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【答案】(1) ， (2) （等价化简形式均可） 【详解】（1）已知，所以， 两式作差得：，即，， 所以，所以等比数列的公比为， 当时，， 又有，所以，， 综上，； （2）由知，， 所以， 则， 所以. ▌对点练1-3（26-27高三上·湖南·开学考试）已知公比为的等比数列的前项和为，且． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或． (2) 【分析】（1）由等比数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项； （2），分和两种情况，结合对勾函数性质可得答案 【详解】（1），由，得，又，，即或． 由，得，，或． 或． （2）由，得．由，得，或． 又． 由“对勾函数”的性质易知，当时，单调递增， 所以； 当时，单调递增， 所以， 综上，的取值范围是. 题型 等比数列前项和的性质 解题贴士 使用等比数列前 n 项和性质解题，首先记住连续等长片段和仍成等比数列，但要注意片段和不能为零。处理奇偶项求和，单独分析项的符号与公比正负。遇到含参数求和，务必优先讨论公比等于 1 的特殊情况，这是高频易错点。优先选用性质简化运算，减少复杂列式。利用前 n 项和与通项的关系求值时，记得验证首项。得到结果后结合题干条件检验，舍去不符合题意的解，警惕多解问题中出现的增根。 ▌例1（25-26高二下·广东江门·阶段检测）（多选）已知数列是正项等比数列，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列中，仍成等比数列 D．数列是等差数列 【答案】ABD 【分析】由、均为非零常数即可判断AB；由即可判断C；由为常数即可判断D. 【详解】数列是正项等比数列，则，可设公比为， 则为非零常数，所以数列是为首项、为公比的等比数列，A正确； 为非零常数，所以数列是为首项、为公比的等比数列，B正确； 是的前n项和， 则当时，，所以不成等比数列； 当时，， 所以， ， 令得， 即，解得，与矛盾， 所以，所以不成等比数列，C错误； 因为为常数， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，D正确. ▌例2（22-23高二上·山东济南·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】AB 【分析】由题设可得，，可得，即可判断A；根据，可判断D；分析可得，进而得到数列为递减数列，进而得到，即可判断CD. 【详解】由可得，， 由，可得，故A错误； 又因为，且，所以数列为各项均为正数的等比数列，所以，故D正确； 当时，因，数列为递增数列，则， 此时，与矛盾，所以不成立； 当时，数列为递减数列，根据， 有，则是数列中的最大值，故C正确； 而，则，故B错误. 故选：AB ▌对点练1-1（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知等比数列的公比为q，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等比数列的基本量运算判断A，利用等比数列前n项和公式判断B，利用等比数列的性质判断C，利用等比数列的性质并结合等差数列的求和公式判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，则，故A正确； 对于B，由，可得，解得， 由等比数列前项和公式得， 得到，故B正确； 对于C，由等比数列性质得，，成等比数列， 且，，得到， 即，故C错误； 对于D，由等比数列性质得， 则，故D错误. 故选：AB． ▌对点练1-2（23-24高二下·四川绵阳·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．等比数列是递增数列，则的公比 C．若数列的前项和为，则数列是等差数列 D．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列 【答案】AC 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误. 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0， 后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由或，所以B错误. 由可知当时， 且，符合等式，所以数列通项为，则，所以是等差数列，所以C正确. 当，为偶数时， 可知不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 故选：AC. ▌对点练1-3（24-25高三上·湖北随州·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 题型 等比数列片段和的性质 解题贴士 若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． ▌例1（2026·重庆北碚·模拟预测）（多选）等比数列的前项和为，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，则公比 D．若(t为常数)，则 【答案】ACD 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即.那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列，但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即，解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. ▌例2（25-26高二下·江西·期中）（多选）若数列的前项和为，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，则是等比数列 B．若是等比数列，则 C．若，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等比数列 【答案】BC 【分析】举出反例可得A、D；借助等比数列性质计算可得B；借助与关系及等比数列定义计算可得C. 【详解】对A：取数列，可取，满足题意， 但此时该数列不是等比数列，故A错误； 对B：设该数列公比为，则，，， 则，故B正确； 对C：当时，，则， 即，当时，即， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对D：取等比数列，有，，， 此时、、不成等比数列，故D错误. ▌对点练1-1．（2026·安徽滁州·二模）（多选）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A，当时，无意义，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，若，则，，， 因为，所以，，成公比为的等比数列； 若，则，， ， 所以，所以，，成公比为的等比数列，C正确； 对于D，当时，,对于任意的都满足， 但不一定成立，D错误. ▌对点练1-2．（25-26高二下·辽宁鞍山·阶段检测）（多选）下列说法错误的有（   ） A．若数列的前n项和，则数列为等比数列 B．若等差数列的公差，则数列是递减数列 C．数列是等比数列，为前n项和，则，，，…仍为等比数列 D．若数列的前n项和（t为常数），则数列一定为等差数列 【答案】ACD 【详解】选项A：已知，则， 当时，， 则数列为， ，比值不相等， 数列不是等比数列，故A错误； 选项B：已知等差数列的公差， ，故数列是递减数列，故B正确； 选项C：假设等比数列为：， 则，，，不构成等比数列，故C错误； 选项D：已知，则， 当时，， 若是等差数列，则，即，解得， 当时，不满足时的表达式，所以不是等差数列，故D错误． ▌对点练1-3．（23-24高二上·陕西·阶段检测）（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列选项中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【分析】根据等比数列前n项和的性质，代入求解，可判断A；根据条件，求出通项公式与前n项和公式，分析计算，可判断B；根据等比数列的性质，可求出的值，即可判断C；根据条件，求出q值，代入通项公式，可判断D. 【详解】A：因为为等比数列，所以成等比数列， 又，，所以成等比数列， 则，解得，故A错误； B：若，，则， 所以，故B正确； C：由，得，又， 所以或，解得或， 则或，所以，故C错误； D：由，得，解得， 当时，由，得， 当时，由，得，故D错误. 题型7 等比数列的奇数项与偶数项和 解题贴士 等比数列中，若项数为，则；若项数为，则． ▌例1（26-27高三上·湖北·阶段检测）（多选）设等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列是等差数列 B．若，则 C．若，则数列是递减数列 D．记的前项中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则 【答案】AD 【分析】利用可得数列是等差数列；利用特殊数列可判断；利用，当时，即可；利用即可. 【详解】由已知可得，. 对于选项A，因为， 所以数列是公差为的等差数列，故A正确； 对于选项B，当时，， 则，但，故B错误； 对于选项C，， 当时，，所以数列是递增数列，故C错误； 对于选项D，可得， ，故D正确. ▌例2（2026高二·全国·专题练习）已知等比数列共有32项，其公比，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列的所有项之和是_____. 【答案】120 【分析】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为，则可得，，解出即可得. 【详解】设该数列奇数项之和为、偶数项之和为， 则， 故，故、， 则数列的所有项之和是. ▌对点练1-1．（25-26高二下·江西宜春·阶段检测）等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为341，所有的偶数项之和为682，则（   ） A．32 B．64 C．512 D．1024 【答案】C 【详解】因为，所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为， 则,所以， 所以. ▌对点练1-2．（25-26高二上·江苏无锡·期末）等比数列中，，项数为奇数，所有奇数项和为，所有偶数项和为，则数列的公比____________. 【答案】/ 【分析】设等比数列共有项，则可表示出、，再利用等比数列性质计算即可得. 【详解】设等比数列共有项， 则，， 则，解得. 故答案为：. ▌对点练1-3．（25-26高二上·重庆·阶段检测）若等比数列 共有奇数项，且所有奇数项和 ，所有偶数项和 ， 末项是192，则公比 _____. 【答案】 【分析】由奇数项和，偶数项和及末项的关系式，代入数据得，再计算求出公比. 【详解】设等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项， 设公比为，得到奇数项和为， 偶数项和为， 所以， 即， 可得：，解得． 故答案为： 基础通关 1．（五省（豫陕冀晋青）联考2027届高考适应性考试数学试题（河南版本））为数列的前项和，满足，则________；________． 【答案】 【分析】根据得到，分为为奇数和为偶数两种情况，即可求出，即可求解. 【详解】因为， 当时，， 两式相减得，即， 当为奇数时，可化为， 即的偶数项均为， 当为偶数时，可化为， 因为，所以， 即的奇数项均为， 所以，. 2．（26-27高三上·贵州毕节·阶段检测）在等比数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，在与之间插入个数，使得这个数构成一个公差为（）的等差数列，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)或． (2)证明：因为，所以，所以， 由题意得，则， ，① ，② 得， 得． 因为，所以． 【分析】（1）根据题意，求出公比和首项，代入等比数列通项公式即可. （2）根据题意，求出，再根据错位相减的方法求出，进而证明. 【详解】（1）设的公比为，由，得，因为，所以， 因为，所以或， 故或． （2）略 3．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用得出的通项公式，再结合基本量运算得出的通项公式； （2）应用裂项相消法计算求解. 【详解】（1），， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴， 所以； （2）， 前n项和为． 4．（26-27高三上·广西南宁·阶段检测）已知数列的各项是或，，且在第个和第个之间有 个，即，，，，，，，，，，，，，则数列的前项的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】求出第个为数列的第几项，再判断第项在第几组，得到共有多少个和，即可求和． 【解答】第个为数列的第 项． 当时， ； 当时， ． 所以的前项有个和个，因此 ． 5．（26-27高三上·天津和平·开学考试）已知数列的前项和为，且满足，则的值为（     ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【分析】先利用与的关系，得到，即可证明是公比的等比数列，再利用等比数列的前n项和公式即可求解. 【详解】因为，所以当时，， 则，化简得到， 所以是公比的等比数列， 当时，，即，得到， 所以. 6．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）记为等比数列的前项和．若，则的公比为_________． 【答案】/0.5 【详解】若，则由得，解得，不合题意； 若，则由得， 即，即，即， 解得． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知数列是等比数列，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等比数列，，，得数列的公比满足，解得. 则的通项公式为. （2）将数列的前项和分成等比数列和等差数列分别求和. 则. 8．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查等比数列前项积的最值，前项积的增减由每一项与1的大小关系决定：乘大于1的项，积变大；乘小于1的项，积变小，因此只需找到由大于1转为小于1的分界项即可. 【详解】已知数列为等比数列，，公比，则， 因为数列是首项为正、公比为正的等比数列，所有项均为正数，因此前项积的变化规律为： 当时，，即前项积递增；当时，；即前项积递减. 因此当从大于1过渡到小于1时，取得最大值. 令，得，化简得，解得，即， 当时，，； 当时，， 所以，取得最大值时的值为8. 9．（26-27高三上·四川成都·开学考试）已知数列 满足 ，. (1)证明：数列 是等比数列； (2)求数列 的前项和. 【答案】(1)证明：因为， 所以， 即， 当时，， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列. (2) 【详解】（1）略. （2）由(1)得：， 所以， 所以. 10．（26-27高三上·河北唐山·开学考试）数列满足，，数列满足，． (1)求，的通项公式； (2)设为的前项和，令，求数列的最大项． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可求出，的通项公式； （2）通过作差法判断的正负确定数列单调性，进而找到最大项. 【详解】（1）由，，得是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 由，，得是以为首项，为公比的等比数列， 所以． （2），    ， ，   所以当时，；当时，． 由此可得，数列的最大项为． 素养提升 1．（2027高三·全国·专题练习）定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用 为常数建立关于 的恒等式，求出 ，进而得到 ；再由 判断 为等比数列，结合首两项求其通项公式． （2）由 ，将 的前 项和拆成等差数列 与等比数列 的前 项和，分别求和后相加即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，．因为， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以数列的通项公式为． 因为，又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 所以． （2）由（1）知． 因为，数列的前项和为， 所以 ． 所以数列的前项和． 2．（2027高三·全国·专题练习）在①；②，且成等差数列；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中． 设数列的前项和为，已知________，是数列的前项和，问是否存在，使得成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选①或选②或选③，的最大值均为8 【分析】利用数列的前项和与通项的递推关系求出数列的通项，再由裂项相消法求得，最后求解不等式并取整即得. 【详解】选①：由，可得，解得， 当时，由，得． 又，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 于是，， 则， 由，得，解得．又，所以的最大值为8； 选②：，且成等差数列． 则当时，，则， 解得，则， 又成等差数列，则，即得，解得， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，则． ． ， 由，即，解得，又，所以的最大值为8； 选③：由，可得，则， 当时，， 当时，，综上，． ， ， 由，即，解得．又．所以的最大值为8． 3．（2027高三·全国·专题练习）已知数列满足，则_________． 设，其中[x]表示不超过x的最大整数，为数列的前n项和，若，则n的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据递推关系可得是以3为首项，4为公比的等比数列，利用累加法求出通项，据此求出，再化简可得，利用裂项相消法求解. 【详解】 ，而, 是以3为首项，4为公比的等比数列， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，，． 4．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知数列是等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据通项公式列方程求解； （2）采用分组求和方法即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d． 由题意得，解得， 所以． 数列的通项公式为． （2）由题意可得： 所以数列的前n项和为. 5．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）如图，是边长为5的菱形且，取四边形各边中点，，，作第2个四边形，然后再取四边形各边中点，，，作第3个四边形，依此方法一直继续下去. (1)设从菱形开始的前个四边形面积之和为，求和； (2)这个作图过程一直继续下去，所有这些四边形的面积之和将趋于一个常数，求满足的的最小正整数值. 【答案】(1)， (2)11 【分析】（1）算出菱形面积，根据中点四边形面积是原图的，得到各四边形面积构成首项，公比的等比数列，再利用等比数列求和公式求解； （2）根据极限的思想求出，代入不等式化简求和. 【详解】（1）设第个四边形的面积记为，由， 根据菱形对角线互相垂直平分及中位线性质可知，第二个四边形是邻边长为菱形对角线长一半的矩形， 则； 第三个四边形为与第一个菱形相似的菱形棱长为第一个菱形边长的一半， 则，依次类推，故每一次的面积组成一个数列， 它是以为首项为公比的等比数列. 故连续4个四边形的面积之和， ； （2）由（1）得， 当无限变大时将趋于一个常数 比值，解得， 故满足条件的最小正整数为11. 迁移创新 1．（26-27高三上·北京·期中）若无穷数列满足：，当，时，（其中，表示，，…，中的最大项）．给出以下结论： ①若数列是常数列，则，； ②若数列是公差不为0的等差数列，则； ③若数列是公比为的等比数列，则； ④若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项． 其中正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【分析】根据所给定义得到，即可判断①；结合等差数列的定义结合分类讨论求出取值范围即可判断②；求出公比，即可判断③；结合周期数列及所给定义判断④即可. 【详解】对于①，若数列是常数列，则， 可得，，故①正确； 对于②，若是公差的等差数列，为定值， 若，单调递增，，不成立； 若，单调递减，为定值，满足条件， 所以，故②错误； 对于③，若数列是公比为的等比数列，则， 当时，有， 得到，解得或（舍去），所以.故③正确； 对于④，若存在正整数，对任意，都有， 假设在，，…，中最大，则，，…，中都是最大， 当时，有，且，即， 所以，所以是数列的最大项，故④正确. 2．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）已知等差数列与等比数列的首项均为，公差与公比均为.将数列中的所有项按原顺序依次插入数列中，组成一个新数列：，，，，，，，，，，，，，…，其中与之间插入项中的项，该新数列记作，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意计算对应的位置，再确定对应的中的项的下标，结合等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等差数列首项为1、公差为2，故， 等比数列首项为1、公比为2，故 ， 因为与之间插入项， 所以数列前个间隔插入数列的总项数为， 令，有，即，，即 ​， 因此第184到210项全部为中的项， 又因为，， 所以对应的下标为， 因此. 3．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）（多选）记，则下列不等式正确的有（    ） A．当时， B．当时， C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由时，，结合题设可判断选项正误；对于B， 由时，，结合题设可判断选项正误；对于CD，由结合极限性质可判断选项正误． 【详解】对于A，因时， 则 ， 其中，故A正确； 对于B，因时，， 则 ， 其中，故B正确； 对于CD，由A可得当时，， 从而，故C正确，D错误． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $