第18讲 等比数列的前n项和与数学归纳法讲义（知识清单+4题型讲解练+强化训练）2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版选择性必修第一册）

第18讲 等比数列的前n项和与数学归纳法 知识清单 知识点01：等比数列的前n项和 1 知识点02：等比数列前n 项和的性质 2 知识点03：等比数列中的片段和性质 2 知识点04：数学归纳法 3 题型归纳 题型01 求等比数列前n项和 3 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 5 题型03 等比数列片段和性质及应用 8 题型04 数学归纳法 10 强化训练 14 知识点01：等比数列的前n项和 1. 等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn= Sn= 2. 等比数列前n 项和公式的函数特征 (1)当q=1时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. (2)当公比q>0且q≠1时，等比数列的前n项和公式Sn=可以变形为Sn=-·qn+，设A=，则Sn=A(qn-1)，即Sn是关于n的指数型函数. 3.等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 知识点02：等比数列前n 项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可推得Sn有如下性质： (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm，m，n∈N*. (2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…是等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)； S奇＝a1＋qS偶． (4)当q=1时， =；当q≠±1时， =. 知识点03：等比数列中的片段和性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点： 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 知识点04：数学归纳法 1.一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择． 2.用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即 (1)当n＝n0时，等式的结构． (2)当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 题型01 求等比数列前n项和 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【答案】B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）数列满足，则数列的前8项和为（      ）. A．63 B．127 C．255 D．256 【答案】C 【详解】由，得， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 数列的前8项和为. 故选：C 【变式1-2】（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由可知显然不合题意，故有，解得，故A错B对； ，， 代入C，D选项验证，C正确； D选项右边，D错误. 故选：BC 【变式1-3】（22-23高二上·江苏连云港·期末）求和： . 【答案】84 【详解】 故答案为：84 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 【例2-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【答案】D 【详解】由题意有：， 所以， 故选：D. 【例2-2】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（   ） A．1 B． C．1或2 D．1或 【答案】D 【详解】在等比数列中，由，，得，则， 所以或. 故选：D 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，若，则，故， 则由可得：， 因，可将其化简为：，即， 解得（舍去）或.则. 故选：B. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等比数列单调递减，前n项和，，则公比（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等比数列中，设首项为， 因为等比数列单调递减，所以， 因为，所以， 则，化简得， 解得或（舍去），故选项C正确. 故选：C 【变式2-2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则公比 . 【答案】 【详解】因为，，解得. 故答案为：. 【变式2-3】（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列中，前n项和为，若，则 . 【答案】 【详解】若等比数列的公比，则，不满足， 所以， 由可得，即， 所以，解得， 又因为， 故答案为:. 题型03 等比数列片段和性质及应用 【例3-1】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ） A．24 B．48 C．39 D．36 【答案】C 【详解】∵为等比数列的前n项和，∴，，等成比数列， ∴，，∴，∴． 故选：C 【例3-2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，，则的值是 ． 【答案】50 【详解】设，， 所以， 所以， 所以. 故答案为:50. 【变式3-1】（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等比数列片段和的性质可知，、、成等比数列， 所以，，即，解得. 故选：C. 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【答案】210 【详解】由等比数列的性质可得：，，也成等比数列， 所以，即. 所以. 故答案为：210 【变式3-3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】14 【详解】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得． 故答案为： 题型04 数学归纳法 【例4-1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（    ） A．1348 B．675 C．1349 D．1350 【答案】C 【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数， 显然， 猜想：，当时，成立； 假设当时，成立，则为奇数，为偶数； 当时，则为奇数，为奇数，为偶数， 故符合猜想，因此， ，所以数列的前2023项的和为. 故选：C 【例4-2】（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）有下列命题：；使用数学归纳法证明 【详解】当时，左边，右边，等式成立； 假设当时，成立， 那么当时，成立； 综上所述：对于任意成立. 【变式4-1】（多选）（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】裂项相消法求和、数学归纳法、数列不等式恒成立问题、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据题意写出前7项，观察归纳得到，，再应用数学归纳法证明判断A、B；应用裂项相消法、放缩法证明不等式判断C、D. 【详解】由，且是公比为的等比数列， 所以为，为，为，， 由上观察归纳有，，显然时，满足， 若时，成立， 又是公比为的等比数列， 则，， 所以，有，满足归纳结论， 综上，，，A错，B对； 由，则，C对； 由 ，D对. 故选：BCD 【变式4-2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）设数列的前项和为，已知则 ． 【答案】 【详解】. 由， ， 猜想：. 下面用数学归纳法证明：若，则对任意自然数，成立. 证明：当时，由上可知命题成立； 假设当时，， 则当时， 所以当时，命题也成立. 综上所述，对任意自然数，. 故. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【详解】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 【答案】B 【分析】利用等比数列性质计算可得，可得，代入前和公式计算即可. 【详解】根据题意设等比数列的公比为， 由可得，即； 因此，解得，所以； 可得. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 【答案】D 【分析】根据给定条件，可得等比数列的公比的范围，再按的正负逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 对于AB，当时，，则，数列不单调，AB错误； 对于C，当时，，是递增数列，无最大值，C错误； 对于D，当时，；当时，， 若为奇数，；若为偶数， ，而， 因此当时，对任意整数，，D正确. 【点睛】关键点点睛：选项D，按公比的正负探讨是求解的关键. 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为等比数列的前项和求解. 【详解】依题意，2015年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 同理可得：2016年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； 2017年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为； …… 2024年10月1日存入的a元，到2025年10月1日取出时的本利和为. 所以，2025年10月1日取出前面的存款共有：. 故选：D 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列，由分组求和、等比数列求和公式即可求解. 【详解】因为，且，所以，所以， 所以成首项为1公比为3的等比数列，成首项为3公比为3的等比数列， 所以. 故选：D. 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列前n项和满足：，数列前n项和满足：，记，则使得值不超过2025的项的个数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】根据数列前项和与的关系，可得；同理前项和与的关系可得，则可得，判断其单调性，即可求得使得值不超过2025的项的个数. 【详解】因为，当时，， 当时，，则符合上式，所以； 又，当时，，所以， 当时，，则，所以是以为首项，公比的等比数列， 所以， 则 所以，即， 又单调递增，单调递增，所以单调递增， 又，所以， ， 故使得值不超过2025的项的个数为10. 故选：C. 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列前n项和，，则数列的最小项为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，求得数列的通项公式及前项和，从而得到数列的通项公式.分为奇数和为偶数两种情况进行讨论，可求得数列的最小项. 【详解】由，得： 当时，， 所以，即，即. 当时，，所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，. 所以. 当为奇数时，，随着的增大而减小，且均为正数； 当为偶数时，，随着的增大而减小； 令，则， 令，则. 所以当时，且为偶数时，，所以随的增大而增大. 所以当为偶数时，的最小值是，. 此时，数列的最小项为. 综上所述，数列的最小项为. 故选：D. 7．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的通项分别为，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（   ） A．21 B．38 C．42 D．43 【答案】D 【分析】利用分组求和列出关于和的不等式，求出其解后可得的最小值 【详解】因为，故， 若， 则， 由可得， 若，则，故， 不合题意，舍； 故，故，故此时. 若，其中，其中， ， 由可得， 而，故即， 故， 当时，由可得， 此时，故. 综上， 故选：D 二、多选题 8．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列的通项公式为，则（    ） A．64 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据数列的通项公式逐项计算判断可得答案. 【详解】对于A，，故A错误；     对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：BC. 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】若，则，两式相减可得，可证得为周期2的周期数列，由数列的周期性可判断A，B；若，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式和前项和公式可判断C，D即可. 【详解】对于A，B，若，则， 两式相减可得，为周期2的周期数列， ，则，故A正确； ，故B错误； 对于C，D，若，则， 可得 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，则，故C错误； ，故D正确， 故选：AD． 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】AB 【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A正确， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：AB. 三、填空题 11．（2023高二上·江苏·专题练习）用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证的不等式为 【答案】 【分析】因，故第一步需要验证的是时的不等式，代入整理即得. 【详解】用数学归纳法证明“”时， 第一步需要验证，当时，不等式，即成立， 故答案为：. 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数 . 【答案】/ 【分析】设数列 的公比为q，由题设列出的前三项，利用公比相等建立方程组求出q，即可得答案. 【详解】设数列的公比为q， 由题意，，，， 所以，即， 所以，即，所以或， 当时，不是等比数列，不合题意； 当，时， 此时，， 故与均为等比数列，且公比相等且为，符合题意； 所以. 故答案为： 13．（24-25高二上·江苏常州·期末）将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则 ， ． 【答案】 6 15660 【分析】先求的前4项，确定数列的第108项大小为324，从而可根据数列的第8项与第9项的数值来确定的值. 【详解】数列中，， 数列的第108项为，而数列的第8项为，第9项， 数列其前n项的和为，等差数列算到是的第100项时，包含恰好的前8项， ∴． 故答案为：6；15660. 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为则 ． 【答案】 【分析】根据题意易得数列的奇数项和偶数项都是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用分组求和法即可得出答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 又因， 所以数列的偶数项也是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 所以. 故答案为：. 15．（25-26高二上·江苏·阶段练习）现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为；第2个矩形的相邻两边长分别为；第3个矩形的相邻两边长分别为，第个矩形相邻两边长分别为，．则这个矩形的面积和为 ． 【答案】 【分析】将每个矩形的面积表示为等比数列的项，通过求和公式计算总和 【详解】第个矩形的相邻两边长分别为和（从到） 因此面积为： 总面积和为： 等比数列首项，公比，项数为 求和公式为： 代入得： 故答案为： 16．（24-25高二上·江苏无锡·期末）对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则 . 【答案】 【分析】根据题意，先利用数列前项和为求出通项公式，再利用错位相减法和等比数列求和即可求解. 【详解】由题意得，即数列的前项和， 则时，，得， 又时，也满足，所以数列得通项公式. 故， ， 两式错位相减，得， 整理化简得. 故答案为：. 17．（24-25高二上·江苏·阶段练习）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边的中点得，再连接的各边中点得，……按此方法继续下去，设的面积为，后续各三角形的面积依次为、…、、…，已知数列满足，则数列的最大项的值为 . 【答案】 【分析】求出退位相减求出，利用数列的单调性求最值. 【详解】设的边长为，则数列是首项，公比的等比数列， 从而故 因为数列满足， 所以时，， 两式相减，整理可得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 所以时，数列的最大项值为 故答案为： 四、解答题 18．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知数列的前n项和为，且满足． (1)若成等比数列，求m的值； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式求解即可； （2）利用分组求和，再利用等差数列、等比数列求和公式求和即可. 【详解】（1）由题设，故是公差为2的等差数列， 所以，即，得， 所以，又， 则，即. （2）由（1）知：， 所以. 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件化简，再应用等比数列定义计算证明，最后应用等比数列的通项公式计算求解； （2）应用不等式关系及等比数列求和公式计算证明. 【详解】（1）由题意每一项都不为零．由得， 又， 因此是首项为，公比为的等比数列， 所以，故； （2）对于任意的正整数，因为，所以， 求和得到． 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由见解析 【分析】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值即可； （2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解即可. 【详解】（1）由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 21．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）依题意得，解得 ，即； （2）①由， ， ， 所以 ， ②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则 又 当时，；时， 所以，且， 则 所以实数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离构造函数，差比判断函数的单调性. 22．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用，结合等比数列的定义推理证明. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和. （3）由（2）求得，再利用放缩法及等比数列前n和公式推理得证. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 而，解得，则， 所以是首项为3，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，， 则，， 因此， 所以. （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18讲 等比数列的前n项和与数学归纳法 知识清单 知识点01：等比数列的前n项和 1 知识点02：等比数列前n 项和的性质 2 知识点03：等比数列中的片段和性质 2 知识点04：数学归纳法 3 题型归纳 题型01 求等比数列前n项和 3 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 4 题型03 等比数列片段和性质及应用 5 题型04 数学归纳法 5 强化训练 7 知识点01：等比数列的前n项和 1. 等比数列前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比 求和公式 Sn= Sn= 2. 等比数列前n 项和公式的函数特征 (1)当q=1时，Sn=na1，Sn是关于n的一次函数. (2)当公比q>0且q≠1时，等比数列的前n项和公式Sn=可以变形为Sn=-·qn+，设A=，则Sn=A(qn-1)，即Sn是关于n的指数型函数. 3.等比数列前n项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． (2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如qn，都可看作一个整体． (3)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 知识点02：等比数列前n 项和的性质 已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，则利用等比数列的通项公式及其前n项和公式可推得Sn有如下性质： (1)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm，m，n∈N*. (2)当q≠-1或q=-1且k为奇数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…是等比数列. (3)设S偶与S奇分别是偶数项的和与奇数项的和.①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)； S奇＝a1＋qS偶． (4)当q=1时， =；当q≠±1时， =. 知识点03：等比数列中的片段和性质 1．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 2．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点： 等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 知识点04：数学归纳法 1.一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 注意点：初始值n0选择不一定是1，要结合题意恰当的选择． 2.用数学归纳法证明等式的策略 应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即 (1)当n＝n0时，等式的结构． (2)当n＝k到n＝k＋1时，两个式子的结构：n＝k＋1时的代数式比n＝k时的代数式增加(或减少)的项． 这时一定要弄清三点： ①代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项． ②代数式相邻两项之间的变化规律． ③代数式中最后一项(最后一个数)与n的关系． 题型01 求等比数列前n项和 【例1】（24-25高二上·江苏淮安·期末）已知等比数列的公比为2，且前n项和为，，则（    ） A．15 B．31 C．63 D．127 【变式1-1】（23-24高二上·江苏南京·期末）数列满足，则数列的前8项和为（      ）. A．63 B．127 C．255 D．256 【变式1-2】（多选）（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知等比数列的公比为q，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高二上·江苏连云港·期末）求和： . 题型02 等比数列前n项和的基本量计算 【例2-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【例2-2】（24-25高二上·江苏常州·期末）已知为等比数列的前项和，且，，则数列的公比为（   ） A．1 B． C．1或2 D．1或 【变式2-3】（24-25高二上·江苏南京·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．1或 D．或 【变式2-1】（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）等比数列单调递减，前n项和，，则公比（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列的前项和为，若，则公比 . 【变式2-3】（22-23高二上·江苏南通·期末）已知等比数列中，前n项和为，若，则 . 题型03 等比数列片段和性质及应用 【例3-1】（22-23高二上·江苏连云港·期中）记为等比数列的前n项和．若，则的值为（    ） A．24 B．48 C．39 D．36 【例3-2】（22-23高二上·江苏连云港·期末）在等比数列中，，，则的值是 ． 【变式3-1】（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知等比数列的前项和满足，满足，，则 . 【变式3-3】（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 题型04 数学归纳法 【例4-1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（    ） A．1348 B．675 C．1349 D．1350 【例4-2】（22-23高二下·江苏南京·阶段练习）有下列命题：；使用数学归纳法证明 【变式4-1】（多选）（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知数列满足，且是公比为的等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏扬州·期末）设数列的前项和为，已知则 ． 【变式4-3】（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知正项等比数列的前和为，，则（   ） A．85 B．62 C．32 D．31 2．（24-25高二上·江苏·期中）已知无穷等比数列的前项和为，且，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．是递减数列 C．一定有最大值 D．一定有最小值 3．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）李华从2015年起，每年10月1日到银行存入a元，若年利率为r，按复利计算，到期自动转存，那么2025年10月1日将前面的存款全部取出，可得本利和为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，满足，且，则的值为（    ）． A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列前n项和满足：，数列前n项和满足：，记，则使得值不超过2025的项的个数为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 6．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）数列前n项和，，则数列的最小项为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的通项分别为，现将和中所有的项，按从小到大的顺序排成数列，则满足的的最小值为（   ） A．21 B．38 C．42 D．43 二、多选题 8．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列的通项公式为，则（    ） A．64 B． C． D． 9．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 三、填空题 11．（2023高二上·江苏·专题练习）用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证的不等式为 12．（24-25高二上·江苏南通·期末）设数列的前n项和为，若数列与均为等比数列，且公比相等，则实数 . 13．（24-25高二上·江苏常州·期末）将数列与的所有项放在一起，按从小到大的顺序排列得到数列，其前n项的和为，则 ， ． 14．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前项和为则 ． 15．（25-26高二上·江苏·阶段练习）现有矩形满足如下条件：第1个矩形的相邻两边长分别为；第2个矩形的相邻两边长分别为；第3个矩形的相邻两边长分别为，第个矩形相邻两边长分别为，．则这个矩形的面积和为 ． 16．（24-25高二上·江苏无锡·期末）对任意数列，定义函数是数列的“生成函数”.已知，则 . 17．（24-25高二上·江苏·阶段练习）如图，在边长为1的等边三角形ABC中，连接各边的中点得，再连接的各边中点得，……按此方法继续下去，设的面积为，后续各三角形的面积依次为、…、、…，已知数列满足，则数列的最大项的值为 . 四、解答题 18．（22-23高二上·江苏徐州·期中）已知数列的前n项和为，且满足． (1)若成等比数列，求m的值； (2)设，求数列的前n项和． 19．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足：，其前项和为． (1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式； (2)证明：． 20．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． (1)用表示，并求使数列是等比数列的实数； (2)经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 21．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 22．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $